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高考数学椭圆中常见的焦点三角形的性质及应用
春晖中学 过月圆
定义：椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。
性质一：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则。21世纪教育网
性质二：已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形，若最大，则点P为椭圆短轴的端点
证明：设,由焦半径公式可知：，
在中，
=

性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则
证明：设则在中，由余弦定理得：

命题得证。
已知椭圆的两焦点分别为若椭圆上存在一点使得求椭圆的离心率的取值范围。
简解：由椭圆焦点三角形性质可知即 ,
于是得到的取值范围是
性质四：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形，则椭圆的离心率。

由正弦定理得：
由等比定理得：
而，
∴。
已知椭圆的焦点是F1(－1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且｜F1F2｜是｜PF1｜和｜PF2｜的等差中项．
(1)求椭圆的方程；
(2)若点P在第三象限，且∠PF1F2＝120°，求tanF1PF2．
解：(1)由题设2｜F1F2｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜
∴2a＝４，又2c＝2，∴b＝
∴椭圆的方程为＝1．
(2)设∠F1PF2＝θ，则∠PF2F1＝60°－θ
椭圆的离心率
则，
整理得：5sinθ＝(1＋cosθ)
∴故，tanF1PF2＝tanθ＝．
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