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2023-2024学年江苏省南京市玄武区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）下列说法正确的是（　　）
A．“任意画一个多边形，其内角和是360°”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投篮十次可投中6次
C．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件
D．“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件
3．（2分）如果把分式中的x、y都扩大为原来的3倍，则此分式的值（　　）
A．变为原来的3倍 B．变为原来的
C．不变 D．变为原来的6倍
4．（2分）下列等式成立的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2分）以下命题中，真命题是（　　）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．矩形和等边三角形都是中心对称图形
C．顺次连接梯形四边中点得到的四边形是平行四边形
D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
6．（2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A＝60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠DEC的大小为（　　）
A．78° B．75° C．60° D．45°
7．（2分）如图．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为（　　）
A．4.8 B．5 C．3.6 D．5.4
8．（2分）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB、AC上的点，小明学习完三角形中位线后，进行了一些思考，得到以下命题：①若D，E分别是AB，AC的中点，则S△ABC＝4S△ADE；②若D是AB的中点，DE∥BC，则S△ABC＝4S△ADE；③若D是AB的中点，DE＝BC，则S△ABC＝4S△ADE；④若DE∥BC，DE＝BC，则S△ABC＝4S△ADE；上述命题正确的有（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．（2分）为了解2023年某区八年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了500名学生的数学成绩，在这次调查中，样本容量为 　 　．
10．（2分）与的最简公分母为 　 　．
11．（2分）当a＝　 　时，分式的值为零．
12．（2分）某校有40人参加全国数学竞赛，把他们的成绩分为6组，第一至第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20．则第六组的频率是 　 　．
13．（2分）用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设　 　．
14．（2分）如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD的平分线BE，CF分别与AD相交于点E，F，若AB＝7，BC＝10，则EF的长为 　 　．
15．（2分）如图，在△ABC中，∠A＝56°，将△ABC绕点B旋转得到△A′BC′，且点A′落在AC边上，则∠CA'C'＝　 　°．
16．（2分）如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BD、CD、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，四边形ABCD还应满足的一个条件是　 　．
17．（2分）把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，如果图2和图3每个图形中间的正方形面积分别为7和1，则图1中菱形的面积为 　 　．
18．（2分）如图，在矩形ABCD中，AD＝5，PD＝2，点E为CD边上的一个动点，连接PE，以PE为边向下方作等边△PEG，连接AG，则AG的最小值是 　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共64分）
19．（8分）计算：
（1）；
（2）．
20．（6分）先化简，再求值：，然后从1，2，3中选一个合适的数代入求值．
21．（6分）2023年3月22日是第三十一届“世界水日”，某校举行了水资源保护知识竞赛．为了了解本次知识竞赛成绩的分布情况，从参赛学生中随机抽取了150名学生的初赛成绩进行统计，得到如下两幅不完整的统计图表．
成绩x/分 频数 频率
60≤x＜70 15 0.1
70≤x＜80 a 0.2
80≤x＜90 60 b
90≤x＜100 45 c
（1）表中a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）若该校共有360名学生，估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有多少名？
22．（5分）在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共30只，这些球除颜色外其余完全相同．搅匀后，小明做摸球试验，他从盒子里随机摸出一只球记下颜色后，再把球放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据．
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球的次数m 52 138 178 302 481 599 1803
摸到白球的频率 0.52 0.69 0.593 0.604 0.60 0.599 0.601
（1）若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为 　 　（精确到0.1）；
（2）盒子里白色的球有 　 　只；
（3）若将m个完全一样的白球放入这个盒子里并摇匀，随机摸出1个球是白球的概率是0.8，求m的值．
23．（6分）如图，在平行四边形ABCD中点E、F分别在BC，AD上且AF＝CE．连接EF、BD．试说明EF与BD互相平分．
24．（8分）如图，四边形ABCD是平行四边形，E为AB上一点．
（1）如图①，只用无刻度直尺在CD上作出点F，使得四边形AECF为平行四边形；
（2）如图②，用直尺和圆规作出矩形EFGH，使得点F、G、H分别在BC、CD、DA上．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
25．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED．
（1）求证：四边形OCED是菱形；
（2）若AB＝2，当四边形OCED是正方形时，OC的长是 　 　；
（3）若BD＝4，∠ACD＝30°，P是CD边上的动点，Q是CE边上的动点，PE+PQ的最小值是 　 　．
26．（8分）先阅读下面的材料，然后回答问题：
阅读材料一：
方程的解为x1＝2，；
方程的解为x1＝3，；
方程的解为x1＝4，；…
阅读材料二：在处理分式问题时，当分子的次数不低于分母的次数，运算时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式（分子为正数）的和（差）的形式．
如：；
再如：．
（1）根据上面材料一的规律，猜想关于x的方程的解是 　 　；
（2）根据材料二将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式x+＝　 　+　 　，利用（1）的结论得到关于x的方程的解是 　 　；
（3）利用上述材料及（1）的结论解关于x的方程：．
27．（9分）如图，取一张矩形的纸进行折叠，具体操作过程如下：
（1）【探究发现】：
操作一：先把矩形ABCD对折，折痕为EF；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中∠ABP＝　 　°；
（2）【类比应用】：小明将矩形纸片换成边长为4cm的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝　 　°，CQ＝　 　；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）【拓展延伸】：在（2）的探究中，当QF＝1cm，请直接写出AP的长．
2023-2024学年江苏省南京市玄武区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B．该图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
C．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D．该图是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称；熟练掌握知识点是解题的关键．
2．【分析】根据概率的意义，随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
【解答】解：A、“任意画一个多边形，其内角和是360°”是随机事件，故A不符合题意；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投篮十次不一定投中6次，故B不符合题意；
C、“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是随机事件，故C不符合题意；
D、“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件，故D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了概率的意义，随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．
3．【分析】当把分式中的x、y都扩大为原来的3倍得到，根据分式的基本性质得．
【解答】解：根据题意＝，
所以把分式中的x、y都扩大为原来的3倍，此分式的值不变．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不为零的数，分式的值不变．
4．【分析】根据分式的运算即可求出答案．
【解答】解：（A）原式＝，故A错误；
（C）是最简分式，故C错误；
（D）原式＝，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算，本题属于基础题型．
5．【分析】根据菱形的判定、中心对称图形的概念、平行四边形的判定判断即可．
【解答】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、矩形是中心对称图形，而等边三角形不是中心对称图形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
C、顺次连接梯形四边中点得到的四边形是平行四边形，是真命题，符合题意；
D、一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形或梯形，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
6．【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A＝60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，进而求出∠PDC＝90°，由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．
【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，∠A＝60°，
∴△ABD为等边三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，
∵P为AB的中点，
∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP＝∠BDP＝30°，
∴∠PDC＝90°，
∴由折叠的性质得到∠CDE＝∠PDE＝45°，
在△DEC中，∠DEC＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°．
故选：B．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的性质，以及内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
7．【分析】由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，且AB＝6，AC＝8，
∴，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，，
∴，
∴MN的最小值为4.8，
故选：A．
【点评】本题主要考查了矩形的判定和性质、勾股定理、三角形面积、垂线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
8．【分析】逐一分析①②④是真命题，举反例说明③不是真命题即可．
【解答】解：①若D，E分别是AB，AC的中点，则S△ABC＝4S△ADE，是真命题；
②若D是AB的中点，DE∥BC，则S△ABC＝4S△ADE，是真命题；
③若D是AB的中点，，则S△ABC＝4S△ADE，不是真命题，反例见图；
④若DE∥BC，，则S△ABC＝4S△ADE，是真命题；
故选：B．
【点评】本题主要考查了命题的真假，解题关键是正确区分命题的真假．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9．【分析】根据样本容量则是指样本中个体的数目，可得答案．
【解答】解：为了解2023年某区八年级学生学业水平考试的数学成绩，从中随机抽取了500名学生的数学成绩，在这次调查中，样本容量为500，
故答案为：500．
【点评】本题考查了样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
10．【分析】根据最简公分母的定义求解即可，确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母．
【解答】解：分式与的最简公分母为2a2b2c．
故答案为：2a2b2c．
【点评】本题考查了最简公分母，掌握确定最简公分母的方法是解题的关键．
11．【分析】首先求出使分子为0的字母的值，再检验求得的这个字母的值是否使分母的值不为0．当该值能使分母的值不为0时，就是所要求的字母的值．
【解答】解：由分式的值为零，得3﹣|a|＝0，
且6+2a≠0，解得a＝3．
所以当a＝3时，分式的值为零．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查分式的值为零的条件，分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
12．【分析】先求出第五组的频数是8，从而求出第六组的频数，最后求出第六组的频率即可解答．
【解答】解：由题意得：
40×0.2＝8，
∴第五组的频数是8，
∴40﹣10﹣5﹣7﹣6﹣8＝4，
∴4÷40＝0.1，
∴第六组的频率是：0.1，
故答案为：0.1．
【点评】本题考查了频率与频数，熟练掌握频率等于频数÷总次数是解题的关键．
13．【分析】根据反证法的一般步骤，先假设结论不成立．
【解答】解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”，应假设三角形中最少有两个内角是直角，
故答案为：三角形中最少有两个内角是直角．
【点评】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
14．【分析】证出∠ABE＝∠AEB，则AB＝AE，同理DF＝CD，则AE＝DF，进而得出EF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD＝7，AD∥BC，AD＝BC＝10，
∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB＝7，
同理DF＝CD，
∴AE＝DF，
即AE﹣EF＝DF﹣EF，
∴AF＝DE，
∵AB＝7，BC＝10，
∴DE＝AD﹣AE＝10﹣7＝4，
∴EF＝DF﹣DE＝7﹣3＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出AE＝DF是解此题的关键．
15．【分析】根据旋转的性质得出AB＝A'B，∠C'A'B＝∠A＝56°，再根据平角的定义即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点B旋转得到△A′BC′，
∴AB＝A'B，∠C'A'B＝∠A＝56°，
∴∠BA'A＝∠A＝56°，
∴∠CA'C'＝180°﹣∠BA'C'﹣∠BA'A＝180°﹣112°＝68°，
故答案为：68．
【点评】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应角相等，对应边相等是解题的关键．
16．【分析】菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义；
②四边相等；
③对角线互相垂直平分．据此四边形ABCD还应满足的一个条件是AD＝BC．等．答案不唯一．
【解答】解：条件是AD＝BC．
∵EH、GF分别是△ABC、△BCD的中位线，
∴EH∥＝BC，GF∥＝BC，
∴EH∥＝GF，
∴四边形EFGH是平行四边形．
要使四边形EFGH是菱形，则要使AD＝BC，这样，GH＝AD，
∴GH＝GF，
∴四边形EFGH是菱形．
【点评】此题主要考查三角形的中位线定理和菱形的判定．
17．【分析】设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，根据勾股定理和正方形的面积列出二元二次方程组，求出ab＝3，即可解决问题．
【解答】解：设菱形中的直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，
由题意得：，
整理得：ab＝3，
∴菱形的面积为 2a 2b＝2ab＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据勾股定理和正方形的面积列出方程组是解题的关键．
18．【分析】以PD为边向下作等边△PDT，连接GT，延长GT交AD的延长线于R．证明△PDE≌△PTG（SAS），推出∠PDE＝∠PTG＝90°，推出点G在射线RT上运动，推出当AG⊥RG时，AG的值最小．
【解答】解：如图中，以PD为边向下作等边△PDT，连接GT，延长GT交AD的延长线于R．
∵∠DPT＝∠EPG＝60°，
∴∠DPE＝∠TPG，
∵PD＝PT，PE＝PG，
∴△PDE≌△PTG（SAS），
∴∠PDE＝∠PTG＝90°，
∴∠PTR＝90°，
∵∠PTD＝60°，
∴∠DTR＝∠R＝30°，
∴DT＝DR＝DP＝2，
∴∠PTR＝90°，
∴PT⊥TR，
∴点G在射线RT上运动，
∴当AG⊥RG时，AG的值最小，最小值＝AR＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
三、解答题（本大题共9小题，共64分）
19．【分析】（1）首先通分，然后根据同分母分式加减法的运算方法计算即可；
（2）首先计算小括号里面的减法，然后计算小括号外面的除法即可．
【解答】解：（1）
＝﹣
＝
＝
＝﹣1．
（2）
＝÷
＝÷
＝×
＝．
【点评】此题主要考查了分式的混合运算，解答此题的关键是要明确：分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
20．【分析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）
＝
＝，
由题意得：m﹣2≠0，m﹣3≠0，
∴m≠2，m≠3，
当m＝1时，原式＝＝﹣．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
21．【分析】（1）由抽取的人数减去其它三个组的频数得出a的值，再由频率的定义求出b、c即可；
（2）由（1）中a的值，补全频数分布直方图即可；
（3）用360乘样本中90分以上的学生的频率即可．
【解答】解：（1）由题意得：a＝150﹣15﹣45﹣60＝30，c＝45÷150＝0.3，b＝60÷150＝0.4，
故答案为：30，0.4，0.3；
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）360×0.4＝144（名），
答：估计在知识竞赛中取得90分以上的学生大约有144名．
【点评】本题考查频数分布直方图、频数分布表、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22．【分析】（1）由表中n的最大值所对应的频率即为所求；
（2）用总数乘以其频率即可求得频数；
（3）利用概率公式求解即可．
【解答】解：（1）由表可知，若从盒子里随机摸出一只球，则摸到白球的概率的估计值为0.6，
故答案为：0.6；
（2）∵摸到白球的概率为0.6，共有30只球，
∴则白球的个数为30×0.6＝18（只），
故答案为：18；
（3）根据题意得：＝0.8，
解得：m＝30．
答：m的值为30．
【点评】此题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目＝总体数目×相应频率．
23．【分析】证明△FDO≌△EBO（AAS），推出OF＝OE，OD＝OB，可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∴∠FDO＝∠EBO，
∵AF＝CE，
∴DF＝BE，
在△FDO和△EBO中，
，
∴△FDO≌△EBO（AAS），
∴OF＝OE，OD＝OB，
∴EF与BD互相平分．
【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题．
24．【分析】（1）连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点F，点F即为所求作．
（2）连接AC，BD交于点O，连接OE，延长EO交CD于点G，以O为圆心OG为半径作弧交BC于点F，延长FO交AD于点H，连接EF，FG，GH，EH，四边形EFGH即为所求．
【解答】解：（1）如图1，点F，四边形AECF即为所求作．
（2）如图2，四边形EFGH即为所求作．
理由：由△AOE≌△COF，可得OE＝OF，
由△AOH≌△COF．可得OH＝OF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵OG＝OF，
∴FH＝EG，
∴四边形EFGH是矩形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
25．【分析】（1）由轴对称的性质得出OD＝ED，EC＝OC，根据四边相等的四边形是菱形即可判断．
（2）矩形的性质求出CD＝AB＝2，由勾股定理求解即可．
（3）作OQ⊥CE于Q，交CD于P，此时PE+PQ的值最小为OQ的长；由折叠的性质得出∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，得出PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，由直角三角形的性质得出CQ＝OC＝1，OQ＝CQ＝即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OC＝OD，
∵△COD关于CD的对称图形为△CED，
∴OD＝ED，EC＝OC，
∴OD＝ED＝EC＝OC，
∴四边形OCED是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝2．
∵四边形OCED是正方形，
∴∠COD＝90°．
在直角△COD中，由勾股定理得OC2+OD2＝22，
∵OD＝OC，
∴OC＝．
故答案为：；
（3）解：作OQ⊥CE于Q，交CD于P，如图所示：
此时PE+PQ的值最小为；理由如下：
∵△COD沿CD所在直线折叠，得到△CED，
∴∠DCE＝∠DCO，PE＝PO，
∴PE+PQ＝PO+PQ＝OQ，
∵AC＝BD＝4，
∴OC＝OD＝2，
∴∠DCO＝∠ACD＝30°，
∴∠DCE＝30°，
∴∠OCQ＝60°，
∴∠COQ＝30°，
∴CQ＝OC＝1，OQ＝CQ＝，
即PE+PQ的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查了四边形综合题，综合运用了翻折变换的性质、矩形的性质、菱形的判定和性质、正方形的判定、勾股定理以及垂线段最短等知识，熟练掌握翻折变换的性质和菱形的判定与性质是解题的关键．
26．【分析】（1）从数字找规律，即可解答；
（2）将x+进行变形可得＝（x+1）+；，则方程变形为（x+1）+＝3+，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答；
（3）依据题意，将原方程化为（2x﹣3）+＝a+，然后利用（1）的结论进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是x1＝a，x2＝，
故答案为：x1＝a，x2＝；
（2）x+
＝x+1﹣1+
＝x+1+
＝（x+1）+；
则，
（x+1）+＝3+，
∴x+1＝3或x+1＝，
∴x1＝2，x2＝﹣，
经检验：x1＝2，x2＝﹣是原方程的根；
故答案为：x+1，，x1＝2，x2＝﹣；
（3），
＝a+，
＝a+，
（2x﹣3）+＝a+，
∴2x﹣3＝a或2x﹣3＝．
∴x1＝，x2＝．
经检验：x1＝，x2＝是原方程的根．
【点评】本题考查了解分式方程，分式方程的解，规律型：数字的变化类，准确熟练地进行计算是解题的关键．
27．【分析】（1）根据折叠的性质，得，取BM的中点O，连接EO，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到EO＝BO＝BE，可证△BEO为等边三角形，进而可结果；
（2）①根据折叠的性质，可证Rt△BQM≌Rt△BQC（HL）即可求解；
②证明Rt△BQM≌Rt△BQC（HL），即可；
（3）由（2）可得QM＝QC，分两种情况：当点Q 在点F的下方时，当点Q在点F的上方时，设AP＝PM＝x，分别表示出 PD，DQ，PQ，由勾股定理即可求解
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴∠BEM＝90°，
如图1，取BM的中点O，连接EO，
∴，
∴△BEO为等边三角形，
∴∠BME＝30°，
∴∠ABM＝60°，
∴∠ABP＝∠PBM＝30°，
故答案为：30；
（2）①四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠A＝∠ABC＝∠C＝90°，
由折叠性质得：AB＝BM，∠PMB＝∠BMQ＝∠A＝90°，
∴BM＝BC，
∵BM＝BC，BQ＝BQ，
∴Rt△BQM≌Rt△BQC（HL），
∴MBQ＝∠CBQ，QM＝QC，
同法（1）可得：∠MBC＝30°，
∴∠MBQ＝∠CBQ＝15°，
∴∠ABM＝90°﹣30°＝60°，
∴∠APM＝180°﹣60°＝120°，
∴∠QPD＝180°﹣120°＝60°，
在Rt△ABP中，BP＝2AP，
根据勾股定理：BP2﹣AP2＝AB2，
即3AP2＝16，
解得：，
∴，
在Rt△PDQ中，PQ＝2PD，
根据勾股定理：DQ2＝PQ2﹣PD2，即DQ2＝3PD2，
∴，
∴，
故答案为：15，；
②∠MBQ＝∠CBQ，理由如下：
∵BM＝BC，BQ＝BQ，
∴Rt△BQM≌Rt△BQC（HL），
∴∠MBQ＝∠CBQ；
（3）当点Q在点F的下方时，如图3.1，
∵FQ＝lcm，DF＝FC＝2cm，AB＝4cm，
∴QC＝CD﹣DF﹣FQ＝4﹣2﹣1＝l（cm），DQ＝DF+FQ＝2+1＝3（cm），
由（2）可知，QM＝QC，
设AP＝PM＝x，PD＝4﹣x，
∴PD2+DQ2＝PQ2，
即（4﹣x）2+32＝（x+1）2，
解得：，
∴；
当点Q在点F的上方时，如图3.2，
∵FQ＝lcm，DF＝FC＝2cm，AB＝4cm，
∴QC＝3cm，DQ＝lcm，
由（2）可知，QM＝QC，
设AP＝PM＝x，PD＝4﹣x，
∴PD2+DQ2＝PQ2，
即（4﹣x）2+12＝（x+3）2，
解得：，
∴．
综上所述，或．
【点评】本题考查了矩形与折叠，正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．

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