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第06讲 解题技巧专题：构造等腰三角形的解题技巧（3类热点题型讲练）
目录
【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】
【考点二 过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形】
【考点三 利用倍角关系构造新等腰三角形】
【考点一 利用平行线+角平分线构造等腰三角形】
例题：（2024上·北京西城·八年级校考期中）
1．如图，在中，平分，，是的中点．

(1)求证：是等腰三角形
(2)若，求的度数．
【变式训练】
（2024下·湖南株洲·八年级校考期末）
2．已知在中，的平分线交于点，．
(1)如图1，求证：是等腰三角形；
(2)如图2，若平分交于，，在边上取点使，若，求的长．
（2023上·全国·八年级期末）
3．如图1，在中，和的平分线交于点O，过点O作，交于E，交于F．

(1)当，则___________；
(2)当时，若是的外角平分线，如图2，它仍然和的角平分线相交于点O，过点O作，交于E，交于F，试判断，之间的关系，并说明理由．
（2023上·吉林松原·八年级校考期末）
4．【问题背景】在学习了等腰三角形等有关知识后，数学活动小组发现：当角平分线遇上平行线时一般可得等腰三角形．如图1，为的角平分线上一点，常过点作交于点，易得为等腰三角形．
(1)【基本运用】如图2，把长方形纸片沿对角线折叠，使点落在点处，则重合部分的形状是_______．
(2)【类比探究】如图3，中，内角与外角的角平分线交于点，过点作分别交于点，试探究线段之间的数量关系并说明理由；
(3)【拓展提升】如图4，四边形中，为边的中点，平分，连接，求证：．
【考点二 过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形】
例题：（2023上·吉林通化·八年级统考期末）
5．如图，是等边三角形，点在上，点在的延长线上，且．

(1)若点是的中点，如图1，则线段与的数量关系是__________；
(2)若点不是的中点，如图2，试判断与的数量关系，并证明你的结论；(提示：过点作，交于点)
(3)若点在线段的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
【变式训练】
（2024上·天津滨海新·八年级校考期末）
6．已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，且，点是直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足．
(1)如图1，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长．
(2)如图2，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由．
7．已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且．
(1)【感知】如图1，当点E为的中点时，则线段与的数量关系是______；
(2)【类比】如图2，当点E为边上任意一点时，则线段与的数量关系是______，请说明理由；（提示如下：过点E作，交于点F．）
(3)【拓展】在等边三角形中，点E在直线上，点D在直线上，且，若的边长为2，，则的长是______．
（2024上·广东中山·八年级统考期末）
8．如图，中， ， ， 点P从点B出发沿线段移动到点A停止，同时点Q从点C出发沿的延长线移动，并与点 P同时停止． 已知点 P，Q移动的速度相同，连接与线段 相交于点D(不考虑点 P与点A，B重合时的情况)．
(1)求证: ；
(2)求证: ；
(3)如图，过点P作于点E，在点P，Q移动的过程中，线段的长度是否变化 如果不变，请求出这个长度；如果变化，请说明理由．
（2023上·黑龙江齐齐哈尔·八年级齐齐哈尔市第三中学校校考期末）
9．综合与实践：
已知：等边．
【观察猜想】如图①：D为线段上一点，，交于点E．可知为______三角形．
【实践发现】如图②：D为线段外一点，连接，以为一边作等边三角形．连接．猜想与数量关系为______，直线与相交所产生的交角中的锐角为______．
【深入探究】：D为线段上一点，F为线段延长线上一点，且．
（1）特殊感知：当点D为的中点时，如图③，猜想线段与的数量关系为______；
（2）特例启发：当D为上任意一点，其余条件不变，如图④，猜想线段与的数量关系？并说明理由．
（3）拓展延伸：在等边三角形中，点D在直线上，点F在直线上，且．若的边长为2，，则的长为______．
【考点三 利用倍角关系构造新等腰三角形】
例题：（2023上·河南信阳·八年级统考期中）
10．阅读材料：截长补短法，是初中数学几何题中一种辅助线的添加方法．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一长边相等，解答下列问题：如图1，在中，交于点D，平分，且．
(1)为了证明结论“”，小亮在AC上截取，使得，解答了这个问题，请按照小亮的思路写证明过程；
(2)如图2，在四边形中，已知，，，，，，求的长．
【变式训练】
11．在中，，点在边上，，点在线段上，．
(1)如图，若点与点重合，则______；
(2)如图，若点与点不重合，试说明与的数量关系；
(3)在（1）的情况下，试判断，与的数量关系，并说明你的理由．
（2023上·辽宁大连·八年级大连市第三十四中学校考期中）
12．已知，在中，点是边上一点，点是延长线上一点，交于点，点是上一点，连接于点．
(1)写出图1中与相等的角，______；
(2)如图1，若，在图中找出与相等的线段并证明；
(3)如图2，若，求的长度．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．
（1）由角平分线的定义得，由得即可求证；
（2）先求出，根据“三线合一”得，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴是等腰三角形；
（2）解：∵，
∴由（1）得：
∵是等腰三角形，是的中点．
∴
∴．
2．(1)见解析
(2)4
【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键．
（1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，进而得出，根据等腰三角形的判定即可得出答案；
（2）利用角平分线的定义、平行线性质得出，进而得出，根据含30度角的直角三角形的性质得出，进而可得出答案．
【详解】（1）证明：是的平分线，
，
，
，
，
，
即是等腰三角形；
（2）解：，，
，
又平分，
，
由（1）可知，，
，
，
，
在中，，，
，
又，，
．
3．(1)8
(2)，见解析
【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义等知识，利用角平分线和平行线证明等腰三角形是解题的关键．
（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证，即可得出答案；
（2）与（1）同理由平行线的性质和角平分线的定义可证．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵和的平分线交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：8；
（2），理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
4．(1)是等腰三角形
(2)，理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形的性质，掌握等腰三角形的性质，平行线的性质是解题的关键．
（1）根据材料提示，平行线的性质，等腰三角形的性质即可求证；
（2）根据（1）的结论可知，为等腰三角形，则，且，可证，由此即可求解；
（3）如图所示，过点作，为边的中点，可知点是的中点，得出为等腰三角关系，证明平分，再根据两直线平行同旁内角互补，即可证明，即直角三角形，由此即可求证．
【详解】（1）是等腰三角形；
理由：在长方形中，，
，
由折叠性质可得，
，
，
是等腰三角形；
故答案为：等腰三角形；
（2）解：，理由如下，
∵平分，，
∴，
∴为等腰三角形，则，
平分，，
，
为等腰三角形，即，
，
．
（3）证明：如图所示，过点作，交于点，
为边的中点，
点是的中点，即，
，平分，
，
是等腰三角形，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
，
．
5．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
(3)成立，理由见解析
【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定．
（1）求出，推出，根据等腰三角形性质求出，即可得出答案；
（2）过作，交于，证明，推出，证是等边三角形，推出，即可得出答案；
（3）过点作，交的延长线于点，证明，得到，即可得到．
【详解】（1）解：，理由如下：
是等边三角形，
．
∵点为中点，
，
，
，
，
，
，
又，
．
故答案为：；
（2）解：，理由如下：
如图，过点作，交于点，

则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
；
（3）解：结论仍成立，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，

则，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
．
6．(1)
(2)，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；
（1）证明为等边三角形，得出，由等边三角形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形的外角性质得出，即可得出结论；
（2）过点E作交于点F，由平行线的性质得出，证出，得出，证出，由证明，得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：∵，
为等边三角形，
∴，
∵点E是线段的中点，
∴，
，
，
∵
，
；
（2）解：，理由如下：
过点E作交于点F，如图，
∵，
∴，
，
∵，
，
，
，
∴，
，
，
在和中，
∵，
∴，
，
∵，
．
7．(1)
(2)，理由见解析
(3)5
【分析】（1）由等腰三角形的性质得，再由等边三角形的性质得，然后证，得，即可得出结论；
（2）过点E作，交于点F，证为等边三角形，得，再证，得，即可得出结论；
（3）过点E作，交的延长线于点F，同（2）得是等边三角形，，则，，即可得出答案．
【详解】（1），理由如下：
∵，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∵点E为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2），理由如下：
过点E作，交于点F，则，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
（3）过点E作，交于点F，如图3所示：
同（2）得：是等边三角形，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
8．(1)见解析
(2)见解析
(3)为定值5，理由见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，线段的和差，准确作出辅助线找出全等三角形是解题关键．
（1）利用、的移动速度相同，得到，利用线段间的关系即可推出；
（2）过点P作，交于点F，利用等边对等角结合已知可证，即可得出结论；
（3）过点P作，交于点F，由（2）得，可知为等腰三角形，结合，可得出即可得出为定值．
【详解】（1）证明：、的移动速度相同，
，
，
；
（2）如图，过点P作，交于点F，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，
，
在与中，
，
，
；
（3）解：为定值5，理由如下：
如图，过点P作，交于点F，
由（2）得：，
为等腰三角形，
，
，
由（2）得，
，
，
为定值5．
9．观察猜想：等边；实践发现：，；（1）；（2），证明见解析；（3）5或1
【观察猜想】利用等边三角形的性质和判定即可证明；
【实践发现】利用等边三角形的性质证明即可得出数量关系，再用三角形内角和定理即可得出角度；
【深入探究】（1）根据等边三角形的性质和等腰三角形的判定与性质求解即可；
（2）正确作出辅助线证明三角形全等即可；
（3）分点D在的延长线上两种情况讨论。
【详解】解：【观察猜想】等边
理由：是等边三角形，
，
，
，
是等边三角形．
实践发现
，
理由：
都是等边三角形，
，
，
，
，
延长交于F，
中，，
，
即，
，
深入探究
（1）特殊感知∶
理由：当点D为的中点时，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
．
（2）特例启发：猜想，
证明：过点D作，交于点E．
，
， ．
是等边三角形，
．
，
又，
在和中，
，
，
（3）①如图：
②如图，
当点D在的延长线上时，
作，交直线于点E，
，
，
，
的边长为2，，
，
，
，
，
，
综上所述，的长是5或1．
【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定、三角形全等的性质和判定及“直角三角形中30锐角所对直角边等于斜边的一半”，正确作出辅助线，构造全等三角形及分类讨论是解决问题的关键．
10．(1)见解析
(2)16
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）在上截取，使得，连接，根据角平分线的定义可得，再利用证明，从而可得，，进而可得，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据等量代换可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）在上截取，连接，先利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用证明，从而可得，进而可得，然后利用三角形内角和定理可得，从而可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】（1）解：证明：在上截取，使得，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∴，
∴，
∴
∵，
∴；
（2）在上截取，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的长为16．
11．(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到，根据题意求出，根据三角形的外角性质计算，得到答案；
（2）根据直角三角形的两锐角互余得到，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理得到，进而证明结论；
（3）在上截取，连接，证明≌，根据求等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质得到，得到，进而得出结论．
【详解】（1）解：在中，，，
则，
，，
，
，
故答案为：；
（2）解：，
理由如下：，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：，
理由如下：如图，在上截取，连接，
则，
，
在和中，
，
≌，
，
，
是的外角，
，
，
．
【点睛】本题考查的是三角形全等的判定和性质、直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定定理是解题的关键．
12．(1)
(2)，证明见解析
(3)
【分析】（1）运用三角形外角性质即可求得答案；
（2）利用证明，可得，，即可得出答案；
（3）延长交的延长线于，过点作交的延长线于，可证得则，设，再根据等腰三角形性质可得，建立方程求解即可得出答案.
【详解】（1），，
．
，
故答案为：；
（2），理由如下，
，，，
，
在和中，
，
，．
，
即；
（3）如图2，延长交的延长线于，过点作交的延长线于，
，
则，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
设，
，，
，．
，
，，
．
，
解得：
，
，
故的长度为．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，三角形的外角的性质，全等三角形的 性质与判定，构造全等三角形是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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