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三角形知识点归纳
1、三角形的一般性质
(1)三角形定义及分类
三角形 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形，用“Δ”表示,如:ΔABC;
边 组成三角形的线段叫做三角形的边， 如图： 线段AB、AC、BC；
顶点 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点， 如图： 顶点 A、顶点B、顶点C；
角 相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角，∠A、∠B、∠C。
分类 三条边都不相等的三角形 按边分 等腰三角形 底边和腰不相等的 等腰三角形 等边三角形
锐角三角形： 三个内角都是锐角 按角分 直角三角形： 有一个内角为 90° 钝角三角形： 有一个内角是钝角
图示
锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 等腰三角形 等边三角形
(2)三角形的边、角关系
三边关系 定理 三角形任意两边之和大于第三边; 如图: a+b>c, a+c>b, b+c>a;
推论 三角形任意两边之差小于第三边; 如图: a-b依据 两点之间线段是短；
应用 ①判断三条已知线段能否构成三角形；
②当已知两条边时，可确定第三条边的范围；
③证明线段不等关系；
说明 ①三角形三边关系是判断三条线段能否组成三角形的依据， 应用时要注意“任意”二字；
②在判断三条线段能否组成一个三角形时， 并不一定都要列出三个不等式， 只要两条较短的线段的长度之和大于第三条线段的长度，即可判定这三条线段能构成一个三角形。
边角关系 一个三角形中， 等边对等角， 等角对等边， 大边对大角， 大角对大边；ΔABC中, 若AB=AC, 则∠B=∠C, 反之, 若∠B=∠C, 则AB=AC;若AB>BC, 则∠C>∠A, 反之, 若∠C>∠A, 则AB>BC;
内角和定理 定理 三角形的3个内角和等于180°, 如图: ∠A+∠B+∠C=180°;
推论 ①任意一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；
②任意一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；
③直角三角形两个锐角互余；
说明 ①三角形的3个内角和等于180°， 与三角形的大小和形状没有关系；
②由三角形内角和定理可得直角三角形的两个锐角互余；反之， 有两个角互余的三角形是直角三角形。
证明 证法①: 延长BC到点 D, 作点C作CE//AB ∵ CE// AB ∴ ∠1=∠4 (两直线平行, 内错角相等) ∠2=∠5 (两直线平行, 同位角相等) ∵ ∠3+∠4+∠5 = 180° (平角的定义) ∴ ∠1+∠2+∠3 = 180° (等量代换) 即: ∠A+∠B+∠ACB = 180°
证法②: 过点A作EF//BC ∵ EF//BC ∴ ∠EAB=∠B (两直线平行, 内错角相等) ∠FAC=∠C (两直线平行, 内错角相等) ∵ ∠EAB+∠BAC+∠CAF=180°(平角定义) ∴ ∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
证法③: 过BC上任一点 F, 作DF//AC , 交AB于D,作 EF//AB, 交AC于E; ∵ EF//AB ∴ ∠EFC=∠B (两直线平行, 同位角相等) ∵ DF//AC ∴ ∠BFD=∠C (两直线平行, 同位角相等) ∵ 四边形 ADFE是平行四边形 ∴∠DFE=∠A(平行四边形性质) ∵ ∠BFD+∠DFE+∠EFC=180°(平角定义) ∴ ∠C+∠A+∠B=180°(等量代换)
三角形外角 定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，如图: ∠ABD 是ΔABC 的一个外角;
性质 性质 1： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；如图: 因为∠1 是ΔABC的外角; 所以 ∠1=∠ABC+∠C;
性质 2： 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角；如图: 因为∠2 是ΔABC的外角; 所以 ∠2>∠BAC, ∠2>∠C;
说明 ①一个三角形有6个外角；
②要证明角的不等关系， 常常要用到三角形外角的性质2。
外角和定理 三角形的外角和是360°； 如图: ∠1+∠3+∠5=360°, ∠2+∠4+∠6=360°;
稳定性 如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了， 三角形的这个特征， 叫做三角形的稳定性；
说明 ①判断图形是否具有稳定性， 关键在于它的结构是不是三角形结构；
②除三角形外， 其他图形都不具备稳定性， 因此在生产建设中，三角形的应用非常广泛， 如图： 屋顶架。
(3)三角形中的重要线段 (五线：中线、高线、角平分线、垂直平分线、中位线)
五线 定义 与 性质 图示
中线 连接一个顶点与它对边中点的线段， 如AD为BC 边中线，BD=DC=BC;
中线将三角形分成面积相等的两个三角形；SAABD=S△ADc=SAABC;
高线 从三角形一个顶点到它对边所在直线的垂线段， 叫三角形的高， 如线段AD；
性质: AD⊥BC, ∠ADB = ∠ADC = 90°;
应用： 由高线可得90°角， 常与三角形面积有关；
图示 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形
位置 三条高都在三角形内部 有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部 有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部
交点 三条高交于三角形内部一点 三条高交于三角形的直角顶点 三条高没有交点， 但三条高所在的直线交于三角形外一点
说明 ①三角形边上的高是线段， 而该边的垂线是直线；
②三角形的三条高(或其延长线)交于一点， 交点叫做三角形的垂心；
③画钝角三角形两较短边上的高时，要先延长边， 再画垂线段。
角平分线 一个内角的平分线与这个角的对边相交， 顶点与交点之间的线段，如图：线段AD为∠A 的角平分线；.∠BAD=∠CAD=∠BAC;
性质定理 角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
也就是说，一个点只要在角的平分线上， 那么这个点到该角的两边的距离就相等。如图：DE=DF。
判定定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上； 也就是说， 一个点只要到角的两边的距离相等， 那么这个点一定在这个角的平分线上； 如图: DE⊥AB, DF⊥AC, 若DE=DF, 则线段AD为∠A 的平分线;
说明： 此结论是角平分线的判定， 它与角平分线的性质是互逆的；
说明 ①性质中的“距离”是指“点到角两边所在直线的距离”，因此在应用时必须含有“垂直”条件， 否则不能得到线段相等；
②三角形的角平分线是一条线段， 而角的平分线是一条射线；
③三角形的角平分线的画法与角的平分线的画法相同；
④三角形的三条角平分线都在三角形的内部， 且交于一点， 交点叫做三角形的内心。
垂直 平分线 过任一边的中点作垂直平分线， 如图： DE为BC 的垂直平分线， 则：BD=DC, BE=EC, DE⊥BC;
三角形三条边的垂直平分线相交于一点， 该点叫三角形的外心， 并且这一点到三个顶点的距离相等；
三线共点 如何证明“三线共点”
即证明三条直线相交于一点，如： 外心、内心、垂心； 其中两条直线必交于一点，只要证明第三条直线经过这个交点， 或这个点在第三条直线上即可。
中位线 定义： 连接三角形两边中点的线段， 如图DE；
①中位线定理： 三角形中位线平行第三边， 且等于第三边一半； 如图：DE//BC(位置关系), 且DE=BC(数量关系), ΔADE∽△ABC(相似)
②已知三角形一边中点时， 可过中点作另一边的平行线构造中位线；
③三角形中位线将三角形分成面积比为1：3 的两部分， 如图SAADE=SEBDEC=SAABC;
常用结论 ①三条中位线组成一个新的三角形， 其周长为原三角形周长的一半，CADEF=CAABc;
②三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形；如图: ΔADE≌ΔBDF≌ΔFEC≌ΔFED;
③三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形；如图: S ADFE= S BDEF =S CEDF(用结论②即可证明);
④三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分， 如图： AF和DE 互相平分 ( ADFE) ；
⑤三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。 如图: ∠DFE=∠A, ∠DEF=∠B, ∠EDF=∠C (利用平行四边形的性质即可证) 。
(4)线段垂直平分线和角平分线的区别和联系
线段垂直平分线 角平分线
区别 定义 垂直于一条线段， 并且平分这条线段的直线； 从一个角的顶点引出的一条分原角为两个相等角的射线；
性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上； 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；
位置 锐角三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部；直角三角形三边垂直平分线的交点恰是斜边中点；钝角三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，交点为三角形的外心； 三条角平分线交于三角形内部一点，交点为三角形的内心；
作用条件 垂直平分线性质可用于证明线段相等，但线段的公共端点必须在垂直平分线上； 角平分线性质可用于证明线段相等，但线段必须含有“垂直”这个条件且公共端点在角平分线上；
联系 ①两个性质都可通过三角形全等推出；
②两个性质都有逆定理存在；
③两个性质都可证明线段相等， 都与垂直相关；
④等边三角形的三条角平分线分别与其对边的垂直平分线共线(重合)， 故内心、外心重合。
(5)三角形面积问题模型
面积公式 s=×边长×高
说明 ①等底等高的两个三角形面积相等, 如图-3: S△ACD=S△BCD(同底等高) ;
②两个三角形高相等, 面积之比等于底之比, 如图-1: S : S =a:b;
③两个三角形底相等, 面积之比等于高之比, 如图-2: S : S =a:b;
④在一组平行线之间的等积变形， 如图-3： 如果AB//CD， 则SS△ACD=S△BCD;反之, 如果S△ACD=S△BCD, 则AB//CD。
图示
图-1 图-2 图-3
2、等腰三角形
定义 两边相等的三角形叫等腰三角形， 相等的两条边叫做腰， 剩余的一条边叫做底边， 两腰的夹角叫做顶角， 底边与腰的夹叫做底角； 图-1
性质 ①两腰相等, 即AB=AC;
②两底角相等, 即∠B=∠C (简称: 等边对等角) ;
③三线合一： 顶角的平分线、底边上的中线、底边上高线互相重合；
④它是轴对称图形， 有1条对称轴(直线AD)；
面积 s=a·h,其中a 是底边长， h是底边上的高；
判定定理 ①两边相等的三角形是等腰三角形； (定义)
②两角相等的三角形是等腰三角形(简称： 等角对等边)； (判定定理)
性质扩展 ①两底角的角平分线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等；如图-2：BE=CF，BJ=CJ；
②两腰上的中线相等，并且它们的交点与底边两端点距离相等； 如图-3： BG=CH， BI=CI；
③底边两端点到两腰距离相等， 并且它们的交点与底边两端点距离相等； 如图-4: BM=CN, BK=CK; (注: 扩展性质通过三角形全等易证)
图示 图-2 图-3 图-4
其它 判定 (需证明) ①有两个角的平分线相等的三角形是等腰三角形(易证)， 如图-2；
②两边上中线相等的三角形是等腰三角形； 如图-3： 已知BG=CH， 则ΔABC 是等腰三角形；证明: 连接HG, 过G做GD//CH交BC延长线于 D; HG为中位线, 所以, HG//BD, 四边形 CDGH为平行四边形, 则有∠2=∠3, BG=CH=DG,所以, ΔBGD为等腰三角形, 有∠1=∠3, 于是∠1=∠2, 可证ΔBCH≌ΔCBG(SAS),则∠ABC=∠ACB, 从而得证ΔABC是等腰三角形。
③有两条高相等的三角形是等腰三角形， 如图-4： 已知 BM=CN， 则ΔABC 是等腰三角形；证明: RtΔAMB≌RtΔANC(HL) , 可得AB=AC; 或 RtΔBMC≌RtΔCNB(HL) , 可得∠B=∠C, 从而可证ΔABC是等腰三角形;
④三线合一中的任意两线合一都可以证明是等腰三角形(两线合一实际上已经就是三线合一)；
注意： 其它判定在小题时可以直接使用结论， 大题中不能直接使用， 使用时需要证明。
说明 ①一般情况下， 在判定等腰三角形时， 欲证边相等， 先证角相等； 欲证角相等， 先证边相等；
②等腰三角形是一个轴对称图形， 既可作为性质， 又可以作为判定办法；
③等腰三角形的判定和性质互逆；
④在判定定理的证明中， 如图-1， 可以作底边的高线或顶角的角平分线(辅助线AD)， 但不能作底边的中线(因为SSA无法证明三角形全等，详见三角形全等)， 然后通过三角形全等证明。
边角关系 ①顶角=180°- 2 底角, 底角=90°- 顶角；
②0°<顶角<180°(顶角可为直角或钝角);0°<底角<90°(底角只能为锐角);
③腰长>/底边长, 0<底边长<2 腰长;
④一腰上的高与底边夹角等于顶角的一半；∠BCN=∠CBM=∠A
说明 ①等边三角形是等腰三角形的特例；
②顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形， 两底角等于 45°；
③等腰三角形腰上高可以在三角形内部， 也可以在三角形外部(如钝角三角形)；
④等腰三角形的边有腰、底边之分，角有顶角、底角之分， 若题目中的边没有明确是底还是腰，角没有明确是顶角还是底角， 需要分类讨论；
分类讨论 (1) 已知等腰三角形的两边a， b， 求周长c时， 分两种情况：
①若a为腰, b为底时, 则周长c=2a+b; ②若b为腰, a为底时, 则周长c=2b+a;
(2) 已知等腰三角形的周长c和一边， 求另一边时， 分两种情况：
①若已知边a为腰: 则底为c-2a; ②若已知边a为底： 则腰为
注意 ①无论哪种情况， 都要注意三边长能否构成三角形；
②理论依据是三角形的任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边。
3、等边三角形
定义 三条边相等的三角形， 叫等边三角形， 又称正三角形；
性质 ①三边相等, 即 AB=BC=AC;
②三角相等, 都等于60度, 即∠A=∠B=∠C=60°;
③三线合一： 每条边上高线、中线和对应角平分线互相重合；
④是轴对称图形， 有3条对称轴， 分别为三边上高线或中线或对应角平分线所在直线；
判定 ①三个边都相等的三角形(定义) ；
②三个角都相等的三角形(定理) ；
③有一角是60°的等腰三角形(定理) ；
面积公式 s= a h=. a./ a=. a ,a为等边三角形边长， h为等边三角形任意一边的高。
说明 ①等边三角形具有等腰三角形的一切性质；
②等边三角形的内心、外心、重心和垂心重合(等边三角形三线合一)。
4、直角三角形
定义 有一个角是直角的三角形， 叫直角三角形， 用“RtΔ”表示， 如RtΔACB；
图示 图-1
性质 ①两锐角之和等于90°, 即∠A+∠B=90°(两锐角互余) ;
②斜边中线等于斜边一半， 如图-2：CE=AB=AE=BE;
③30°角对应直角边等于斜边一半， 如图-3：BC=AB;
④如果一条直角边等于斜边的一半， 那么这条直角边所对的锐角等于30°；
勾股定理 两直角边a， b的平方和等于斜边c的平方， 即a +b =c , a =c -b , b =c -a ;
逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么该三角形是直角三角形；即ΔABC的三边长分别是a、b、c, 若aa +b =c , 则∠ΔABC是直角三角形, ∠C 为直角;
说明 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是直角三角形的一种理论依据， 通过数形结合来确定三角形的形状。运用这一定理时，可用两短边边长的平方和a +b 与长边边长的平方 c 进行比较： 若a +b =c ,则此三角形为直角三角形； 若a +b >c ,则此三角形为锐角三角形；若a +b 直角 三角形 判定 ①有一个角为直角的三角形是直角三角形；
②有两个角互余的三角形是直角三角形；
③如果三角形的三边长a、b、c， 满足a +b =c ， 那么三角形是直角三角形；
④一条边上的中线等于这条边的一半 的三角形是直角三角形；
注意 ①没有明确是直角边还是斜边时， 做题时需分类讨论；
②勾股定理计算线段长度， 列方程时重点找好等量关系。
面积公式 s=ab=\frac{1}{2}ch,a、b为两条直角边， c为斜边， h为斜边上的高； (面积法)
三边之比 等腰直角三角形三边之比： 1： 1： ; 30°直角三角形三边之比: 1: : 2;
勾股数 能够构成直角三角形三条边长的3个正整数， 称为勾股数；
举例 常见的勾股数有： 3、4、5 5、12、13 8、15、17 7、24、25 9、40、41
判断方法 ①确定是3个正整数: a、b、c;
②确定最大数c；
③判断较小两数的平方和a +b 是否等于c ；
说明 ①3、4、5是勾股数， 又是3个连续整数， 但并不是所有3个连续整数都是勾股数；
②每组勾股数的相同整数倍也是勾股数；
③对于 n -1、2n、n +1(n为大于1 的正整数)， 任取一个合适的值， 即可得到一组勾股数。
5、三角形的全等
全等图形 能够完全重合的两个图形叫做全等图形；
性质 形状相同， 大小相等；
说明 ①“能够完全重合”是指在一定的叠放条件下， 可以完全重合， 不是胡乱摆放都能重合；
②全等图形 大小、形状都相同， 显然， 全等图形的周长、面积也一定相等；
③平移、翻折、旋转前后的图形都是全等图形；
④形状相同的两个图形不一定是全等图形， 面积相等的两个图形也不一定是全等图形。
全等变换 全等变换是指只改变图形的位置而不改变图形的形状和大小的变换；
变换形式 平移型
翻折型
旋转型
三角形全等 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
对应顶点 两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点；
对应边 互相重合的边叫做对应边；
对应角 互相重合的角叫做对应角；
夹边 夹边就是三角形中相邻两角的公共边；
表示 全等用符号“≌”表示,读作“全等于”,如图:ΔABC≌A'B'C',读作“ΔABC 全等于ΔA'B'C'”,记两个全等三角形时， 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
性质 ①全等三角形的对应边相等, 对应角相等, 如图: AB=A'B', ∠A=∠A';
②全等三角形的周长相等, 面积相等, 如图: C△ABC= C△ABC, S△ABC= S△A'B'C;
③全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线、中位线都相等；
④传递性: 若 ΔABC≌ΔDEF, ΔDEF≌ΔMNP, 则 ΔABC≌ΔMNP;
一般三角形的全等判定方法
sss 边边边定理(SSS)： 三条边分别相等； 在ΔABC 和ΔA'B'C'中, AB=A'B' BC=B'C' AC=A'C' ΔABC≌ΔA'B'C' (SSS)
SAS 边角边定理(SAS)： 两边和它们的夹角 对应相等；在ΔABC和ΔA'B'C'中, AB=A'B' ∠B=∠B' BC=B'C' ΔABC≌ΔA'B'C' (SAS)
SAS注意事项 ①用“SAS”判定两个三角形全等时， 对应相等的三对元素中的角必须是两条边的夹角，而不是其中一边的对角， 书写时， 要按照边角边的顺序来写；
②当角是一组相等边的对角， 即两边和其中一边的对角分别相等时， 两个三角形不一定全等。如图所示, 在ΔABC 和ΔABD 中, AB=AB, AC=AD, ∠B=∠B(∠B分别是AC、AD边的对角),显然ΔABC和ΔABD不全等。
ASA 角边角定理(ASA)： 两角和它们的夹边 对应相等；在ΔABC 和ΔA'B'C'中, ∠B=∠B' BC=B'C' ∠C=∠C' ΔABC≌ΔA'B'C' (ASA)
AAS 角角边定理(AAS)：两角和其中一个角的对边对应相等在ΔABC 和ΔA'B'C'中, ∠A=∠A' ∠B=∠B' AC=A'C' ΔABC≌ΔA'B'C '(AAS)
不能判定 ①SSA ： 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；
②AAA ： 有三个角对应相等的两个三角形不一定全等；
说明 ③两个三角形全等的条件中必须有一边对应相等， 三个角对应相等的两个三角形不一定全等, 如图, 在ΔABC和ΔADE 中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B,∠AED =∠C ， 即三个角对应相等， 但它们只是形状相同而大小并不相等，故它们不全等。
直角三角形的全等判定方法
HL 一般三角形的全等判定方法 都可以用于直角三角形的全等判定， HL是直角三角形特有的方法；
斜边直角边定理(HL)： 直角三角形斜边和一条直角边 对应相等；在 RtΔABC和RtΔA'B'C'中, BC=B'C' |AB=A'B' RtΔABC≌RtΔA'B'C' (HL)
三 角形 全等 判定 思路 找夹角 → SAS ①已知两边对应相等 找直角 → HL或SAS 找第三边 → SSS
边为角的对边 → 找任意一角 → AAS ②已知一组边和一组角对应相等 找角的另一边 → SAS 边为角的邻边 找边的另一邻角 → ASA 找边的对角 → AAS 找夹边 → ASA ③已知两角对应相等 找其中一角的对边 → AAS

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