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2024中考数学考前一周必备宝典（全国通用）
目 录
一﹑考前技能篇 3
（1）2024中考数学考前冲剌备忘录（65问基础知识） 3
（2）中考数学核心考点解题方法与策略 3
（3）中考数学三种题型的答题技巧 7
二﹑热点前瞻篇 12
【中考热点1】数与式★★★★★ 12
【中考热点2】方程（组）与不等式（组）★★★★★ 27
【中考热点3】函数类综合问题★★★★★ 46
【中考热点4】解直角三角形问题★★★★★ 110
【中考热点5】几何综合★★★★★ 140
【中考热点6】圆的综合题★★★★★ 197
【中考热点7】几何最值问题★★★★★ 238
【中考热点8】跨学科综合题 ★★★ 281
【中考热点9】阅读理解题★★★★ 299
三﹑易错梳理篇 334
【易错点梳理，61个易错点汇总】 334
【易错强化，101道题74个题型汇总】 337
四﹑临考心理篇 433
1.考前考生需要做哪些准备 433
2.中考前一天需要做哪些准备 435
五﹑考场注意篇 436
1.中考数学临场解题策略 436
2.中考数学阅卷和答题卡的注意事项 439
六、考后疏导篇 445
中考考后那些事 445
七、终极押题篇 447
2024年中考数学终极押题卷 447
2024年中考数学终极押题卷参考答案 454
（1）2024中考数学考前冲剌备忘录
为了帮助同学们回忆和巩固基础知识，老师通过对近几年中考考点的梳理，提出一下65问，希望对同学们的考前复习能有所帮助．
1．相反数和绝对值的概念和性质你记住了吗？
2．科学记数法的正确表示方法和涉及到单位进率你明白了吗？
3．二次根式有意义的满足条件是什么？
4．掌握二次根式的性质了吗？
5．算术平方根和平方根的区分是否掌握？
6．立方根的性质和运算？
7．零指数幂的性质，负整数幂的运算？
8．幂运算的乘除法法则？
9．乘法公式是否熟悉和完全平方公式的灵活应变？
10．因式分解的方法又多少种（5种类型），因式分解的步骤？
11．解一元二次方程的方法（4种）？
12．一元二次方程的判别式的意义？
13．一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）？
14．掌握解一元一次不等式的步骤？不等式解集在数轴上的表示？
15．分式有意义的条件？分式的性质是什么？
16．解分式方程的步骤和注意事项？
17．直角坐标系中各各象限内点坐标的特征？
18．坐标轴上的点的特征掌握了吗？
19．你能讲述两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征吗？
20．你知道和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征吗？
21．关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征是什么？
22．你掌握坐标系中的距离公式了吗？
23．函数自变量的取值范围常考的几种类型知道吗？
24．正比例函数和一次函数的概念的区分？
25．一次函数图像和性质？
26．一次函数和等腰三角形，直角三角形，矩形，菱形和正方形，特殊角的存在性等综合题都知道做题方法了吗？
27．反比例函数的图像的特征？
28．反比例函数中k的几何意义？
29．二次函数的性质二次函数的对称轴，顶点坐标，增减性等？
30．二次函数y=ax +bx+c(a≠0）中a，b，c的含义？
31．求二次函数的解析式又多少种方法及什么情况下选用？
32．求二次函数的最值时要考虑的问题？
33．三角形的三边关系？
34．三角形的重要线段的性质和意义都清楚吗？
35．多边形的内角和公式和外交和？
36．多边形的对角线有关公式？
37．多边形的截角问题的分类会吗？
38．角平分线的性质和垂直平分线的性质的运用？
39．全等三角形的的性质和判定方法？
40．等腰三角形的性质是否熟悉，灵活运用？
41．直角三角形的斜边中线定理？
42．等边三角形的性质和判定方法？
43．直角三角形中30°所对的直角边和斜边的关系？
44．平行四边形的性质和判定定理？
45．矩形的性质和判定定理？
46．菱形的性质和判定定理？
47．正方形的性质和判定定理？
48．是否掌握弧、弦、圆周角和圆心角之间的关系
49．垂径定理的模型构造，有关运算及常考的实际应用有哪些？
50．圆内接四边形的性质？
51．圆内接正多边形的有关运算是否掌握？
52．点和直线与圆的位置关系是否会判断？判定切线长的方法？
53．三角形的内切圆的有关于运算？切线长定理的巧用？
54．弧长公式和扇形面积公式的有关运算？
55．初中阶段的5中尺规作图方法？作图的注意事项？
56．平移﹑旋转﹑轴对称和中心对称的概念是什么？中心对称图形和轴对称图形的区分？
57．比例线段的性质？黄金分割比？
58．相似三角形的判定方法？
59．相似三角形的性质应用，射影定理？
60．对于“一线三等角”“手拉手模型”“对角互补模型”是否掌握？
61．锐角三角形函数的特殊角的函数值是什么？
62．锐角三角函数常见的实际应用是否会解？
63．众数﹑中位数和方差及平均数的运算及意义？
64．求概率的方法，是否会运用“树状图”/ “列表法”求概率？
65．是否掌握运用频率估算概率方法？
（2）中考数学核心考点解题方法与策略
一、历年中考数学试卷的启发
1.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论．如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用．当然，我们也要考虑结论的独立性；
2.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键．
二、解题策略选择
1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要．一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题．当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定．一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答；
2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确．切记不要“小题大做”．
注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断．虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答题卷上．多写不会扣分，写了就可能得分．
（1）直接法
直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．
由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果.
直接法具体操作起来就是要熟悉试题所要考查的知识点，从而能快速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比如，几何试题，很明显能看到是三角形问题还是四边形问题或是圆的问题或者是三者的综合，如果不能直接看出，只能看出是四边形试题，那就说明，需要对条件进行化简或转化了，也可快速进入状态.
（2）排除法
排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，比如，可以把一些简单的数代入，符合条件的话就排除不含这个数的范围选项，不符合条件的话就排除含这个数的范围选项，即：如果有两个选项A（）、B（），你就可以选取1这个数看是否符合题意，如果1符合题意，你就排除B，如果1不符合题意，你就排除A，这样就能快速找到正确选项，当然，选取数据时要考虑选项的特征，而不能选取所有选项都含有或都不含有的数；也可以根据各个选项对熟悉的知识点进行论证再排除，比如，四个选项当中有四个知识点，你就可以把熟悉掌握的知识点进行论证，看是否符合题意即可快速而且正确找到选项，而不会因为某个知识点不会或模棱两可得到错误选项.
而历年中考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决部分中考选择试题从而节省时间的有效方法.那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你已经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除.所以，我们要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间！
（3）特例法
特例法对解决有关数学题目是一种非常独特且十分有效的方法，它可以使繁杂的问题处理简易化，收到事半功倍的效果.
特例法也就是我们常说的特殊值验证法，有时也用特殊数值、特殊图形、特殊位置代替题设中普遍条件，得出特殊结论，再对各选项进行检验，从而做出正确的选择．特别是对于一些比较棘手的中考选择题或填空题，若能注意到其特殊情况，从特殊性入手，也许就可以简捷快速地解决问题.
常用的特例有特殊数值、特殊点、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．特例法是解答选择题的最佳方法之一，具体是通过特例的方式提高解题速度，题中的一般情况必须满足我们取值的特殊情况，从而我们选取适当的特值帮助我们得到正确的结论.比如，某个三角形，可以考虑等腰三角形或等边三角形的情形；某个四边形，可以考虑平行四边形或正方形；
特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题或填空题，但使用时一定要注意：（1）取特例尽可能简单，有利于计算和推理；（2）若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解；（3）当正确的选择对象，在题设普遍条件下都成立的情况下，用特殊值（取得越简单越好）进行探求，从而清晰、快捷地得到正确的答案，即通过对特殊情况的研究来判断一般规律，这是解答本类选择、填空题的最佳策略.
近年来中考选择、填空题中可用或结合用特例法解答的试题能占到30%左右，所以要想快速准确地赢得时间获取高分，一定要学会、会用并且灵活使用特例法！
（4）估算法
估算法一般包括范围估算，极端值估算和推理估算，是一种快速解决数学问题的方法，也是一种高效率得出正确结论的捷径.
对于中考数学某些问题，当我们没有合适的解题思路或正面解析比较麻烦，特别又是针对选择题时，不必进行准确的计算，我们可以通过适当地放大或缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，也可以通过对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．
当然，这有时也适合用在填空题中，比如比较大小时.估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次，所以我们要学会灵活运用.
而对于选择题，实在没思路时，又不需要解题过程，我们用这种方法还是能很大程度上提高我们的得分率的，比如，求某个图形的面积或体积，当选项差距比较大时，我们只需通过计算一部分比较好计算或自己熟练掌握的，就可以通过比较各选项得出正确结论.
（5）数形结合法
数形结合法，也就是我们常说的图解法，就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而实现优化解题途径的目的.
在中考中，数形结合是一种常用的解题方法，也是一种重要的数学思想方法，特别是在一些计算过程复杂的函数等问题中，可以先作出有关函数的图象或者构造适当的几何图形，再利用图示辅助，即参照图形的做法、形状、位置、性质，综合图象的特征进行直观分析，从而得出结论.比如：
①借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法.函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法.
②处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；
著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休.”数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.所以，我们一定要学好并应用好数形结合的方法.
三、解题思想方法
1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系．首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”；
2.如果在方程或是不等式中出现解的个数或交点个数问题，优先选择数形结合的思想方法；
3.选择题与填空题中出现不等式的题目时，优选特殊值法；
4.求参数的取值范围时，应该建立关于参数的等式或是不等式，
5.概率与统计的解答题，要注意步骤的多少决定解答的详略；
6.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，
7.绝对值问题优先选择去绝对值，去绝对值优先考虑使用定义；
8.与平移有关的，注意口诀“左加右减，上加下减”只用于函数，沿向量平移一定要使用平移公式完成；
9.关于中心对称问题，只需使用中点坐标公式即可，关于轴对称问题，注意两个等式的运用：一是垂直，一是中点在对称轴上．
四、每分必争
1.答题时间共120分钟，而你要答分数为120分的考卷，算一算就知道，每分钟应该解答1分多的题目，所以每1分钟的时间都是重要的．试卷发到手中首先完成必要的检查（是否有印刷不清楚的地方）与填涂，之后剩下的时间就马上看试卷中可能使用到的公式，做到心中有数．用心计算简单的题目，必要时动一动笔也不是不行（你是写名字或是写一个字母没有人去区分）．
2.在分数上也是每分必争．你得到71分与得到72分，虽然只差1分，但是有本质的不同，一个是不合格一个是合格．中考中，你得556分与得557分，虽然只差1分，但是它决定你是否可以上重点线，关系到你的一生．所以，在答卷的时候要精益求精．对选择题的每一个选择支进行评估，看与你选的相似的那个是不是更准确？填空题的范围书写是不是集合形式，是不是少或多了一个端点？是不是有一个解应该舍去而没舍？解答题的步骤是不是按照公式、代数、结果的格式完成的，应用题是不是设、列、画（线性归化）、解、答？根据已知条件你还能联想到什么？把它写在考卷上，也许它就是你需要的关键的1分，为什么不去做呢？
3.答题的时间紧张是所有同学的感觉，想让它变成宽松的方法只有一个，那就是学会放弃，准确地判断把该放弃的放弃，就为你多得1分提供了前提．
4.冷静一下，表面是耽误了时间，其实是为自己赢得了机会，可能创造出奇迹．在头脑混乱的时候，不妨停下来，喝口水，深吸一口气，再慢慢呼出，就在呼出的同时，你就会得到灵感．
5.题目分析受挫，很可能是一个重要的已知条件被你忽略，所以重新读题，仔细读题才能有所发现，不能停留在某一固定的思维层面不变．联想你做过的类似的题目的解题方法，把不熟悉的转化为你熟悉的也许就是成功．
6.中考只是人生的重要考试之一，其实人生是由每一分钟组成的．把握好人生的每一分钟才能真正把握人生．中考就是平常的模拟考试罢了，其实真正的中考是在你生活的每一分钟里．
（3）中考数学三种题型的答题技巧
一、考前准备
1．调适心理，增强信心
（1）合理设置考试目标，创设宽松的应考氛围，以平常心对待高考；
（2）合理安排饮食，提高睡眠质量；
（3）保持良好的备考状态，不断进行积极的心理暗示；
（4）静能生慧，稳定情绪，净化心灵，满怀信心地迎接即将到来的考试．
2．悉心准备，不紊不乱
（1）重点复习，查缺补漏．对前几次模拟考试的试题分类梳理、整合，既可按知识分类，也可按数学思想方法分类．强化联系，形成知识网络结构，以少胜多，以不变应万变．
（2）查找错题，分析病因，对症下药，这是重点工作．
（3）阅读《考试说明》和《试题分析》，确保没有知识盲点．
（4）回归课本，回归基础，回归近几年中考试题，把握通性通法．
（5）重视书写表达的规范性和简洁性，掌握各类常见题型的表达模式，避免“会而不对，对而不全”现象的出现．
（6）临考前应做一定量的中、低档题，以达到熟悉基本方法、典型问题的目的，一般不再做难题，要保持清醒的头脑和良好的竞技状态．
3．入场临战，通览全卷
最容易导致心理紧张、焦虑和恐惧的是入场后与答卷前的“临战”阶段，此时保持心态平稳是非常重要的．刚拿到试卷，一般心情比较紧张，不要匆忙作答，可先通览全卷，尽量从卷面上获取更多的信息，为实施正确的解题策略作铺垫，一般可在五分钟之内做完下面几件事：
（1）填写好全部考生信息，检查试卷有无问题；
（2）调节情绪，尽快进入考试状态，可解答那些一眼就能看得出结论的简单选择题或填空题（一旦解出，信心倍增，情绪立即稳定）；
（3）对于不能立即作答的题目，可一边通览，一边粗略地分为A、B两类：A类指题型比较熟悉、容易上手的题目；B类指题型比较陌生、自我感觉有困难的题目，做到心中有数．
二、中考数学题型特点和答题技巧
1．选择题——“不择手段”
题型特点：（1）概念性强：数学中的每个术语、符号，乃至习惯用语，往往都有明确具体的含义，这个特点反映到选择题中，表现出来的就是试题的概念性强，试题的陈述和信息的传递，都是以数学的学科规定与习惯为依据，决不标新立异．
（2）量化突出：数量关系的研究是数学的一个重要的组成部分，也是数学考试中一项主要的内容，在中考的数学选择题中，定量型的试题所占的比重很大，而且许多从形式上看为计算定量型选择题，其实不是简单或机械的计算问题，其中往往蕴含了对概念、原理、性质和法则的考查，把这种考查与定量计算紧密地结合在一起，形成了量化突出的试题特点．
（3）充满思辨性：这个特点源于数学的高度抽象性、系统性和逻辑性．作为数学选择题，尤其是作为选择性考试的中考数学试题，只凭简单计算或直观感知便能正确作答的试题不多，几乎可以说并不存在，绝大多数的选择题，为了正确作答，或多或少总是要求考生具备一定的观察、分析和逻辑推断能力．思辨性的要求充满题目的字里行间．
（4）形数兼备：数学的研究对象不仅是数，还有图形，而且对数和图形的讨论与研究，并不是孤立开来分割进行的，而是有分有合，将它们辩证统一起来．这个特色在中中数学中已经得到充分的显露．因此，在中考的数学选择题中，便反映出形数兼备这一特点，其表现是几何选择题中常常隐藏着代数问题，而代数选择题中往往又寓有几何图形的问题．因此，数形结合的解题方法是中考数学选择题的一种重要且有效的思想方法与解题方法．
（5）解法多样化：与其他学科比较，“一题多解”的现象在数学中表现突出，尤其是数学选择题由于它有备选项，给试题的解答提供了丰富的有用信息，有相当大的提示性，为解题活动展现了广阔的天地，大大地增加了解答的途径和方法，而且常常潜藏着极其巧妙的解法，有利于对考生思维深度的考查．
解题策略：（1）注意审题．把题目多读几遍，弄清这道题目求什么，已知什么，求、知之间有什么关系，把题目搞清楚了再动手答题．
（2）答题顺序不一定按题号进行．可先从自己熟悉的题目答起，从有把握的题目入手，使自己尽快进入到解题状态，产生解题的激情和欲望，再解答陌生或不太熟悉的题目．若有时间，再去拼那些把握不大或无从下手的题目．这样也许能超水平发挥．
（3）数学选择题大约有70%的题目都是直接法，要注意对符号、概念、公式、定理及性质等的理解和使用，例如函数的性质、数列的性质就是常见题目．
（4）挖掘隐含条件，注意易错、易混点．
（5）方法多样，不择手段．中考试题凸显能力，小题要小做，注意巧解，善于使用数形结合、特值（含特殊值、特殊位置、特殊图形）、排除、验证、转化、分析、估算、极限等方法，一旦思路清晰，就迅速作答．不要在一两道小题上纠缠，杜绝小题大做，如果确实没有思路，也要坚定信心，“题可以不会，但是要做对”，即使是“蒙”，也有25%的正确率．
（6）控制时间．一般不要超过40分钟，最好是25分钟左右完成选择题，争取又快又准，为后面的解答题留下充裕的时间，防止“超时失分”．
2．填空题——“直扑结果”
题型特点： 填空题和选择题同属客观性试题，它们有许多共同特点：其形态短小精悍，考查目标集中，答案简短、明确、具体，不必填写解析过程，评分客观、公正、准确等等，不过填空题和选择题也有质的区别．首先，填空题没有备选项，因此，解答时既有不受诱误的干扰之好处，又有缺乏提示的帮助之不足．对考生独立思考和求解，在能力要求上会高一些．长期以来，填空题的答对率一直低于选择题的答对率，也许这就是一个重要的原因．其次，填空题的结构，往往是在一个正确的命题或断言中，抽去其中的一些内容（既可以是条件，也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活，在对题目的阅读理解上，较之选择题有时会显得较为费劲．当然并非常常如此，这将取决于命题者对试题的设计意图．
填空题的考点少，目标集中．否则，试题的区分度差，其考试的信度和效度都难以得到保证．这是因为：填空题要是考点多，解析过程长，影响结论的因素多，那么对于答错的考生便难以知道其出错的真正原因，有的可能是一窍不通，入手就错了；有的可能只是到了最后一步才出错，但他们在答卷上表现出来的情况一样，可以得到相同的成绩，尽管他们的水平存在很大的差异．
解题策略：由于填空题和选择题有相似之处，所以有些解题策略是可以共用的，在此不再多讲，只针对不同的特征给几条建议：
一是填空题绝大多数是计算型（尤其是推理计算型）和概念（或性质）判断性的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或合乎逻辑的推演和判断；
二是作答的结果必须是数值准确，形式规范，例如集合形式的表示、函数表达式的完整等，结果稍有毛病便是零分；
三是《考试说明》中对解答填空题提出的要求是“正确、合理、迅速”，因此，解答的基本策略是：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，防止操之过急；全——答案要全，避免对而不全；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意．
3．解答题——“步步为营”
题型特点：解答题与填空题比较，同为提供型的试题，但也有本质的区别，首先，解答题应答时，考生不仅要提供出最后的结论，还得写出或说出解析过程的主要步骤，提供合理、合法的说明，填空题则无此要求，只要填写结果，省略过程，而且所填结果应力求简练、准确；其次，解答题比起填空题试题内涵要丰富得多，解答题的考点相对较多，综合性强，难度较高，解答题成绩的评定不仅看最后的结论，还要看其推演和论证过程，分情况判定分数，用以反映其差别，因而解答题命题的自由度较之填空题大得多．
数学解答题的评分办法：数学高考阅卷评分施行懂多少知识给多少分的评分办法，叫做“分段评分”．而考生“分段得分”的基本策略是：会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分．会做的题目若不注意准确表达和规范书写，常常会被“分段扣分”，解答题阅卷的评分原则一般是：第一问，错或未做，而第二问对，则第二问得分全给；前面错引起后面方法用对但结果出错，则后面给一半分．
解题策略：（1）常见失分因素：①对题意缺乏正确的理解，应做到慢审题快做题；②公式记忆不牢，考前一定要熟悉公式、定理、性质等；③思维不严谨，不要忽视易错点；④解题步骤不规范，一定要按课本要求，否则会因不规范答题而失分，避免“对而不全”，如解概率题时，要给出适当的文字说明，不能只列几个式子或单纯的结论，表达不规范、字迹不工整等非智力因素会影响阅卷老师的“感情分”；⑤计算能力差导致失分多，会做的试题一定不能放过，不能一味求快，⑥轻易放弃试题，难题不会做时，可分解成小问题，分步解决，如最起码能将文字语言翻译成符号语言、设应用题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分．也许随着这些小步骤的罗列，还能悟出解题的灵感．
（2）何为“分段得分”：对于同一道题目，有的人理解的深，有的人理解的浅；有的人解决的多，有的人解决的少．为了区分这种情况，中考的阅卷评分办法是懂多少知识就给多少分．这种方法我们叫它“分段评分”，或者“踩点给分”——踩上知识点就得分，踩得多就多得分．与之对应的“分段得分”的基本精神是，会做的题目力求不失分，部分理解的题目力争多得分．对于会做的题目，要解决“会而不对，对而不全”这个老大难问题．有的考生拿到题目，明明会做，但最终答案却是错的——会而不对．有的考生答案虽然对，但中间有逻辑缺陷或概念错误，或缺少关键步骤——对而不全．因此，会做的题目要特别注意表达的准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，防止被“分段扣分”．经验表明，对于考生会做的题目，阅卷老师则更注意找其中的合理成分，分段给点分，所以“做不出来的题目得一二分易，做得出来的题目得满分难”．
对绝大多数考生来说，更为重要的是如何从拿不下来的题目中分段得点分．我们说，有什么样的解题策略，就有什么样的得分策略．把你解题的真实过程原原本本写出来，就是“分段得分”的全部秘密．
①缺步解答：如果遇到一个很困难的问题，确实啃不动，一个聪明的解题策略是，将它们分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步，尚未成功不等于失败．特别是那些解题层次明显的题目，或者是已经程序化了的方法，每一步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“大题拿小分”．
②跳步答题：解题过程卡在某一过渡环节上是常见的．这时，我们可以先承认中间结论，往后推，看能否得到结论．如果不能，说明这个途径不对，立即改变方向；如果能得出预期结论，就回过头来，集中力量攻克这一“卡壳处”．由于考试时间的限制，“卡壳处”的攻克如果来不及了，就可以把前面的写下来，再写出“证实某步之后，继续有……”一直做到底．也许，后来中间步骤又想出来，这时不要乱七八糟插上去，可补在后面．若题目有两问，第一问想不出来，可把第一问作为“已知”，先做第二问，这也是跳步解答．
③退步解答：“以退求进”是一个重要的解题策略．如果你不能解决所提出的问题，那么，你可以从一般退到特殊，从抽象退到具体，从复杂退到简单，从整体退到部分，从较强的结论退到较弱的结论．总之，退到一个你能够解决的问题．为了不产生“以偏概全”的误解，应开门见山写上“本题分几种情况”．这样，还会为寻找正确的、一般性的解法提供有意义的启发．
④辅助解答：一道题目的完整解答，既有主要的实质性的步骤，也有次要的辅助性的步骤．实质性的步骤未找到之前，找辅助性的步骤是明智之举．如：准确作图，把题目中的条件翻译成数学表达式，设应用题的未知数等．答卷中要做到稳扎稳打，字字有据，步步准确，尽量一次成功，提高成功率．试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，所写字母与题中图形上的是否一致，格式是否规范，尤其是要审查字母、符号是否抄错，在确信万无一失后方可交卷．
（3）能力不同，要求有变： 由于考生的层次不同，面对同一张数学试卷，要尽可能发挥自己的水平，考试策略也有所不同．针对基础较差的考生而言要“以稳取胜”——这类考生除了知识方面的缺陷外，“会而不对，对而不全”是这类考生的致命伤．丢分的主要原因在于审题失误和计算失误．考试时要克服急躁心态，如果发现做不下去，就尽早放弃，把时间用于检查已做的题，或回头再做前面没做的题．记住，只要把你会做的题都做对，你就是最成功的人！部分优生而言要“以准取胜”——他们基础比较扎实，但也会犯低级错误，所以，考试时要做到准确无误（指会做的题目），除了最后两题的最后一问不一定能做出，其他题目大都在“火力范围”内．但前面可能遇到“拦路虎”，要敢于放弃，把会做的题做得准确无误，再回来“打虎”．针对第一志愿为名校的考生而言要“以新取胜”——这些考生的主攻方向是能力型试题，在快速、正确做好常规试题的前提下，集中精力做好能力题．这些试题往往思考强度大，运算要求高，解题需要新的思想和方法，要灵活把握，见机行事．如果遇到不顺手的试题，也不必恐慌，可能是试题较难，大家都一样，此时，使会做的题不丢分就是上策．
二﹑热点前瞻篇
【中考热点1】数与式★★★★★
【考情分析】
每年必考的送分题，做好第一题很重要．“数与式”包括有理数、实数、代数式、整式与分式四个部分．数与式渗透后面各部分内容之中，联系着所有数学知识．它是开展数学学习和研究的基础，也是中考的重要考点之一．数与式的考题一般以填空、选择或解答题的形式出现．这部分内容的考题难度不大，但涉及的基本概念和知识点较多．
【满分技巧】
实数：理解有理数、无理数、数轴、相反数、倒数、绝对值、近似数、有效数字、平方根、算术平方根、立方根的概念．知道实数与数轴上的点一一对应，并会求一个数的相反数、倒数、绝对值．会用科学记数法表示一个数，能按要求用四舍五入法求一个数的近似值．能正确运用实数的运算法则进行实数的混合运算．理解实数的运算律，并能运用运算律简化运算．能运用实数的运算解决简单的问题．会用各种方法比较两个实数的大小．
整式：了解整数指数幂的意义和基本性质；了解整式的概念和有关法则，会进行简单的整式加、减、乘、除运算；掌握平方差公式和完全平方公式，并了解其几何背景，会进行简单的计算；会用提公因式法、公式法进行因式分解．
分式：了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除、乘方及混合运算．
二次根式：了解二次根式的概念、性质及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单四则运算．
代数式：理解用字母表示数的意义，能分析简单问题，并能用代数式表示，能解释简单代数式的实际背景或几何意义，会求代数式的值
【2024年中考预测】
一、选择题（共21小题）
1．（2024 海淀区一模）据报道，2024年春节假期北京接待游客约1750万人次，旅游收入同比增长近四成．将17500000用科学记数法表示应为（　　）
A．175×105 B．1.75×106 C．1.75×107 D．0.175×108
【答案】C
【解析】解：17500000＝1.75×107．
故选：C．
2．（2024 辽宁模拟）下列计算正确的是（　　）
A．a3 a4＝a12 B．（2a2）3＝2a6
C．a2+a2＝2a2 D．（a+2）2＝a2+4
【答案】C
【解析】解：a3 a4＝a7，则A不符合题意；
（2a2）3＝8a6，则B不符合题意；
a2+a2＝2a2，则C符合题意；
（a+2）2＝a2+4a+4，则D不符合题意；
故选：C．
3．（2024 德惠市一模）将一个长为2a，宽为2b的矩形纸片（a＞b），用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为（　　）
A．a2+b2 B．a2﹣b2 C．（a+b）2 D．（a﹣b）2
【答案】D
【解析】解：中间空的部分的面积＝大正方形的面积﹣4个小长方形的面积，
＝（a+b）2﹣4ab，
＝a2+2ab+b2﹣4ab，
＝（a﹣b）2；
故选：D．
4．（2024 静安区二模）下列各数中，是无理数的为（　　）
A． B． C．π0 D．
【答案】B
【解析】解：A、＝2，2是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、π0＝1，1是有理数，不符合题意；
D、是有理数，不符合题意．
故选：B．
5．（2024 福田区模拟）已知多项式3mx2+3y﹣3﹣15x2+2中不含x2项，则m的值是（　　）
A．5 B．﹣5 C．3 D．15
【答案】A
【解析】解：3mx2+3y﹣3﹣15x2+2
＝（3mx2﹣15x2）+3y﹣（3﹣2）
＝（3m﹣15）x2+3y﹣1，
因为化简后不含x2项，则3m﹣15＝0，
解得m＝5，
故选：A．
6．（2024 邵东市一模）在﹣2024，，0，1这四个有理数中，最小的数是（　　）
A．﹣2024 B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】解：∵|﹣2024|＝2024，|﹣|＝，
∴2024＞，
∴﹣2024＜﹣，
在﹣2024，，0，1这四个有理数中，
∵﹣2024＜﹣＜0＜1，
∴最小的数是﹣2024，
故选：A．
7．（2023秋 台州期末）如果把分式中的m和n都扩大3倍，那么分式的值（　　）
A．扩大6倍 B．缩小3倍 C．不变 D．扩大3倍
【答案】C
【解析】解：，
∴把分式中的m和n都扩大3倍，分式的值不变，
故选：C．
8．（2024 兰州模拟）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，下列结论正确的是（　　）
A．a＞﹣2 B．a+b＞0 C．|a|＜|b| D．b﹣a＞0
【答案】D
【解析】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，
A、∵﹣3＜a＜﹣2，∴a＜﹣2，故选项A不符合题意；
B、∵﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴a+b＜0，故选项B不符合题意；
C、∵﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴3＞|a|＞2，2＞|b|＞1，∴|a|＞|b|，故选项C不符合题意；
D、∵﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，∴2＜﹣a＜3，∴3＜b﹣a＜5，∴b﹣a＞0，故选项D符合题意；
故选：D．
9．（2024 雅安模拟）若分式的值为0，则x的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．±1
【答案】C
【解析】解：∵分式的值为0，
∴x2﹣1＝0，且x﹣1≠0，
解得：x＝﹣1．
故选：C．
10．（2024 香洲区校级一模）若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞3 B．x≥3 C．x＜3 D．x≤3
【答案】B
【解析】解：根据题意，得
x﹣3≥0，
解得x≥3；
故选：B．
11．（2024 宜昌模拟）2024年1月1日，某地4个时刻的气温（单位：℃）分别为﹣4，0，1，﹣3，其中最低的气温是（　　）
A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣3
【答案】A
【解析】解：∵﹣4℃＜﹣3℃＜0℃＜1℃，
∴最低的气温是﹣4℃；
故选：A．
12．（2024 海淀区校级模拟）如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式x（x+2）+（x+1）2的值是（　　）
A．﹣5 B．5 C．3 D．﹣3
【答案】B
【解析】解：x（x+2）+（x+1）2
＝x2+2x+x2+2x+1
＝2x2+4x+1，
∵x2+2x﹣2＝0，
∴x2+2x＝2，
则原式＝2（x2+2x）+1＝2×2+1＝5，
故选：B．
13．（2024 利津县一模）16的算术平方根是（　　）
A．±4 B．±2 C．4 D．﹣4
【答案】C
【解析】解：＝4，
∴16的算术平方根是4．
故选：C．
14．（2024 南岗区校级一模）小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如表：
输入 … 1 2 3 4 5 …
输出 … …
那么，当输入数据为8时，输出的数据为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：∵由表格可知，输入的数据与输出的数据的分子相同，而输出数据的分母正好是分子的平方加1，
∴当输入数据为8时，输出的数据为：＝．
故选项A错误，选项B错误，选项C正确，项D错误．
故选：C．
15．（2024 武威二模）数轴上，有理数a、b、﹣a、c的位置如图，则化简|a+c|+|a+b|+|c﹣b|的结果为（　　）
A．2a+2c B．2a+2b C．2c﹣2b D．0
【答案】C
【解析】解：由图可知a＜0＜b＜﹣a＜c，
∴a+c＞0，a+b＜0，c﹣b＞0，
∴|a+c|+|a+b|+|c﹣b|＝a+c﹣a﹣b+c﹣b＝2c﹣2b．
故选：C．
16．（2024 江西模拟）正奇数1，3，5，7，9，…，按如下规律排列，则第8排从左数第2个数是（　　）
A．57 B．59 C．61 D．63
【答案】B
【解析】解：由题知，
第1行奇数个数为1，第2行奇数个数为2，第3行奇数个数为3，…，
所以前n行奇数的总个数为：1+2+3+…+n＝．
当n＝7时，
，
即前7排的奇数总个数为28，
又因为2×28﹣1＝55，
即第7排从左往右最后一个数为55，
所以第8排从左数第2个数是59．
故选：B．
17．（2024 潼南区一模）有依次排列的两个整式A＝x2﹣1，B＝x2+x，用后一个整式B与前一个整式A作差后得到新的整式记为C1，用整式C1与前一个整式B作差后得到新的整式C2，用整式C2与前一个整式C1作差后得到新的整式C3，…，依次进行作差、求和的交替操作得到新的整式．下列说法：
①当x＝a时，C5＝（a+1）2；
②整式C10与整式C14结果相同；
③当C9 C2＝0时，A B＝0；
④＝+2．
其中，正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】解：由题意依次计算可得：
C1＝B﹣A＝x+1，
C2＝x+1﹣x2﹣x＝﹣x2+1，
C3＝﹣x2+1﹣x﹣1＝﹣x2﹣x，
C4＝﹣x2﹣x+x2﹣1＝﹣x﹣1，
C5＝﹣x﹣1+x2+x＝x2﹣1，
C6＝x2﹣1+x+1＝x2+x，
C7＝x+1，
以此类推，6个一循环，
∴当x＝a时，C5＝a2﹣1，故①错误，
整式C10与整式C4结果相同，整式C14与整式C2结果相同，故②错误，
当C9 C2＝0时，则C3 C2＝0，
∴﹣x2+1＝0或﹣x2﹣x＝0，
∴x＝±1或0，
∴A B＝0，故③正确，
∵C2024＝C2，C2023＝C1，C2021＝C5，
∴＝＝﹣x+1，
+2＝+2＝x﹣1+2＝x+1，故④错误，
故选：A．
18．（2024 澄海区校级模拟）下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：A.＝2，被开方数含有开方开得尽的因式，故不符合题意；
B.＝4，被开方数是完全平方数，故不符合题意；
C.是最简二次根式，故符合题意；
D.＝，被开方数是小数，故不符合题意．
故选：C．
19．（2024 南开区一模）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：
＝
＝
＝
＝
＝
＝．
故选：A．
20．（2024 瓯海区模拟）已知＝（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，即
，即
∴．
故选：D．
21．（2024 凉州区校级模拟）下列四个说法：（1）的系数是，（2）﹣是多项式，（3）x2﹣2xy﹣3的常数项是3，（4）﹣2yx2与2x2y是同类项，其中正确的是（　　）
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（2） D．（3）（4）
【答案】B
【解析】解：（1）的系数是π，故原题说法错误，不符合题意；
（2）﹣是多项式，故原题说法正确，符合题意；
（3）x2﹣2xy﹣3的常数项是﹣3，故原题说法错误，不符合题意；
（4）﹣2yx2与2x2y是同类项，故原题说法正确，符合题意；
本题正确的有：（2）和（4），
故选：B．
二、填空题（共5小题）
22．（2024 涟源市模拟）分解因式：x2y﹣4y3＝　 　．
【答案】y（x+2y）（x﹣2y）．
【解析】解：原式＝y（x2﹣4y2）
＝y（x+2y）（x﹣2y）．
故答案为：y（x+2y）（x﹣2y）．
23．（2024 大东区模拟）计算的结果是　 　．
【答案】﹣．
【解析】解：
＝﹣3
＝2﹣3
＝﹣，
故答案为：﹣．
24．（2024 孝感一模）我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数，则（a+b）2024的展开式中含a2023项的系数是　 　．
【答案】2024．
【解析】解：根据图中所给等式，
（a+b）2展开式的第二项为2ab＝2a2﹣1b，
（a+b）3展开式的第二项为3a2b＝3a3﹣1b，
（a+b）4展开式的第二项为4a3b＝4a4﹣1b，
……，
根据变化规律，（a+b）n展开式的第二项为nan﹣1b，
∴（a+b）2024的展开式中含a2023项是第二项，系数是2023+1＝2024，
故答案为：2024．
25．（2024 武威二模）如图，半径为1个单位长度的圆沿数轴从实数﹣1对应的点向右滚动一周，圆上的A点恰好与点B重合，则点B对应的实数是　 　．
【答案】2π﹣1．
【解析】解：圆滚动一周经过的距离等于圆的周长，
该圆的周长为2π×1＝2π，
∴点B对应的实数是﹣1+2π＝2π﹣1．
故答案为：2π﹣1．
26．（2024 番禺区校级一模）公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派研究数的概念时，常常把数描绘成沙滩上的小石子，用它们进行各式各样的排列和分类，叫做“形数”．如图为正方形数，根据图中点的数量规律，第n个图形中的点数为　 　．
【答案】n2．
【解析】解：由图片可知，第1个图形的点数为：12＝1；
第2个图形的点数为：22＝4；
第3个图形的点数为：32＝9；

第n个图形的点数为：n2；
故答案为：n2．
三、解答题（共6小题）
27．（2024 海淀区校级模拟）计算：（）0﹣2sin30°++（）﹣1．
【解析】解：原式＝1﹣2×+2+2
＝1﹣1+2+2
＝4．
28．（2024 盐城模拟）先化简，再求值：，其中x＝4．
【解析】解：原式＝（+）
＝
＝
＝x﹣1，
当x＝4时，原式＝4﹣1＝3．
29．（2024 邯郸模拟）计算：（﹣6）×（﹣■）﹣23．
圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算（﹣6）×（﹣）﹣23．
（2）如果计算结果等于6，求被污染的数字．
【解析】解：（1）（﹣6）×（﹣）﹣23
＝（﹣6）×﹣8
＝﹣1﹣8
＝﹣9；
（2）设被污染的数字为x，
根据题意得：（﹣6）×（﹣x）﹣23＝6，
解得：x＝3，
答：被污染的数字是3．
30．（2024 正定县一模）在七年级活动课上，有三位同学各拿一张卡片，卡片上分别为A，B，C三个代数式，三张卡片如下，其中C的代数式是未知的．
A＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1 B＝﹣2（x2﹣x+2） C
（1）若A为二次二项式，则k的值为 　1　；
（2）若A﹣B的结果为常数，则这个常数是 　5　，此时k的值为 　﹣1　；
（3）当k＝﹣1时，C+2A＝B，求C．
【答案】（1）1；
（2）5，﹣1；
（3）2x2﹣2x﹣6．
【解析】解：（1）∵A＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1，A为二次二项式，
∴k﹣1＝0，
解得k＝1，
故答案为：1；
（2）∵A＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1，B＝﹣2（x2﹣x+2），
∴A﹣B
＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1﹣[﹣2（x2﹣x+2）]
＝﹣2x2﹣（k﹣1）x+1+2x2﹣2x+4
＝﹣（k+1）x+5，
∵A﹣B的结果为常数，
∴k+1＝0，
解得k＝﹣1，
即若A﹣B的结果为常数，则这个常数是5，此时k的值为﹣1，
故答案为：5，﹣1；
（3）当k＝﹣1时，A＝﹣2x2+2x+1，B＝﹣2（x2﹣x+2），
∵C+2A＝B，
∴C＝B﹣2A
＝﹣2（x2﹣x+2）﹣2（﹣2x2+2x+1）
＝﹣2x2+2x﹣4+4x2﹣4x﹣2
＝2x2﹣2x﹣6．
31．（2024 南昌县一模）以下是某同学化简分式（﹣）÷的部分运算过程：
解：原式＝[﹣]×① ＝[﹣]×② ＝×③ … 解：
（1）上面的运算过程中第　　 步出现了错误；
（2）请你写出完整的解析过程．
【答案】（1）③；
（2）见解析过程．
【解析】解：（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，
故答案为：③；
（2）原式＝[﹣]×，
＝[﹣]×，
＝×，
＝×，
＝．
故答案为：．
32．（2024 武安市二模）（1）若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）中不含有ab项，则m的值为　 　．
（2）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，ab＝1，
∴（a+b）2＝9，2ab＝2，
∴a2+b2+2ab＝9，
∴a2+b2＝7．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（i）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC，BC为边向直线AB两侧作正方形BCFG，正方形AEDC，设AB＝8，两正方形的面积和为40，则△AFC的面积为　 　；
（ii）若（9﹣x）（x﹣6）＝2，求（9﹣x）2+（x﹣6）2的值．
【答案】（1）6；
（2）（i）6；（ii）5．
【解析】解：（1）3（a2﹣2ab+b2）﹣（2a2﹣mab+2b2）
＝3a2﹣6ab+3b2﹣2a2+mab﹣2b2
＝a2+（m﹣6）ab+b2，
∵不含有ab项，
∴m﹣6＝0，
∴m＝6，
故答案为：6．
（2）（i）设正方形BCFG和AEDC的边长分别为a和b，则△AFC的面积为ab．
根据题意，得a+b＝8，a2+b2＝40，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2＝64，
∴ab＝12，
∴S△AFC＝×12＝6，
故答案为：6．
（ii）令（9﹣x）＝m，（x﹣6）＝n，则（9﹣x）2+（x﹣6）2＝m2+n2，
∴m+n＝3，mn＝2，
∴（m+n）2＝m2+2mn+n2＝9，
∴m2+n2＝5，
∴（9﹣x）2+（x﹣6）2＝5．
【中考热点2】方程（组）与不等式（组）★★★★★
【考情分析】
在各地中考中，方程(组)与不等式(组)主要考查有两方面:一是计算，整体来说命题都是中规中矩;二是应用，时常命题新颖，目出题类型比较广泛，选择题、填空题、解答题都有可能出现，是属干占分较多的一类考点，分值设在15分左右，整体来看试题难度不大，厘干中考中的中等题，所以在中考复习时，需要考生对计算部分的易错点多加重视，而应用类则需要认直审题，根据应用的处理步骤完成即可．
【满分技巧】
1.一次方程（组）：熟记定义，熟悉解法步骤，注重基础计算格式及其准确性，实际应用找准等量关系；
一次方程（组）如果考定义或者实际应用时，多以选择、填空题形式出现，这就从问题本身降低了难度，但是也要求必须对这部分的定义或实际应用的等量关系较为熟悉才能更快更准确的拿分．而对一次方程（组）解法的考察，多在于其解法步骤上，所以基本各类方程的解法步骤必须熟悉．
2.不等式（组）：熟记解法步骤，注意是否变号，画解集：＞向右，＜向左，实际应用找准不等量关系；
不等式（组）解法的考察多以解答题的形式出现，还会要求在数轴上画出解集，这类问题一是不能漏画解集，二是实心、空心，向左、向右不要搞反了．不等式（组）的实际应用问题，也基本都是以解答题形式出现，并且常和二元一次方程组结合考察，分值较高，复习时需要不留“死角”．
3.分式方程及其应用：解分式方程勿忘验根；
分式方程的考察不管是单独的解分式方程，还是分式方程的应用题，在解完方程之后，都需要加上“验根”这一步，这步缺失是要扣分的．其他注意事项同一次方程（组）．
4.一元二次方程：考定义要注意“2次”与“系数≠0”要同时成立；考解的情况想“b2-4ac”；考两根关系想“根与系数的关系”；
中考中对一元二次方程的考察是多方面的，每个考点都有不同的考察方向，而且，一元二次方程还可以结合二次函数同时考察，有些考点的变形就更多.中考复习时，需要对一元二次方程的各个知识重点都加以重视，遇到问题随机应变．
【2024年中考预测】
一、选择题（共18小题）
1．（2024 北流市一模）已知方程x2﹣3x+2＝0的两根是x1，x2，则x1+x2﹣x1 x2的值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】解：由题意可得，x1+x2＝3，x1 x2＝2，
∴x1+x2﹣x1 x2＝3﹣2＝1．
故选：A．
2．（2024 安阳模拟）若a，b是方程的两个根，则的值为（　　）
A．﹣16 B．16 C．﹣20 D．20
【答案】C
【解析】解：由题知，
因为a，b是方程的两个根，
所以a+b＝，ab＝，
所以＝＝．
故选：C．
3．（2024 福田区模拟）已知点P（a，a+1）在平面直角坐标系的第二象限，则a的取值范围在数轴上可表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：∵点P（a，a+1）在平面直角坐标系的第二象限，
∴，
解得﹣1＜a＜0，
故选：C．
4．（2024 邵东市一模）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程为（　　）
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
【答案】D
【解析】解：由题意可得，
＝，
故选：D．
5．（2024 兰州模拟）《九章算术》中记载了这样一个问题：今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉．下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？大意是：3束上等禾的产量再加6斗，相当于10束下等禾的产量；5束下等禾的产量再加1斗，相当于2束上等禾的产量．问上等禾、下等禾每束的产量各为几斗？
设上等禾每束产量x斗，下等禾每束产量y斗，根据题意可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解：根据题意知：．
故选：A．
6．（2024 金山区二模）关于x的一元二次方程x2﹣2x+a＝0有实数根，那么a的取值范围是（　　）
A．a≤1 B．a≥1 C．a＞1 D．a＜1
【答案】A
【解析】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4a≥0，
解得a≤1，
即a的取值范围为a≤1．
故选：A．
7．（2024 喀喇沁旗模拟）红星中学初三、②班十几名同学毕业前和数学老师合影留念，一张彩色底片要0.6元，扩印一张相片0.5元，每人分一张，免费送老师一张（由学生出钱），每个学生交0.6元刚好，相片上共有多少人（　　）
A．13个 B．12个 C．11个 D．无法确定
【答案】B
【解析】解：设相片上共有x人，则相片上共有（x﹣1）名学生，
根据题意得：0.6+0.5x＝0.6（x﹣1），
解得：x＝12，
∴相片上共有12人．
故选：B．
8．（2024 青岛一模）《孙子算经》记载：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”（尺、寸是长度单位，1尺＝10寸）．意思是，现有一根长木，不知道其长短．用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺．问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为（　　）
A．x+4.5＝2（x﹣1） B．x+4.5＝2（x+1）
C．x﹣4.5＝2（x+1） D．x﹣4.5＝2（x﹣1）
【答案】A
【解析】解：设长木长为x尺，
∵用一根绳子去量一根木条，绳子剩余4.5尺，
∴绳子长为（x+4.5）尺，
∵绳子对折再量木条，木条剩余1尺，
得方程为：x+4.5＝2（x﹣1）．
故选：A．
9．（2024 济南模拟）已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≥2
【答案】D
【解析】解：∵，
∴，
∵关于x的不等式组无解，
∴a≥2，
故选：D．
10．（2024 耒阳市一模）已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（　　）
A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9
【答案】A
【解析】解：因为a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，
所以a+b＝﹣6，
将x＝a代入方程得，
a2+6a﹣2＝0，
即a2+6a＝2，
所以a2+7a+b＝a2+6a+a+b＝2+（﹣6）＝﹣4．
故选：A．
11．（2024 苍溪县二模）2023年多地爆发支原体肺炎和甲流，某口罩生产厂家为提高生产量，特增加了先进的生产设备．10月份该厂家生产口罩120万个，12月份生产口罩270万个，设这一季度口罩产量的月平均增长率为x，则可列方程为（　　）
A．120+120（1+x2）＝270 B．120（1+x2）＝270
C．270（1﹣x）2＝120 D．120（1+x）2＝270
【答案】D
【解析】解：设这一季度口罩产量的月平均增长率为x，
则根据题意可得出方程为：
120（1+x）2＝270，
故选：D．
12．（2024 杭州一模）记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各直钱八百九十六文，_■_．”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（1丈＝10尺），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，_■__．”设绫布有x尺，则可得方程为，根据此情境，题中“_■__”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（　　）
A．每尺绫布比每尺罗布贵120文
B．每尺绫布比每尺罗布便宜120文
C．每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
D．绫布的总价比罗布总价便宜120文
【答案】C
【解析】解：设绫布有x尺，则罗布有3×10﹣x＝（30﹣x）尺，
设绫布有x尺，则可得方程为，
∴缺失的条件为每尺绫布和每尺罗布一共需要120文
故选：C．
13．（2024 鹤城区校级一模）A，B两地相距50km，一艘轮船从A地逆流航行到B地，又立即从B地顺流航行到A地，共用去9h，已知水流速度为3km/h，若设该轮船在静水中的速度为xkm/h，则下列所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：设该轮船在静水中的速度为xkm/h，
依题意，得：+＝9．
故选：B．
14．（2024 织金县一模）程大位的《算法统宗》是我国古代数学名著，其中有一道这样的题目“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问房客各几何？”题目大意是：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就会有7人没地方住；若每间房住9人，则空出一间房．问有多少房间，多少客人？如果设房间有x间，客人y人，由题意可列方程组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】解：设房间有x间，客人y人，由题意可列方程组：
．
故选：B．
15．（2024 宿城区一模）关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是（　　）
A．a＞5 B．a＜5 C．a＞5且a≠7 D．a＜5且a≠3
【答案】D
【解析】解：，
去分母，得1﹣a+2＝x﹣2，
解得x＝5﹣a，
∵关于x的方程的解是正数，
∴5﹣a＞0且5﹣a≠2，
∴a＜5且a≠3．
故选：D．
16．（2024 武汉模拟）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：
①b＝a+c时，方程ax2+bx+c＝0一定有实数根；
②若a、c异号，则方程ax2+bx+c＝0一定有实数根；
③b2﹣5ac＞0时方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根；
④若方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不相等实数根．
其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．只有①②③ C．只有①②④ D．只有②④
【答案】B
【解析】解：当b＝a+c时，Δ＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，则方程ax2+bx+c＝0一定有实数根，所以①正确；若a、c异号，则Δ＝b2﹣4ac＞0，则方程ax2+bx+c＝0一定有实数根，所以②正确；当a、c异号，方程有两个不相等的实数根；当a、c同号，若b2﹣5ac＞0，则Δ＝b2﹣4ac＞ac＞0，所以方程ax2+bx+c＝0一定有两个不相等的实数根，所以③正确；
方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，若c＝0，则方程cx2+bx+a＝0没有两个不相等实数根，所以④错误．
故选：B．
17．（2024 邯郸模拟）某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的步骤是错误的，则这位同学是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【解析】解：x2﹣2x﹣8＝0，
x2﹣2x＝8，
x2﹣2x+1＝8+1，
（x﹣1）2＝9，
∴x﹣1＝±3
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
由上可得，丁同学是错的，
故选：D．
18．（2024 凉州区二模）已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解：可化为：，
∵关于x，y的方程组的解是，
∴的解为：；
解得：．
故选：D．
二、填空题（共7小题）
19．（2024 仪陇县模拟）定义一种新运算：a b＝a﹣ab，例如：2 3＝2﹣2×3＝﹣4．根据上述定义，不等式组的整数解为　 　．
【答案】﹣1，0，1．
【解析】解：由题意可得，
不等式组转化为，
解得﹣1≤x≤．
所以不等式组的整数解为﹣1，0，1．
故答案为：﹣1，0，1．
20．（2024 江阳区校级一模）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则常数k的取值范围是　 　．
【答案】﹣3＜k≤﹣2．
【解析】解：解不等式4x﹣3≥2x﹣5，得：x≥﹣1，
解不等式x+2＜k+6，得：x＜k+4，
∵不等式组只有3个整数解，
∴不等式组的整数解为﹣1、0、1，
则1＜k+4≤2，
解得﹣3＜k≤﹣2，
故答案为：﹣3＜k≤﹣2．
21．（2024 兖州区一模）已知α，β是方程x2﹣3x﹣4＝0的两个实数根，则α2+αβ﹣3α的值为　 　．
【答案】0
【解析】解：∵α是方程x2﹣3x﹣4＝0的实数根，
∴α2﹣3α﹣4＝0，
即α2﹣3α＝4，
∵αβ＝﹣4，
∴原式＝4﹣4
＝0．
故答案为0．
22．（2024 台江区校级模拟）庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有　 　队参加比赛．
【答案】10
【解析】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，
根据题意列出方程得：＝45，
整理，得：x2﹣x﹣90＝0，
解得：x1＝10，x2＝﹣9（不合题意舍去），
所以，这次有10队参加比赛．
答：这次有10队参加比赛．
23．（2024 海州区校级一模）若x＝3是关于x的方程ax2﹣bx＝6的解，则2023﹣6a+2b的值为　 　．
【答案】2019
【解析】解：把x＝3代入方程得：9a﹣3b＝6，即3a﹣b＝2，
则原式＝2023﹣2（3a﹣b）＝2023﹣4＝2019．
故答案为：2019．
24．（2024 碑林区校级一模）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为　 　．
【答案】5．
【解析】解：设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，
依题意得：（3x+5x+5x）×2＝26，
解得：x＝1，
∴5x＝5×1＝5，
即正方形d的边长为5．
故答案为：5．
25．（2024 任城区校级模拟）《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有x匹大马，y匹小马，根据题意可列方程组为　　 ．
【答案】
【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：．
三．解答题（共13小题）
26．（2024 长沙模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若方程有一个根小于1，求k的取值范围．
【解析】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+3）x+2k+2＝0中，Δ＝[﹣（k+3）]2﹣4×1×（2k+2）＝k2﹣2k+1＝（k﹣1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵x2﹣（k+3）x+2k+2＝（x﹣2）（x﹣k﹣1）＝0，
∴x1＝2，x2＝k+1．
∵方程有一根小于1，
∴k+1＜1，解得：k＜0，
∴k的取值范围为k＜0．
27．（2024 仁和区一模）解不等式组，并把它们的解集表示在数轴上．
【解析】解：，
解不等式①得，x＜2，
解不等式②得，x≥﹣1，
在数轴上表示如下：
所以不等式组的解集为：﹣1≤x＜2．
28．（2024 东海县一模）解方程：．
【解析】解：两边乘x﹣2得到，1+3（x﹣2）＝x﹣1，
1+3x﹣6＝x﹣1，
x＝2，
∵x＝2时，x﹣2＝0，
∴x＝2是分式方程的增根，原方程无解．
29．（2024 周至县一模）解方程：x2+6x+2＝0．
【解析】解：方程x2+6x+2＝0，
配方得：（x+3）2＝7，
开方得：x+3＝±，
解得：x1＝﹣3+，x2＝﹣3﹣．
30．（2024 正定县一模）对于实数a、b，定义关于“ ”的一种运算：a b＝2a+b，例如3 4＝2×3+4＝10．
（1）求4 （﹣3）的值；
（2）若x （﹣y）＝2，（2y） x＝﹣1，求x+y的值．
【解析】解：（1）根据题中的新定义得：原式＝2×4+（﹣3）＝8﹣3＝5；
（2）根据题中的新定义化简得：，
①+②得：3x+3y＝1，
则x+y＝．
31．（2024 偃师区模拟）如图，老李想用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈ABCD，并在边BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用其他材料）．
（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640m2的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到650m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；（2）不能，理由见解答．
【解析】解：（1）设矩形ABCD的边AB＝x m，则边BC＝70﹣2x+2＝（72﹣2x）m．
根据题意，得x（72﹣2x）＝640，
化简，得 x2﹣36x+320＝0，
解得 x1＝16，x2＝20，
当x＝16时，72﹣2x＝72﹣32＝40（m），
当x＝20时，72﹣2x＝72﹣40＝32（m）．
答：当羊圈的长为40m，宽为16m或长为32m，宽为20m时，能围成一个面积为640m2 的羊圈；
（2）答：不能，
理由：由题意，得x（72﹣2x）＝650，
化简，得 x2﹣36x+325＝0，
Δ＝（﹣36）2﹣4×325＝﹣4＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到 650m2．
32．（2024 桂阳县校级模拟）湘潭市继2017年成功创建全国文明城市之后，又准备争创全国卫生城市．某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【解析】解：（1）设温馨提示牌的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，
根据题意得，2x+3×3x＝550，
∴x＝50，
经检验，符合题意，
∴3x＝150元，
即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买温馨提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y）个，
根据题意得，，
∴50≤y≤52，
∵y为正整数，
∴y为50，51，52，共3种方案；
即：温馨提示牌50个，垃圾箱50个；温馨提示牌51个，垃圾箱49个；温馨提示牌52个，垃圾箱48个，
根据题意，费用为50y+150（100﹣y）＝﹣100y+15000，
当y＝52时，所需资金最少，最少是9800元．
33．（2024 双峰县模拟）某商城在2021年端午节期间促销海尔冰箱，每台进货价为2500元，标价为3000元．
（1）商城举行了“新老用户粽是情”摸奖活动，中奖者商城将冰箱连续两次降价，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；
（2）市场调研表明：当每台售价为2900元时，平均每天能售出8台，当每台售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，若商城要想使海尔冰箱的销售利润平均每天达到5000元，则每台冰箱的定价应为多少元？
【答案】（1）每次降价的百分率是10%；
（2）定价为2750元．
【解析】解：（1）设每次降价的百分率为x，
依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，
解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）
答：每次降价的百分率是10%；
（2）假设下调a个50元，依题意得：5000＝（2900﹣2500﹣50a）（8+4a）．
解得a1＝a2＝3．
所以下调150元，因此定价为2750元．
34．（2024 新邵县一模）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．
（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？
（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．
【解析】解：（1）设1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为x人，y人，
，
解得：，
答：1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为45人和30人；
（2）设租用甲种客车a辆，依题意有：，
解得：6＞a≥4，
因为a取整数，
所以a＝4或5，
∵5×400+1×280＞4×400+2×280，
∴a＝4时，租车费用最低，为4×400+2×280＝2160（元）．
35．（2024 宿迁二模）近日，教育部印发《义务教育课程方案》和课程标准（2022年版），将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来．某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格是菜苗基地的倍，用300元在市场上购买的A种菜苗比在菜苗基地购买的少3捆．
（1）求菜苗基地每捆A种菜苗的价格．
（2）菜苗基地每捆B种菜苗的价格是30元．学校决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数．菜苗基地为支持该校活动，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．求本次购买最少花费多少钱．
【答案】（1）菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）本次购买最少花费2250元．
【解析】解：（1）设菜苗基地每捆A种菜苗的价格是x元，
根据题意得：＝+3，
解得x＝20，
经检验，x＝20是原方程的解，
答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格是20元；
（2）设购买A种菜苗m捆，则购买B种菜苗（100﹣m）捆，
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数，
∴m≤100﹣m，
解得m≤50，
设本次购买花费w元，
∴w＝20×0.9m+30×0.9（100﹣m）＝﹣9m+2700，
∵﹣9＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴m＝50时，w取最小值，最小值为﹣9×50+2700＝2250（元），
答：本次购买最少花费2250元．
36．（2024 江阴市校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s，2cm/s的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？
【答案】（1）或；
（2）4秒或6秒．
【解析】解：（1）过点P作PE⊥CD于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16﹣2x﹣3x）2+62＝102，
∴，；
∴经过或，P、Q两点之间的距离是10cm；
（2）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当时，PB＝16﹣3y，
∴，即，
解得y＝4；
②当时，BP＝3y﹣16，QC＝2y，
则，
解得（舍去）；
③时，QP＝CQ﹣PC＝22﹣y，
则，
解得y＝18（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒，△PBQ的面积为12cm2．
37．（2024 皇姑区模拟）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：
信息一
工程队 每天施工面积（单位：m2） 每天施工费用（单位：元）
甲 x+300 3600
乙 x 2200
信息二
甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工1200m2所需天数相等．
（1）求x的值；
（2）该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用？
【答案】（1）x的值为600；
（2）该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用．
【解析】解：（1）根据题意得：＝，
解得：x＝600，
经检验，x＝600是所列方程的解，且符合题意．
答：x的值为600；
（2）设甲工程队施工m天，则乙工程队单独施工（22﹣m）天，
根据题意得：（600+300）m+600（22﹣m）≥15000，
解得：m≥6，
设该段时间内体育中心需要支付w元施工费用，则w＝3600m+2200（22﹣m），
即w＝1400m+48400，
∵1400＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝6时，w取得最小值，最小值＝1400×6+48400＝56800．
答：该段时间内体育中心至少需要支付56800元施工费用．
38．（2024 富顺县一模）我们规定：方程ax2+bx+c＝0的变形方程为a（x+1）2+b（x+1）+c＝0．例如，方程2x2﹣3x+4＝0的变形方程为2（x+1）2﹣3（x+1）+4＝0
（1）直接写出方程x2+2x﹣5＝0的变形方程；
（2）若方程x2+2x+m＝0的变形方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（3）若方程ax2+bx+c＝0的变形方程为x2+2x+1＝0，直接写出a+b+c的值．
【解析】解：（1）用x+1表示方程x2+2x﹣5＝0里的x，
可得（x+1）2+2（x+1）﹣5＝0．
（2）用x+1表示方程x2+2x+m＝0里的x，
得（x+1）2+2（x+1）+m＝0．
整理，得x2+4x+3+m＝0
∵变形后的方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝42﹣4（3+m）
＝4﹣4m＞0，
∴m＜1．
（3）a+b+c＝1．
（方程ax2+bx+c＝0的变形方程为a（x+1）2+b（x+1）+c＝0，
整理，得ax2+2ax+a+bx+b+c＝0，
即ax2+（2a+b）x+（a+b+c）＝0
由于方程ax2+bx+c＝0的变形方程为x2+2x+1＝0，
所以a+b+c＝1．
【中考热点3】函数类综合问题★★★★★
【考情分析】
二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般3-4题，其中有1-2道大题．所占分值大约25分左右．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结．
【满分技巧】
1．把握二次函数所有考点的做题技巧
(1)求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程:
(2)求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
(3)根据图象的位置判断二次函数ax +bx+c=0中a,b,c的符号,或由二次函数中a,b,c的符号判断图象的位置，要数形结合;
(4)二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标，
2.二次函数的压轴题主要考向
（1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）等）．
（2）最值问题（线段、周长、面积）
3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略
（1）线段最值（周长）问题——斜化直策略
（2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略
（3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题
（4）线段差——三角形三边关系或函数
（5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论
（6）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法
【2024年中考预测】
一、选择题（共20小题）
1．（2024 大渡口区模拟）反比例函数的图象经过点A（﹣2，3），下列各点在该反比例函数图象上的是（　　）
A．（﹣1，﹣6） B．（1，﹣6） C．（﹣3，﹣2） D．（3，2）
【答案】B
【解析】解：设反比例函数表达式为，把A（﹣2，3）代入，
∴k＝xy＝﹣6，
A、∵（﹣1）×（﹣6）＝6≠﹣6，
∴点（﹣1，﹣6）不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
B、∵1×（﹣6）＝﹣6，
∴点（1，﹣6）在反比例函数图象上，故本选项符合题意；
C、∵﹣3×（﹣2）＝6≠﹣6，
∴点（﹣3，﹣2）在反比例函数图象上，故本选项不符合题意；
D、∵3×2＝6≠﹣6，
∴点（3，2）不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意．
故选：B．
2．（2024 绥化模拟）如图1，Rt△ABC中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B运动到点C，设B，P两点间的距离为x，PA﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（　　）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】D
【解析】解：由函数图象知：当x＝0，即P在B点时，BA﹣BE＝2．
利用三角形两边之差小于第三边，得到PA﹣PE≤AE．
∴y的最大值为AE，
∴AE＝10．
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BA2+BE2＝AE2＝100，
设BE的长度为t，
则BA＝t+2，
∴（t+2）2+t2＝100，
即：t2+t﹣48＝0，
∴（t+8）（t﹣6）＝0，
由于t＞0，
∴t+8＞0，
∴t﹣6＝0，
∴t＝6．
∴BC＝2BE＝2t＝2×6＝12．
故选：D．
3．（2024 庆云县模拟）已知直线y＝﹣3x+a与直线y＝2x+b交于点P，若点P的横坐标为3，则关于x的不等式﹣3x+a＞2x+b的解集为（　　）
A．x＜﹣3 B．x＜3 C．x＞3 D．x＞﹣3
【答案】B
【解析】解：当x＜3时，直线y＝﹣3x+a都在直线y＝2x+b的上方，
所以关于x的不等式﹣3x+a＞2x+b的解集为x＜3．
故选：B．
4．（2024 绥化模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点AC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】见试题解析内容
【解析】解：作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F，
∵四边形OABC是矩形，
∴AB∥OC，
∴PF⊥AB，
∵顶点B在函数y＝（x＞0）的图象上，
∴xy＝6，
∴S阴＝ OC PE+ AB PF＝ OC EF＝S矩形ABCO＝×6＝3．
故选：A．
5．（2024 黔南州一模）直线y＝2x+1如图所示，过点P（2，1）作与它平行的直线y＝kx+b，则k，b的值是（　　）
A．k＝2，b＝3 B．k＝2，b＝﹣3 C．k＝2，b＝﹣1 D．k＝﹣2，b＝﹣3
【答案】B
【解析】解：∵直线y＝kx+b与直线y＝2x+1平行，
∴k＝2，
∵点P（2，1）在直线y＝kx+b上，
∴2k+b＝1，
∴b＝﹣2k+1＝﹣2×2+1＝﹣3，
即一次函数y＝kx+b的解析式为y＝2x﹣3．
故选：B．
6．（2024 金乡县一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】解：①当k＞0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象的两个分支分别位于一、三象限，
没有符合条件的选项，
②当k＜0时，
一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，
反比例函数的y＝（k≠0）的图象的两个分支分别二、四象限，
故C选项的图象符合要求．
故选：C．
7．（2024 武威二模）如图，小球起始位置时位于（3，0）处，沿图中所示的方向击球，小球的运动轨迹如图所示，当小球第2023次碰到球桌边时，小球的位置是（　　）
A．（0，3） B．（1，4） C．（5，0） D．（8，3）
【答案】A
【解析】解：由图可得，
点（3，0）第一次碰撞后的点的坐标为（0，3），
第二次碰撞后的点的坐标为（1，4），
第三次碰撞后的点的坐标为（5，0），
第四次碰撞后的点的坐标为（8，3），
第五次碰撞后的点的坐标为（7，4），
第六次碰撞后的点的坐标为（3，0），
…，
∵2023÷6＝337余1，
∴小球第2023次碰到球桌边时，小球的位置是（0，3），
故选：A．
8．（2024 津市市一模）将抛物线y＝﹣x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到的新图象与直线y＝x+m有4个交点，则m的取值范围是（　　）
A．m≤﹣5 B．﹣≤m＜﹣5 C．﹣＜m＜﹣3 D．m≥﹣3
【答案】C
【解析】解：令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣1，0）、（3，0），
∵将抛物线y＝﹣x2+2x+3中x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，
∴新图象中当﹣1≤x≤3时，解析式为y＝x2﹣2x﹣3，如图，
当直线y＝x+m．经过（3，0）时，此时直线y＝x+m与新函数图象有3个交点，
把（3，0）代入直线y＝x+m，解得m＝﹣3，
直线y＝x+m再向下平移时，有4个交点；
当y＝x2﹣2x﹣3与直线y＝x+m有一个交点时，此时直线y＝x+m与新函数图象有3个交点，
联立方程组，
整理得x2﹣3x﹣3﹣m＝0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝21+4m＝0，
解得m＝﹣，
综上所述，新图象与直线y＝x+m有4个交点时，m的取值范围是．
故选：C．
9．（2024 凉州区二模）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，如图所示，与x轴的一个交点为（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③若点（x1，y1）和点（x2，y2）在抛物线图象上，那么当﹣2＜x1＜﹣1，2＜x2＜3时，y1＜y2；④3a+c＝0，其中正确的结论个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线对称轴为直线为，
∴b＝﹣2a＜0，
∴2a+b＝0，
②正确；
∵抛物线与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＞0，
①正确；
∵对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（3，0），
∴与x轴另一交点为（﹣1，0），
∴当﹣2＜x1＜﹣1时，y＞0，当2＜x2＜3时，y＜0，
∴y1＞y2
③错误；
∵抛物线经过（3，0），
∴9a+3b+c＝0，
∵b＝﹣2a，
∴9a+3b+c＝3a+c＝0，
④正确；
正确结论有3个，
故选：C．
10．（2024 松北区一模）A，B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．甲、乙两人离开A地的距离S（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（　　）
A．乙比甲提前出发1h
B．甲行驶的速度为40km/h
C．3h时，甲、乙两人相距60km
D．0.75h或1.125h时，乙比甲多行驶10km
【答案】C
【解析】解：由图象可得，乙车比甲车早出发1小时，
故A正确；
甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），
故B正确；
乙的速度是＝km/h，
3h甲车行走的路程为40×（3﹣1）＝80（km），
3h乙车行走的路程为×3＝40（km），
∴3h后甲、乙相距80﹣40＝40（km），
故C错误；
0.75h乙车走了0.75×＝10（km），
甲车还在A地没出发，此时乙比甲多行驶10km，
1.125h乙走了1.125×＝15km，
此时甲行走的路程为（1.125﹣1）×40＝5（km），
乙车比甲车多走了15﹣5＝10（km），
故D正确．
故选：C．
11．（2024 苍溪县一模）如图，Rt△AOB的直角顶点在坐标原点O上，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数（x＜0）的图象上，则tan∠A的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，如图．
∵点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数（x＜0）的图象上，
∴S△BCO＝×1＝，S△AOD＝＝2，
∵∠BOA＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝90°，
∵∠AOD+∠OAD＝90°，
∴∠BOC＝∠OAD，
又∵∠BCO＝∠ADO＝90°，
∴△BCO∽△ODA，
∴＝（）2，
∴＝（）2，即＝（）2，
∴tan∠A＝＝，
故选：B．
12．（2024 阳新县校级模拟）函数y＝|ax2+bx+c|（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象是由函数y＝ax2+bx+c（a＞0，b2﹣4ac＞0）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，如图所示，则下列结论正确的是（　　）
①2a+b＝0；
②c＝3；
③abc＞0；
④将图象向上平移2个单位后与直线y＝5有3个交点．
A．①② B．①③ C．②③④ D．①③④
【答案】B
【解析】解：∵图象经过（﹣1，0），（3，0），
∴抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，①正确．
由图象可得抛物线y＝ax2+bx+c与y轴交点在x轴下方，
∴c＜0，②错误．
由抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上可得a＞0，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，③正确．
设抛物线y＝ax2+bx+c的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），
代入（0，3）得：3＝﹣3a，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点坐标为（1，4），
∵点（1，4）向上平移2个单位后的坐标为（1，6），
∴将图象向上平移2个单位后与直线y＝5有4个交点，故④错误；
故选：B．
13．（2024 津市市一模）将二次函数y＝x2﹣6的图象向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为（　　）
A．y＝x2﹣2x﹣5 B．y＝x2+2x﹣9 C．y＝x2﹣2x﹣8 D．y＝x2+2x﹣5
【答案】C
【解析】解：根据题意可得解析式为：y＝（x﹣1）2﹣3﹣6＝x2﹣2x﹣8．
故选：C．
14．（2024 许昌一模）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点P从点A出发运动到点B时停止，过点P作PQ⊥AB，交直角边AC（或BC）于点Q，设点P运动的路程为x，△APQ的面积为y，y与x之间的函数关系图象如图2所示，当x＝5时，△APQ的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解：根据图2知，AB＝8，
当x＝5时，AP＝5，BP＝3，
∵∠B＝30°，
∴，
，
故选：C．
15．（2024 昌吉州一模）已知直线与y轴、x轴分别交于点A和点B，M是线段OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在y轴上的点B′处，则点M的坐标是（　　）
A．（3，0） B．（4，0） C．（5，0） D．（6，0）
【答案】A
【解析】解：令x＝0，则，
∴A（0，6），
令y＝0，则，解得：x＝8，
∴点B（8，0），
∵O（0，0），
∴OA＝6，OB＝8，
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOB＝∠B′OM＝90°，
∴AB＝10，
由折叠可知：AB′＝AB＝10，BM＝B′M，
∴B′O＝AB′﹣OA＝10﹣6＝4，
设点M坐标为（m，0），
∵O（0，0），
∴OM＝m，BM＝OB﹣OM＝8﹣m，
∴B′O2+OM2＝B′M2，
42+m2＝（8﹣m）2，
16+m2＝64﹣16m+m2，
16m＝48，
m＝3，
∴点M的坐标为（3，0），
故选：A．
16．（2024 鞍山模拟）如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2．下列叙述正确的是（　　）
A．小球的飞行高度不能达到15m
B．小球的飞行高度可以达到25m
C．小球从飞出到落地要用时4s
D．小球飞出1s时的飞行高度为10m
【答案】C
【解析】解：A、当h＝15时，15＝20t﹣5t2，
解得：t1＝1，t2＝3，
故小球的飞行高度能达到15m，故此选项错误；
B、h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20，
故t＝2时，小球的飞行高度最大为：20m，故此选项错误；
C、∵h＝0时，0＝20t﹣5t2，
解得：t1＝0，t2＝4，
∴小球从飞出到落地要用时4s，故此选项正确；
D、当t＝1时，h＝15，
故小球飞出1s时的飞行高度为15m，故此选项错误；
故选：C．
17．（2024 斗门区校级一模）如图，直线y＝x+b分别交x轴、y轴于A，B，M是反比例函数的图象上位于直线上方的一点，MC∥x轴交AB于C，MD⊥MC交AB于D，AC BD＝8，则k的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣4 C．﹣6 D．﹣8
【答案】B
【解析】解：过点D作DE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，
令x＝0代入y＝x+b，
∴y＝b，
∴B（0，b），
∴OB＝﹣b，
令y＝0代入y＝x+b，
∴x＝﹣b，
∴（﹣b，0），
∴OA＝OB＝﹣b，
∴∠OAB＝∠OBA＝45°，
设M（x，y），
∴CF＝﹣y，ED＝x，
∴﹣y＝AC，x＝BD，
∴AC＝﹣y，BD＝x，
∵AC BD＝8，
∴﹣y x＝8，
∴xy＝﹣4，
∵M在反比例函数的图象上，
∴k＝xy＝﹣4，
故选：B．
18．（2024 黄山一模）如图，一次函数的图象与y＝kx+b的图象相交于点P（﹣2，n），则关于x，y的方程组的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：关于x，y的方程组可化为：
，
故一次函数的图象与y＝kx+b的图象的交点坐标即为方程组的解，
将P（﹣2，n）代入得：
，
∴P（﹣2，3），
故关于x，y的方程组的解是．
故选：B．
19．（2024 南山区一模）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象上，点C在y轴上，AB＝AC，AC∥x轴，BD⊥AC于点D，若点A的横坐标为5，BD＝3CD，则k值为（　　）
A．3 B．4 C． D．
【答案】D
【解析】解：延长BD交x轴于点E，作BG⊥y轴于点G，作AF⊥x轴，则四边形OCAF、COED、ADEF、BGCD均为矩形，
∴BG＝CD，AF＝DE，CD＝OE，
设B点坐标为（m，n），则BG＝CD＝OE＝m，BE＝n，
∵AC＝AB＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝5﹣m，
∵BD＝3CD＝3m，
∴AF＝DE＝n﹣3m，
在Rt△ABD中，BD2+AD2＝AB2，
∴（3m）2+（5﹣m）2＝52，
解得m1＝1，m2＝0（舍去），
∴DE＝n﹣3，AF＝n﹣3，
∴B（1，n），A（5，n﹣3），
∵点B（1，n），A（5，n﹣3）在反比例函数图象上，
∴n＝5（n﹣3），解得n＝，
∴k＝＝．
故选：D．
20．（2024 新乡一模）如图1，在菱形ABCD中，E为AB的中点，点F沿AC从点A向点C运动，连接FE，FB．设FA＝x，FE+FB＝y，图2是点F运动时y随x变化的关系图象，则y的最小值是（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】解：如图，连接BD，DE．DE、AC交于点F，BD、AC交于点O．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD．
∴点B、D关于直线AC对称．
∴FB＝FD．
∴y最小＝FB+FE＝FD+FE＝DE．
观察函数图象可知，当点F与A重合时，FE+FB＝3，
即AE+AB＝3．
∵点E是AB的中点，
∴AE＝AB．
∴AB+AB＝3．
解得：AB＝2．
∴AE＝EB＝1．
当点F在点C处时，FE+FB＝2+．
∵BC＝AB＝2，
∴FE＝．
作CG⊥AB于点G．
∴∠G＝90°．
设BG长x，
在Rt△CBG中，CG2＝CB2﹣BG2，
在Rt△CEG中，CG2＝CE2﹣EG2，
∴22﹣x2＝7﹣（1+x）2．
解得：x＝1．
∴BG＝1．
∴cos∠CBG＝．
∴∠CBG＝60°．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝BA＝2，AD∥CB，
∴∠DAB＝60°．
∴△BAD为等边三角形．
∴DB＝DA．
∵点E是CB的中点，
∴DE⊥AB．
∴∠DEA＝90°．
∴DE＝．
∴FB+FE的最小值为．
∴y的最小值是．
故选：B．
二、填空题（共8小题）
21．（2024 济南模拟）某快递公司每天上午9：30﹣10：30为集中揽件和派件时段，甲仓库用来揽收快件，乙仓库用来派发快件，该时段内甲、乙两仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数图象如图所示，那么从9：30开始，经过　 　分钟时，两仓库快递件数相同．
【答案】20
【解析】解：设甲仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y1＝k1x+40，根据题意得60k1+40＝400，解得k1＝6，
∴y1＝6x+40；
设乙仓库的快件数量y（件）与时间x（分）之间的函数关系式为：y2＝k2x+240，根据题意得60k2+240＝0，解得k2＝﹣4，
∴y2＝﹣4x+240，
联立，
解得，
∴经过20分钟时，当两仓库快递件数相同．

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