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几何图形初步与证明知识点归纳
第一章 几何初步
1、几何图形
几何图形 从实物中抽象出来的各种图形， 包括立体图形和平面图形；
立体图形 有些几何图形的各个部分不都在同一平面内， 它们是立体图形；
平面图形 有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。
常见平面图形
直线 线段 角 三角形 长方形
正方形 梯形 平行四边形 圆 扇形
2、 点、 线、 面、 体
点 线和线相交的地方是点， 点是几何图形中最基本的图形；
线 面和面相交的地方是线， 分为直线和曲线；
面 包围着体的是面， 分为平面和曲面；
体 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体，几何体也简称体。
关系 几何图形都是由点、线、面、体组成的， 点动成线， 线动成面， 面动成体。 点、线、面、体经过运动变化，就能组合成各种各样的几何图形， 形成多姿多彩的图形世界。
3、直线、射线与线段
直线 一根拉得很紧的线， 就给我们以直线的形象， 直线是直的， 并且是向两方无限延伸的；
射线 直线上一点和它一旁的部分叫做射线， 这个点叫做射线的端点；
线段 直线上两个点和它们之间的部分叫做线段， 这两个点叫做线段的两个端点；
表示 在几何里， 我们常用字母表示图形： ①一个点可以用一个大写字母表示， 如点 A； ②一条直线可以用一个小写字母表示， 如直线a， 或用直线AB表示； ③一条射线可以用端点和射线上另一点来表示， 如射线OA， 也可用小写字母表示， 如射线l； ④一条线段可用它的端点的两个大写字母来表示， 如线段AB或线段BA；
表示点、直线、射线、线段时， 都要在字母前注明点、直线、射线、线段；
直线性质 ①直线上有无穷多个点；
②过一点的直线有无数条；
③两条不同的直线至多有一个公共点；
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区别 线段 射线 直线
图形
表示法 线段 AB (或线段a) 射线 OA (或射线l) 直线 AB (或直线l)
端点个数 2 1 无
可否延伸 不能延伸 只能向一方无限延伸 可向两方无限延伸
可否度量 可度量， 可比较大小 不可度量， 不能比较大小 不可度量， 不能比较大小
联系 线段向一方延伸就成为射线，向两方延伸就成为直线， 线段和射线都是直线的一部分；
共同点 都是直的线， 非曲线；
点和直线位置关系 点和直线的位置关系有两种： ①点在直线上， 或者说直线经过这个点；
②点在直线外， 或者说直线不经过这个点；
直线 位置关系 在同一平面内不重合的两条直线的位置关系只有两种： 相交或平行；
直线公理 经过两点有且只有一条直线(即两点确定一条直线) ；
“有”表示“存在性”， “只有”体现“唯一性”；
两点间距离 连接两点的线段的长度， 叫做这两点间的距离， 它是线段的长度， 是数量；
线段公理 连接两点的所有连线中， 线段最短， 简述为： 两点之间线段最短；
线段和差 在线段AC 上取一点B, 则有: AB+BC=AC, AB=AC-BC, BC=AC-AB; AB C
线段中点 线段的中点到两端点的距离相等, 线段AB中点M, AM=MB=1/2AB; A M B
4、 角
静态定义 有公共端点的两条射线组成的图形叫做角， 这个公共端点叫做角的顶点， 这两条射线叫做角的边； 如图， 射线 OA、OB是这个角的两条边， 点O是这个角的顶点；
动态定义 角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。如图，这个角可以看作由射线OA 绕O点按逆时针方向旋转α到射线OB的位置形成的； 射线旋转时经过的平面部分称为角的内部，平面其余部分称为角的外部；
角的分类 ①按大小分, 周角(360°)>平角(180°)>钝角(90°<钝角<180°)>直角(90°)>锐角(<90°);
周角(360°) 平角(180°) 90°<钝角<180° 直角(90°) 锐角(<90°)
②当角的两边在一条直线上时， 组成的角叫做平角；
③平角的一半叫做直角； 小于直角的角叫做锐角； 大于直角且小于平角的角叫做钝角；
余角 定义： 如果两个角的和是一个直角， 那么这两个角叫做互为余角， 其中一个角叫做另一个角的余角; 若∠A+∠B=90°, 则∠A与∠B 互为余角;如图: ∠1+∠2=90°, ∠1 与∠2 互为余角。
性质： 同角(或等角) 的余角相等；
补角 定义： 如果两个角的和是一个平角， 那么这两个角叫做互为补角， 其中一个角叫做另一个角的补角；若∠A+∠B=180°，则∠A与∠B互为补角；如图: ∠1+∠2=180°, ∠1 与∠2 互为补角。
性质： 同角(或等角) 的补角相等；
说明 ①钝角没有余角；
②互为补角、互为余角是相对两个角而言， 由它们的数量关系来定义的， 只与角的度数有关，与角的位置无关；
角的表示 角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写希腊字母表示， 有以下四种表示方法；
①用数字表示单独的角, 如∠1、∠2、∠3;
②用小写的希腊字母表示单独的一个角， 如∠α、∠β、∠θ；
③用一个大写英文字母表示一个独立的角(在一个顶点只有一个角)， 如∠A、∠B、∠C；
④用三个大写英文字母表示任一个角， 如∠AOC、∠BOC等；
注意： 用三个大写英文字母表示角时， 一定要把顶点字母写在中间， 边上的字母写在两侧；
单位 1周角=360°, 1平角=180°, 1°=60', 1'(分)=60"(秒), 角的度、分、秒是60 进制;
角的性质 ①角的大小与边的长短无关， 只与构成角的两条射线的幅度大小有关；
②角的大小可以度量， 可以比较， 比较方法： 1) 叠合法； 2) 度量法；
角的大小比较 ①叠合法：将两个角叠放在一起， 使两个角的顶点和一条边重合， 并使它们的另一边都落在重合的那条边的同旁，根据两个角的另一边的位置确定出两个角的大小。
②度量法：两个角大小的比较，实际上是两个角的度数的大小比较， 度量法就是先用量角器 分别量出两个角的度数， 再比较其度数的大小。
角的和差运算 角可以参与运算：
角的和: ∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和, 即∠AOC=∠AOB+∠BOC;
角的差: ∠AOB是∠AOC 与∠BOC 的差, 即∠AOB=∠AOC- ∠BOC;
(1)相交线中的角 (三线八角)
对顶角 有一个公共顶点， 且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角；
性质： 对顶角相等；
两条直线相交所构成的四个角中， 有两对对顶角； 如图: ∠1与∠3, ∠2与∠4, ∠5与∠7, ∠6与∠8;
若两个角互为对顶角， 则它们一定相等； 反之， 若两个角相等， 则它们不一定互为对顶角。
邻补角 两个角有一条公共边， 且它们的另一边互为反向延长线， 具有这种关系的两个角互为邻补角；两条直线相交所成的四个角中， 有4对邻补角， 如图： ∠1与∠4, ∠1与∠2, ∠2与∠3, ∠3与∠4, ∠5与∠8, ∠5与∠6, ∠6与∠7, ∠7与∠8;
性质： 邻补角互补(之和等于 180°)；
邻补角与补角是两个不同的概念， 互补的两个角只有数量关系， 没有位置关系， 只要这两个角的和等于 180°即可； 而邻补角不但有数量上的关系， 还有位置上的关系；
同位角 ∠1 与∠5这两个角分别在AB， CD的上方， 并且在 EF的同侧， 像这样位置相同的一对角叫做同位角; 如图: ∠1与∠5, ∠2与∠6, ∠4与∠8, ∠3与∠7;
内错角 其中∠2 与∠8这两个角都在 AB、CD 之间， 并且在 EF的异侧， 像这样位置的两个角叫做内错角, 如图: ∠2 与∠8, ∠3 与∠5;
同旁内角 ∠2 与∠5在直线AB、CD 之间，并且在EF的同侧， 像这样位置的两个角叫做同旁内角，如图: ∠2与∠5, ∠3与∠8;
三线八角 ①三线八角指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角， 其中对顶角有4对，同位角有4对，内错角有 2对， 同旁内角有2对；
②正确认识这八个角要抓住： 同位角位置相同即“同旁和同侧”；内错角要抓住“内部，异侧”；同旁内角要抓住“同旁，内部”。
(2)角平分线
定义 一条射线把一个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线； 如图: 射线OC 是∠AOB的平分线; ∠AOC=∠BOC=∠AOB,, ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC;
性质 角平分线上的点到角两边的距离相等， 如图 DE=DF；
逆定理 在角的内部， 到角两边距离相等的点在角平分线上(判定角平分线)；
5、垂线
定义 若两条直线相交所成的四个角中， 有一个角是直角时， 则这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 它们的交点叫做垂足。
表示 直线AB、CD 互相垂直, 记作“AB⊥CD”(或CD⊥AB), 读作“AB垂直于CD”(或“CD 垂直于AB”) ;
说明 ①两条直线互相垂直是两条直线相交的一种特殊情形， 垂线是其中一条直线对另一条直线的称呼, 如AB的垂线是CD,CD 的垂线是AB;
②线段与线段、线段与射线、线段与直线、射线与射线或射线与直线垂直， 是特指它们所在的直线互相垂直；
③根据两条直线互相垂直的定义可知： 两条直线互相垂直， 则所成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角， 则这两条直线互相垂直；
④经过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线， 垂足有时在射线的反向延长线或线段的延长线上， 如图所示；
图示
垂线段 从直线外一点P向直线L作垂线， 垂足为O， 则线段PO为点P到直线L的垂线段；
性质 ①在同一平面内， 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
②直线外一点到直线上各点连接的所有线段中， 垂线段最短(简称： 垂线段最短) ， 如图所示；
说明 ①垂线是指一条直线， 而垂线段是指一条线段；
②“垂线段”是指一个具体的几何图形， 而“点到直线的距离”是指垂线段的长度， 是一个数量， 不能说“垂线段是距离”或“作出点到直线的距离”， 这些都是常见的错误语句；
③确定点到直线的距离， 首先要作出这点到直线的垂线段， 然后求垂线段的长度；
垂直平分线 垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；
性质定理 线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等， PA=PB；
判定定理 与线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上；
说明 ①线段的垂直平分线可以看作到线段两个端点距离相等的所有点的集合；
②线段的垂直平分线含两种关系: 位置关系--垂直(PO⊥AB), 数量关系--平分(OA=OB)。
6、平行线
定义 在同一个平面内， 不相交的两条直线叫做平行线， 用符号“//”表示； 如图: AB//CD, 读作AB平行于CD;
说明 ①同一平面内， 不重合的两条直线的位置关系只有两种： 相交或平行；
②平行线是无限延伸的， 无论怎样延伸也不相交， 不相交就是说两条直线没有交点；
③当遇到线段、射线平行时， 指的是线段、射线所在的直线平行；
平行公理 经过直线外一点， 有且只有一条直线与这条直线平行；
推论 如果两条直线都与第三条直线平行， 那么这两条直线也互相平行，若b//a，c//a，则b//c；
说明 ①注意条件“经过直线外一点”， 若经过直线上一点作已知直线的平行线， 则所作的直线与已知直线重合；
②平行公理体现了平行线的存在性和唯一性；
③平行公理的推论体现了平行线的传递性；
性质 与 判定 两条平行线被第三条直线所截：
性质 ①两直线平行 同位角相等； 判定 ∠1=∠5, ∠2=∠6∠4=∠8, ∠3=∠7
性质 ②两直线平行 内错角相等； 判定 ∠2=∠8, ∠3=∠5
性质 ③两直线平行 同旁内角互补； 判定 ∠2+∠5=180°∠3+∠8=180°
两条直线平行判定 ①平行线的定义(不常用)；
②平行公理的推论；
③同位角相等， 两直线平行；
④内错角相等， 两直线平行；
⑤同旁内角互补， 两直线平行；
⑥在同一个平面内垂直于同一条直线的两直线平行, 如图AB⊥BF, CD⊥BF, 则 AB//CD;
平行线之间的距离 定义 两条平行线中， 一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
性质 ①平行直线间的距离处处相等, 如图: AB=CD=EF;
②夹在两条平行线间的平行线段处处相等, 如图: BC//DE, 则 BC=DE。

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