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第04讲 解题技巧专题：分式的混合运算及规律和新定义问题（7类热点题型讲练）
目录
【考点一 分式的混合运算问题】 PAGEREF _Toc27725 \\h 1
【考点二 分式的混合运算错解复原问题】 PAGEREF _Toc7658 \\h 6
【考点三 分式的混合运算先化简求值问题】 PAGEREF _Toc19000 \\h 11
【考点四 分式的混合运算规律探究问题】 PAGEREF _Toc13967 \\h 14
【考点五 分式的混合运算“倒数法”求值问题】 PAGEREF _Toc16314 \\h 17
【考点六 分式的混合运算新定义型问题】 PAGEREF _Toc5079 \\h 19
【考点七 分式的混合运算假分数问题】 PAGEREF _Toc31254 \\h 24
【考点一 分式的混合运算问题】
例题：（23-24八年级下·全国·课后作业）
1．计算：
(1)；
(2)．
【变式训练】
（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）
2．化简：
(1)；
(2)．
（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）
3．分式的计算：
(1)；
(2)．
（23-24八年级上·山东聊城·期中）
4．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)
(7)；
(8)．
【考点二 分式的混合运算错解复原问题】
例题：（23-24八年级上·河南商丘·期末）
5．以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式①
②
③
……
解：
(1)上面的运算过程中第 步出现了错误；
(2)选择一个你喜欢的x的值代入求值．
【变式训练】
（2023·贵州遵义·一模）
6．以下是小明化简分式的过程．
解：原式第一步
第二步
第三步
第四步
(1)小明的解答过程在第______ 步开始出错；
(2)请写出正确的解答过程．
（2023·贵州遵义·一模）
7．下列是某同学化简分式的部分过程：
解：原式第一步；
第二步；
第三步；
(1)上面的化简过程从第______步开始出现错误；
(2)请你写出完整的解答过程．
（23-24八年级上·河南商丘·期末）
8．下面是亮亮进行分式化简的过程：
解：原式 第一步
第二步
第三步
第四步
第五步
． 第六步
(1)第二步的依据是______；
(2)亮亮从第______步开始出现错误，该步错误的原因是______；
(3)请写出正确的化简过程；
(4)在分式化简的过程中，还需要注意哪些事项？请你给其他同学提一条建议．
（23-24八年级上·宁夏固原·期末）
9．下面是某分式化简过程，请认真阅读并完成任务．
……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务一：填空
①以上化简步骤中，第______步是通分，通分的依据是______．
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：直接写出该分式化简后的正确结果．
【考点三 分式的混合运算先化简求值问题】
例题：（23-24八年级上·四川广元·期末）
10．先化简，再求值：，其中．
【变式训练】
（2024·新疆克孜勒苏·二模）
11． 先化简再求值：，其中．
（23-24八年级上·辽宁铁岭·期末）
12．先化简，再从四个数中，选取一个恰当的数进行求值．
（23-24八年级上·山东德州·期末）
13．先化简，再求值：，其中．
（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）
14．先化简，再求值，，其中满足．
【考点四 分式的混合运算规律探究问题】
例题：（2023七年级上·福建·专题练习）
15．观察下列计算
，，，，
(1)第5个式子是　　；第个式子是　　．
(2)从计算结果中找规律，利用规律计算．
(3)计算．
【变式训练】
（22-23九年级上·安徽·开学考试）
16．观察以下等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：_________；
(2)写出你猜想的第个等式：_________用含的等式表示），并证明．
（2023·安徽合肥·三模）
17．观察以下等式：
第1个等式：，
第2－个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：__________________；
(2)写出你猜想的第个等式（用含的等式表示），并证明．
（2023·安徽·一模）
18．观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；
第4个等式：；第5个等式：；……按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第6个等式：________________
(2)写出你猜想的第n个等式：________________（用含n的等式表示），并证明．
【考点五 分式的混合运算“倒数法”求值问题】
例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）
19．阅读与理解
阅读下列材料，完成后面的任务．
在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一，所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的．
例：若，求代数式的值．
解：∵，∴，∴，∴．
任务：已知．
(1)求的值．
(2)求 的值．
【变式训练】
（23-24八年级上·云南昆明·期末）
20．阅读下面的解题过程：已知，求的值．
解：由知，所以，即．
因此，所以的值为．
该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知，求的值．
【考点六 分式的混合运算新定义型问题】
例题：（23-24八年级上·山东德州·期末）
21．定义：若分式P与分式Q的差等于它们的积，即，则称分式P与分式Q互为“关联分式”．如与，因为，所以与互为“关联分式”，其中一个分式是另外一个分式的“关联分式”．
(1)请通过计算判断分式是不是分式的“关联分式”．
(2)求分式的“关联分式”．
【变式训练】
（22-23八年级下·福建福州·开学考试）
22．定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”．
(1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由；
(2)已知分式，且E是F的“最友好分式”．
①求P（用含x的式子表示）；
②若为定值，求m与n之间的数量关系．
（23-24八年级上·河南信阳·期末）
23．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”．
(1)下列分式中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；
①；②；③．
(2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)应用：先化简，并回答：a取什么整数时，该式的值为整数？
（23-24八年级上·江西宜春·期末）
24．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“美好分式”，如：，则是“美好分式”．
(1)下列分式中，属于“美好分式”的是______；（只填序号）
①； ②； ③； ④．
(2)将“美好分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式；
(3)判断的结果是否为“美好分式”，并说明理由．
【考点七 分式的混合运算假分数问题】
例题：（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）
25．阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）
如：；
解决下列问题：
(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式化为带分式；
(3)如果x为整数，分式的值为整数，求所有符合条件的x的值．
【变式训练】
（23-24八年级上·湖南长沙·期末）
26．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数．如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如，这样的分式就是假分式；，这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．
如：．
解决下列问题：
(1)分式是_____分式（填“真”或“假”）；
(2)将假分式化为带分式；
(3)求所有符合条件的整数x的值，使得的值为整数．
（23-24八年级上·云南昆明·期末）
27．著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．
【阅读材料】在处理分数和分式的问题时，有时由于分子大于分母，或分子的次数高于分母的次数，在实际运算时难度较大，这时，我们可将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，通过对它的简单分析来解决问题，我们称这种方法为分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效．将分式分离常数可类比假分数变形带分数的方法进行，如：，这样，分式就拆分成一个整数1与一个分式的和的形式；
又如：，这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
【理解知识】（1）把分式拆分成一个整数与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为______；
【掌握知识】（2）请你把分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式；
【运用知识】（3）若分式的值为正整数，求整数的值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；
（1）根据分式的减法及乘法可进行求解；
（2）根据分式的混合运算可进行求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
2．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的化简；
（1）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的运算，同时把除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可；
（2）先根据异分母分式的减法法则计算括号内的运算，然后把除法变成乘法，分子、分母能因式分解的进行因式分解，然后约分即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
3．(1)
(2)
【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算法则；
（1）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
（2）分式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
【详解】（1）
（2）
．
4．(1)0
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
【分析】本题考查分式的混合运算，掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
（1）先化简然后运用同分母分式的运算法则解题即可；
（2）先把除法转化为乘法，然后约分解题即可；
（3）先运算括号，然后运算除法解题即可；
（4）先利用记得乘方，然后运用同底数幂的乘法计算，最后利用负整数指数的运算解题即可；
（5）先把看成整体通分解题即可；
（6）先运算分式的除法和分式的约分，然后进行同分母的分式的加减解题即可；
（7）先约分，然后通分，最后运算除法解题即可；
（8）先把除法转化为乘法，利用乘法分配律解题即可．
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
；
（5）
；
（6）
；
（7）
；
（8）
．
5．(1)③；
(2)；
【分析】本题考查了分式的混合计算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
（1）根据上述解题步骤分析解答即可．
（2）把括号内通分，并把除法转化为乘法，然后约分化简．
【详解】（1）第③步出现错误，原因是分子相减时未变号，故答案为∶③；
（2）原式
当时，．
故答案为：；．
6．(1)二
(2)．
【分析】此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
（1）直接利用分式的混合运算法则判断得出答案；
（2）直接利用分式的混合运算法则化简，进而得出答案．
【详解】（1）解：原式第一步，
第二步，
∴小明的解答过程在第二步开始出错；
（2）解：原式
．
7．(1)二
(2)见解析
【分析】（1）根据分式混合运算的法则可知第二步出现错误；
（2）先算括号里面的，再算除法即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
【详解】（1）第二步出现错误．
故答案为：二；
（2）原式
．
8．(1)分式的基本性质
(2)四；括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号
(3)
(4)在分式化简的过程中，还需要注意的事项有：最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）
【分析】本题考查分式的混合运算，
（1）根据分式的基本性质，即可解答；
（2）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（3）先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答；
（4）根据分式的混合运算以及化简，即可解答；
掌握分式的基本性质及运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：第二步的依据是分式的基本性质，
故答案为：分式的基本性质；
（2）亮亮从第四步开始出现错误，该步错误的原因是括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号，
故答案为：四；括号前是“－”，去括号后，括号内第二项没有变号；
（3）
；
（4）在分式化简的过程中，还需要注意的事项有：最后结果应化为最简分式或整式（答案不唯一）．
9．任务一：①一，分式的基本性质；②二，去括号没有变号；任务二：．
【分析】本题考查了分式的化简，掌握相关运算法则是解题关键．
任务一：①根据通分的定义判断即可；②根据去括号法则判断即可；
任务二：根据分式的混合运算法则计算即可．
【详解】解：任务一：①以上化简步骤中，第一步是通分，通分的依据是分式的基本性质，
故答案为：一，分式的基本性质；
②第二步开始出现错误，错误的原因是去括号没有变号，
故答案为：二，去括号没有变号；
任务二：
．
10．，
【分析】本题考查分式化简求值，涉及因式分解、通分、分式混合运算、约分、负整数指数幂、零指数幂等知识，先利用分式混合运算化简，再将运算后的代入求值即可得到答案，熟练掌握分式的化简求值是解决问题的关键．
【详解】解：
，
，
原式．
11．，3
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可．熟练掌握运算法则并正确求解是解答的关键．
【详解】解：
，
当，
原式．
12．，当时，原式．
【分析】本题考查了分式的化简求值，先对分式进行化简，再把代入到化简后的式子进行计算即可求解，掌握分式的性质及运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
当时，
原式．
13．，
【分析】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则．先根据分式的混合运算将式子化简，再将计算出的x的值代入计算即可．
【详解】解：原式
，
，
，
当时，原式．
14．，．
【分析】本题考查了分式的化简求值及整体代入求值，首先根据分式的混合运算进行运算，得到最简分式，再由代入即可求解，准确化简分式是解题的关键．
【详解】解：原式，
，
，
，
∵，
∴，
∴原式．
15．(1)；
(2)
(3)
【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）观察一系列等式得到一般性规律，写出第5个式子与第个式子即可；
（2）原式利用得出的规律化简，计算即可得到结果；
（3）原式变形后，利用得出的规律化简，计算即可得到结果．
【详解】（1）解：第5个式子是；
第个式子是；
故答案为：；；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
．
16．(1)
(2)，证明见解析
【分析】（1）通过前4个等式的规律可得此题结果；
（2）结合（1）题结果进行证明．
【详解】（1）解：由题意得，第五个等式为，
故答案为：；
（2）由（1）题规律可得，第个等式为，
证明:
，
，
故答案为：．
【点睛】此题考查了解决数式变化规律问题的能力，关键是能通过正确地观察、猜想、证明得到问题中蕴含的规律．
17．(1)
(2)，见解析
【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可；
（2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可．
【详解】（1）解：
（2）
左边
右边
∴左边右边．
【点睛】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键．
18．(1)
(2)；证明见解析
【分析】（1）根据已知等式括号外的分数和括号内的分数的规律得第六个等式；
（2）根据（1）的规律列等式，再由分式的化简证明；
【详解】（1）解：；
（2）；
证明：左边右边，所以原等式成立；
【点睛】本题考查了数字的规律变化，分式的化简；找到等式中分数的变化规律是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算；
（1）把式子变成其倒数形式，然后约分即可；
（2）对取倒数为，由（1）求出，然后计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴；
（2）对取倒数为，
由（1）得，
∴，
∴，
∴．
20．
【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据题意求出的值，再求出代数式倒数的值，进而得出结论．
【详解】解：由知
，即
，
．
21．(1)见解析
(2)或
【分析】本题考查用新定义解决数学问题，熟练掌握分式混合运算法则是求解本题的基础；
（1）根据“关联分式”的定义判断即可；
（2）①设分式为P，则其关联式为Q，则有，计算Q即可；
②设为Q，则其关联式为P，则有，计算P即可；
【详解】（1）解：证明：若和为关联分式，
则必须满足，
故：，
，
∴，
故分式是分式的“关联分式”；
（2）已知题意：，
①设为P，则其关联式为Q，
，
，
，
，
故其关联式为．
②设为Q，则其关联式为P，
，
，
，
，
故其关联式为．
综上，分式的“关联分式”为或．
22．(1)C是D的“最友好分式”，理由见解析
(2)①，②
【分析】本题主要考查新定义下分式的混合运算和解一元一次方程，
（1）根据“最友好分式”的定义，计算的值即可；
（2）①根据题意得，结合E是F的“最友好分式”可求得；②当时，化简得，设，可得，结合定值得且，即可求得m和n之间的关系．
【详解】（1）解：C是D的“最友好分式”，理由：
∵
∴C是D的“最友好分式”；
（2）①∵分式，且E是F的“最友好分式”，
∴，
解得；
②当时，，
设，
∴，
∴，
∵为定值，
∴且，
由解得，
把代入，得
∴．
23．(1)①③
(2)
(3)时，该式的值为整数
【分析】本题考查了新定义运算，分式的混合运算，分式有意义的条件，理解“和谐分式”的定义是解题的关键．
（1）根据“和谐分式”的定义，对各式进行变形计算，即可解答；
（2）根据完全平方公式，进行变形计算，即可解答；
（3）将原式化简为，再变形为，从而可得当或时，分式的值为整数，进而可得，，或1，然后根据分式有意义时，，，，，即可解答．
【详解】（1）解：①；
②；
③；
上列分式中，属于“和谐分式”的是①③，
故答案为：①③；
（2）解：
．
（3）解：
，
当或时，分式的值为整数，
，0，或，
分式有意义时，，，，，
，
时，该式的值为整数．
24．(1)①③④；
(2)；
(3)是美好分式，理由见解析．
【分析】本题主要考查了分式的混合运算、新定义等知识点，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
（1）根据“美好分式”的意义逐个判断即可；
（2）依先对分子进而变形，然后根据题意化简即可；
（3）首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据“美好分式”的定义判断即可．
【详解】（1）解：①由，则①属于“美好分式”；②分式分子的次数低于分母次数，不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则②不属于“美好分式”； 由，则③属于“美好分式”；④则④属于“美好分式”；
故答案为：①③④；
（2）解：．
（3）解：的化简结果是“美好分式”，理由如下：
∵
，
∴的化简结果是“美好分式”．
25．(1)真
(2)
(3)或
【分析】本题考查了分式的混合运算；
（1）根据材料中“真分式”和“假分式”的定义进行判断即可；
（2）根据题中所给方法，利用分式的性质计算即可；
（3）先将分式化为带分式，再根据题意得出，然后分别计算即可．
【详解】（1）解：∵分式中分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式，
故答案为：真；
（2）
；
（3），
∵x为整数，分式的值为整数，
∴，
∴或．
26．(1)真；
(2)；
(3)．
【分析】本题主要考查了分式的化简运算，正确理解题意中的新定义、掌握分式的化简方法是解题的关键．
（1）根据“真分式”和“假分式”定义判断即可；
（2）将分子写成，然后进行变形即可解答；
（3）先将分式化为带分式，根据为整数，分式的值为整数即可得到x的值．
【详解】（1）解：∵的次数为0，x的次数为1，
∴是真分式．
故答案为：真．
（2）解：．
（3）解：
，
∵与x均为整数，
∴或或1或，
∴或或0或，
∵ ，，，，
∴，0，，1．
∴．
27．（1）；（2）见解析；（3）9或3
【分析】本题考查分式的化简以及完全平方公式．掌握分式的变形方法，是解题的关键．
（1）根据题干中的方法，将分式进行变形，即可；
（2）根据题干中的方法，将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式即可；
（3）根据题干中的方法，先将分式转化为一个整式和一个分式的和的形式，结合的值为正整数得出m的值，再代入验证原式值是否为正整数即可．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2）
；
（3）
，
当是整数时，或，
解得或0或3或，
当时，原式；
当时，原式（不符合题意，舍去）
当时，原式；
当时，原式（不符合题意，舍去），
综上，整数的值为3或9．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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