资源简介

2024年中考数学考前倒计时冲刺20天01（第20-16天）
目 录 contents
（一）
实数…………………………………………………………………………………01
代数式………………………………………………………………………………43
方程与方程组………………………………………………………………………90
不等式与不等式组…………………………………………………………………147
中小学教育资源及组卷应用
统计与概率……………………………………………………………………… 176
实数
在中考中，实数部分的命题可能会涉及以下几个方面：
实数的分类与性质：命题可能会要求考生对实数进行正确的分类，理解有理数和无理数的概念，掌握它们的基本性质。
实数的运算：包括加减乘除、乘方和开方等运算。命题可能会以计算题或应用题的形式出现，考察考生对实数运算的掌握情况。
实数的应用：实数在生活中有着广泛的应用，如测量、计算等。命题可能会结合实际问题，考察考生运用实数知识解决问题的能力。
此外，近年来中考数学命题越来越注重对学生综合素质的考察，可能会涉及到一些创新题型，如开放性问题、探究性问题等。这些问题通常需要考生结合所学知识进行思考和探究，考察他们的创新思维和实践能力。
综上所述，实数中考命题预测可能会围绕实数的分类、性质、运算以及应用等方面展开，同时可能会出现一些创新题型。因此，建议考生在备考过程中加强对实数知识点的理解和应用能力的训练，同时注重提高自己的综合素质和创新能力。
Ⅰ、正数与负数
一、正数与负数
正数：像3.5，2020，6.7，等这样的数都是正数，它们都是大于0的；
负数：像－154，－3.4，－3.5％等这样的数都是负数，它们都是小于0的；
0既不是正数，也不是负数.
1. 一个数前面的“＋”号或“－”号叫做它的符号，其中“＋”号可以省略不写，“－”号不能省略；
2. 0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没有温度；
3. 判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“＋”号就是正数，带“－”号就是负数，如后面要讲的就是一个正数.
二、正、负数表示具有相反意义的量
1. 具有相反意义的量包括两个因素：①有相反的意义，②有数量.
（1）单独的一个量不能称为具有相反意义的量，即具有相反意义的量总是成对出现的；
（2）具有相反意义的量必须是同类量，如盈利200元与向东走200米就不是具有相反意义的量；
（3）具有相反意义的量只要求具有相反意义和数量即可，数量不一定要相等，例：与上升100米是相反意义的量有很多，如下降10米、下降120米、下降200米等；
（4）常见的具有相反意义的量：前进与后退，上升和下降，盈利和亏损，向南和向北等.
三、整数和分数
整数：正整数、负整数、零统称为整数；
分数：正分数、负分数统称为分数；
易错点：
1. 0不是分数，0是整数；
2. 零和正整数又叫自然数；
3. 正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（自然数），负整数和零统称为非负整数；
4. 有限小数和无线循环小数都可以化成分数
四、用正、负数表示误差范围
一般情况下，我们常用“”这种形式来表示误差范围，其中a表示标准数量，表示在标准数量的基础上误差范围.
Ⅱ、有理数与无理数
一、有理数
我们把能够写成分数形式（m，n是整数，n≠0）的数叫做有理数.
1. 有理数只包括整数和分数；
2. 有限小数和无限循环小数都可以化成分数，所以它们都是有理数；
3. 无限不循环小数不能化成分数，所以无限不循环小数不是有理数，如π，等.
二、有理数的分类
由有理数的特征，一般会有以下两种分法.
1. 按定义分
2. 按正负分
三、无理数
1. 无理数定义及分类：无限不循环小数叫做无理数，无理数分为正有理数和负无理数.
2. 常见的无理数的几种类型
（1）一般的无限不循环小数，如0.32541…，3.5845661…；
（2）看似有规律循环实际上是无限不循环的小数，如0.010010001…（每两个1之间0的个数逐次增加1）；
（3）与圆周率π有关的数，如π，
Ⅲ、数轴
一、认识数轴、画数轴
1. 数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
（1）数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；
（2）数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可；
（3）数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变；
（4）在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.
2. 数轴的画法
（1）画一条直线（通常画成水平位置）；
（2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；
（3）确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头；
（4）选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1，2，3，…从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，…
二、数轴与有理数、无理数的关系
1. 有理数和无理数都可以用数轴上的点表示.
（1）正数可以用数轴上原点右边的点表示；
（2）负数可以用数轴上原点左边的点表示；
（3）0用原点表示.
2. 所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定表示有理数.
3. 数轴上的点与有理数、无理数建立了一一对应的关系，揭示了数与形的联系，是数形结合的基础.
三、利用数轴比较有理数的大小
1. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；
2. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.
正确画出数轴后，将各个有理数在数轴上表示出来，按照从左到右顺序用“＜”号或者按照从右到左顺序用“＞”号连接起来，注意不要漏数.
Ⅳ、绝对值与相反数
一、绝对值
在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值. 数a的绝对值记作，读作“a的绝对值”.
1. 因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数；
2. 数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值就越小；
3. 数轴上表示0的点到原点的距离为0，所以.
绝对值图示：
二、相反数
1. 相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数.
（1）0的相反数是0；
（2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）.
2. 相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.
（1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等；
（2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反数.
3. 相反数的性质
任何数都有相反数，且仅有一个．正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0．
4. 相反数的特征
若a与b互为相反数，则a＝－b，反之，若a＝－b，则a与b互为相反数.
（1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“－”号即可；
（2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“－”，如a－b的相反数为－（a－b），括号不要忘记了！
三、多重符号化简
1. 相反数的定义是多重符号化简的依据，如－（－1）表示－1的相反数，所以－（－1）＝1；
2. 由相反数的性质由内向外化简，当最前面的符号是“＋”时，可省略，当最前面的符号是“－”时，去掉“－”号，写出括号内的相反数；
3. 先省略所有的“＋”号，用“－”号的个数去掉结果的符号，当“－”号的个数是偶数时，化简的结果为正数；当“－”号的个数是奇数时，化简的结果为负数.
4. 多重符号化简后，最终的结果符号是由“－”号的个数决定的，与“＋”号的个数无关.
四、绝对值的性质
1. 绝对值的性质
正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，即
2. 绝对值的非负性
对于任何一个有理数a，我们都有.
（1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0；
（2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数.
五、比较有理数的大小
在上个专题中，讲解了用数轴比较有理数的大小，这个专题中我们将学习利用绝对值比较有理数的大小. 先将有理数进行分类，然后分别比较大小.
1. 正数比较大小，绝对值大的正数大；
2. 负数比较大小，绝对值大的负数小；
3. 正数要大于负数；
4. 正数大于0，负数小于0.
Ⅴ、有理数运算
一、有理数加法
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
若则；
若则。
2. 异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。
绝对值相等：若且，则；
绝对值不相等：
若且，则；
若且，则。
3. 一个数与0相加，仍得这个数。
二、有理数减法
减去一个数，等于加上这个数的相反数，
较大的数－较小的数＝正数，即若，则；
较小的数－较大的数＝负数，即若，则；
相等的两个数相减等于0，即若，则；
0减去任何数都等于这个数的相反数，任何数减去0仍等于这个数.
三、有理数乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
0与任何数相乘都得0；
任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数；
拓展：
几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0.
一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分.
四、倒数
1. 倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.
PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数.
2. 求一个数的倒数的方法：
（1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数；
（2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置；
（3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置；
（4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数.
3. 化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.
五、有理数除法法则
除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数；
两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；
0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义.
一个非零的数除以它的本身等于1.
两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同.
六、有理数乘方的意义
求相同因数的积的运算叫做乘方，相同因数叫做底数，相同因数的个数叫做指数，乘方的运算结果叫做幂.
一般地，记作，读作“a的n次方”，其中a叫做底数，n叫做指数，当看作a的n次方的计算结果时，也可以读作“a的n次幂”.
乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果；
一个数可以看作是它本身的一次方，指数1可省略不写；
底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来；
当负数或分数作为底数时，底数必须用括号括起来；
一个数的二次方又称为这个数的平方，一个数的三次方又称为这个数的立方.
七、有理数乘方的运算
有理数乘方运算的符号法则
正数的任何次幂都是正数；
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数；
0的任何正整数次幂都是0；
任何一个数的偶数次幂都是非负数.
有理数的乘方运算
计算一个有理数的乘方时，应先将乘方运算转化为乘法运算，先确定幂的符号，再计算幂的绝对值.
拓展：
（1）1的任何次幂都是1；
（2）－1的偶数次幂是1，－1的奇数次幂是－1；
（3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0，1，－1.
八、科学记数法
1. 用科学记数法表示绝对值大于1的数：一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法称为科学记数法.
a是一个整数数位只有一位的数，即；
确定n的两种方法：①若这个数是大于10的数，则n等于原数的整数位数减1；②按小数点移动的位数来确定n的值，小数点向左移动了几位，n就等于几.
一般地，用科学记数法可以将一个绝对值小于1的数表示成的形式，其中，n是负整数.
用科学记数法表示绝对值小于1的数的步骤：
（1）n的绝对值等于原数中左起第一个非0数字前所有0的个数（包括小数点前面的那个0）；
（2）小数点向右移动到第一个不为0的数字后，小数点移动了几位，n的绝对值就等于几；
Ⅵ、平方根
一、平方根
1. 平方根：如果，那么x叫做a的平方根，也叫做二次方根.
（1）在中，因为，所以；
（2）检验x是不是a的平方根，只需验证是不是等于a就可以了.
2. 平方根的表示：正数a的正的平方根记作，负的平方根记作，正数a的两个平方根记作，读作“正、负根号a”.
3. 一个数的平方根平方后仍然等于这个数.
4. 求一个非负带分数的平方根时，要先化成假分数，再求平方根.
二、平方根的性质
1. 一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；
2. 0的平方根还是0（平方根等于本身的只有0）；
3. 负数没有平方根；
4. ；
5. .
三、开平方
求一个数的平方根的运算叫做开平方.
1. 开平方时，被开方数a必须是非负数；
2. 开平方是求一个非负数的平方根.
3. 平方根是数，是开平方的结果；而开平方和加、减、乘、除、乘方一样，是求平方根的过程；
4. 平方和开平方互为逆运算，我们可以用平方运算来检验开平方的结果表是否正确.
四、算术平方根
1. 算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根；
2. 算术平方根的表示：正数a的算术平方根记作，读作“根号a”；
3. 算术平方根的性质：正数的算术平方根是一个正数，0的平方根也叫做0的算术平方根，负数没有算术平方根.
4. 算术平方根具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即；②算术平方根是非负数，即.
5. 平方根与算术平方根的区别与联系
平方根 算术平方根
区别 个数 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数 一个正数的算术平方根只有一个
表示方法 非负数a的平方根表示为 非负数a的算术平方根表示为
取值范围 正数的平方根是一正一负 正数的算术平方根一定是正数
联系 包含条件 平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根（0除外）0.
存在条件 平方根和算术平方根都是只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0.
PS：算术平方根等于它本身的数只有0和1.
Ⅶ、立方根
一、立方根
1. 一般地，如果，那么x叫做a的立方根.
2. 数a的立方根记作“”，读作“三次根号a”.
3. 这里a的取值可以是正数、负数或0，且根指数3不能省略.
二、立方根的性质
正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.
1. 平方根与立方根的区别与联系
关系 名称 平方根 立方根
区别 个数不同 正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根 正数的立方根是一个正数，0的立方根是0，负数的立方根是一个负数
表示方法 非负数a的平方根表示为，根指数是2，常省略不写 数a的立方根表示为，根指数是3，不能省略不写
被开方数的取值范围 在中，a是非负数，即 在中，a是任意数
联系 转化条件 都可以转化为非负数的非负方根来研究，平方根转化为算术平方根来研究，负数的立方根可以转化为其相反数的立方根来研究.
2. 立方根等于本身的有0和.
3. 互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数.
4. ，.
三、开立方
求一个数的立方根的运算叫做开立方.
求带分数的立方根时，要先将带分数化成假分数，再求它的立方根.
开立方与立方互为逆运算，可以利用开立方求一个数的立方根，也可以利用立方来检验一个数是不是某个数的立方根.
开立方时，先把根号下的数化简，看是不是一个数的立方，再求值；另外，开立方时，要先根据被开方数的符号确定其立方根的符号.
Ⅷ、实数
一、无理数
1. 无理数：无线不循环小数叫做无理数.
无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数，只有无限不循环小数才是无理数.
2. 常见的无理数三种形式
（1）开方开不尽的数的方根，如等；
（2）及化简后含的数，如，等；
（3）看似循环实质不循环的数，如（两个1之间一次多一个0）.
3. 任何一个有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母是1的分数），无理数不能写成分数的形式.
4. 任何一个有理数都可以写成有限小数（把整数看成小数点后是0的小数）或无限循环小数的形式，无理数是无限不循环小数.
二、实数及分类
1. 有理数和无理数统称为实数.
2. 实数的分类
（1）按定义分类：
（2）按性质分类：
PS：0既不是正实数，也不是负实数.
三、实数与数轴上点的关系
(
…
有理数集合
…
无理数集合
)1. 实数与数轴上点的关系：每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数，实数与数轴上的点一一对应.
2. 画表示无理数的点：要想在数轴上画出表示无理数的点，需先得到长度为无理数的绝对值的线段，一般地，依据勾股定理，通过构造直角三角形来得到长度为无理数的绝对值的线段，以原点为圆心，以上述线段长为半径画弧，弧与数轴的交点，便是表示无理数的点.
正无理数以原点为圆心，向数轴正方向画弧，负无理数以原点为圆心，向数轴负方向画弧.
四、比较实数的大小
有理数的大小比较方法在实数范围内仍然适用.
1. 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
2. 正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小.
3. 比较两个实数大小的常用方法：
（1）比较被开方数：如果两个数的根指数相同，我们可以通过比较被开方数的大小来比较两个实数的大小；
（2）数轴比较法：根据在数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，结合图形比较，这个方法适用于多个实数比较大小；
（3）法则比较法：根据“正数大于0，负数小于0，正数大于负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小”进行比较；
（4）作差比较法：当时，；当时，；当时，.
（5）作商比较法：a、b为正数，若，则；若，则；若，则
（6）倒数比较法：a、b为正数，若，则；
（7）平方比较法：a、b为正数，若，则.
Ⅸ、近似数
一、近似数
1. 近似数：接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值.
2. 准确数：与实际完全符合的数值称为准确数.
3. 常见的近似数
（1）用测量工具测出的一般都是近似数，如长度、质量、时间等；
（2）“计算”产生的近似数，如有圆周率π参与计算的结果；
（3）不容易得到或不能得到准确数时，只能用近似数表示，如人口普查等；
（4）表示某一时间段的数据为近似值，如小明今年14岁，在这1年中他都是14岁.
二、近似数的精确度
一个近似数四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位，精确到的这一位也叫做这个近似数的精确度.
1. 一个近似数末尾的0不能省略，如0.10中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度；
2. 带单位的数以及用科学记数法表示的数，求精确度时要先把数还原，再判断数的精确度，如10万＝10000，则10万精确到万位.
3. 其他近似数的取法
（1）去尾法：把某一个数保留到某一指定的数位为止，后面的数全部舍去，如将一根100米长的木棒截成每段6米做零件，最多可以做几个？，虽然十分位上的数字大于4，但不够做一个零件，所以只能取近似数16；
（2）进一法：把某一个数保留到某一指定的数位时，只要后面的数不是0，都要在保留的最后一位数上加1，如某校八年级共有200名学生，想租用45座大巴车秋游，应租用多少辆？，这里就要用进一法来确定租车的辆数，共需5辆.
1．（2023 苏州）有理数的相反数是（　　）
A． B． C． D．±
【分析】绝对值相等，但符号不同的两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0；据此即可得出答案．
【解答】解：的相反数是，
故选：A．
【点评】本题考查相反数的定义，此为基础概念，必须熟练掌握．
2．（2023 云南）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．若向东走60米记作+60米，则向西走80米可记作（　　）
A．﹣80米 B．0米 C．80米 D．140米
【分析】正数和负数可以表示具有相反意义的量，据此即可得出答案．
【解答】解：∵向东走60米记作+60米，
∴向西走80米可记作﹣80米，
故选：A．
【点评】本题考查正数与负数的实际意义，明确正数和负数是一对具有相反意义的量最为关键．
3．（2023 河北）光年是天文学上的一种距离单位，一光年是指光在一年内走过的路程，约等于9.46×1012km，下列正确的是（　　）
A．9.46×1012﹣10＝9.46×1011
B．9.46×1012﹣0.46＝9×1012
C．9.46×1012是一个12位数
D．9.46×1012是一个13位数
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：9.46×1012km＝9460000000000km是一个13位数．
故选：D．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2023 自贡）如图，数轴上点A表示的数是2023，OA＝OB，则点B表示的数是（　　）
A．2023 B．﹣2023 C． D．
【分析】结合已知条件，根据实数与数轴的对应关系即可求得答案．
【解答】解：∵OA＝OB，点A表示的数是2023，
∴OB＝2023，
∵点B在O点左侧，
∴点B表示的数为：0﹣2023＝﹣2023，
故选：B．
【点评】本题主要考查实数与数轴的对应关系，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（2023 徐州）的值介于（　　）
A．25与30之间 B．30与35之间
C．35与40之间 D．40与45之间
【分析】一个正数越大，其算术平方根越大，据此进行估算即可．
【解答】解：∵1600＜2023＜2025，
∴，
即4045，
故选：D．
【点评】本题考查无理数的估算，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
6．（2023 内蒙古）定义新运算“ ”，规定：a b＝a2﹣|b|，则（﹣2） （﹣1）的运算结果为（　　）
A．﹣5 B．﹣3 C．5 D．3
【分析】直接利用已知运算公式代入，进而计算得出答案．
【解答】解：由题意可得：
（﹣2） （﹣1）
＝（﹣2）2﹣|﹣1|
＝4﹣1
＝3．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
7．（2023 西藏）已知a，b都是实数，若（a+2）2+|b﹣1|＝0，则（a+b）2023的值是（　　）
A．﹣2023 B．﹣1 C．1 D．2023
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性可求解a，b的值，再代入计算可求解．
【解答】解：∵（a+2）2+|b﹣1|＝0，（a+2）2≥0，|b﹣1|≥0，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
解得a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2023＝（﹣1）2023＝﹣1．
故选：B．
【点评】此题考查了绝对值与偶次方非负性的应用，解题关键是利用非负性求出a、b的值．
8．（2023 济南）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．ab＞0 B．a+b＞0 C．a+3＜b+3 D．﹣3a＜﹣3b
【分析】从图中判断a的值和b的取值范围，再根据有理数的运算及不等式的性质来计算．
【解答】解：从图中得出：a＝2，﹣3＜b＜﹣2．（1）a和b相乘是负数，所以ab＜0，故A选项错误；
（2）a和b相加是负数，所以a+b＜0，故B选项错误；
（3）因为a＞b，所以a+3＞b+3，故C选项错误；
（4）因为a是正数，所以﹣3a＜0，又因为b是负数，所以﹣3b＞0，即﹣3a＜﹣3b，故选项D正确，所以选择D；
答案为：D．
【点评】主要考查了实数在数轴，有理数的运算，不等式的性质，熟练掌握上述性质是解题的关键．
9．（2023 浙江）计算：|﹣2023|＝　　．
【分析】负数的绝对值是它的相反数，由此可解．
【解答】解：﹣2023的相反数是2023，
故|﹣2023|＝2023，
故答案为：2023．
【点评】本题考查求一个数的绝对值，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
10．（2023 西宁）如果气温上升6℃记作+6℃，那么气温下降2℃记作 　　℃．
【分析】正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案．
【解答】解：气温上升6℃记作+6℃，那么气温下降2℃记作﹣2℃，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查正数和负数，熟练掌握其实际意义是解题的关键．
11．（2023 宁夏）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是﹣1，点B是AC的中点，线段AB，则点C表示的数是 　　．
【分析】先表示出点B表示的数，再根据点B是AC的中点进行求解．
【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，线段AB，
∴点B表示的数是﹣1，
∵点B是AC的中点，
∴线段BC＝AB，
∴点C表示的数是：﹣121，
故答案为：21．
【点评】此题考查了用数轴上的点表示实数的能力，关键是能准确理解并运用该知识．
12．（2023 广安）定义一种新运算：对于两个非零实数a、b，a※b．若2※（﹣2）＝1，则（﹣3）※3的值是 　　．
【分析】利用新定义的规定列式求得（x﹣y）的值，再利用新定义和整体代入的方法运算即可．
【解答】解：∵2※（﹣2）＝1，
∴1，
∴x﹣y＝2．
∴（﹣3）※3
（x﹣y）
2
．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了实数的运算，本题是新定义型，理解新定义的规定并熟练应用是解题的关键．
13．（2023 西宁）计算：．
【分析】直接利用绝对值的性质以及零指数幂的性质、有理数的乘方运算分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式
＝﹣11﹣1
3．
【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
14．（2023 枣庄）对于任意实数a，b，定义一种新运算：a※b，例如：3※1＝3﹣1＝2，5※4＝5+4﹣6＝3．根据上面的材料，请完成下列问题：
（1）4※3＝　　，（﹣1）※（﹣3）＝　　；
（2）若（3x+2）※（x﹣1）＝5，求x的值．
【分析】（1）根据定义的新运算列式计算即可；
（2）由新定义，分3x+2≥2（x﹣1）和3x+2＜2（x﹣1）两种情况分类讨论，并列得对应的方程并解方程即可．
【解答】解：（1）∵4＜2×3，
∴4※3
＝4+3﹣6
＝1；
∵﹣1＞2×（﹣3），
∴（﹣1）※（﹣3）
＝﹣1﹣（﹣3）
＝2；
故答案为：1；2；
（2）由题意，当3x+2≥2（x﹣1）时，
即x≥﹣4时，
原方程为：3x+2﹣（x﹣1）＝5，
解得：x＝1；
当3x+2＜2（x﹣1）时，
即x＜﹣4时，
原方程为：3x+2+x﹣1﹣6＝5，
解得：x＝2.5，
∵2.5＞﹣4，
∴x＝2.5不符合题意，应舍去，
综上，x＝1．
【点评】本题考查定义新运算问题，特别注意（2）中应分3x+2≥2（x﹣1）和3x+2＜2（x﹣1）两种情况分类讨论．
15．（2023 淄博）若实数m，n分别满足下列条件：
（1）2（m﹣1）2﹣7＝﹣5；
（2）n﹣3＞0．
试判断点P（2m﹣3，）所在的象限．
【分析】解方程2（m﹣1）2﹣7＝﹣5可得：m1＝0，m2＝2，解不等式n﹣3＞0可得：n＞3，把m和n代入P（2m﹣3，），即可判断点P所在的象限．
【解答】解：由（1）得：（m﹣1）2＝1，
∴m1＝0，m2＝2，
由（2）得：n＞3，
∴当m＝0，n＞3时，
2m﹣3＝2×0﹣3＝﹣3＜0，
0，
∴点P（2m﹣3，）在第二象限；
当m＝2，n＞3时，
2m﹣3＝2×2﹣3＝1＞0，
0，
∴点P（2m﹣3，）在第一象限；
综上所述，点P（2m﹣3，）在第一象限或第二象限．
【点评】本题考查了点在平面直角坐标系的坐标特征，解不等式，不等式的性质，解方程等，利用不等式性质判断点P的坐标特征是解题关键．
1．（2023 东营区一模）（﹣1）2023的相反数是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2023 D．2023
2．（2023 余杭区校级模拟）若a＜0，b＞0，则b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是（　　）
A．b B．b+a C．b﹣a D．ab
3．（2023 平南县二模）用科学记数法表示的数7.21×1011，它原来是（　　）位整数．
A．10 B．12 C．13 D．14
4．（2023 石景山区校级模拟）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|＝|b|，则下列结论中错误的是（　　）
A．a+b＞0 B．a+c＞0 C．b+c＞0 D．ac＜0
5．（2023 东营二模）在实数：3.14159，，1.010 010 001，，π，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2023 长春模拟）一种细胞的直径为2×10﹣3厘米，将2×10﹣3写成小数为 　 　．
7．（2023 项城市三模）与最接近的整数是 　 　．
8．（2023 黄冈模拟）若一个正数m的平方根为x+1和5+2x，则m的值为 　 　．
9．（2023 藁城区二模）对于三个实数a，b，c，用F{a，b}表示这两个数的平方差，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：F{l，2}＝12﹣22＝1﹣4＝﹣3，max{1，2，﹣1}＝2，max{2，1，1}＝2．
请结合上述材料，解决下列问题：
（1）F{﹣2，3}＝　 　，max{22，（﹣2）2，﹣22}＝　 　；
（2）若F{a﹣2，3}＜max{a2，a2+1，﹣3}，则负整数a的值是 　 　．
10．（2023 玉林一模）计算：（2﹣6）×（﹣2）+（﹣3）2÷（﹣1）﹣（π﹣3）0．
11．（2023 莲湖区模拟）计算：．
12．（2023 遵义模拟）（1）在整式x+4，2x﹣4，﹣3x+8中，任选两个用“＝”连接组成一个一元一次方程，并解该方程；
（2）计算
小君的解答如下：
解：原式＝2+（﹣2）﹣2第一步 ＝2﹣2﹣1 …第二步 ＝﹣1…第三步
小君的解答过程从第 　 　步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
1．（2023 娄底模拟）若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…且公式，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 白碱滩区二模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝（﹣1） i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n i＝（i4）n i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
3．（2023 镇海区校级模拟）我们把M＝{1，3，x）叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，3}，我们说M＝N．已知集合A＝{0，|x|，y}，集合 ，若A＝B，则x+y的值是（　　）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
4．（2023 瑶海区三模）若|x|+3＝|x﹣3|，则x的取值范围是　 　．
5．（2023 海淀区二模）四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中a＝4，b＝7，c为整数，m＝0.2（a+b+c）．
（1）若c＝10，则A，B，C中与M距离最小的点为 　 　；
（2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有 　 　个．
6．（2023 石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数　 　表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数　 　表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
7．（2023 宝应县模拟）如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的是b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）＝　 　，d（10﹣2）＝　 　；
（2）劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：
　 　（a为正数），若d（2）＝0.3010，则d（4）＝　 　，d（5）＝　 　，d（0.08）＝　 　；
（3）下表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
x 1.5 3 5 6 8 9 12 27
d（x） 3a﹣b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣3c 4a﹣2b 3﹣b﹣2c 6a﹣3b
1．﹣2024的绝对值是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
2．如果温度上升10℃，记作+10℃，那么温度下降7℃记作（　　）
A．+3℃ B．﹣3℃ C．+7℃ D．﹣7℃
3．著名的数学苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.218×109 B．2.18×108 C．2.18×109 D．218×106
4．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣3 C．﹣a＞2 D．﹣a≥3
5．当a＞0时，下列运算结果正确的是（　　）
A．a0＝0 B．a﹣2＝﹣a2
C．（﹣a）3＝﹣a3 D．
6．如果|a﹣2024|+（b+1）2＝0，则ab的值是 　 　．
7．某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了　 　米．
8．已知x是满足的整数，且使的值为有理数，则x＝　 　．
9．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数，则（a+b）2024的展开式中含a2023项的系数是 　 　．
10．定义：a，b，m为实数，若a+b＝m，则称a与b是关于的对称数．
（1）2与4是关于 　 　的对称数，7与 　 　是关于3的对称数；
（2）若a＝﹣2x2+3（x2+x）﹣4，且a与b是关于﹣1的对称数，试用含有x的代数式表示b．
11．老师设计了一个计算程序如图所示：
（1）当x取﹣6时，求出输出的结果；
（2）嘉淇发现：对于任意的一个数，经过上面的程序运算后所得结果都相同．你同意她的说法吗？说明理由．
12．已知数轴上有M，N两点，点M表示的数为3x﹣5，点N表示的数为9﹣x．
（1）当x＝﹣1时，求线段MN的长；
（2）若点M与点N关于原点对称，求点M表示的数；
（3）若点M在点N的左侧，求x的正整数值．
1．（2023 东营区一模）（﹣1）2023的相反数是（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2023 D．2023
【分析】先求出（﹣1）2023的值，再确定相反数即可．
【解答】解：∵（﹣1）2023＝﹣1，﹣1的相反数是1，
∴（﹣1）2023的相反数是1．
故选：B．
【点评】本题考查乘方的意义，相反数的概念．掌握﹣1的奇次方是﹣1是关键．
2．（2023 余杭区校级模拟）若a＜0，b＞0，则b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是（　　）
A．b B．b+a C．b﹣a D．ab
【分析】根据有理数的概念与运算法则进行比较、辨别．
【解答】解：∵a＜0＜b，
∴b+a＜b，b﹣a＞b＞0，ab＜0，
∴b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是b﹣a，
故选：C．
【点评】此题考查了运用有理数的概念与运算法则进行大小比较的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
3．（2023 平南县二模）用科学记数法表示的数7.21×1011，它原来是（　　）位整数．
A．10 B．12 C．13 D．14
【分析】根据科学记数法的形式a×10n，其中1≤|a|＜10，n是整数位数减1．
【解答】解：n＝整数位数﹣1，
∴整数位数＝n+1＝11+1＝12．
故选：B．
【点评】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的一般形式以及a与n的取值是解题的关键．
4．（2023 石景山区校级模拟）实数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|a|＝|b|，则下列结论中错误的是（　　）
A．a+b＞0 B．a+c＞0 C．b+c＞0 D．ac＜0
【分析】根据|a|＝|b|，确定原点的位置，根据实数与数轴即可解答．
【解答】解：∵|a|＝|b|，
∴原点在a，b的中间，
如图，
由图可得：|a|＜|c|，a+c＞0，b+c＜0，ac＜0，a+b＝0，
故选项A错误，
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是确定原点的位置．
5．（2023 东营二模）在实数：3.14159，，1.010 010 001，，π，中，无理数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据无理数的意义判断即可．
【解答】解：4，
无理数有，π，共有2个，
故选：B．
【点评】本题考查了无理数，算术平方根，立方根，掌握无限不循环小数是无理数是解题的关键，注意0.1010010001是有限小数，属于有理数．
6．（2023 长春模拟）一种细胞的直径为2×10﹣3厘米，将2×10﹣3写成小数为 　0.002　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：2×10﹣3＝0.002．
故答案为：0.002．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
7．（2023 项城市三模）与最接近的整数是 　4　．
【分析】先估算出的范围，再将其与3.5进行比较、求解．
【解答】解：∵34，且3.52＝12.25，
∴3.54，
∴与最接近的整数是4，
故答案为：4．
【点评】此题考查了无理数的估算能力，关键是能准确理解并运用平方根知识进行求解．
8．（2023 黄冈模拟）若一个正数m的平方根为x+1和5+2x，则m的值为 　1　．
【分析】根据平方根的定义，知x+1和5+2x互为相反数，列出方程，求出x的值；再根据平方根与平方的关系，求出m的值．
【解答】解：根据题意，得
x+1+5+2x＝0，
解得x＝﹣2；
所以m＝（﹣2+1）2＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查平方根的定义和性质，解答中涉及简单的一元一次方程的解法；关键是掌握一个正数的平方根有两个，它们互为相反数．
9．（2023 藁城区二模）对于三个实数a，b，c，用F{a，b}表示这两个数的平方差，用max{a，b，c}表示这三个数中最大的数．例如：F{l，2}＝12﹣22＝1﹣4＝﹣3，max{1，2，﹣1}＝2，max{2，1，1}＝2．
请结合上述材料，解决下列问题：
（1）F{﹣2，3}＝　﹣5　，max{22，（﹣2）2，﹣22}＝　4　；
（2）若F{a﹣2，3}＜max{a2，a2+1，﹣3}，则负整数a的值是 　﹣1　．
【分析】（1）根据题意，读懂弄通式子的含义，代入求值即可得解．
（2）由题意，依据所给材料，列出不等式计算即可得解．
【解答】解：（1）由题意得，F{﹣2，3}＝（﹣2）2﹣32＝4﹣9＝﹣5，
max{22，（﹣2）2﹣22}＝max{4，4，﹣4}＝4．
故答案为：﹣5；4．
（2）由题意，∵a2≥0，
∴a2+1＞a2＞﹣3．
∴max{a2，a2+1，﹣3}＝a2+1．
又F{a﹣2，3}＝（a﹣2）2﹣32＝（a﹣2）2﹣9，
且F{a﹣2，3}＜max{a2，a2+1，﹣3}，
∴（a﹣2）2﹣9＜a2+1．
∴a．
又a是负整数，
∴a＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了新概念信息题，解题的关键是读懂题意并根据题意列式计算．
10．（2023 玉林一模）计算：（2﹣6）×（﹣2）+（﹣3）2÷（﹣1）﹣（π﹣3）0．
【分析】先算乘方和零指数幂，再算乘除，后算加减，有括号先算括号里，即可解答．
【解答】解：（2﹣6）×（﹣2）+（﹣3）2÷（﹣1）﹣（π﹣3）0
＝﹣4×（﹣2）+9÷（﹣1）﹣1
＝8+（﹣9）﹣1
＝8﹣9﹣1
＝﹣2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
11．（2023 莲湖区模拟）计算：．
【分析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：
1﹣5+（）
．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（2023 遵义模拟）（1）在整式x+4，2x﹣4，﹣3x+8中，任选两个用“＝”连接组成一个一元一次方程，并解该方程；
（2）计算
小君的解答如下：
解：原式＝2+（﹣2）﹣2第一步 ＝2﹣2﹣1 …第二步 ＝﹣1…第三步
小君的解答过程从第 　一　步开始出现错误，请写出正确的解答过程．
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）若x+4＝2x﹣4，
x﹣2x＝﹣4﹣4，
﹣x＝﹣8，
x＝8；
若2x﹣4＝﹣3x+8，
2x+3x＝8+4，
5x＝12，
x＝2.4；
若x+4＝﹣3x+8，
x+3x＝8﹣4，
4x＝4，
x＝1；
（2）小君的解答过程从第一步开始出现错误，
正确的解答过程如下：
＝2+2﹣2
＝4﹣1
＝3，
故答案为：一．
【点评】本题考查了实数的运算，负整数指数幂，一元一次方程的定义，特殊角的三角函数值，解一元一次方程，准确熟练地进行计算是解题的关键．
1．（2023 娄底模拟）若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…且公式，则（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题目信息，表示出C125与C126，然后通分整理计算即可．
【解答】解：根据题意，有C125，C126，
∴C125+C126，
，
，
＝C136．
故选：B．
【点评】本题是信息给予题，读懂题目信息是解题的关键．
2．（2023 白碱滩区二模）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i）．并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝（﹣1） i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n i＝（i4）n i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013的值为（　　）
A．0 B．1 C．﹣1 D．i
【分析】i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝（﹣1） i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4 i＝i，i6＝i5 i＝﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．
【解答】解：由题意得，i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2 i＝（﹣1） i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，i5＝i4 i＝i，i6＝i5 i＝﹣1，
故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，
∵503…1，
∴i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013＝i．
故选：D．
【点评】本题考查了实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．
3．（2023 镇海区校级模拟）我们把M＝{1，3，x）叫集合M，其中1，3，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠3），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，3}，我们说M＝N．已知集合A＝{0，|x|，y}，集合 ，若A＝B，则x+y的值是（　　）
A．4 B．2 C．0 D．﹣2
【分析】根据题干所给条件推理与排除，并通过简单计算即可．
【解答】解：由题可得，集合A中|x|≠0，即x≠0，y≠0，
∴xy≠0．
∴B中的0，
∴x＝y，
∴|x|＝xy，
∵|x|≠y，
∴x与y都为负数，
∵|x|＝﹣x，
∴﹣x＝xy，
∴xy+x＝0，
∴x（y+1）＝0，
∵x≠0，
∴y+1＝0，
∴y＝﹣1，
∴x＝﹣1，
∴x+y＝﹣2．
故选：D．
【点评】本题考查实数的相关概念，正确理解题干所给新定义是解题关键，同时还得运用排除法进行计算．
4．（2023 瑶海区三模）若|x|+3＝|x﹣3|，则x的取值范围是　　．
【分析】根据绝对值的性质，要化简绝对值，可以就x≥3，0＜x＜3，x≤0三种情况进行分析．
【解答】解：①当x≥3时，原式可化为：x+3＝x﹣3，无解；
②当0≤x＜3时，原式可化为：x+3＝3﹣x，此时x＝0；
③当x＜0时，原式可化为：﹣x+3＝3﹣x，等式恒成立．
综上所述，则x≤0．
【点评】此题主要是能够根据x的取值范围进行分情况化简绝对值，然后根据等式是否成立进行判断．
5．（2023 海淀区二模）四个互不相等的实数a，b，c，m在数轴上的对应点分别为A，B，C，M，其中a＝4，b＝7，c为整数，m＝0.2（a+b+c）．
（1）若c＝10，则A，B，C中与M距离最小的点为 　点A　；
（2）若在A，B，C中，点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有 　3　个．
【分析】（1）若c＝10，a＝4，b＝7，求出没m的值，再求出A，B，C中与M距离，比较大小，得出与M距离最小的点为A；
（2）若在A，B，C中，点C是一个变化的点，点 M随它变化，因此AM、BM、CM也随之变化．点C与点M的距离最小，则符合条件的点C有3个．
【解答】解：（1）m＝0.2（4+7+10）＝4.2．AM＝4.2﹣4＝0.2，BM＝7﹣4.2＝2.8，CM＝10﹣4.2＝5.8，所以A，B，C中与M距离最小的点为 A．
故答案为：点A．
（2）m＝0.2（4+7+c）＝2.2+0.2c．
①当c＝1时，m＝2.4．AM＝1.6 BM＝4.6，CM＝1.4，此时CM最小．
②当c＝2时，m＝2.6．AM＝1.4 BM＝4.4，CM＝0.6，此时CM最小．
③当c＝3时，m＝2.8．AM＝1.2 BM＝4.2，CM＝0.2此时CM最小；
所以符合条件的点C有3个．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，在数轴上表示数的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．
6．（2023 石家庄模拟）已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数　2　表示的点重合；
（2）若﹣2表示的点与4表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与数　﹣3　表示的点重合；
②若数轴上A、B两点之间的距离为9（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，求A、B两点表示的数是多少？
【分析】（1）根据1表示的点与﹣1表示的点重合读出对称中心即可得；
（2）由表示﹣2的点与表示4的点重合，可确定对称点是表示1的点，则：
①表示5的点与对称点距离为4，与左侧与对称点距离为4的点重合；
②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为4.5，据此求解．
【解答】解：（1）∵1表示的点与﹣1表示的点重合，
∴对称中心是原点，
∴﹣2表示的点与2表示的点重合，
故答案为：2；
（2）①∵若﹣2表示的点与4表示的点重合，
∴对称中心是1表示的点，
∴5表示的点与数﹣3表示的点重合；
故答案为：﹣3；
②由题意可得，A、B两点距离对称点的距离为9÷2＝4.5，
∵对称点是表示1的点，
∴A、B两点表示的数分别是﹣3.5，5.5，
【点评】本题主要考查数轴，此题根据重合点确定对称点是解题的关键．
7．（2023 宝应县模拟）如果10b＝n，那么称b为n的劳格数，记为b＝d（n），由定义可知：10b＝n与b＝d（n）所表示的是b、n两个量之间的同一关系．
（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）＝　1　，d（10﹣2）＝　﹣2　；
（2）劳格数有如下运算性质：
若m、n为正数，则d（mn）＝d（m）+d（n），d（）＝d（m）﹣d（n）．
根据运算性质，填空：
　3　（a为正数），若d（2）＝0.3010，则d（4）＝　0.6020　，d（5）＝　0.6990　，d（0.08）＝　﹣1.0970　；
（3）下表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．
x 1.5 3 5 6 8 9 12 27
d（x） 3a﹣b+c 2a﹣b a+c 1+a﹣b﹣c 3﹣3a﹣3c 4a﹣2b 3﹣b﹣2c 6a﹣3b
【分析】（1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；
（2）根据d（a3）＝d（a a a）＝d（a）+d（a）+d（a）即可求得的值；
（3）通过9＝32，27＝33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5＝10÷2，假设d（5）正确，可以求得d（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判断．
【解答】解：（1）d（10）＝1，d（10﹣2）＝﹣2；
故答案为：1，﹣2；
（2）3；
因为d（2）＝0.3010
故d（4）＝d（2）+d（2）＝0.6020，
d（5）＝d（10）﹣d（2）＝1﹣0.3010＝0.6990，
d（0.08）＝d（8×10﹣2）＝3d（2）+d（10﹣2）＝﹣1.0970；
故答案为：3；0.6020；0.6990；﹣1.0970．
（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）＝2d（3）≠4a﹣2b，
d（27）＝3d（3）≠6a﹣3b，
从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，
∴d（3）＝2a﹣b，
若d（5）≠a+c，则d（2）＝1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，
∴d（8）＝3d（2）≠3﹣3a﹣3c，
d（6）＝d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，
表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．
∴d（5）＝a+c．
∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是错误的，应纠正为：
d（1.5）＝d（3）+d（5）﹣1＝3a﹣b+c﹣1，
d（12）＝d（3）+2d（2）＝2﹣b﹣2c．
【点评】本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键．
1．﹣2024的绝对值是（　　）
A．2024 B．﹣2024 C． D．
【分析】根据绝对值的意义解答即可．
【解答】解：﹣2024的绝对值是2024．
故选：A．
【点评】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是熟练掌握．
2．如果温度上升10℃，记作+10℃，那么温度下降7℃记作（　　）
A．+3℃ B．﹣3℃ C．+7℃ D．﹣7℃
【分析】首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
【解答】解：如果温度上升10℃记作+10℃，那么温度下降7℃记作﹣7℃．
故选：D．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
3．著名的数学苏步青被誉为“数学大王”．为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”，数据218000000用科学记数法表示为（　　）
A．0.218×109 B．2.18×108 C．2.18×109 D．218×106
【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．
【解答】解：218000000＝2.18×108．
故选：B．
【点评】本题主要考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键．
4．实数a在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＜﹣3 C．﹣a＞2 D．﹣a≥3
【分析】由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，由此逐一判断各选项即可．
【解答】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，
A、﹣3＜a＜﹣2，故选项A不符合题意；
B、﹣3＜a＜﹣2，故选项B不符合题意；
C、∵﹣3＜a＜﹣2，∴2＜﹣a＜3，故选项C符合题意；
D、∵﹣3＜a＜﹣2，∴2＜﹣a＜3，故选项D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是实数与数轴，从题目中提取已知条件是解题的关键．
5．当a＞0时，下列运算结果正确的是（　　）
A．a0＝0 B．a﹣2＝﹣a2
C．（﹣a）3＝﹣a3 D．
【分析】根据分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，逐项判断即可．
【解答】解：∵a0＝1（a≠0），
∴选项A不符合题意；
∵a﹣2，
∴选项B不符合题意；
∵（﹣a）3＝﹣a3，
∴选项C符合题意；
∵，
∴选项D不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了分数指数幂的运算方法，有理数的乘方的运算方法，以及零指数幂、负整数指数幂的运算方法，解答此题的关键是要明确：（1）①a0＝1（a≠0）；②00≠1．（2）a﹣p（a≠0，p为正整数）．
6．如果|a﹣2024|+（b+1）2＝0，则ab的值是 　　．
【分析】根据绝对值的非负性、偶次方的非负性，求出a、b值，再代入计算即可．
【解答】】解：∵|a﹣2024|+（b+1）2＝0
∴a﹣2024＝0，b+1＝0，
解得：a＝2024，b＝﹣1，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查绝对值的非负性和偶次方的非负性．掌握非负数的性质是解题的关键．
7．某潜艇从海平面以下27米上升到海平面以下18米，此潜艇上升了　9　米．
【分析】用潜艇从海平面以下的高度减去上升到海平面以下的高度，就是潜艇上升的高度，据此解答．
【解答】解：根据题意得：
﹣18﹣（﹣27）＝19（米），
答：此潜艇上升了9米．
故答案为：9．
【点评】此题考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出算式是解答此题的关键．
8．已知x是满足的整数，且使的值为有理数，则x＝　5．　．
【分析】根据题意，可知3x＜56，可得x＝4，5，而且x使的值为有理数，将x＝4和x＝5分别代入计算即可确定x的值．
【解答】解：∵x，且x为整数，
∴3x＜56，
∴x＝4，5，
∵x使的值为有理数，
当x＝4时，是无理数，不符合题意，舍去；
当x＝5时，2是有理数，符合题意；
∴x＝5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是无理数的估算，正确掌握和的取值范围是解题的关键．
9．我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如：此三角形中第3行的3个数1、2、1，恰好对应着（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的各项的系数，则（a+b）2024的展开式中含a2023项的系数是 　2024　．
【分析】根据前几个等式中的系数变化规律可得结论．
【解答】解：根据图中所给等式，
（a+b）2展开式的第二项为2ab＝2a2﹣1b，
（a+b）3展开式的第二项为3a2b＝3a3﹣1b，
（a+b）4展开式的第二项为4a3b＝4a4﹣1b，
……，
根据变化规律，（a+b）n展开式的第二项为nan﹣1b，
∴（a+b）2024的展开式中含a2023项是第二项，系数是2023+1＝2024，
故答案为：2024．
【点评】本题考查数字类规律探究，掌握几个等式中的系数变化规律是解题的关键．
10．定义：a，b，m为实数，若a+b＝m，则称a与b是关于的对称数．
（1）2与4是关于 　3　的对称数，7与 　﹣1　是关于3的对称数；
（2）若a＝﹣2x2+3（x2+x）﹣4，且a与b是关于﹣1的对称数，试用含有x的代数式表示b．
【分析】（1）运用对称数的定义进行解答即可；
（2）运用对称数的定义列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵2+4＝6，6÷2＝3，
∴2与4是关于3的对称数，
又3×2﹣7＝﹣1，
∴7与﹣1是关于3的对称数．
故答案为：3；﹣1；
（2）根据题意得，﹣2x2+3（x2+x）﹣4+b＝﹣1×2，
解得，b＝﹣x2﹣3x+2．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键．
11．老师设计了一个计算程序如图所示：
（1）当x取﹣6时，求出输出的结果；
（2）嘉淇发现：对于任意的一个数，经过上面的程序运算后所得结果都相同．你同意她的说法吗？说明理由．
【分析】（1）将x＝﹣6代入题目中的运算程序，计算出结果即可；
（2）先判断是否同意嘉淇的说法，再将题目中的运算程序化简，即可说明理由．
【解答】解：（1）当x＝﹣6时，
输出结果为：[（﹣6）×2+8]÷4（﹣6）
＝（﹣12+8）3
＝（﹣4）3
＝﹣1+3
＝2；
（2）同意嘉淇的说法，
理由：（2x+8）÷4x
x+2x
＝2，
∴对于任意的一个数，经过上面的程序运算后所得结果都是2，
故同意嘉淇的说法．
【点评】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12．已知数轴上有M，N两点，点M表示的数为3x﹣5，点N表示的数为9﹣x．
（1）当x＝﹣1时，求线段MN的长；
（2）若点M与点N关于原点对称，求点M表示的数；
（3）若点M在点N的左侧，求x的正整数值．
【分析】（1）当x＝﹣1时，3x﹣5＝﹣8，9﹣x＝10，故MN＝10﹣（﹣8）＝18；
（2）若点M与点N关于原点对称，可得3x﹣5+9﹣x＝0，即x＝﹣2，故点M表示的数为3x﹣5＝﹣11；
（3）若点M在点N的左侧，可得3x﹣5＜9﹣x，即可得x＜3.5，故x的正整数值为1，2，3．
【解答】解：（1）当x＝﹣1时，3x﹣5＝﹣8，9﹣x＝10，
故MN＝10﹣（﹣8）＝18；
（2）若点M与点N关于原点对称，
得3x﹣5+9﹣x＝0，即x＝﹣2，
故点M表示的数为3x﹣5＝﹣11；
（3）若点M在点N的左侧，
得3x﹣5＜9﹣x，即x＜3.5，
故x的正整数值为1，2，3．
【点评】本题主要考查了数轴，解题关键是数形结合的思想的应用．
代数式
代数式中考考纲涵盖了代数式的基本概念、运算、整式与分式、方程与不等式的应用、函数与图像以及实际应用问题等多个方面。考生应全面复习这些内容，并注重理解和应用能力的培养，以应对中考的挑战。
在备考过程中，建议学生：熟练掌握代数式的基本概念、性质和运算规则。
多做练习题，特别是历年中考真题和模拟题，以熟悉命题风格和难度。
注重实际应用问题的训练，提高解决实际问题的能力。
善于总结归纳，形成自己的解题方法和思路。
Ⅰ、代数式
一、代数式
1. 代数式的定义：像16n ，2a+3b ，34 ，，等，这样的式子都是代数式，单独的一个数或字母也是代数式.
带等号（＝）或不等号（≠、＜、＞、≤、≥）的都不是代数式.
2. 代数式的书写：
（1）数字与字母相乘或字母与字母相乘，通常把乘号写成“· ”或省略不写；
（2）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面；
（3）如果字母前面的数字是1或-1时，通常省略不写；
（4）带分数与字母相乘时，要将带分数转化成假分数；
（5）除法运算要用分数线；
（6）若式子后面有单位且式子是和或差的形式，式子应看作是一个整体，要用括号括起来，再在括号后面写上单位.
二、单项式
1. 单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
（1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算；
（2）分母中含有字母的的式子不是单项式.
2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数.
（1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数；
（2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数；
（3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写；
（4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数.
3. 单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
（1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏；
（2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0.
三、多项式
1. 多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式；
2. 多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；
（1）多项式的每一项包括它前面的符号；
（2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式.
3. 多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
（1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数；
（2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出；
（3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式.
4. 升幂排列与降幂排列
把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把多项式按这个字母升幂排列．
四、整式
单项式与多项式统称为整式.
单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立.
分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式.
五、列代数式及代数式的意义
1. 列代数式：在解决实际问题时，把问题中的数量关系用代数式表示出来.
（1）抓住关键字词，如“大”、“小”、“多”、“少”、“积”、“差”等；
（2）理清运算顺序，按照“先读先写”的顺序列式；
（3）正确运用括号，先括号内，后括号外；先小括号，再中括号，最后大括号.
2. 代数式的意义：代数式的实际意义就是将代数式中的数字、字母及运算符号赋予具体的含义.
Ⅱ、代数式的值
一、代数式的值
根据问题的需要，用具体数值代替代数式中的字母，计算所得的结果叫做代数式的值.
代数式的值并不是固定的，它会随着代数式中字母取值的变化而变化.
代数式中的字母取值并不是任意的，主要限制条件有：①必须使代数式有意义，如中的a不能取1；②实际问题中的字母取值要符合实际意义，比如小明买了b支铅笔，这里的b只能是0或正整数，不能取小数或者负数.
二、求代数式的值的步骤
1. 代入：将指定的数值代替代数式里的字母，代入数值时，必须将相应的字母换成数值，其他的运算符号、原来的数字和运算顺序都不能改变，同时对原来省略的乘号要进行还原；
2. 计算：按照代数式指定的运算关系计算出结果，运算时，要分清运算种类及运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号要先算括号里面的.
Ⅲ、合并同类项
一、同类项
同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是同类项.
1. 判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等，同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可；
2. 同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关；
3. 一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项；
4. 同类项不一定只有两项，也可以是三项、四项或更多项，但至少有两项，且每一项都是单项式.
二、合并同类项
1. 合并同类项的概念：根据乘法分配律把同类项合并成一项叫做合并同类项.
2. 合并同类项的法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母与字母的指数不变.
3. 合并同类项的一般步骤（一找、二移、三合、四排）：
（1）找出同类项，当项数较多时，可作合适的标记；
（2）运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项合并；
（3）利用合并同类项法则，合并同类项；
（4）合并后的结果是多项式，一般按照某一个字母的升幂/降幂排列.
4. 易错点：
（1）不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄；
（2）所有的常数项都是同类项，合并时把它们结合在一起，运用有理数的运算法则进行合并；
（3）系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)；
（4）若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0.
三、代数式的化简求值
求代数式的值时，如果代数式中含有同类项，通常先合并同类项，再进行计算.
Ⅳ、去括号
一、去括号
1. 去括号法则：
括号前面是“＋”号，把括号和前面的“＋”号去掉，括号里各项符号都不改变，如；
括号前面是“－”号，把括号和前面的“－”号去掉，括号里各项符号都要改变，如.
（1）当括号前的因数不是“”时，要利用乘法分配律将括号外的因数与括号内的每一项都相乘去掉括号，不要漏乘括号里的任何一项；
（2）对于多重括号，去括号时可以先去小括号，再去中括号，也可以先去中括号．再去小括号．但是一定要注意括号前的符号；
（3）去括号只是改变式子形式，不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形.
二、添括号
添括号后，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，如；
添括号后，括号前面是“-”号，括到括号里的各项都要改变符号，如．
Ⅴ、整式的加减
一、整式的加减
1. 几个整式相加减，如果有括号要先去括号，再合并同类项.
2. 整式的化简求值步骤（一化、二代、三计算）：
（1）利用整式的加减运算将整式化简；
（2）把已知字母或某个整式的值代入化简后的式子；
（3）依据有理数的运算法则进行计算.
3. 整式加减注意事项：
（1）整式的加减可以先合并同类项再去括号，也可以先去括号再合并同类项；
（2）整式加减的结果要最简，不能有同类项，含字母的项的系数不要出现带分数（化成假分数），能去括号的要去括号，一般不含有括号.
二、整式加减的应用
1. 整式的化简求值
一般这类题会利用整体代入法求值，从题中条件中不易直接得到某个字母的具体值，可以将原式化为已知条件中字母间的关系，然后将某个式子的值作为一个整体代入计算.
2. 整式中“不含”与“无关”类问题的求解方法
若整式加减运算结果“不含x项”或整体的值“与x的值无关”，实质是指去括号并合并同类项后含字母x的项的系数为0.
3. 解决多项式能否被一个数整除类问题
判断一个多项式是否能被一个数整除，关键是看这个多项式是否能化为这个数和某个多项式（多项式的值为整数）乘积的形式.
多位数的表示方法：相同的字母在不同的数位上所表示的数值不同，若一个三位数数，百位数是x，十位数是y，个位数是z，则这个三位数数可表示为.
Ⅵ、整式运算
一、单项式与单项式相乘
1. 单项式乘单项式的运算法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用；
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式；
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成；
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
二、单项式与多项式相乘
1. 单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.用式子表示为：.
2. 单项式乘多项式的步骤：
（1）利用乘法分配律，转化为单项式乘单项式；
（2）将单项式与单项式相乘的结果相加.
3. 单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题；
4. 单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同；
5. 计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号；
6. 对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
三、多项式乘多项式
1. 多项式与多项式相乘的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即.
（1）在进行多项式的乘法运算时，不要出现漏解的情况；
（2）要注意确定积中的每一项的符号，多项式中的每一项都包含它前面的符号；
（3）若结果中含有同类项，则一定要进行合并同类项，使得结果为最简形式.
2. 特殊的二项式相乘：（为常数）；
3. 多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并；
4. 多项式乘多项式法则也适用于多个多项式相乘，即按顺序先将前两个多项式相乘，再把乘积和第三个多项式相乘，依次类推.
Ⅶ、乘法公式
一、完全平方公式
1. 完全平方公式：，，即两个数的和（或差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.
2. 完全平方公式的推导：
（1）用多项式乘法法则进行推导，过程如下：
①；
②.
（2）通过面积法推导完全平方公式：
①如图所示是一个边长为的正方形，面积为，
它的面积还可以看成是由两个小正方形与两个长方形的和，即，
所以可以得到；
②如图所示，边长为的小正方形的面积是，
它的面积还可以看成是由大的正方形面积减去两个小的长方形面积，即，
所以可以得到.
3. 完全平方公式的结构特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.
4. 完全平方公式的常见变形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）.
5. 三项或三项以上的和（差）的平方可以转化为两项的和（差）的平方，如：
（1）；
（2）.
二、平方差公式
1. 平方差公式：，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
2. 平方差公式的推导：
（1）用多项式乘法法则进行推导：；
（2）通过面积法推导平方差公式：
如图1所示，涂色部分的面积为，如图2所示，涂色部分的面积为，
所以可以得到.
3. 平方差公式结构特点：等号左边是两个二项式相乘，这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；等号右边是一个二项式，这个二项式是左边两个二项式中相同项与相反项的平方差.
4. 平方差公式的变化：
（1）位置变化：；
（2）符号变化：；
（3）指数变化：；
（4）系数变化：；
（5）增项变化：；
（3）连用公式：.
Ⅷ、多项式的因式分解
一、因式分解
因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式；
（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止；
（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.
二、公因式
公因式：多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.
（1）公因式必须是每一项中都含有的因式；
（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；
（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.
三、提公因式法分解因式
1. 如果多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提到括号外，将多项式写成公因式与另一个多项式的积的形式，这种因式分解的方法叫提公因式法，如多项式就可以写成是与的积，即.
2. 提公因式法的实质就是乘法分配律的逆用，；
3. 用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式；
4. 当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号；
5. 用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.
四、运用公式法分解因式
1. 运用平方差公式、完全平方公式将一个多项式分解因式的方法叫作公式法；
2. 逆用平方差公式：，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
3. 逆用完全平方公式：，，即两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．利用十字交叉线来分解系数，将二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法，主要分为以下两类：
五、十字相乘法分解因式
1. 二次项系数是1的二次三项式的十字相乘法
对首项是1的二次三项式的十字相乘法主要就是要能够运用公式进行因式分解.
对于二次三项式，若存在则，即把常数项分解成两个数的积，且其和刚好等于一次项系数.
技巧1：在对分解因式时，先从常数项c的正负入手：若，则、同号，若，则、异号，然后根据一次项系数的正负进一步确定、的符号；
技巧2：若中的b、c为整数时，要先将c分解成两个整数的积，然后再考虑这两个整数和能否等于一次项系数（再分解时，要考虑分解的多种可能，直至凑对为止）.
2. 二次项系数不为1的十字相乘
在二次三项式中，如果二次项系数a可以分解成两个因数的积，常数项c也可以分解成两个因数的积，即，将、、、按照以下进行排列：
按照斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式一次项系数b，即，那么二次三项式就可以分解成两个因式与之积，即.
PS：若二次项系数是负数，可以先提个负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记添上负号.
例1：二次项系数为1的二次三项式
Ⅸ、分式
一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.
1. 分式的三个条件：①形如的这种形式；②A、B都是整式；③分母中含有字母，且分母不为0；
2. 判断一个代数式是否是分式不能先化简，如是分式，但是化简后就成了xy，是一个整式，所以分式只看形式，不看化简后的结果；
3. 分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分母中都不含字母；
4. 分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性，分数是分式中字母取特定值后的特殊情况；
5. 分式可看成是两个整式的商，如可以表示为，但不满足分式的形式，它不是分式；
6. π表示圆周率，是一个常数，不是字母，如是一个整式，不是分式.
二、分式有意义、无意义或等于零的条件
1. 分式有意义的条件：分母不等于零，即有意义的条件是；
2. 分式无意义的条件：分母等于零，即无意义的条件是；
3. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即.
（1）分式是否有意义，与分式的分母是否为0有关，与分式的分子无关；
（2）分式有意义的条件是分式中分母的整式值不为0，而不是分母中的字母不为0，如有意义的条件是，即，而不是；
（3）分式的值是在分式有意义的前提下考虑的；
（4）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
三、分式的基本性质
1. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变；
2. 字母表示：（A、B、C都是整式，且B≠0，C≠0）；
3. 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化，如，变形后，字母x的取值范围变大了；
4. 分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身，这三个的正负号同时改变两个，分式值也不会改变，如；
5. 若分式的分母与分子是多项式，在运用分式基本性质时，应先将分式的分子与分母用括号括起来，再把分子与分母都乘（或除以）同一个不为0的整式.
四、分式的约分
利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
1. 若分式的分子、分母都是单项式，则可以直接约去分子、分母的公因式（分子、分母系数的最大公因数与分子、分母的相同字母的最低次幂的乘积）；
2. 若分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
五、分式的通分
1. 分式的通分：利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分；
2. 最简公分母：如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母；
3. 在确定几个分式的最简公分母时，不要遗漏只在一个分式的分母中出现的字母及其指数.
六、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；符号表示为：.
1. “把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误；
2. 分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.
七、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减；符号表示为：.
1. 分式与整式相加减时，可以把整式看成分母是1的分式，然后由异分母分式加减法的法则进行计算；
2. 异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③合并，分子去括号、合并同类项；④约分，将最终结果化成最简分式.
八、分式的乘除法
1. 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母；
2. 用字母表示为；
3. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；
4. 用字母表示为.
（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式；
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约分，然后再乘；
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分；
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.
5. 分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：（n为正整数.）
（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把写成；
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负；
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先分解因式，再约分；
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体，如.
九、分式的混合运算
分式的混合运算顺序：分式的混合运算顺序与分数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.
1. 在分式的运算过程中，可以用运算律，会使得运算简便点；
2. 分式的混合运算要注意各分式中的分子、分母的符号，结果中分子或分母的系数（首项系数）为负数时，要将“－”号提到分式的前面.
Ⅹ、二次根式
一、二次根式的定义
一般地，式子叫作二次根式，叫作被开方数.
1. 二次根式的被开方数可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足；
2. 二次根式的两个要素：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数；
3. 形如的式子也是二次根式，表示b与的乘积，当b为带分数或小数时，要写成假分数的形式；
4. 在具体问题中，如果已知是二次根式，相当于给出了.
二、二次根式有意义的条件
二次根式有意义的条件是，由于负数没有平方根，所以当时，就无意义.
1. 单个二次根式，如有意义的条件是；
2. 二次根式相加，如有意义的条件是；
3. 二次根式作为分母时，如有意义的条件是；
4. 二次根式与分式相加，如有意义的条件是.
三、二次根式的性质
性质1：式子既表示二次根式，又表示非负数的算术平方根，所以具有双重非负性；
性质2：，即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身；
性质3：，当一个数为非负数时，它的平方的算术平方根等于它本身，记为；当一个数为负数时，它的平方的算术平方根等于它的相反数，记为.
四、二次根式的乘法法则
二次根式的乘法法则：一般地，有，即两个算术平方根相乘，等于它们被开方数的积的算术平方根.
当二次根式前面有系数时，如，即将系数与系数相乘作为积的系数，被开方数与被开方数相乘作为积中的被开方数.
二次根式乘法法则逆用：由可得，即两个非负数的积的算术平方根等于这两个非负数的算术平方根的积，常用这个对二次根式进行化简.
五、二次根式的除法法则
一般地，有，即两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根.
当二次根式前面有系数时，如，即系数和被开方数分别相除作为积的因式.
二次根式除法法则的逆用：由可得，即商的算术平方根等于被开方数的算术平方根除以除数的算术平方根，利用这个公式可对二次根式进行化简.
六、最简二次根式
1. 当时，通过可以把开方数中的分母化去；
2. 当时，通过可以把分母中的根号化去.
一般地，化简二次根式就是使二次根式：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数中不含有分母；③分母中不含有根号，这样化简后得到的二次根式就是最简二次根式.
七、同类二次根式
1. 同类二次根式：化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式；
2. 合并同类二次根式：将同类二次根式的系数相加减作为结果的系数，被开方数和根指数都不变.
PS：可以合并的同类二次根式必须同时满足：①是最简二次根式；②被开方数相同.
八、二次根式的加减
二次根式加减的法则：一般地，二次根式相加减，先化简每个二次根式，然后合并同类二次根式；
（1）二次根式的加减实际上是合并同类二次根式，不是同类的二次根式不能进行合并；
（2）二次根式的加减运算中，根号外的因数（或因式）就是这个二次根式的系数，如果系数是带分数，先化成假分数再进行运算.
九、二次根式的混合运算
二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方混合运算，正确的运算顺序为：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.
常见的二次根式混合运算类型如下：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
1．（2023 巴中）若x满足x2+3x﹣5＝0，则代数式2x2+6x﹣3的值为（　　）
A．5 B．7 C．10 D．﹣13
【分析】首先将已知条件转化为x2+3x＝5，再利用提取公因式将2x2+6x﹣3转化为2（x2+3x）﹣3，然后整体代入即可得出答案．
【解答】解：∵x2+3x﹣5＝0，
∴x2+3x＝5，
∴2x2+6x﹣3＝2（x2+3x）﹣3＝2×5﹣3＝7．
故选：B．
【点评】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握提取公因式，整体代入求值．
2．（2023 南通）若a2﹣4a﹣12＝0，则2a2﹣8a﹣8的值为（　　）
A．24 B．20 C．18 D．16
【分析】由已知条件可得a2﹣4a＝12，然后将2a2﹣8a﹣8变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵a2﹣4a﹣12＝0，
∴a2﹣4a＝12，
∴2a2﹣8a﹣8
＝2（a2﹣4a）﹣8
＝2×12﹣8
＝24﹣8
＝16，
故选：D．
【点评】本题考查代数式求值，将2a2﹣8a﹣8变形为2（a2﹣4a）﹣8是解题的关键．
3．（2023 河北）若k为任意整数，则（2k+3）2﹣4k2的值总能（　　）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【分析】先根据完全平方公式进行计算，再合并同类项，分解因式后再逐个判断即可．
【解答】解：（2k+3）2﹣4k2
＝4k2+12k+9﹣4k2
＝12k+9
＝3（4k+3），
∵k为任意整数，
∴（2k+3）2﹣4k2的值总能被3整除，
故选：B．
【点评】本题考查了因式分解的应用，能求出（2k+3）2﹣4k2＝3（4k+3）是解此题的关键．
4．（2023 赤峰）化简x﹣2的结果是（　　）
A．1 B． C． D．
【分析】利用分式的加法法则进行计算即可．
【解答】解：原式
，
故选：D．
【点评】本题考查分式的加法运算，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
5．（2023 河北）若，，则（　　）
A．2 B．4 C． D．
【分析】把a、b的值代入原式，根据二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵a，b，
∴2，
故选：A．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的性质是解题的关键．
6．（2023 东营）因式分解：3ma2﹣6mab+3mb2＝　 　．
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：3ma2﹣6mab+3mb2
＝3m（a2﹣2ab+b2）
＝3m（a﹣b）2，
故答案为：3m（a﹣b）2．
【点评】本题考查因式分解，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
7．（2023 西藏）按一定规律排列的单项式：5a，8a2，11a3，14a4，…．则按此规律排列的第n个单项式为 　 　．（用含有n的代数式表示）
【分析】根据系数和字母的次数与单项式的序号关系写出即可．
【解答】解：∵第n个单项式的系数可表示为：3n+2，字母a的指数可表示为：n，
∴第n个单项式为：（3n+2）an．
【点评】本题考查数字变化类规律探究，掌握单项式的系数和次数并发现其变化规律是解题的关键．
8．（2023 无锡）现有一长方形地块，长比宽多20米．若将长增加10米，宽缩短5米，则所得长方形地块与原长方形地块的面积相等，则原长方形地块的长为 　　米．
【分析】根据变化前后长方形的长、宽、面积之间的关系列方程求解即可．
【解答】解：设原长方形地块的长为x米，则宽为（x﹣20）米，则变化后的长为（x+10）米，宽为（x﹣25）米，由题意得，
x（x﹣20）＝（x+10）（x﹣25），
解得x＝50．
故答案为：50．
【点评】本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的计算方法是正确解答的关键．
9．（2023 内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：　　．
【分析】根据二次根式的非负性进行化简去绝对值即可．
【解答】解：由数轴可知：1＜m＜2，
∴m﹣2＜0，
∴|m﹣2|＝2﹣m．
故答案为：2﹣m．
【点评】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的非负性是解本题的关键．
10．（2023 成都）若3ab﹣3b2﹣

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