资源简介 中小学教育资源及组卷应用平台因式分解-分组分解法和十字相乘法 知识过关练【题型1 实数范围内因式分解】【题型2 十字相乘法】【题型3 分组分解法】【题型4 因式分解的应用】知识点1:实数范围内因式分解提公因式:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.公式法:①平方差公式: a2-b2= (a+b)(a-b)②完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)【典例1】(2023秋 宝山区期末)在实数范围内分解因式:x2+4x+1= (x+2+)(x+2﹣) .【答案】见试题解答内容【解答】解:x2+4x+1,=x2+4x+4﹣3,=(x+2)2﹣()2,=(x+2+)(x+2﹣).故答案为:(x+2+)(x+2﹣).【变式1-1】(2023秋 林州市期末)在实数范围内因式分解x2﹣3= (x+)(x﹣) .【答案】【解答】解:.故答案为:.【变式1-2】(2023秋 岳麓区校级期末)在实数范围内分解因式:3a2﹣18= 3(a+)(a﹣) .【答案】3(a+)(a﹣).【解答】解:3a2﹣18=3(a2﹣6)=3(a+)(a﹣).故答案为:3(a+)(a﹣).【变式1-3】(2023秋 闵行区校级期末)在实数范围内分解因式:x2﹣5x+3= .【答案】.【解答】解:x2﹣5x+3=x2﹣5x+﹣+3=x2﹣5x+﹣==.【变式1-4】(2023 宝应县二模)在实数范围内分解因式:a3﹣3a= a(a+)(a﹣) .【答案】见试题解答内容【解答】解:a3﹣3a=a(a2﹣3)=a(a+)(a﹣).故答案为:a(a+)(a﹣).知识点2:十字相乘法1. x p q x pq (x+p )(x+q )2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中,如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积,即 a a1 a2 ,常数项 c 可以分解成两个因数之积,即c c1 c2 ,把 a1, a2 ,c1,c2 排列如下:按斜线交叉相乘,再相加,得到 a1c2 a2c1,若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的一次项系数b ,即 a1c2 a2c1 b ,那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与a2 x c2 之积,即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) .【典例2】(2023春 子洲县期末)阅读下列材料:将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时,如果能满足q=mn且p=m+n,则可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n).例如:①x2+4x+3=(x+1)(x+3);②x2﹣4x﹣12=(x﹣6)(x+2).根据材料,把下列式子进行因式分解.(1)x2﹣6x+8;(2)x2﹣2x﹣15;(3)(x﹣4)(x+7)+18.【答案】(1)(x﹣2)(x﹣4);(2)(x+3)(x﹣5);(3)(x﹣2)(x+5).【解答】解:(1)x2﹣6x+8=(x﹣2)(x﹣4);(2)x2﹣2x﹣15=(x+3)(x﹣5);(3)(x﹣4)(x+7)+18=x2+3x﹣28+18=x2+3x﹣10=(x﹣2)(x+5).【变式2-1】(2023秋 嵩县期末)若x2+kx﹣15能分解为(x+5)(x﹣3),则k的值是( )A.﹣2 B.2 C.﹣8 D.8【答案】B【解答】解:根据题意得:x2+kx﹣15=(x+5)(x﹣3)=x2+2x﹣15,则k=2.故选:B.【变式2-2】(2023秋 太和县期末)多项式a2﹣5a﹣6因式分解的结果是( )A.(a﹣2)(a+3) B.(a﹣6)(a+1)C.(a+6)(a﹣1) D.(a+2)(a﹣3)【答案】B【解答】解:a2﹣5a﹣6=(a﹣6)(a+1).故选:B.【变式2-3】(2023秋 高青县期末)代数式x2+17x+60分解因式的结果是( )A.(x﹣5)(2x﹣12) B.(x+5)(x+12)C.(x+2)(x﹣30) D.(x+6)(x+10)【答案】B【解答】解:x2+17x+60=(x+5)(x+12).故选:B.知识点3:分组分解法定义:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.分组分解的步骤1. 将原式的各项适当分组;2. 对每一组进行处理(“提”或“代”);3. 将经过处理的每一组当作一项,再采用“提”或“代”进行分解.【典例3】(2023秋 武隆区期末)八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解.经过小组合作交流,得到了如下的解决方法:解法一:原式=(2a﹣3ab)﹣(4﹣6b)=a(2﹣3b)﹣2(2﹣3b)=(2﹣3b)(a﹣2)解法二:原式=(2a﹣4)﹣(3ab﹣6b)=2(a﹣2)﹣3b(a﹣2)=(a﹣2)(2﹣3b)小明由此体会到,对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的.这种方法可以称为分组分解法.(温馨提示:因式分解一定要分解到不能再分解为止)请你也试一试利用分组分解法进行因式分解:(Ⅰ)因式分解:x2﹣a2+x+a;(Ⅱ)因式分解:ax+a2﹣2ab﹣bx+b2.【答案】(Ⅰ)(x+a)(x﹣a+1);(Ⅱ)(a﹣b)(x+a﹣b).【解答】解:(Ⅰ)x2﹣a2+x+a=(x2﹣a2)+(x+a)=(x﹣a)(x+a)+(x+a)=(x+a)(x﹣a+1);(Ⅱ)ax+a2﹣2ab﹣bx+b2.=(ax﹣bx)+(a2﹣2ab+b2)=x(a﹣b)+(a﹣b)2=(a﹣b)(x+a﹣b).【变式3-1】(2023秋 金山区期末)因式分解:x2﹣4xy﹣4+4y2.【答案】(x﹣2y+2)(x﹣2y﹣2).【解答】解:原式=(x2﹣4xy+4y2)﹣4,=(x﹣2y)2﹣22,=(x﹣2y+2)(x﹣2y﹣2).【变式3-2】(2023秋 杨浦区期末)因式分解:2a2﹣6bc+4ab﹣3ac.【答案】(a+2b)(2a﹣3c).【解答】解:2a2﹣6bc+4ab﹣3ac=(2a2+4ab)﹣(6bc+3ac)=2a(a+2b)﹣3c(2b+a)=(a+2b)(2a﹣3c).【变式3-3】(2023秋 浦东新区期末)分解因式:a3﹣a+2a2b+ab2.【答案】a(a+b+1)(a+b﹣1).【解答】解:原式=a(a2﹣1+2ab+b2)=a[(a2+2ab+b2)﹣1]=a[(a+b)2﹣1]=a(a+b+1)(a+b﹣1).知识点4:因式分解的应用因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式,如果从运算角度上考虑,也就是把一个和在保持大小不变的条件下,写成一个乘积的形式,而有些运算积比和算起来要简单,因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用【典例4-1】(2023秋 甘井子区期末)用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形,此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解,正确的是( )A.a2﹣2a+1=(a﹣1)2 B.a2+2a+1=(a+1)2C.(a+1)2=a2+2a+1 D.a2﹣1=(a+1)(a﹣1)【答案】B【解答】解:根据题意得:a2+2a+1=(a+1)2.故选:B.【典例4-2】(2023秋 鹿寨县期末)已知:ab=2,a﹣b=1,则a2b﹣ab2=( )A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解答】解:∵ab=2,a﹣b=1,∴a2b﹣ab2=ab(a﹣b)=2×1=2.故选:C.【变式4-1】(2023秋 老河口市期末)三角形的面积是12a3﹣6ab+3a2,它的一条高是3a,这条高对应的底边长是( )A.8a2﹣4b+2a B.a2+2b﹣4a C.a2﹣2b+4a D.4a2﹣2b+a【答案】A【解答】解:∵三角形的面积是12a3﹣6ab+3a2,它的一条高是3a,∴这条高对应的底边长=2×(12a3﹣6ab+3a2)÷3a=8a2﹣4b+2a,故选:A.【变式4-2】(2023秋 保定期末)若n为任意整数,则(2n+1)2﹣(2n﹣1)2的值不一定能( )A.被2整除 B.被4整除 C.被6整除 D.被8整除【答案】C【解答】解:(2n+1)2﹣(2n﹣1)2=[(2n+1)+(2n﹣1)][(2n+1)﹣(2n﹣1)]=(2n+1+2n﹣1)(2n+1﹣2n+1)=4n×2=8n,∴(2n+1)2﹣(2n﹣1)2的值一定能被2,4,8整除,但是不一定能被6整除,故选:C.【变式4-3】(2023秋 仓山区校级期末)如果a,b,c为三角形的三边长,且满足(a﹣b)(b﹣c)(c﹣a)=0,那么该三角形的形状为( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.不等边三角形 D.无法确定【答案】A【解答】解:∵(a﹣b)(b﹣c)(c﹣a)=0,∴(a﹣b)=0或(b﹣c)=0或(c﹣a)=0,∴a=b,或b=c或c=a,∴该三角形为等腰三角形,故选:A.一.选择题(共6小题)1.(2024春 市中区校级期中)下列因式分解正确的是( )A.2x2﹣4x=2x(x﹣4)B.a2﹣3a﹣4=(a﹣4)(a+1)C.a2+b2﹣2ab=(a+b)(a﹣b)D.x3﹣81x=x(x2+9)(x2﹣9)【答案】B【解答】解:A.2x2﹣4x=2x(x﹣2)≠2x(x﹣4),故选项A分解错误;B.a2﹣3a﹣4=(a﹣4)(a+1),故选项B分解正确;C.a2+b2﹣2ab=(a﹣b)2≠(a+b)(a﹣b),故选项C分解错误;D.x3﹣81x=x(x+9)(x﹣9)≠x(x2+9)(x2﹣9),故选项D分解错误;故选:B.2.(2023秋 商丘期末)若多项式x2+mx+36因式分解的结果是(x﹣2)(x﹣18),则m的值是( )A.﹣20 B.﹣16 C.16 D.20【答案】A【解答】解:x2+mx+36=(x﹣2)(x﹣18)=x2﹣20x+36,可得m=﹣20,故选:A.3.(2024春 邗江区期中)(﹣8)2024+(﹣8)2023能被下列哪个数整除?( )A.3 B.5 C.7 D.9【答案】C【解答】解:原式=(﹣8)2023 (﹣8)+(﹣8)2023=(﹣8+1) (﹣8)2023=﹣7 (﹣8)2023,∴(﹣8)2024+(﹣8)2023能被7整除,故选:C.4.(2024春 新郑市月考)若2m﹣n=2,﹣6m﹣3n=﹣9,则4m2﹣n2的值为( )A.﹣18 B.﹣6 C.6 D.18【答案】C【解答】解:根据题意,∵2m﹣n=2,﹣6m﹣3n=﹣9∴2m﹣n=2,2m+n=3,∴4m2﹣n2=(2m+n)(2m﹣n)=3×2=6,故选:C.5.(2022秋 晋江市校级期中)因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为( )A.(a﹣b)2(a+b) B.(a+b)2(a﹣b)C.ab(a+b)2 D.ab(a﹣b)2【答案】B【解答】解:原式=(a3+a2b)﹣(ab2+b3)=a2(a+b)﹣b2(a+b)=(a2﹣b2)(a+b)=(a﹣b)(a+b)(a+b)=(a﹣b)(a+b)2;故选:B.6.(2023秋 思明区校级期末)下列多项式中是多项式x2﹣4x+3的因式的是( )A.x﹣1 B.x C.x+2 D.x+3【答案】A【解答】解:x2﹣4x+3=(x﹣3)(x﹣1).故选:A.二.解答题(共7小题)7.(2023秋 丹江口市期末)因式分解:(1)3x3﹣12x;(2)6xy2﹣9x2y﹣y3;(3)x2﹣4x﹣12.【答案】(1)3x(x+2)(x﹣2);(2)﹣y(3x﹣y)2;(3)(x﹣6)(x+2).【解答】解:(1)3x3﹣12x=3x(x2﹣4)=3x(x+2)(x﹣2);(2)6xy2﹣9x2y﹣y3=﹣y(9x2﹣6xy+y2)=﹣y(3x﹣y)2;(3)x2﹣4x﹣12=(x﹣6)(x+2).8.(2023秋 湖北期末)阅读以下材料材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:(1)因式分解:(x﹣y)2﹣2(x﹣y)+1= (x﹣y﹣1)2 ;(2)因式分解:(a2﹣4a+2)(a2﹣4a+6)+4;(3)求证:无论n为何值,式子(n2﹣2n﹣3)(n2﹣2n+5)+17的值一定是一个不小于1的数.【答案】见试题解答内容【解答】(1)解:令x﹣y=A,原式=A2﹣2A+1=(A﹣1)2,将“A”还原,得原式=(x﹣y﹣1)2;故答案为:(x﹣y﹣1)2;(2)解:令 a2﹣4a=A,原式=(A+2)(A+6)+4=A2+8A+12+4=(A+4)2,将“A”还原,得:原式=(a2﹣4a+4)2=(a﹣2)4;(3)证明:令 n2﹣2n=A,原式=(A﹣3)(A+5)+17=A2+2A﹣15+17=A2+2A+2=(A+1)2+1,将 A=n2﹣2n 还原,原式=(n2﹣2n+1)2+1=(n﹣1)4+1,因为无论n为何值 (n﹣1)4≥0,所以 (n﹣1)4+1≥1即式子 (n2﹣2n﹣3)(n2﹣2n+5)+17 的值一定是一个不小于1的数.9.(2023秋 杨浦区期末)因式分解:2a2﹣6bc+4ab﹣3ac.【答案】(a+2b)(2a﹣3c).【解答】解:2a2﹣6bc+4ab﹣3ac=(2a2+4ab)﹣(6bc+3ac)=2a(a+2b)﹣3c(2b+a)=(a+2b)(2a﹣3c).10.(2023秋 青浦区校级期中)因式分解:4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy.【答案】x(2x+3y)(2x﹣3y﹣1).【解答】解:原式=(4x3﹣9xy2)+(﹣2x2﹣3xy)=x(4x2﹣9y2)﹣x(2x+3y)=x(2x+3y)(2x﹣3y)﹣x(2x+3y)=x(2x+3y)(2x﹣3y﹣1).11.(2024春 滨海县月考)对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式,例如图1,可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2这个等式,请解答下列问题:(1)写出图2中所表示的数学等式 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac .(2)根据整式乘法的运算法则,通过计算验证上述等式.(3)利用(1)中得到的结论,解决下面的问题:若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,则a2+b2+c2= 30 .(4)小明同学用图3中x张边长为a的正方形,y张边长为b的正方形,z张长宽分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+4b)的长方形,则x+y+z= 156 .【答案】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(2)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(3)30;(4)156.【解答】解:(1)由图2可得,(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;故答案为:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(2)∵(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(3)由(1)中得到的结论(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac可得,a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣(2ab+2bc+2ac),∴当a+b+c=10,ab+ac+bc=35时,a2+b2+c2=102﹣2×35=100﹣70=30,故答案为:30;(4)∵(5a+7b)(9a+4b)=5a 9a+5a 4b+7b 9a+7b 4b=45a2+83ab+28b2,∴x=45,y=28,z=83,∴x+y+z=45+28+83=156,故答案为:156.12.(2023秋 和县期末)阅读下列材料:常用的分解因式方法有提公因式、公式法等.但有的多项式只用上述方法就无法分解,如x2﹣4y2+2x﹣4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为:x2﹣4y2+2x﹣4y =(x2﹣4y2)+(2x﹣4y)…分组 =(x﹣2y)(x+2y)+2(x﹣2y)…组内分解因式 =(x﹣2y)(x+2y+2)…整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法,利用这种方法解决下列问题:(1)分解因式:9x2﹣9x+3y﹣y2;(2)已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由.【答案】(1)(3x﹣y)(3x+y﹣3);(2)△ABC为等腰三角形.【解答】解:(1)9x2﹣9x+3y﹣y2=(9x2﹣y2)+(﹣9x+3y)=(3x+y)(3x﹣y)﹣3(3x﹣y)=(3x﹣y)(3x+y﹣3);(2)△ABC为等腰三角形.理由:∵a2﹣b2﹣ac+bc=0,∴(a+b)(a﹣b)﹣c(a﹣b)=0,∴(a﹣b)(a+b﹣c)=0,∴a﹣b=0或a+b﹣c=0,∵△ABC三边a、b、c都大于0,∴a+b﹣c>0.∴a﹣b=0,即a=b,∴△ABC为等腰三角形.13.(2024 广平县模拟)把几个图形拼成一个新的图形,再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,也可以求出一些不规则图形的面积.例如,由图1,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.(1)由图2,可得等式 (a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ;(2)利用(1)所得等式,解决问题:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值.(3)如图3,将两个边长为a、b的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一直线上,连接BD和BF,若这两个正方形的边长a、b如图标注,且满足a+b=10,ab=20.请求出阴影部分的面积.【答案】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.(2)45.(3)20.【解答】解:(1)看成一个整体面积为:(a+b+c)2,看成9个小长方形的和则为:a2+ab+ab+b2+bc+bc+c2+ac+ac,即:a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,∴(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac,故答案为:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.(2)由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac.得,a2+b2+c2=(a+b+c)2﹣2(ab+bc+ac).∵a+b+c=11,ab+bc+ac=38,∴a2+b2+c2=112﹣2×38=45.(3)S阴影===,∵a+b=10,ab=20,∴原式=×102﹣×20=20.∴阴影部分的面积为20.声明:试题解析著作权属所有,未经书面同意,不得复制发布日期:2024/4/26 5:48:37;用户:gaga;邮箱:18376708956;学号:1890771321世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台因式分解-分组分解法和十字相乘法 知识过关练知识点1:实数范围内因式分解提公因式:一般地,如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提取出来,将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.公式法:①平方差公式: a2-b2= (a+b)(a-b)②完全平方公式: a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)【典例1】(2023秋 宝山区期末)在实数范围内分解因式:x2+4x+1= .【变式1-1】(2023秋 林州市期末)在实数范围内因式分解x2﹣3= .【变式1-2】(2023秋 岳麓区校级期末)在实数范围内分解因式:3a2﹣18= .【变式1-3】(2023秋 闵行区校级期末)在实数范围内分解因式:x2﹣5x+3= .【变式1-4】(2023 宝应县二模)在实数范围内分解因式:a3﹣3a= .知识点2:十字相乘法1. x p q x pq (x+p )(x+q )2. 在二次三项式 ax2 bx c(a 0) 中,如果二次项系数 a可以分解成两个因数之积,即 a a1 a2 ,常数项 c 可以分解成两个因数之积,即c c1 c2 ,把 a1, a2 ,c1,c2 排列如下:按斜线交叉相乘,再相加,得到 a1c2 a2c1,若它正好等于二次三项式 ax 2 bx c 的一次项系数b ,即 a1c2 a2c1 b ,那么二次三项式就可以分解为两个因式 a1x c1与a2 x c2 之积,即 ax2 bx c (a1x c1)(a2 x c2 ) .【典例2】(2023春 子洲县期末)阅读下列材料:将一个形如x2+px+q的二次三项式因式分解时,如果能满足q=mn且p=m+n,则可以把x2+px+q因式分解成(x+m)(x+n).例如:①x2+4x+3=(x+1)(x+3);②x2﹣4x﹣12=(x﹣6)(x+2).根据材料,把下列式子进行因式分解.(1)x2﹣6x+8;(2)x2﹣2x﹣15;(3)(x﹣4)(x+7)+18.【变式2-1】(2023秋 嵩县期末)若x2+kx﹣15能分解为(x+5)(x﹣3),则k的值是( )A.﹣2 B.2 C.﹣8 D.8【变式2-2】(2023秋 太和县期末)多项式a2﹣5a﹣6因式分解的结果是( )A.(a﹣2)(a+3) B.(a﹣6)(a+1)C.(a+6)(a﹣1) D.(a+2)(a﹣3)【变式2-3】(2023秋 高青县期末)代数式x2+17x+60分解因式的结果是( )A.(x﹣5)(2x﹣12) B.(x+5)(x+12)C.(x+2)(x﹣30) D.(x+6)(x+10)知识点3:分组分解法定义:利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.分组分解的步骤1. 将原式的各项适当分组;2. 对每一组进行处理(“提”或“代”);3. 将经过处理的每一组当作一项,再采用“提”或“代”进行分解.【典例3】(2023秋 武隆区期末)八年级课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:将2a﹣3ab﹣4+6b因式分解.经过小组合作交流,得到了如下的解决方法:解法一:原式=(2a﹣3ab)﹣(4﹣6b)=a(2﹣3b)﹣2(2﹣3b)=(2﹣3b)(a﹣2)解法二:原式=(2a﹣4)﹣(3ab﹣6b)=2(a﹣2)﹣3b(a﹣2)=(a﹣2)(2﹣3b)小明由此体会到,对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时,我们可以将多项式分为若干组,再利用提公因式法、公式法等方法达到因式分解的目的.这种方法可以称为分组分解法.(温馨提示:因式分解一定要分解到不能再分解为止)请你也试一试利用分组分解法进行因式分解:(Ⅰ)因式分解:x2﹣a2+x+a;(Ⅱ)因式分解:ax+a2﹣2ab﹣bx+b2.【变式3-1】(2023秋 金山区期末)因式分解:x2﹣4xy﹣4+4y2.【变式3-2】(2023秋 杨浦区期末)因式分解:2a2﹣6bc+4ab﹣3ac.【变式3-3】(2023秋 浦东新区期末)分解因式:a3﹣a+2a2b+ab2.知识点4:因式分解的应用因式分解是把一个多项式写成几个整式乘积的形式,如果从运算角度上考虑,也就是把一个和在保持大小不变的条件下,写成一个乘积的形式,而有些运算积比和算起来要简单,因此因式分解在解决实际问题中有着重要应用【典例4-1】(2023秋 甘井子区期末)用图1中的正方形和长方形纸片可拼成图2所示的正方形,此拼图过程可以说明一个多项式的因式分解,正确的是( )A.a2﹣2a+1=(a﹣1)2 B.a2+2a+1=(a+1)2C.(a+1)2=a2+2a+1 D.a2﹣1=(a+1)(a﹣1)【典例4-2】(2023秋 鹿寨县期末)已知:ab=2,a﹣b=1,则a2b﹣ab2=( )A.4 B.3 C.2 D.1【变式4-1】(2023秋 老河口市期末)三角形的面积是12a3﹣6ab+3a2,它的一条高是3a,这条高对应的底边长是( )A.8a2﹣4b+2a B.a2+2b﹣4a C.a2﹣2b+4a D.4a2﹣2b+a【变式4-2】(2023秋 保定期末)若n为任意整数,则(2n+1)2﹣(2n﹣1)2的值不一定能( )A.被2整除 B.被4整除 C.被6整除 D.被8整除【变式4-3】(2023秋 仓山区校级期末)如果a,b,c为三角形的三边长,且满足(a﹣b)(b﹣c)(c﹣a)=0,那么该三角形的形状为( )A.等腰三角形 B.等边三角形C.不等边三角形 D.无法确定一.选择题(共6小题)1.(2024春 市中区校级期中)下列因式分解正确的是( )A.2x2﹣4x=2x(x﹣4)B.a2﹣3a﹣4=(a﹣4)(a+1)C.a2+b2﹣2ab=(a+b)(a﹣b)D.x3﹣81x=x(x2+9)(x2﹣9)2.(2023秋 商丘期末)若多项式x2+mx+36因式分解的结果是(x﹣2)(x﹣18),则m的值是( )A.﹣20 B.﹣16 C.16 D.203.(2024春 邗江区期中)(﹣8)2024+(﹣8)2023能被下列哪个数整除?( )A.3 B.5 C.7 D.94.(2024春 新郑市月考)若2m﹣n=2,﹣6m﹣3n=﹣9,则4m2﹣n2的值为( )A.﹣18 B.﹣6 C.6 D.185.(2022秋 晋江市校级期中)因式分解a3+a2b﹣ab2﹣b3的值为( )A.(a﹣b)2(a+b) B.(a+b)2(a﹣b)C.ab(a+b)2 D.ab(a﹣b)26.(2023秋 思明区校级期末)下列多项式中是多项式x2﹣4x+3的因式的是( )A.x﹣1 B.x C.x+2 D.x+3二.解答题(共7小题)7.(2023秋 丹江口市期末)因式分解:(1)3x3﹣12x; (2)6xy2﹣9x2y﹣y3;x2﹣4x﹣12.8.(2023秋 湖北期末)阅读以下材料材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:(1)因式分解:(x﹣y)2﹣2(x﹣y)+1= ;(2)因式分解:(a2﹣4a+2)(a2﹣4a+6)+4;(3)求证:无论n为何值,式子(n2﹣2n﹣3)(n2﹣2n+5)+17的值一定是一个不小于1的数.(2023秋 杨浦区期末)因式分解:2a2﹣6bc+4ab﹣3ac.(2023秋 青浦区校级期中)因式分解:4x3﹣2x2﹣9xy2﹣3xy.11.(2024春 滨海县月考)对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式,例如图1,可以得到(a+b)2=a2+2ab+b2这个等式,请解答下列问题:(1)写出图2中所表示的数学等式 .(2)根据整式乘法的运算法则,通过计算验证上述等式.(3)利用(1)中得到的结论,解决下面的问题:若a+b+c=10,ab+ac+bc=35,则a2+b2+c2= .(4)小明同学用图3中x张边长为a的正方形,y张边长为b的正方形,z张长宽分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为(2a+b)(a+4b)的长方形,则x+y+z= .12.(2023秋 和县期末)阅读下列材料:常用的分解因式方法有提公因式、公式法等.但有的多项式只用上述方法就无法分解,如x2﹣4y2+2x﹣4y,细心观察这个式子会发现前两项符合平方差公式,后两项可提取公因式,分解过程为:x2﹣4y2+2x﹣4y =(x2﹣4y2)+(2x﹣4y)…分组 =(x﹣2y)(x+2y)+2(x﹣2y)…组内分解因式 =(x﹣2y)(x+2y+2)…整体思想提公因式这种分解因式的方法叫分组分解法,利用这种方法解决下列问题:(1)分解因式:9x2﹣9x+3y﹣y2;(2)已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc=0,判断△ABC的形状并说明理由.13.(2024 广平县模拟)把几个图形拼成一个新的图形,再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,也可以求出一些不规则图形的面积.例如,由图1,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.(1)由图2,可得等式 ;(2)利用(1)所得等式,解决问题:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值.(3)如图3,将两个边长为a、b的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一直线上,连接BD和BF,若这两个正方形的边长a、b如图标注,且满足a+b=10,ab=20.请求出阴影部分的面积.21世纪教育网(www.21cnjy.com) 展开更多...... 收起↑ 资源列表 因式分解-分组分解法和十字相乘法 知识过关练(原卷版).docx 因式分解-分组分解法和十字相乘法 知识过关练(解析版).docx