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二○二四年冠县初中学生学业水平模拟考试（一）
数学试题
亲爱的同学，伴随着考试的开始，你又走到了一个新的人生驿站，请你在答题之前一定要仔细阅读以下说明：
1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共6页，选择题30分，非选择题90分，共120分，考试时间为120分钟．
2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置．
3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．
4．考试结束，只交回答题卡．
5．不允许使用计算器．
愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方的逆运算，根据幂的乘方和积的乘方的逆运算法则把原式变形为，据此求解即可．
【详解】解；
故选：A．
2. 剪纸艺术是中国优秀的传统文化．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形的识别，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键．根据中心对称图形的定义逐项识别即可．
【详解】解：选项A、B、C中的图形都不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项D中的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：D．
3. 滇池亦称昆明湖、昆明池、滇南泽、滇海，位于昆明市西山区，是云南省面积最大的高原湖泊，也是全国第六大淡水湖，有着“高原明珠”之称滇池的蓄水量大约为立方米．数字用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据科学记数法形式，，进行换算即可；
【详解】解：，
故选：A．
【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法是解题关键．
4. 一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查的是几何体的三视图知识，熟练掌握三视图的定义是解题的关键．根据从上面看到的图形即为俯视图进行求解即可．
【详解】解：由几何体的形状可知，从上面看，是一列两个相邻的矩形．
故选：A．
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式，单项式乘以单项式，同底数幂相除，零指数．根据完全平方公式，单项式乘以单项式法则和同底数幂相乘法则，根据同底数幂除法，零指数幂运算法则计算并判定．
【详解】解：A、，故原计算错误，此选项不符合题意；
B、，故原计算错误，此选项不符合题意；
C、，故原计算错误，此选项不符合题意；
D、，故计算正确，此选项符合题意；
故选：D．
6. 汽车经过两次拐弯后仍按原来的方向前进，这两次拐弯的方向和角度可能是（　　）
A. 第一次左拐，第二次右拐 B. 第一次左拐，第二次左拐
C. 第一次左拐，第二次左拐 D. 第一次左拐，第二次右拐
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质．根据题意作图即可求解．
详解】解：如图：
第一次拐的角是，第二次拐的角是且方向不同
因为平行前进，故，
∴四个选项中只有D选项符合题意，
故选：D
7. 为创建“绿意蓬勃校园”，学校购买了一批树苗，已知购买银杏树树苗花费元，购买枫树树苗花费元，其中枫树树苗平均每棵的价格是银杏树树苗平均每棵价格的，且购买银杏树树苗的数量比购买枫树树苗的数量少棵，求买了多少棵银杏树树苗？若设买了x棵银杏树树苗，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设买了x棵银杏树树苗，则购买了棵枫树树苗，依据枫树树苗平均每棵的价格是银杏树树苗平均每棵价格的列方程．
【详解】解：设买了x棵银杏树树苗，则购买了棵枫树树苗，
依题意列方程得：
故选：B．
【点睛】本题考查了分式方程的应用；解决问题的关键是根据等量关系正确列方程．
8. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的几何意义，可得，的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，根据面积比等于相似比的平方，即可求解，
本题考查了，反比例函数的几何意义，相似三角形的判定与性质性质，将面积比转化为相似比，解题的关键是：熟练掌握反比例函数的几何意义．
【详解】解：过点、分别作轴，轴，垂足为、，
∴
∴
点在反比例函数上，点在上，
∴，，
又∵，
∴
，
，
∴，
∴，
故选：．
9. 大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割的定义得到，进而可求出的长．
【详解】解： P为的黄金分割点，，
，
．
故选D．
10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质、解直角三角形，第次旋转结束时，点回到最初的位置，连接，过点作轴的垂线，交轴于点，可先证得，得到，进而可求得，的值．
【详解】四边形每转动次，点回到最初的位置．
所以，第次旋转结束时，点回到最初的位置．
如图所示，连接，过点作轴的垂线，交轴于点．
在和中
∴．
∴．
∴．
∴．
∴，．
∴点的坐标为．
故选：A．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 若，则___________．
【答案】
【解析】
【分析】根据推出，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，正确推出是解题的关键．
12. 现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为___________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解．
【详解】设该扇形的半径为，根据题意，得，
解得，
故答案为：6．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
13. 甲，乙车同时从地出发去地，两车均匀速而行，甲车到达地后停止，乙车到达地后停留4小时，再按照原速从地出发返回地，乙车返回地后停止．已知两车距地的距离与所用的时间的关系如图所示，当两车相距时，两车出发的时间为______小时．
【答案】7或12或
【解析】
【分析】本题已考查了根据函数图象获取信息，一元一次方程的应用；分别求得甲、乙两车的速度，结合函数图象，分，列出一元一次方程，解方程，即可求解．
【详解】解：依题意，甲车的速度为，乙的速度为，
当时，依题得，，解得：，
当时，，解得：，
当时，两车相遇，
解得：
当时，
解得：（舍去）
当时，
即，
解得：
综上所述，当两车相距时，两车出发的时间为7或12或小时．
故答案为：7或12或．
14. 如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则______．
【答案】##29度
【解析】
【分析】此题重点考查三角形的内切圆的性质、切线长定理、三角形内角和定理等知识，推导出，是解题的关键．
由的内切圆与，分别相切于点，，得，，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：的内切圆与，分别相切于点，，
，，
，
，
∵，
，
故答案为：．
15. 如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时，线段AP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积为 __________．
【答案】48
【解析】
【分析】本题主要考查时间与路程的图像识别，涉及等腰三角形的判定和性质以及勾股定理，当点P运动到点B和点D时距离均为10，则有，再结合等腰三角形性质可得点M为的中点，利用勾股定理求得高即可求得面积．
【详解】解：根据图2中的曲线可知：当点P从的顶点A处，运动到点B处和运动到点C时的y值，则，
∵点P运动到中点时，
∴，
根据图2点M为曲线部分的最低点，此时，
则，
那么．
则．
故答案为：48．
16. 如图，已知直线：交轴于点，交轴于点，点，，在直线上点，，，在轴的正半轴上，若，，，均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，探索面积规律；根据题意分别求出，，，，，，，进而求出，，，，，，以探索三角形面积的规律，即可求解．
【详解】解：交轴于点，
，
是等腰直角三角形，
，
若，，，均为等腰直角三角形，
，，，，
，，，，，
的面积为；
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）6；（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，分式的化简求值，二次根式的运算．
（1）先计算乘方、负整数指数幂、特殊角三角函数值、零指数幂和去绝对值，再计算加减即可；
（2）先对分式进行化简，再代入求值即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
，
当时，
原式
．
18. 某学校食堂不定期采购某调味加工厂生产的“0添加”有机生态酱油和生态食醋两种食材．
（1）该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，已知酱油和食醋的单价分别是18元、16元，求学校购买了酱油和食醋各多少瓶？
（2）由于学校食材的消耗量下降和加工厂调味品的价格波动，现该学校分别花费900元、600元一次性购买酱油和食醋两种调味品，已知购买酱油的数量是食醋数量的1.25倍，每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，求学校购买食醋多少瓶？
【答案】（1）学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶
（2）学校购买食醋40瓶
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程组的应用；
（1）设学校购买了酱油瓶，食醋瓶，根据该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）学校购买食醋瓶，则购买酱油瓶，根据每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，列出分式方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：设学校购买了酱油瓶，食醋瓶，
由题意得：，
解得：，
答：学校购买了酱油60瓶，食醋40瓶；
【小问2详解】
解：学校购买食醋瓶，则购买酱油瓶，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：学校购买食醋40瓶．
19. 某校准备举行心理健康知识竞赛，先以班级为单位进行预赛，每班再选取前2名进入决赛，某班共有50名学生，根据预赛成绩绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题.
预赛成绩频数分布表
预赛成绩 （组别）
频数 4 6 20 5
（1）______，_______；
（2）请把预赛成绩频数分布直方图补充完整；
（3）若学校有500名学生，在预赛中考满90分的大概有多少名学生？
（4）在这次预赛中，某班有3位同学甲、乙、丙获得满分，现通过随机抽选的方式决定参加决赛的人选，请问甲、乙同时参加决赛的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）见解析 （3）名
（4）
【解析】
【分析】本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图，以及利用样本估计总体，关键是读懂频数分布直方图，能利用统计图获取信息；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
（1）根据总人数减去已知组别的频数即可得到a的值，用1减去已知组别的百分比即可得到b的值；
（2）根据（1）中求出的a的值补全频数分布直方图即可；
（3）列出树状图，用符合题意的情况数除以总的情况数即可得到答案．
【小问1详解】
由题意可得，
故答案为：
【小问2详解】
补全频数分布直方图如下：
【小问3详解】
，
答：学校有500名学生，在预赛中考满90分的大概名学生；
【小问4详解】
画树状图如下：
共有6种等可能的情况，甲、乙同时参加决赛的情况有2种，故甲、乙同时参加决赛的概率是：
20. 如图，已知：四边形是平行四边形，点E在边的延长线上，交于点F，
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质：
（1）由四边形是平行四边形、可得，为公共角可得；
（2）由可得，进而有，根据得，即：，可得答案．
【小问1详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：∵四边形是平行四边形，
∴，即，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴．
21. 如图，四边形是一湿地公园的休闲步道.经测量，于点B，米，点D在C的北偏东方向，且点D在A的东北方向．
（1）求步道的长度；（精确到个位数）
（2）小庆以80米/分的速度沿B→C→D→A的方向步行，小渝骑自行车以200米/分的速度沿B→A→D→C的方向行驶．两人同时出发能否在9分钟内相遇？请说明理由．（参考数据：，，）
【答案】（1）848米
（2）能相遇，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握锐角三角函数是求解关键．
（1）先证明是等腰直角三角形，求得米，，进而得到，，利用锐角三角函数求解即可；
（2）先求得，进而求得四边形的周长，求出两人跑一圈相遇的时间，进而可得结论．
【小问1详解】
解：∵米，，
∴是等腰直角三角形，
∴米，，
由题意，，，
∴（米），
答：步道的长度约为848米；
【小问2详解】
解：两人同时出发能9分钟内相遇，理由：
在中，（米），
四边形的周长为
（米），
∴（分），
∵，
∴两人同时出发能在9分钟内相遇．
22. 如图，在中，以为直径的与交于点D，点E是的中点，连接、．
（1）求证：是的切线(请用两种证法解答)；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定以及直角三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握相关图形的性质是解决问题的关键．
（1）方法一：连接，由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质证得，由等腰三角形的性质得到，根据，得到，由切线的判定即可证得与相切；
方法二：由圆周角定理得到，由直角三角形斜边中线的性质可得，再利用可证明，可得即可证明结论；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据三角函数的定义即可求出．
【小问1详解】
证明：方法一：连接，如图所示，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴与相切；
方法二：连接，如图所示，
∵为的直径，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∵，，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴与相切；
【小问2详解】
解：由（1）知，，
∵E是的中点，
∴．
∴，
∵
∴，，
又∵在中，，即，
∴（负值已舍去），
∴．
23. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）设，则，，，再分当时，当当时，两种情况利用勾股定理建立方程求解即可；
（3）过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F，由， 可得，，设，则，再建立关于t的二次函数即可；
【小问1详解】
解：解：∵抛物线过、，，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式；
【小问2详解】
解：∵抛物线解析式为
∴抛物线的对称轴为直线，
设，
∴，，，
当时，则，
∴，
解得：，
∴；
当时，则
，
解得，
∴；
综上所述：或；
【小问3详解】
解：如图，过点A作轴交直线于点E，过P作轴交直线于点F，
∴，
∴，
∴ ，
设直线的解析式为，
∴，
解得 ，
∴直线的解析式为，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时， 有最大值，
∴此时的坐标为．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象及性质，涉及待定系数法确定函数关系式、勾股定理、相似三角形的判定和性质、二次函数最值，解题的关键是熟悉二次函数的性质以及分类讨论思想．
24. 已知和是等腰直角三角形，，点F为中点，连接，．
【特例感知】
（1）如图，当点D在上，点E在上，猜想此时线段，的数量关系为 ，位置关系为 ；
深入探究】
（2）如图，在（1）的条件下将绕点A顺时针旋转时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；
【变式拓展】
（3）如图，在（1）的条件下将绕点A顺时针旋转时，若，，直接写出线段的长．
【答案】（1），；（2）成立，见解析；（3）
【解析】
【分析】主要考查了旋转的性质，等腰三角形和全等三角形的判定，及勾股定理的运用．要掌握等腰三角形和全等三角形的性质及其判定定理并会灵活应用是解题的关键．
（1）（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，根据，得到，．
（2）延长交BC于点G，先证明，得到，，根据，，得到又因为，所以且．
（3）延长交于点H，先证明，得到，，根据旋转条件可以为直角三角形，由和是等腰直角三角形，，可以求出的值，进而可以根据勾股定理可以求出，再求出，由，求出得的值．
【详解】解：（1）∵和是等腰直角三角形，
∴，，
∵点F为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
故答案为：，；
（2）此时（1）中的结论是否仍然成立，证明如下：
延长交于点G，
∵，
∴，
∴，
∵点F为中点，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴；
（3）延长交于点H，连接,
∵和是等腰直角三角形，
∴，，
由旋转的性质得出，
∴，
∴，
∴，，
∵点F为中点，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．二○二四年冠县初中学生学业水平模拟考试（一）
数学试题
亲爱的同学，伴随着考试的开始，你又走到了一个新的人生驿站，请你在答题之前一定要仔细阅读以下说明：
1．试题由选择题与非选择题两部分组成，共6页，选择题30分，非选择题90分，共120分，考试时间为120分钟．
2．将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置．
3．试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题．
4．考试结束，只交回答题卡．
5．不允许使用计算器．
愿你放松心情，认真审题，缜密思考，细心演算，交一份满意的答卷．
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求．
1. 计算的结果为（ ）
A. B. C. D.
2. 剪纸艺术是中国优秀的传统文化．在下列剪纸图案中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3. 滇池亦称昆明湖、昆明池、滇南泽、滇海，位于昆明市西山区，是云南省面积最大的高原湖泊，也是全国第六大淡水湖，有着“高原明珠”之称滇池的蓄水量大约为立方米．数字用科学记数法可以表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 一个如图所示的几何体，已知它的左视图，则其俯视图是下面的（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 汽车经过两次拐弯后仍按原来的方向前进，这两次拐弯的方向和角度可能是（　　）
A. 第一次左拐，第二次右拐 B. 第一次左拐，第二次左拐
C. 第一次左拐，第二次左拐 D. 第一次左拐，第二次右拐
7. 为创建“绿意蓬勃校园”，学校购买了一批树苗，已知购买银杏树树苗花费元，购买枫树树苗花费元，其中枫树树苗平均每棵的价格是银杏树树苗平均每棵价格的，且购买银杏树树苗的数量比购买枫树树苗的数量少棵，求买了多少棵银杏树树苗？若设买了x棵银杏树树苗，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在平面直角坐标系中，将一块直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，顶点、恰好分别落在函数，的图象上，则的值为（ ）
A. B. C. D.
9. 大自然是美的设计师，即使一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，四边形的顶点在原点上，边在轴的正半轴上，轴，，，，将四边形绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 若，则___________．
12. 现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆雉（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为___________．
13. 甲，乙车同时从地出发去地，两车均匀速而行，甲车到达地后停止，乙车到达地后停留4小时，再按照原速从地出发返回地，乙车返回地后停止．已知两车距地的距离与所用的时间的关系如图所示，当两车相距时，两车出发的时间为______小时．
14. 如图，在中，，的内切圆与，分别相切于点，，连接，的延长线交于点，则______．
15. 如图1，点P从的顶点A出发，沿匀速运动到点C，图2是点P运动时，线段AP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则的面积为 __________．
16. 如图，已知直线：交轴于点，交轴于点，点，，在直线上点，，，在轴的正半轴上，若，，，均为等腰直角三角形，直角顶点都在轴上，则的面积为______．
三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17 （1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18. 某学校食堂不定期采购某调味加工厂生产的“0添加”有机生态酱油和生态食醋两种食材．
（1）该学校花费1720元一次性购买了酱油、食醋共100瓶，已知酱油和食醋的单价分别是18元、16元，求学校购买了酱油和食醋各多少瓶？
（2）由于学校食材的消耗量下降和加工厂调味品的价格波动，现该学校分别花费900元、600元一次性购买酱油和食醋两种调味品，已知购买酱油的数量是食醋数量的1.25倍，每瓶食醋比每瓶酱油的价格少3元，求学校购买食醋多少瓶？
19. 某校准备举行心理健康知识竞赛，先以班级为单位进行预赛，每班再选取前2名进入决赛，某班共有50名学生，根据预赛成绩绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题.
预赛成绩频数分布表
预赛成绩 （组别）
频数 4 6 20 5
（1）______，_______；
（2）请把预赛成绩频数分布直方图补充完整；
（3）若学校有500名学生，在预赛中考满90分的大概有多少名学生？
（4）在这次预赛中，某班有3位同学甲、乙、丙获得满分，现通过随机抽选的方式决定参加决赛的人选，请问甲、乙同时参加决赛的概率是多少？（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
20. 如图，已知：四边形是平行四边形，点E在边的延长线上，交于点F，
（1）求证：；
（2）若，求的值．
21. 如图，四边形是一湿地公园的休闲步道.经测量，于点B，米，点D在C的北偏东方向，且点D在A的东北方向．
（1）求步道的长度；（精确到个位数）
（2）小庆以80米/分速度沿B→C→D→A的方向步行，小渝骑自行车以200米/分的速度沿B→A→D→C的方向行驶．两人同时出发能否在9分钟内相遇？请说明理由．（参考数据：，，）
22. 如图，在中，以为直径的与交于点D，点E是的中点，连接、．
（1）求证：是的切线(请用两种证法解答)；
（2）若，，求的长．
23. 已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，在对称轴上是否存在点，使是以直角边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，请直接写出点的坐标．
24. 已知和等腰直角三角形，，点F为中点，连接，．
【特例感知】
（1）如图，当点D在上，点E在上，猜想此时线段，的数量关系为 ，位置关系为 ；
深入探究】
（2）如图，在（1）的条件下将绕点A顺时针旋转时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；
【变式拓展】
（3）如图，在（1）的条件下将绕点A顺时针旋转时，若，，直接写出线段的长．

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