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三角形常考模型专题归纳汇总
1、8字模型
类型 图示 模型分析 结论
角的8字模型 如图所示: AC、BD相交于O, 连接AD、BC。 ∠A+∠D=∠B+∠C
∵ ∠A+∠D+∠AOD=180° ∠B+∠C+∠BOC=180° 又∵∠AOD=∠BOC ∴ ∠A+∠D=∠B+∠C
①因为这个图形像数字8， 所以我们把这个模型称为8字模型；
②8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到。
边的 8字 模型 如图所示: AC、BD 相交于O, 连接AD、BC。 AC+BD>AD+BC
∵ OA+OD>AD ① OB+OC>BC ② 由①+②得 OA+OD+OB+OC>AD+BC 即 AC+BD >AD+BC
拓展模型 已知: EC与BD相交于点O, 点 A在OE上,连接AB、CD、BE; ∠OAB+∠OBA =∠C+∠D =∠E+∠OBE
已知: AC、AD与 BE 分别相交于点 G、F, 连接BC、DE; ∠B+∠C+∠D+∠E=180°+∠A
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2、燕尾模型
类型 图示 模型分析 结论
角的燕尾模型 已知四边形ABDC (凹四边形) ∠D=∠A+∠B+∠C 简记： 凹角等于凸角之和；
证法1: 如图, 做射线AD ∵ ∠3 是ΔABD的外角 ∴ ∠3=∠B+∠1 ∵ ∠4是ΔACD 的外角 ∴∠4=∠C+∠2 ∴∠BDC=∠3+∠4 =∠B+∠1+∠C+∠2 ∴ ∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
证法2: 如图, 连接 BC ∵ ∠2+∠4+∠BDC=180° ∴ ∠BDC=180°-(∠2+∠4) ∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠A=180° ∴ ∠A+∠1+∠3=180°-(∠2+∠4) ∠BDC=∠A+∠1+∠3
边的燕尾模型 如图: 延长BD 交AC 于点E ∵ AB+AC=AB+AE+EC AB+AE>BE ∴ AB+AC>BE+EC ① ∵ BE+EC=BD+DE+EC DE+EC>CD ∴ BE+EC>BD+CD ② 由①②可得 AB+AC>BD+CD AB+AC>BD+CD
类型 图示 模型分析 结论
燕尾模型 重点： 同底边时， 三角形面积之比等于高之比， 能想到做高辅助线； 已知: ΔABC中, 点 D、E、F分别在BC、AC、AB上,AD、BE、CF相交于同一点O; ①S△AOB: S△AOC=BD: CD ②S△AOB: S△COB=AE:CE ③S△AOC: S△BOC=AF:BF
证明： 过B点作 BG⊥AD于点G, 过C 点作 CH⊥AD 于点H, ∵ S△AOB: S△AOC=(AO·BG):(AO·CH)=BG: CH (同底边时， 三角形面积之比等于高之比) 易证ΔBGD~ΔCHD . BG _BD/CD ∴ ①S△AOB: S△AOC=BD: CD 同理可证: ②S△AOB: S△COB=AE: CE ③S△AOC: S△BOC=AF:BF
3、风筝模型
类型 图示 模型分析 结论
风筝模型 已知: ∠DAE, 点B、C分别为 AD、AE上一点,点F为∠DAE内部一点,连接BF、CF; ∠DBF+∠ECF=∠A+∠F (应用三角形外角和定理)
已知: 四边形 ABCD中, 连接AC、BD交于点O, 记: ΔAOD 的面积为 S , ΔAOB的面积为 S , ΔBOC 的面积为 S , ΔCOD的面积为 S ; ①S :S =S :S ②S ·S =S ·S ③AO:CO =S :S =S :S =(S +S ):(S : S ) (比例的等比性质) 重点： 高相同时， 三角形面积之比等于边之比。
4、角平分线四大模型
类型 模型 图示 模型分析
角平分线上的点向两边作垂线 如图, P是∠MON 的角平 分线上一点， 过点P作 PA⊥OM 于点A, PB⊥ON于点 B; 利用角平分线的性质： 角平分线上的点到角两边的距离相等。 构造模型为 边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件。
结论: PA=PB, RtΔAOP≌RtΔBOP
截取构造轴对称全等 如图, P是∠MON的平分线上一点，点A是射线OM上任意一点， 在ON 上截取OB=OA, 连接PB。 利用角平分线图形的对称性， 在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等、利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
结论: ΔOPA≌ΔOPB
角分线+ 垂线段构造 等腰三角形 如图, P是∠MON 的平分线上一点, AP⊥OP于P点,延长AP交ON于点B。 构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”， 也可以得到两个全等的直角三角形， 进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系在一起。
结论: OP为ΔAOB的高线、中线, ΔAOB是等腰三角形, RtΔAOP≌RtΔBOP
角平分线+平行线构造等腰三角形 如图, P是∠MON的平分线上一点， 过P点作PQ//ON,交OM 于点 Q,同样做 PR//OM。 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线， 构造等腰三角形， 为证明结论提供更多的条件， 体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。
结论: ΔOQP、ΔORP是等腰三角形, 四边形OQPR 是平行四边形
知二推三: ①点P为∠MON 平分线上一点(角平分线) ; ②PQ∥ON (平行) ;③ΔQOP为等腰三角形， 知道其中任意两个条件， 均可推出第三条结论。
角平分线定理 (扩展，重点掌握做题思路和方法)
内角 平分 线 定理 定理1： 三角形内角平分线分对边成两线段， 两线段之比等于相应邻边的比。
如图,AD 是ΔABC的∠A 的平分线,则AB C=BDCD
证法1： 利用平行线分线段成比例性质； 过C作CE∥AD交BA的延长线于点E; ∵ CE∥DA ∴ ∠2=∠4, ∠1=3 ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠3=∠4 ∴ AC=AE ∵ CE∥DA ∴AB=BD, AB=BD/AC=CD
证法2： 利用平行线分线段成比例性质及相似三角形性质； 过D作DE∥AC交AB于点E; ∵ DE∥AC ∴ ∠2=∠3 ∵ ∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴ AE=DE ∵ DE∥AC ∴BEBD,BE=BD, 易证: ΔBED~ΔBAC ∴BE=AB. AB= BD=DE
证法3： 利用相似三角形性质； 过C作CE∥AB交AD的延长线于点E; ∵ CE∥AB ∴ ∠1=∠3 ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠2=∠3 ∴ AC=CE 易证: △ABD~ΔECD ∴AB/∠CB, AB/AC=BD/AC=BDD
说明： 定理1 的逆定理也成立， 即已知AB=BD/CD,可推出AD为∠A的平分线。
内角 平分 线 定理 证法4：利用面积法； 过D点作 DE⊥AB于E, 作DF⊥AC于F; ∵ S△ABC=4BC/E=ABCDE=DF,等高时面积比等于边之比) SAACD =SACD=BD(等高时面积比等于边之比) ∴ AB=BDD
外角 平分 线 定理 定理2： 若三角形两边不相等， 则其相应外角的平分线分对边的两线段与相应邻边成比例。
△ABC中, AB≠AC, AD 是外角∠CAE的平分线, 则AB=BDD
说明: AB=AC时, AD//BC, AD和BC不能相交。
证法1： 利用平行线分线段成比例性质； 过C作CF∥AD交AB于点F; ∵ CF∥AD ∴ ∠1=∠3, ∠2=∠4 ∵ ∠1=∠2 ∴ ∠3=∠4 ∴ AC=AF ∵ CF∥AD ∴AB=BD, AB=BD,AB=BD,
证法2： 利用面积法； 在 BA延长线上任取一点E, 过D点作 DF⊥BE于点 F,过D点作 DG⊥AC于点G; ∵①S△ABD=△ECDF=DG,等高时面积比等于边之比)② △ABD=ABAB等高时面积比等于边之比) ∴ ①×② 得 六心一一|→45-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-00-
说明： 定理2的逆定理也成立， 即已知AB=BD/AC=CD可推出AD为∠A 的外角平分线。
5、双角平分线模型
类型 模型分析/结论 图示
角平分线 双 内角 平分 线型 已知: 在ΔABC中, BD、CD分别是∠ABC、∠ACB的平分线;
结论： ∠A
证明: ∠D=∠1+∠2=(∠3+∠4)+(∠5+∠6)=∠A
一内角 一外角 平分 线型 已知: 在ΔABC中, BD、CD 分别是∠ABC、∠ACE 的平分线;
结论：∠D=∠A
∠ACE =∠D+ ∠A+∠ABO ∠D=∠A
双外角 平分 线型 已知: 在ΔABC中, BD、CD 分别是∠EBC、∠FCB 的平分线;
结论： ∠A
证明： =180°- ∠A
三等分角线 双内角三等分型 已知: 在ΔABC中,∠DBC=∠ABC, ∠DCB=∠ACB;
结论：∠D=120°+∠A
一内角一外角三等分型 已知: 在ΔABC中,∠DBC=∠ABC, ∠DCE=∠ACE;
结论：∠D=∠A
双外角三等分型 已知: 在ΔABC 中,∠DBC=∠EBC, ∠DCB=∠FCB;
结论：∠D=120°-∠A
说明 ①通过三角形的内角和， 内外角关系及角平分线的性质， 建立两角之间的数量关系， 易证相应结论。
②将角平分线改成三等分角线， 同样根据三角形的内角和及角度的倍数关系易证相应结论。
6、中点四大模型
类型 图示 辅助线做法 结论
倍长中线 直接倍长中线 已知: 在△ABC中, AD是BC边的中线。 ①△ACD≌ΔEBD;②ΔABD≌ΔECD;③BE∥AC, CE∥AB;④四边形 ABEC是平行四边形；
①作法一: 延长到AD到E,使 DE = AD, 连接BE、CE。
②作法二: 过点 B作 BE∥AC交AD延长线于点E, 连接CE。
间接倍长中线 已知: 在ΔABC中, AD是BC边的中线，点M是AB边上一点。 ①BDM≌ΔCDN;②CN∥AB, BN∥CM;③四边形BMCN 是平行四边形；
①作法一: 延长到MD到N,使 ND=MD, 连接CN。
②作法二: 过点C作CN∥AB交MD延长线于点N。
说明 ①通过倍长中线法构造中心对称型全等三角形， 目的是将已知线段转移(转化思想) ；
②通过倍长中线或过相应角顶点做对应边平行线， 均可以构造中心对称型全等三角形。
等腰 三角形 三线合一 等腰三角形中有底边中点时， 常作底边的中线， 利用等腰三角形“三线合一”性质得到角相等或边相等， 为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候， 就应想到“边等，角等， 三线合一”。 ①BD=CD; ②AD⊥BC; ③∠BAD=∠CAD;
中位线 在三角形中， 如果有中点， 可构造三角形的中位线， 利用三角形中位线的性质、定理来解题， 中位线定理中既有线段之同的位置关系又有数量关系， 该模型可以解决角相等、线段之间的倍半、相等及平行问题。 ①DE∥BC ②DE=BC ③四边形ADCF、 DBCF是平行四边形；
证明: 延长DE至 F, 使 EF=DE, 连接CF易证ΔADE≌ΔCFE , CF=AD=BD, ∠A=∠ECF∴ CF∥BD, CF=BD ∴ 四边形 BCFD是平行四边形∴①DE∥BC ②DE=BC
角 三角形 斜边中线 在直角三角形中， 当遇见斜边中点时， 经常会作斜边上的中线，利用直角三角形斜边中线性质，来证明线段间的数量关系， 而且可以得到两个等腰三角形： ΔACD 和ΔBCD, 该模型经常会与中位线定理一起综合应用。 CD=AD=BD=AB
同一边 垂直+中点 构造等腰三角形 当三角形一边垂线过这边中点时， 连接 BE， 利用垂直平分线的性质得到: BE=CE, 从而用来证明线段之间的数量关系。 BE=CE
总结：中点问题常用性质及常见辅助线作法
①中线或与中点有关线段 联想 倍长线段构造全等
②等腰+底边中点 联想 等腰三角形三线合一
③多个中点或平行+中点 联想 构造中位线
④直角+斜边中点 联想 直角三角形斜边上的中线
⑤同一边遇垂直+中点 联想 垂直平分线性质
⑥证明线段之间1/2 关系的几个途径 1) 三角形中位线等于对应边的一半；
2) 直角三角形中， 斜边中线等于斜边一半；
3) 直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半。
7、截长补短
类型 图示 模型分析 结论
模型分析 如图, 在ΔABC, 要证AB+BD=AC。
①当题目中出现线段的和差倍分关系时， 考虑用截长补短法。截长法不行则用补短法；
②该类目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句， 可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
截长法 在AC 上截取AE=AB, 连接 DE,证明CE=BD 即可。 截长： 指在长线段中截一线段等于已知线段；
补短法 延长AB至点F, 使 AF=AC,连接DF, 证明BF=BD即可。 补短： 指将一条短线段延长，延长部分等于已知线段；
构造倍线段 如图, 在 RtABC, ∠BAC=90°,∠B=45°, AD⊥BC。 BC=AB=AC; AB=AC =AD=BD=CD;
看到线段间含或倍关系时，要考虑到运用等腰直角三角形性质构造辅助线和求解。
构造倍线段 如图, 在RtΔABC, ∠C=90°,∠A=30°。 AC=BC=VAB;BC=AC=AB;
当线段间含/ ,/ 或等)倍关系时，要考虑到运用含30°直角三角形性质进行求解。
说明 ①先截长补短， 再证30°或者45°直角三角形， 得到相应倍数关系；
②或先构造30°或者45°直角三角形， 再证明线段和差倍分关系。(根据题目， 灵活运用)
专题四：全等三角形
1、常见全等模型
平移模型 模型分析 模型特征： 有一组边共线或部分重合， 另两组边分别平行， 常要在移动方向上加 (减)公共线段， 构造线段相等， 或利用平行线性质找到对应角相等。
图示
对称模型 模型分析 模型特征：所给图形可沿某一直线折叠， 直线两旁的部分能完全重合， 重合的点就是全等三角形的对应顶点， 解题时要注意其隐含条件， 即公共边或公共角相等。
图示 共边
共顶点
旋转模型 模型分析 此模型可在看成是将三角形绕着公共顶点旋转一定角度所构成的， 旋转后的图形与原图图形之间存在两种情况：
1) 无重叠： 两个三角形有公共顶点，无重叠部分。一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角中。
图示
旋转模型 模型分析 2) 有重叠： 两个三角形含有一部分公共角(α)， 运用角的和差可得到的等角。
图示
半角模型 模型分析 当一个角包含着这个角的半角，常将半角两边的三角形通过旋转到一边合并形成新的三角形， 从而进行等量代换， 然后证明与半角形成的三角形全等。
等腰直角三角形含半角 如图, 在 RtΔABC中, ∠BAC=90°, ∠DAE=45°, 绕点A逆时针旋转ΔABD 到ΔACF,使AB与AC 重合。
等腰直角三角形含半角 ①ΔAED≌ΔAEF ②EF=DE ③CF=BD ④FC⊥BC
正方形含半角 如图, 在正方形ABCD 中, ∠EAF=45°, 绕点A 顺时针旋转ΔADF到ΔABG, 使AD与AB 重合。
①ΔAEF≌ΔAEG②EF=EG=BE+DF
等边 三角形 含半角 如图, ΔABC 是等边三角形, ΔBDC是等腰三角形, 且∠BDC=120°, 以D为顶点作角∠EDF=60°,两边分别交AB于点E, 交 AC 于点F, 连接EF, 绕点 D顺时针旋转ΔDBE到ΔDCG, 使DB与DC 重合。
等边三角形含半角(∠BDC=120°) ①ΔDEF≌ΔDGF②EF=FG=BE+CF
角平分线模型 模型分析 遇到角平分线时，常常含有公共边， 利用角的对称性， 在角平分线的两边构造对称全等三角形。 (详见角平分线模型)
图示 ①作两边垂线 ②作角平分线垂线 ③边截取等线段
④作一边平行线
2、一线三等角模型
类型 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
等角 在 同侧 图示
模型分析 条件 模型分析 结论
三个等角在直线的同侧， 即点P 在线段AB 上。 ∠A=∠CPD =∠B PC=PD ∵∠A = ∠CPD = ∠B ∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4 ∴∠1=∠3, ∠2=∠4 ∵PC=PD ∴△ACP≌ΔBPD ΔACP≌ΔBPD
等角 在 异侧 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
图示
模型分析 条件 模型分析 结论
三个等角在直线的两侧，点P在线段AB 延长线上，∠EAC=∠CPD=∠ABDPC=PD ∵ ∠EAC=∠CPD=∠ABD ∴∠1+∠2=∠1+∠4=∠3+∠4 ∴ ∠1=∠3, ∠2=∠4 ∴ △ACP ≌△BPD ΔACP≌ΔBPD
类型 图示 模型分析 结论
等角 对 等边 模型分析 如果∠1 和∠3 对应的边相等，即CE=DE时, △AEC≌△BDE ΔAEC≌ΔBDE
构造一线三等角 模型分析 ①图形中存在“一线二等角”， 补“一等角”构造模型； ②图形中直线上只有一个角， 补“二等角”构造模型，如图；③在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在x轴或y轴(也可以是平行于x轴或y轴的直线)上构造一线三等角是解决问题非常重要的手段。 说明： 在直角坐标系中， 构造一线三垂直是极其重要的一种解题思路和方法。
3、半角模型
1)模型分析
条件 模型图示 模型分析
模型分析 ①∠2=∠AOB; ②OA=OB; ③连接BF, 将ΔFOB绕点O 旋转至ΔF'OA 的位置;④连接EF、EF'。 ∵ΔOBF≌ΔOAF' ∴∠3=∠4, OF=OF' ∵∠2=∠AOB ∴∠1+∠3=∠2 ∴∠1+∠4=∠2 ∴∠EOF'=∠2 又∵OE为公共边 ∴ΔOEF≌ΔOEF'
结论: ΔOEF≌ΔOEF'
说明 ①半角模型的命名： 存在两个角是一半关系， 并且顶角共顶点；
②通过先旋转全等再轴对称全等(角平分线)， 利用全等得边角关系， 一般结论是证线段和差关系；
③常见半角模型是含90°含45°、120°含60°。
2)常见半角模型
类型 图示 条件 结论
等腰 三角形 含半角 如图, ∠BAC=2α,∠DAE=∠BAC=α,AB=AC, △ABD绕点A逆时针旋转2α到ΔACF, 使AB与AC 重合。 ①ΔABD≌ΔACF②ΔADE≌ΔAFE③∠ECF=180°-2α
等腰直角 三角形 含半角 如图, 在Rt△ABC中, ∠BAC=90°,∠DAE=45°,△ABD绕点A逆时针旋转90°到ΔACF, 使AB与AC 重合。 ①ΔAEF≌ΔAED ②EF=DE ③CF=BD ④FC⊥BC
等边 三角形 含半角 如图, △ABC是等边三角形, △BDC是等腰三角形, 且∠BDC=120°, 以D为顶点作∠EDF=60°, 两边分别交AB于点E, 交AC 于点F, 连接EF, △BDE绕点 D顺时针旋转120°到ΔCDG,使DB与DC重合。 ①ΔDEF≌ΔDGF②EF=FG=BE+CF
类型 图示 条件 结论
正方形含半角 如图, 在正方形ABCD中, ∠EAF=45°, △ADF绕点 A顺时针 旋转90°到ΔABG, 使AD与AB重合。 ①ΔAEF≌ΔAEG②EF=EG=BE+DF③ΔAMF为等腰RtΔ④MN =BM +DN
证明③ ∵ ∠MAF=∠MDF=45° ∴ MADF 四点共圆(共弦共角) ∴ ∠MFA=∠MDA=45° , ΔAMF为等腰直角三角形 证明④ 将ΔABM逆时针旋转90°到ΔADM', 则DM'=BM, ∠ADM'=∠ABM =45° 易证ΔAM'N≌ΔAMN, ∴ M'N=MN, 在 RtΔM'DN 中, M'N =DM' +DN ∴ MN =BM +DN
类型 图示 条件 结论
菱形 含半角 如图,在菱形ABCD中, ∠BAD=120°,∠EAF=60°, △ABE绕点 A 逆时针旋转120°到ΔADG, 使AB与AD 重合。 ①ΔABE≌ΔADG ②ΔAEF≌ΔAGF ③ΔAEF为等边三角形 ④ΔAGF为等边三角形 ⑤AEFG 为菱形
证明结论： ①ΔABE≌ΔADG ②ΔAEF≌ΔAGF 参考上面证明易证 证明③ 连接AC ∠ADF=∠ACE=60° AC=AD ΔACE≌ΔADF (ASA) ∠DAF=∠EAC AE = AF ∴ ③ΔAEF为等边三角形 ④△AGF为等边三角形 ⑤四边形AEFG 为菱形
含 45° 角 矩形 半角 模型 例 如图, 在矩形ABCD中, AD=9, AB=6,E、F分别为边BC、CD上的点,若∠EAF=45°,AE=3,求DF的长度。
方法 解法 图示
构造 正方 形 半角 模型 (推荐) 延长AB至点G, 使得AG=AD, 延长DC 至点M, 使得DM=AD, 连接GM, 与 AE 的延长线交于点 H, 把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到ΔAGN; 易证△ANH≌△AFH(SAS) ∴ NH=FH ∵ AB=6, AE=3 ∴ BE=3 ∴ tan∠BAE== ∴ GH=9/2, HM=9-9/2=9/2 设DF=x, 则NH=FH=x+9/2, MF=9-x
勾股定理 面积法
在RtΔFMH中,FH =HM +FM ∴(x+)°=( 解得 x=3 , ∴ DF=3 ∵ S 正AGMD==2S△ANH+S△HMF∴9 =(x)×9+(9-x)解得 x=3 , ∴ DF=3
构造 相似 三角 形 (推荐) 在AB 上截取BG=BE, 连接EG, 在AD上截取DH=DF, 连接FH ∵ AB=6, AE=3 ∴ BE=3 ∴ BG=3, EG=3 ∴ AG=3 设DF=x, 则|DH=x, HF=x, AH=9-x易证ΔAGE~ΔFHA ∴ AG = GE AH∴ __x=____ x= 解得: x=3, ∴ DF=3
合 45°角 矩形 半角 模型 构造相似三角形
延长AD 至 G, 使∠DGF=∠BAE,在AD上截取DH=DF, 连接FH∵ AB=6, AE=3 ∴ BE=3 ∴tan∠DGF= br/DG=tan∠BAE= / / 设DF=x, 则IDG=2x, GF= DH=x, HF=x, AH=9-x 易证ΔGFA~ΔFHA . GF /HF/SF/V .=R /S . 解得: x=27(舍), x=3, ∴ DF=3
构造∠AEF=90° 在CD 上截取CG=BE, 连接 EG ∵ AB=6, AE=3 ∴ BE=3, CG=3 ∵ AD=9 ∴ CE=6 ∴ △ABE≌ΔECG(SAS) ∴ AE=EG=3, ∠AEG=90° ∴ ∠EAG=45° ∵ ∠EAF=45° ∴ 点 F和点 G 是重合的点 ∴ DF=3 9
一线三垂直 作EG⊥AF于点G, 过点G作 MN⊥AD交AD于M, 交BC于N ∵ AB=6, AE=3∴ BE=3 ∵ ∠EAG=45°, EG⊥AF ∴ △AGE是等腰直角三角形, AG=GE易证ΔAMG≌ΔGNE(AAS) ∴ MG=NE, AM=GN 设EN=x, 则 AM=3+x ∴ MN=x+3+x=3+2x=6 ∴ x=3/2 ∵tan∠MAG=°M/3// =,∴AD= ∵ AD=9 ∴ DF=3
4、手拉手模型/反向手拉手模型
(1)手拉手模型：大三角形类似大手，小三角形类似小手，顶角相等且共顶点，称为手拉手模型，如下图,连接AC、BD,称为拉手线,左手拉左手 (AC),右手拉右手 (BD)。
类型 图示 条件 结论
一般 三角形 CD∥AB 将ΔOCD绕点O 旋转 ΔOAC∽ΔOBD
直角 三角形 CD∥AB 将ΔOCD绕点 O 旋转 ①ΔOAC∽ΔOBD ②AC⊥BD ③AD +BC =AB +CD ④S四边形ABCD=AC×BD
等腰 三角形 CD∥AB 将ΔOCD绕点O 旋转 ①ΔOAC≌ΔOBD②∠AEB = ∠AOB③OE 平分∠AED
等边 三角形 CD∥AB 将ΔOCD 绕点O旋转 ①ΔOAC≌ΔOBD ②∠AEB = 60° ③OE 平分∠AED(=120°)
等腰 直角 三角形 CD∥AB 将ΔOCD绕点O 旋转 ①ΔOAC≌ΔOBD ②∠AEB = 90° ③OE 平分∠AED(=90°)
正方形 已知正方形ABCD、AEFG, 正方形AEFG 绕A 点旋转,连接BE、DG;
①ΔABE≌ΔADG ②BE = DG ③BE⊥DG
矩形 已知矩形ABCD∽矩形 AEFG, 矩形AEFG 绕A点旋转, 连接BE、DG;
①ΔABE∽△ADG②AB/AD=AEF=BE|③BE⊥DG
类型 两等边三角形(一边共线)
条件 如图, B、C、D 三点共线, △ABC 和ΔCDE都是等边三角形， 连接BE、AD。
结论 ①ΔBCE≌ΔACD; ②BE=AD; ③∠AFB=60°,∠DFE=60°; ④ΔBCM≌ΔACN; ⑤ΔCEM≌ΔCDN; ⑥ΔCMN是等边三角形; ⑦MN∥BD; ⑧CF 平分∠BFD; ⑨BF=AF+CF, DF=EF+CF; ⑩△AFM~ΔBCM, ΔEFN~ΔDCN; A、B、C、F四点共圆; C、D、E、F四点共圆;
明 BC=AC ∠BCE=∠ACD ①ΔBCE≌ΔACD(SAS) 5 - ②BE=AD CE=CD 由①ΔBCE≌ΔACD >∠1=∠2 , ∠3=∠4 ③∠AFB=∠ACB=60° 同理可推 ③∠DFE=∠DCE=60°, 或者∠DFE=∠AFB=60° ∠1=∠2 ⑩△AFM~△BCM, 同理可证 ΔEFN~ ΔDCN ∠3=∠4 ∠1=∠2 BC=AC ④ΔBCM≌ΔACN(AAS) ∠BCM=∠ACN=60° 同理可证 ⑤ΔCEM≌ΔCDN 由④ΔBCM≌ΔACN CM=CN, ∠MCN=60° ⑥ΔCMN是等边三角形 ∠NMC=∠MCB=60° = ⑦MN∥BD 由③∠AFB=∠ACB=60° → A、B、C、F四点共圆(共弦共角) ∨∠BFC=∠BAC=60° ∠DFE=∠DCE=60°═ C、D、E、F 四点共圆(共弦共角)═ ∠CFD=∠CED=60°. ∠BFC=∠CFD ⑧CF 平分∠BFD 在 BF上截取BH=AF, 连接CH; (截长补短) BH=AF ∠1=∠2 ΔBCH≌ΔACF(SAS) ∠BHC=∠AFC=120° ∠FHC=60° BC=AC ΔFHC 是等边三角形 HF=CF ⑨BF=BH+HF=AF+CF 同理可证 ⑨DF=EF+CF
(2)反向手拉手模型
图示 条件 结论
反向 手 拉手 模型 已知: 在等腰ΔABC和等腰ΔADE中,AB=AC, AD=AE, ∠BAC=∠DAE,连接 BE、CD, 左手拉右手(BE), 右手拉左手(CD)， 称为“反向手拉手”全等模型。 ΔAB'E≌ΔACD
模型分析： 将“反向手拉手”全等转化为“正向手拉手”全等， 方法如下： 作出ΔABC关于AC的轴对称图形ΔAB'C, 连B'E;
证明： ∵ ∠EAD=∠B'AC ∴ ∠EAB'=∠DAC AE=AD ∠EAB'=∠DAC ΔAB'E≌ΔACD (SAS) AB'=AC
说明 反向手拉手模型难点：在于如何转化为正向手拉手模型，转化方法为以三角形的一边为对称轴作对称图形。

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