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浙教版2024年八年级下册第5章《特殊平行四边形》单元测试卷
满分120分 时间100分钟
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．关于矩形的性质，以下说法不正确的是（　　）
A．四个角都是直角 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．下列选项中，菱形不具有的性质是（　　）
A．四边相等
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．每条对角线平分一组对角
3．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，下列结论一定正确的是（　　）
A．∠BAC＝∠DAC B．AB＝AD C．AC＝BD D．AC⊥BD
4．如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，如果添加一个条件使得 ABCD是矩形，那么下列添加的条件中正确的是（　　）
A．∠DAO+∠ADO＝90° B．∠DAC＝∠ACD
C．∠DAC＝∠BAC D．∠DAB＝∠ABC
5．菱形ABCD中，若对角线AC＝8cm，BD＝6cm，则菱形ABCD的周长是（　　）
A．25 B．20 C．15 D．10
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，对角线AC与BD相交于点O，AE垂直平分OB于点E，则BC的长为（　　）
A． B． C．4 D．2
7．如图，四边形OACB是菱形，点B的坐标为（3，4），点A在x轴的正半轴上，则点C的坐标为（　　）
A．（6，3） B．（7，4） C．（8，4） D．（8，5）
8．如图，四边形ABCD是菱形，过点B作BE⊥AB交对角线AC于点E．若AE＝8，AB＝7，则EC的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（　　）
A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
10．如图，在正方形ABCD中，点E是AC上一点，过点E作EF⊥ED交AB于点F，连接BE，DF，若∠ADF＝α，则∠BEF的度数是（　　）
A．2α B．45°+α C．90°﹣2α D．3α
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图，要使矩形ABCD成为正方形，需添加一个条件为 　 　．
12．已知菱形ABCD的面积为24cm2，对角线BD的长为8cm，则AC的长为 　 　cm．
13．如图，在菱形ABCD中，M，N分别是AB，AC的中点，连接MN，若MN＝3，则菱形ABCD的周长是 　 　．
14．已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　．
15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点D在AB边上，DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，连接EF，则线段EF的最小值等于 　 　．
16．在平面直角坐标系中，长方形ABCD按如图所示放置，O是AD的中点，且A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），点P是BC上的动点，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，则点P的坐标为 　 　．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（6分）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，对角线AC⊥BD．求证：四边形ABCD是菱形．
18．（6分）如图，四边形ABCD是矩形，E是BD上的一点，∠BAE＝∠BCE，∠AED＝∠CED，求证：四边形ABCD是正方形．
19．（8分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DE∥AC，且DE＝AC，连接CE．
（1）求证：四边形OCED为矩形；
（2）连接AE．若 BD＝4，AE＝2，求菱形ABCD的面积．
20．（9分）在矩形ABCD中，取CD的中点E，连接AE并延长，交BC的延长线于点F．
（1）求证：AE＝EF．
（2）已知AB＝4，AF＝6，求AD的长．
21．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，对角线AC、BD交于点O，OB＝OD，且DB平分∠ADC，点E为AB边的中点，连结OE，连接CE交DB于点F．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若∠AOE＝28°，∠CEB＝38°，求∠CFB的度数．
22．（10分）如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，分别连接EF、BD，BD与AF、AE分别相交于点M、N．
（1）求证：EF＝BE+DF．为了证明“EF＝BE+DF”，小明延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，请画出辅助线并按小明的思路写出证明过程．
（2）若正方形ABCD的边长为6，BE＝2，求DF的长．
23．（12分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接AG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）求AG+AE的值；
（3）若F恰为AB的中点，求正方形DEFG的面积．
24．（12分）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，运动时间为t（0≤t≤5）秒．
（1）若G、H分别是AB、DC的中点，且t≠2.5，求证：以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形．
（2）在（1）的条件下，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形为矩形？
（3）若G、H分别是折线A﹣B﹣C，C﹣D﹣A上的动点，分别从A、C开始，与E、F相同的速度同时出发，当t为何值时，以E、G、F、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：矩形是轴对称图形，四个角都是直角，对角线相等，故A，B，D都对，不符合题意，
而菱形是对角线互相垂直，矩形不具有，故C错误，符合题意，
故选：C．
2．解：∵菱形不具有的性质是对角线相等，
∴选项C符合题意，
故选：C．
3．解：由矩形ABCD的对角线相交于点O，根据矩形的对角线相等，可得AC＝BD，
故选：C．
4．解：A、∵∠DAO+∠ADO＝90°，
∴∠AOD＝90°，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形，故选项A不符合题意；
B、∵∠DAC＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴ ABCD是菱形，故选项B不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCA＝∠BAC，
∵∠DAC＝∠BAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴AD＝CD，
∴ ABCD是菱形，故选项C不符合题意；
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∵∠DAB＝∠ABC，
∴∠DAB＝∠ABC＝90°，
∴ ABCD是矩形，故选项D符合题意；
故选：D．
5．解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝AC，BO＝DB，AC⊥BD，AB＝CB＝CD＝AD，
∵AC＝8cm，BD＝6cm，
∴AO＝4cm，BO＝3cm，
∴AB＝＝5cm，
∴菱形ABCD的周长是：5cm×4＝20cm，
故选：B．
6．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AO＝BO＝CO＝DO，
∵AE垂直平分OB，
∴AB＝AO，
∴AB＝AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠BAC＝60°，
∴BC＝AB＝2，
故选：B．
7．解：如图，延长CB交y轴于点D，
∵四边形OACB是菱形，
∴OA＝AC＝BC＝OB，BC∥OA，
∵B（3，4），
∴BD＝3，OD＝4，
∴OB＝BC＝＝5，
∴CD＝BC+BD＝8，
∴C（8，4），
故选：C．
8．解：∵BE⊥AB，AE＝8，AB＝7，
∴，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AB＝BC＝7，
∴，
∴，
在Rt△BOC中，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
9．解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，
在△DAF和△ABE中，
，
△DAF≌△ABE（SAS），
∠ADF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝22.5°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
故选：C．
10．解：过点E作EM⊥AB于M，EN⊥AD于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴四边形AMEN是矩形，∠BAE＝∠DAE＝45°，
∴EM＝EN，四边形AMEN是正方形，
∴∠MEN＝90°，
∵∠DEF＝90°，
∴∠MEF＝∠NED＝90°﹣∠FEN，
在△EMF和△END中，
，
∴△EMF≌△END（ASA），
∴EF＝ED，
∴∠EFD＝∠EDF＝45°，
∵∠ADF＝α，
∴∠AFD＝90°﹣α，
∴∠BFE＝180°﹣（∠AFD+EFD）＝180°﹣（90°﹣α+45°）＝45°+α，
在△ABE和△ADE中，
，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE＝DE，
∴BE＝EF，
∴∠BFE＝∠EBF＝45°+α，
∴∠BEF＝180°﹣（∠BFE+∠EBF）＝180°﹣2（45°+α）＝90°﹣2α．
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．解：添加的条件可以是AB＝BC或AC⊥BD．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是正方形．
故答案为：AB＝BC或AC⊥BD（答案不唯一）．
12．解：由题意得，AC BD＝×8 AC＝24，
解得AC＝6．
故答案为：6．
13．解：∵M，N分别是AB，AC的中点，
∴MN是三角形ABC的中位线，
∴MN＝BC，
∵MN＝3，
∴BC＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴菱形ABCD的周长＝6×4＝24，
故答案为：24．
14．解：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAE＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵AB＝AD，∠BAE＝∠D，AE＝DF
∴△ABE≌△DAF（SAS），
∴∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA＝90°，
∴∠DAF+∠BEA＝90°，
∴∠AGE＝∠BGF＝90°，
∵点H为BF的中点，
∴GH＝BF，
∵BC＝8，CF＝CD﹣DF＝8﹣2＝6
∴BF＝＝10
∴GH＝5
故答案为：5
15．解：如图，连接CD．
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠ACB＝90°，
∴四边形CFDE是矩形，
∴EF＝CD，
由垂线段最短可得CD⊥AB时，线段EF的值最小，
∵S△ABC＝BC AC＝AB CD，
∴×8×6＝×10×CD，
解得CD＝4.8，
∴EF＝4.8．
故答案为：4.8．
16．解：如图，
∵A、B、C的坐标分别为（5，0），（5，4），（﹣5，4），
∴OD＝OA＝5，AB＝CD＝4，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C＝∠CDO＝90°，
设BC与y轴交于E，
当DP＝DO＝5，
∴CP＝＝3，
∴PE＝2，
∴P（﹣2，4），
当OD＝OP＝5时，PE＝＝3，
∴P（﹣3.4）或（3，4），
综上所述，点P的坐标为（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4），
故答案为：（﹣2，4）或（﹣3，4）或（3，4）．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．解：∵AB＝CD，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵对角线AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形．
18．证明：∵∠AED＝∠CED，
∴∠AEB＝∠CEB，
在△BAE和△BCE中，
，
∴△BAE≌△BCE（AAS），
∴BA＝BC，
∴四边形ABCD是正方形．
19．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴OC＝OA＝AC，AC⊥BD，
∵DE∥AC，DE＝AC，
∴DE∥OC，DE＝OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵∠COD＝90°，
∴四边形OCED是矩形．
（2）解：∵BD＝4，AE＝2，
∴OD＝OB＝BD＝2，
∴CE＝OD＝2，
∵∠ACE＝90°，
∴AC＝＝＝6，
∴S菱形ABCD＝AC BD＝×6×4＝12，
∴菱形ABCD的面积为12．
20．（1）证明：∵矩形ABCD，
∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°
∵E为CD中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△CEF中，
，
∴△ADE≌△CEF（ASA）
∴AE＝EF．
（2）解：由（1）△ADE≌△CEF，得出AD＝CF，
∵AD＝BC，
∴BC＝CF＝AD，
在Rt△ABF中，
BF＝＝＝2，
∴AD＝BF＝．
21．（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO，
在△ABO和△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA），
∴AB＝CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDO，
∴∠ABO＝∠ADB，
∴AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：由（1）可知，四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
∵点E为AB边的中点，
∴OE＝AB＝AE，
∴∠OAE＝∠AOE＝28°，
∴∠ABO＝90°﹣28°＝62°，
∴∠CFB＝∠CEB+∠ABO＝38°+62°＝100°，
即∠CFB的度数为100°．
22．（1）证明：延长CB至点G，使BG＝DF，连接AG，如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝∠ADF＝90°，
∴∠ABE＝∠ABG＝90°，
在△ABG和△ADF中，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠DAF＝∠BAG，AF＝AG，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣45°＝45°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF，
在△AEF和△AEG中，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BE+BG，
∴EF＝BE+DF；
（2）解：∵BC＝6，BE＝2，
∴EC＝4，
由（1）知：EF＝BE+DF＝2+DF，
在Rt△CEF中，根据勾股定理得：EF2＝CE2+CF2，
∴（2+DF）2＝42+（6﹣DF）2，
∴DF＝3．
23．（1）证明：如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAD＝∠EAB，
∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，
∴EM＝EN，
∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，
∴四边形ANEM是矩形，
∵EF⊥DE，
∴∠MEN＝∠DEF＝90°，
∴∠DEM＝∠FEN，
∵∠EMD＝∠ENF＝90°，
∴△EMD≌△ENF（ASA），
∴ED＝EF，
∵四边形DEFG是矩形，
∴四边形DEFG是正方形；
（2）解：∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，
∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝3，∠GDE＝∠ADC＝90°，
∴∠ADG＝∠CDE，
∴△ADG≌△CDE（SAS），
∴AG＝CE，
∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝6；
（3）解：连接DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝3，AB∥CD，
∵F是AB中点，
∴AF＝FB＝，
∴DF＝＝＝，
∴正方形DEFG的面积＝DF2＝（）2＝．
24．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AB＝6cm，BC＝8cm，
在Rt△ABC中，AC＝＝10cm，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴AG＝AB，CH＝CD，
∴AG＝CH，
∵E、F是对角线AC上的两个动点，分别从A、C同时出发，相向而行，速度均为2cm/s，
∴AE＝CF，
∴AF＝CE，
∴△AGF≌△CHE（SAS），
∴GF＝HE，∠AFG＝∠CEH（或得∠EFG＝∠FEH），
∴GF∥HE，
∴以E、G、F、H为顶点的四边形始终是平行四边形；
（2）如图1，连接GH，由（1）可知四边形EGFH是平行四边形，
∵G、H分别是AB、DC的中点，
∴GH＝BC＝8cm，
∴当EF＝GH＝8cm时，四边形EGFH是矩形，分两种情况：
①若AE＝CF＝2t，则EF＝10﹣4t＝8，解得：t＝0.5，
②若AE＝CF＝2t，则EF＝2t+2t﹣10＝8，解得：t＝4.5，
即当t为4.5秒或0.5秒时，四边形EGFH是矩形；
（3）如图2，连接AG、CH，
∵四边形GEHF是菱形，
∴GH⊥EF，OG＝OH，OE＝OF，
∵AF＝CE
∴OA＝OC，
∴四边形AGCH是菱形，
∴AG＝CG，
设AG＝CG＝x，则BG＝8﹣x，
由勾股定理得：AB2+BG2＝AG2，
即62+（8﹣x）2＝x2，解得：x＝，
∴BG＝8﹣，
∴AB+BG＝6+，
t＝÷2＝，
即t为秒时，四边形EGFH是菱形．

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