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合肥市普通高中六校联盟 2023-2024 学年第二学期期中联考
高二年级数学试卷
（考试时间：120 分钟 满分 150 分）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求。
1.已知函数 y f (x)(x R)的图象如图所示，且 f x 为 f (x)的导函数，则（ ）
A. f 1 1 f f 2 B. f
1
1 f f 2
2 2
f 1 1 f 1C. f 2 D. f 1 f

f 2
2 2
2
2.已知函数 f x (x 0)的图像上任意一点P(x0 , f x0 )，在点 P 处切线与 x，y轴分别相交于 A，Bx
两点，则 OAB的面积为（ ）
A. 1 B. 2 C.4 D. 8
3.已知函数 f x ln x x 2 mx。若函数 f x 在[1,2]上单调递减，则实数 m 的最小值为（ ）
9
A. 0 B. 3 C. D.
2 2 2
4.以“奔跑合肥，科创未来”为主题的 2023 合肥马拉松，于 11 月 19 日开跑，共有 3万余名跑者在滨湖
新区纵情奔跑，.本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑(约 8公里)等多个项目，社会各界踊跃参
加志愿服务，现有甲、乙等 5 名大学生志愿者，通过培训后，拟安排在全程马拉松、半程马拉松和欢乐跑
三个项目进行志愿者活动，则下列说法正确的是( )
A. 若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有10种不同的分配方案
B. 若全程马拉松项目必须安排3人，其余两项各安排1人，则有15种不同的分配方案
C. 安排这 5 人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有 42 种不同的站法
D. 安排这 5 人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有 48 种不同的站法
高二年级数学试卷 第 1页 共 4页
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5.已知可导函数 f (x)的导函数为 f x ， f (0) 1，若对任意的 x R，都有 f (x) f x ，则不等式
f (x) ex的解集为( )
A. (0, ) B. (1, ) C. ( ,1) D. ( , 0)
1 1
6.若函数 f x alnx 2 ，既有极大值又有极小值，则 a的取值范围为（ ）x x
( , 1 1 A. ) B. 0, C. ( ,8) D. 0,8 8 8
1 1
7.已知 a e11 ，b ln
12 c 1， ，那么 a,b,c 的大小关系为（ ）
11 11 10
A. b a c B. c b a C. a b c D. a c b
8.已知函数 f (x) ex 1， g(x) 1 ln x，若 f (m) g(n)，则m n的最大值是（ ）
ln 2 1
A. -1 B. 0 C. D. 2ln 2 3
2
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分
9. 下列求导运算正确的是（ ）
f x lnπ 1
2 2 1
A. 若 ，则 f x B. 若
π f x x
3 ，则 f x x 3
3
x
C. 若 f x 2 ，则 f x 2 x ln2 D. 若 f x e2x 2x，则 f x e
10. 某学生在物理，化学，生物，政治，历史，地理这六门课程中选择三门作为选考科目，则下列说法正
确的是（ ）
3
A. 若任意选择三门课程，则总选法为C6
C1C 2B. 若物理和历史至少选一门，则总选法为 2 4
3 1
C. 若物理和历史不能同时选，则总选法为C6 C4
1
D. 若物理和历史至少选一门且不能同时选，则总选法为C2C
2
4
高二年级数学试卷 第 2页 共 4页
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f (x) ax ln x11.已知函数 x 和g(x) 有相同的最大值b，直线 y m与两曲线 y f (x)和 y g(x)恰好e ax
有三个交点，从左到右三个交点横坐标依此为 x1, x2 , x3，则以下说法正确的是（ ）
1
A. a 1 B.b
e
C. x1, x2 , x3成等差数列 D. x1, x2 , x3成等比数列
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.如图，为了迎接五一国际劳动节，某学校安排同学们在 A，B,C,D 四块区域植入花卉，现有4种不同花
卉可供选择，要求相邻区域植入不同花卉，不同的植入方法有______（结果用数字作答）
13.写出一个同时具有下列性质的函数：______
（1） f x1x2 f x1 f x2 （2）当 x (0, )时， f x 0（3） f x 为奇函数
ln x
14.设实数m 0 ,若对于任意的 x (0, ) emx，不等式 恒成立，则m的取值范围为______
m
四、解答题：本题共 5小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
3
15.（本小题 13 分）已知函数 f x x ax2 bx图象在点 0, f 0 处切线斜率为 4，且 x 2时，
y f x 有极值。
（1）求 f x 的解析式；
（2）求函数 f x 极值。
16.(本小题 15 分)北京时间 2023 年 10 月 26 日 11 时 14 分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号 F 遥十
七运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射。“神箭”再起新征程，奔赴浩瀚宇宙。为了某次航天任务，准
备从 7 名预备队员中（其中男 4人，女 3人）中选择 4人作为航天员参加该次任务。
（1）若至少有一名女航天员参加此次航天任务，共有多少种选法？（结果用数字作答）
（2）若选中的 4 名航天员需分配到 A，B，C 三个实验室去，其中每个实验室至少一名航天员，共有多少
种选派方式？（结果用数字作答）
高二年级数学试卷 第 3页 共 4页
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17.(本小题 15 分)设 a为实数，已知 f x x3 3x 3 x x ， g x ln x a 1。e
（1）求 f x 在区间 0,2 的值域；
（2）对于 x1 0,2 ， x2 1,3 ，使得 f x1 g x2 成立，求实数 a的取值范围。
18.（本小题 17 分）已知 f x ln x mx 1，m R。
（1）讨论 f x 的单调性；
（2）若 f x x(e x 2)对于定义域内任意 x 恒成立，求 m 取值范围。
*
19.（本小题 17 分）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当 f x 在 x 0处的 n n N 阶
f 0 f 3 0 f n 0
导数都存在时， f x f 0 f 0 x x2 x3 xn L．注： f x 表
2! 3! n!
示 f x n 的 2 阶导数，即为 f x 的导数， f x n 3 表示 f x 的 n阶导数，该公式也称麦克劳林
公式。
（1）根据该公式估算 sin 1 的值，精确到小数点后两位；
2
x2 x4 x6 x2
（2）由该公式可得：cos x 1 ．当 x 0时，试比较 cos x与1 的大小，并给出
2! 4! 6! 2
证明（不使用泰勒公式）；
n 1
n 1
（3）设 n N* ，证明： k 1 (n k) tan 1 4n 2 。
n k
高二年级数学试卷 第 4页 共 4页
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合肥市普通高中六校联盟 2023-2024 学年第二学期期中联考
高二年级数学参考答案
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
1.B 2.C 3.C 4.D 5.D 6.B 7.A 8.B
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。
9.BC 10.ACD 11.ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.72 13. f (x) log x
1
1 （答案不唯一） 14. ,

2 e
解答题：本题共 5 小题，共 77 分。
15.（1）由题意可得， f (x) 3x2 2ax b． 。。。2 分
f (0) b 4, a 2,
由 解得 。。。5分
f ( 2) 12 4a b 0,

b 4.
经检验得 x 2时， y f x 有极大值．
所以 f (x) x3 2x2 4x． 。。。6 分
（2）由（1）知， f (x) 3x2 4x 4 (x 2)(3x 2) ．
令 f (x) 0 2，得 x1 2， x2 ， 。。。8分3
f (x)， f (x)的值随 x的变化情况如下表：
x ( , 2) 2 2 2 2 2, ,
3 3 3
f (x) 0 0
f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
40
函数值 8
27
40
由表可知 f x 的极大值为 8，极小值为 ． 。。。13 分
27
第 1页，共 5页
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(1)由题意，分成 3 种情况讨论
1 3
只有一名女性 C3C4 12种选法 。。。2分
2 2
有两名女性 C3C4 18种选法 。。。4 分
3 1
有三名女性 C3C4 4种选法 。。。6 分
所以共有 34 种选法 。。。7分
C 4 C 4（ 7 4 34也可以）
根据题意，先选 3 名航天员，然后分为 2，1，1 的两组，然后分配到 A，B，C 实验室
C 4 C
2
4C
1
7
2
2 A
3
3 1260 。。。15 分A2
f x x3 3x 3 x f x x 1 3x 1 3 17.由 x ，得e ， ex
当 x 0,2 时，3x 3 1 x 0，e
∴ f x 在区间 0,1 上单调递减，在区间 1,2 上单调递增， 。。。。4 分
f x 0,2 f 1 1 1∴函数 在区间 上的最小值为 ．
e
f 0 3 f 2 5 2
e2

所以值域为 1
1 2
,5
e e2
。。。。8分

（2）∵ x1 0,2 ， x2 1,3 ，使得 f x1 g x2 成立，
∴ f x1 min g x2 min 。。。12 分
又 g x ln x a 1在 1,3 上单调递增，
∴函数 g x 在区间 1,3 上的最小值为 g 1 a 1，
1 1
1
∴ a 1 ，即实数 a的取值范围是 , ． 。。。15 分e e
第 2页，共 5页
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' 1 1 mx
18.（1） f x m ， x （0， ）； 。。。1分
x x
当m 0时， f ' x 0，故 f x 在（0， ）R上单调递增； 。。。3 分
当m 0时，令 f ' x 1 1 1 0 ，则 x ，令 f ' x 0，则 x ，故 f x 在 0, 上单调递增， f x 在
m m m
1
（ , ）上单调递减； 。。。6 分
m
综上，当 a 0时， f x 在（0， ）上单调递增；
a 0 f x 0, 1 当 时， 在 上单调递增， f x 1在（ , ）上单调递减. 。。。7 分
m m
ln x 1
由题意知， m e x 2
x
2 m e x ln x 1即
x
g(x) e x ln x 1令 ，
x
g (x) x
2e x ln x
则
x2
令Q(x) x2 x Q (x) (x2 2x)e x
1
e ln x，则 0
x
由于Q(1) 0； Q(1) 0
2
所以存在 x0，使得Q(x0 ) 0 。。。10 分
g x 在 0, x0 上单调递减， f x 在（x0 , ）上单调递增
g x g(x ) e x ln x 10 0最小值为 0 x ，0
x x 2e x ln x 0 x e x
ln x
由于 ，满足 0
0 0
0 0 0 ， 0 x ，0
1
两边取对数 ln x0 x0 ln( ln x0 ) ( ln x0 ) 即 ln x
x0
0 x0 e x 。。。15 分0
g(x x ln x0 1 1 x0 10即 0 ) e 1x0 x0 x
，
0
故 2 m 1. m 1， 。。。17 分
第 3页，共 5页
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19.令 f x sin x，则 f (x) cos x，f (x) sin x， f 3 x cos x 4 ， f x sin x，L
故 f 0 0， f (0) 1 f (0) 0 f 3 ， ， 0 1 4 ， f 0 0，L
x3 x5 x7
由麦克劳林公式可得 sin x x ， 。。。2分
3! 5! 7!
1 1 1
故 sin 0.48 . 。。。3分
2 2 48
2
（2）结论： cos x 1 x ， 。。。4 分
2
证明如下：
2
令 g x cos x 1 x , x 0，
2
令 h x g x sin x x,h x cos x 1 0， 。。。6 分
故 h x 在 0, 上单调递增， h x h 0 0，
故 g x 在 0, 上单调递增， g x g 0 0，
2 2
即证得 cos x x 1 0，即 cos x 1 x ． 。。。8分
2 2
x2
（3）由（2）可得当 x 0时， cos x 1 ，且由 h x 0得 sin x x，
2
2
当且仅当 x 0 x时取等号，故当 x 0时， cosx 1 ,sinx x，
2
1 cos
1 cos 1
n k n k cos 1 1 1 2 ， .。。。12 分
n k tan 1 n k sin 1 n k 1 n k 2(n k )
n k n k n k
1 2 2 2
而 2(n k)2 (2n 2k)2 (2n 2k)2 1 2n 2k 1 2n 2k 1
1 1
， .。。。15 分
2n 2k 1 2n 2k 1
1 1 1 1
即有 1 n k tan 2n 2k 1 2n 2k 1


n k
第 4页，共 5页
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n
1 n 1 1 1 1 1 1 故 k 1 (n k) tan 1 2n 1 2n 3 2n 3 2n 5 4n 1 4n 1
n k
n 1 1
2n 1 4n 1
n 1 1 n 1 1 1而
2n 1 4n 1
0，
4n 2 4n 1 4n 2
n 1 1
即证得 k 1 (n k) tan 1
n
. 。。。17 分
4n 2
n k
第 5页，共 5页
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