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小升初六年级下册数学知识点梳理
知识分类
一、数论基础: 质数、合数、约数、倍数、整除性质、公约数、公倍数、互质数
二、计算方法: 和差问题、和倍问题、差倍问题、倍比问题、方程求解、分数小数百分数混合运算、小数和分数转换问题
三、应用题类型: 年龄问题、鸡兔同笼、相遇问题、追及问题、列车问题、行船问题、盈亏问题、工程问题、正反比例问题、按比例分配问题、百分比问题、商品利润问题、存款利率问题、溶液浓度问题、牛吃草问题、植树问题、方阵问题、时钟问题、幻方问题、概率和频率
四、其他: 排列组合、等差数列、图形相关问题
一、数论基础
1. 质数、合数、约数、倍数
定义: 质数 (素数) 只有 1 和它本身两个约数；合数除了 1 和它本身还有其他约数。约数是能够整除一个数的数；倍数是一个数的整数倍。
点拨: 掌握质数和合数的判定方法，了解约数和倍数的互逆关系。
易错点: 混淆质数和奇数的概念，忽略 1 既不是质数也不是合数。
及时练：
列出 100 以内的所有质数。
判断下列数是质数还是合数: 15, 23, 36, 47
写出 24 的所有约数和前 5 个倍数。
2. 整除性质
内容: 能被 2, 3, 4, 5, 8, 9, 11 等数整除的数的特征。
点拨: 熟记各种整除法则，并能够灵活运用。
易错点: 混淆不同整除法则的适用条件。
及时练：
判断下列数能被哪些数整除: 128, 315, 522, 704
填空: 能被 9 整除的最小三位数是____；能被 11 整除的最大两位数是____.
3. 公约数、公倍数、互质数
定义: 两个或多个数的公约数是指能够同时整除这些数的数；公倍数是指这些数的共同倍数。互质数是指公约数只有 1 的两个数。
点拨: 掌握求最大公约数和最小公倍数的方法 (短除法、辗转相除法)。
易错点: 混淆最大公约数和最小公倍数的概念，计算错误。
及时练：
求 12 和 18 的最大公约数和最小公倍数。
判断下列数是否互质: 15 和 22, 21 和 28, 35 和 48
二、计算方法
1. 和差问题、和倍问题、差倍问题、倍比问题
内容: 已知两个数的和/差以及倍数关系，求这两个数。
点拨: 理解题意，正确列出方程或比例式，并进行计算。
易错点: 混淆不同类型问题的数量关系，计算错误。
及时练：
甲乙两数的和是 25，甲数是乙数的 2 倍，求甲乙两数。
甲乙两数的差是 10，甲数是乙数的 3 倍，求甲乙两数。
一块布，用去 米后，剩下的比用去的 3 倍还多 米，这块布原来长多少米？
2. 方程求解
内容: 利用方程解决各种应用题。
点拨: 认真审题，正确设未知数，列出方程并求解。
易错点: 设未知数错误，列方程错误，计算错误。
及时练：
学校买了若干个篮球和足球，篮球比足球多 5 个，篮球的个数是足球的 2 倍，学校买了多少个篮球？
3. 分数小数百分数混合运算
内容: 分数、小数、百分数之间的互化和四则混合运算。
点拨: 掌握分数小数百分数之间的转换方法，注意运算顺序和符号变化。
易错点: 转换错误，运算顺序错误，符号错误。
及时练：
计算: + 0.25 - 20%
化简: ÷ ( + )
4. 小数和分数转换问题
内容: 循环小数和分数之间的互化。
点拨: 理解循环小数的意义，掌握转换方法。
易错点: 混淆纯循环小数和混循环小数的转换方法。
及时练：
将 0.3(6) 化为分数。
三、应用题类型
1. 年龄问题
内容: 涉及人物年龄变化的问题，通常涉及年龄差和倍数关系。
点拨: 抓住年龄差不变，年龄倍数关系变化的特点，列方程或画图解决。
易错点: 混淆年龄差和年龄本身，计算错误。
及时练：
父亲今年 40 岁，儿子 10 岁，多少年后父亲的年龄是儿子的 3 倍
2. 鸡兔同笼
内容: 已知鸡兔的总头数和总腿数，求鸡兔的数量。
点拨: 可以使用假设法、方程法或画图法解决。
易错点: 计算错误，答案不符合实际情况 (例如出现小数只鸡)。
及时练：
鸡兔同笼，共有头 35 个，脚 94 只，鸡兔各有多少只
3. 相遇问题
内容: 研究两个或多个物体相向运动相遇的时间、地点或路程等问题。
点拨: 理解相遇的含义，掌握相遇问题的基本数量关系：路程 = 速度 × 时间。
易错点: 混淆相遇时间和各自运动时间，计算错误。
及时练：
甲乙两人同时从 AB 两地相向而行，4 小时相遇，甲每小时行 5 千米，乙每小时行 4 千米，AB 两地相距多少千米
4. 追及问题
内容: 研究一个物体追赶另一个物体的问题，涉及追及时间、路程等。
点拨: 理解追及的含义，掌握追及问题的基本数量关系：追及时间 = 追及路程 ÷ 速度差。
易错点: 混淆追及时间和各自运动时间，计算错误。
及时练：
甲乙两人从同一地点出发，同向而行，甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒，5 秒后两人相距多少米
5. 列车问题
内容: 涉及火车过桥、隧道，火车追及或相遇等问题。
点拨: 理解火车长度的概念，掌握列车过桥、追及、相遇等问题的数量关系。
易错点: 忽略火车长度，计算错误。
及时练：
一列火车长 150 米，以每秒 20 米的速度通过一座 350 米长的桥，火车全部通过桥需要多少秒
6. 行船问题
内容: 涉及船在静水和水流中的速度关系，以及顺水逆水航行等问题。
点拨: 理解船速、水速、顺水速度、逆水速度之间的关系，掌握行船问题的数量关系。
易错点: 混淆船速和水速，计算错误。
及时练：
一艘轮船，顺水每小时行 15 千米，逆水每小时行 10 千米，求水速和船速各是多少
7. 盈亏问题
内容: 涉及按一定规则分配物品，出现盈亏情况的问题。
点拨: 理解盈亏的含义，掌握盈亏问题的数量关系。
易错点: 混淆盈亏情况，计算错误。
及时练：
100 个苹果，平均分给若干人，每人分 5 个余 5 个，每人分 7 个则不足 7 个，问有多少人
8. 工程问题
内容: 研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。
点拨: 理解工作效率的含义，掌握工程问题的数量关系: 工作量 = 工作效率 × 工作时间。
易错点: 混淆工作效率和工作时间，计算错误。
及时练：
甲乙两人共同做一项工作，甲独做 10 小时完成，乙独做 15 小时完成，两人合做几小时完成
9. 正反比例问题
内容: 研究两种相关联的量之间的正比例或反比例关系。
点拨: 理解正比例和反比例的定义，掌握正反比例问题的数量关系。
易错点: 混淆正比例和反比例关系，计算错误。
及时练：
5 个工人 8 小时可以生产 240 个零件，照这样计算，3 个工人 10 小时可以生产多少个零件
10. 按比例分配问题
内容: 将一个总量按一定的比例分配给几个部分。
点拨: 理解比例的意义，掌握按比例分配问题的计算方法。
易错点: 计算错误，分配结果不符合比例要求。
及时练：
将 60 元按 2:3 的比例分成两份，每份是多少元
11. 百分比问题
内容: 涉及百分数的计算和应用问题。
点拨: 理解百分数的意义，掌握百分数的计算方法和应用。
易错点: 混淆百分数和分数、小数的转换，计算错误。
及时练：
一件商品打八折出售，售价为 80 元，这件商品的原价是多少元
12. 商品利润问题
内容: 涉及商品的成本、售价、利润、利润率等问题。
点拨: 理解利润、利润率的含义，掌握利润问题的数量关系。
易错点: 混淆利润和利润率，计算错误。
及时练：
一件商品的进价为 100 元，售价为 120 元，这件商品的利润率是多少
13. 存款利率问题
内容: 涉及存款的本金、利率、时间、利息等问题。
点拨: 理解利率的含义，掌握存款利息的计算方法。
易错点: 混淆利率和利息，计算错误。
及时练：
将 10000 元存入银行，年利率为 2.25%，两年后可得利息多少元
14. 溶液浓度问题
内容: 涉及溶液、溶质、溶剂、浓度等问题。
点拨: 理解浓度的含义，掌握溶液浓度的计算方法。
易错点: 混淆溶液、溶质、溶剂的概念，计算错误。
及时练：
将 10 克盐溶解在 90 克水中，所得盐水的浓度是多少
15. 牛吃草问题
内容: 涉及草的生长速度和牲畜的食用速度，研究草地剩余情况等问题。
点拨: 理解牛吃草问题的特点，建立数学模型进行分析和计算。
易错点: 忽略草的生长或减少因素，计算错误。
及时练：
一块草地上的草每天均匀生长，一头牛 10 天可以吃完这块草地上的草，这头牛吃草的同时草继续生长，问这头牛多少天可以吃完草地上的草
16. 植树问题
内容: 涉及按一定距离或规律种植树木的问题，包括线形、环形、方形等多种形式。
点拨: 理解植树问题的特点，掌握不同形式植树问题的数量关系。
易错点: 混淆棵树和间隔数，计算错误。
及时练：
在一条公路的一侧植树，每隔 5 米种一棵，一共种了 41 棵，这段公路长多少米
17. 方阵问题
内容: 研究将一定数量的人或物排成正方形方阵的问题，涉及方阵总人数、每边人数、层数等。
点拨: 理解方阵的特点，掌握实心方阵和空心方阵的数量关系。
易错点: 混淆实心方阵和空心方阵的计算方法，计算错误。
及时练：
40 人排成一个空心方阵，每边人数相同，且都比每层人数多 2 人，这个方阵有多少层
18. 时钟问题
内容: 研究钟面上时针和分针的运动规律和位置关系，例如两针重合、垂直、成直线等。
点拨: 理解时针和分针的转速关系，掌握时钟问题的数量关系。
易错点: 混淆时针和分针的转速，计算错误。
及时练：
3 点到 4 点之间，时针和分针成直角是几时几分
19. 幻方问题
内容: 研究幻方的排列规律和性质，例如幻和、对称性等。
点拨: 理解幻方的定义和特点，掌握幻方的构造方法和计算方法。
易错点: 混淆幻和和幻方数字的排列规律，计算错误。
及时练：
构造一个三阶幻方，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于 15。
20. 概率和频率
内容: 研究随机事件发生的可能性大小，涉及概率和频率的概念和计算。
点拨: 理解概率和频率的定义和区别，掌握概率的计算方法和应用。
易错点: 混淆概率和频率，计算错误。
及时练：
一枚硬币抛掷 100 次，出现正面 52 次，出现反面的频率是多少
四、其他
1. 排列组合
内容: 研究从 n 个不同元素中取出 m 个元素进行排列或组合的方法数。
点拨: 理解排列和组合的定义和区别，掌握排列数和组合数的计算方法。
易错点: 混淆排列和组合，计算错误。
及时练：
从 5 名学生中选出 3 名参加比赛，有多少种不同的选法
2. 等差数列
内容: 研究数列中每一项与前一项的差都相等的数列，涉及等差数列的通项公式、求和公式等。
点拨: 理解等差数列的定义和特点，掌握等差数列的通项公式和求和公式。
易错点: 混淆等差数列和其它数列，计算错误。
及时练：
求等差数列 2, 5, 8, 11, ... 的第 20 项和前 20 项的和。
3. 图形相关问题
内容: 涉及各种平面图形和立体图形的面积、周长、体积等计算，以及图形的变换、组合等。
点拨: 掌握各种图形的计算公式和性质，培养空间想象能力。
易错点: 混淆不同图形的计算公式，计算错误。
及时练：
计算一个底面半径为 3 厘米，高为 5 厘米的圆锥的体积。
配套练习：
一、计算题
1.计算：
（1）12.5 × 0.8 ÷ 0.25
（2） + 5/6 -
（3）(1 - ) × (1 -)
（4）1.2 ÷ 0.4 + 0.8 × 2.5
（5）15 ÷ (3/4 - 1/6)
2.解方程：
（1）3x - 5 = 16
（2）2(x + 4) = 20
（3）+ 1/2 =
3.化简比：
（1）18:24
（2）0.75:1.5
（3）:
4.求下列各数的最大公约数和最小公倍数：
（1）24 和 36
（2）15 和 25
5.将下列分数化为小数，并将循环小数化为分数：
（1）
（2）
（3）0.3(6)
二、应用题
（一）项目：校园绿化设计
情境: 学校计划对操场周围进行绿化，操场是一个长 80 米，宽 60 米的长方形。计划种植树木和花草，并铺设草坪。你被选为绿化设计小组成员，负责制定绿化方案。
任务一：计算与规划
1.学校计划在操场四周每隔 5 米种一棵树，两端都要种树，一共需要种多少棵树
2.草坪面积占操场总面积的 70%，草坪的面积是多少平方米
3.假设每棵树苗价格为 20 元，每平方米草坪价格为 15 元，学校预算 5000 元，是否足够购买所有树苗和草坪？
4.学校计划在草坪上修建一个圆形花坛，花坛直径为 10 米，花坛的面积是多少平方米？
5.花坛周围需要铺设一圈石子路，石子路的宽度为 0.5 米，这条石子路的面积是多少平方米？
任务二：方案设计
1.绘制操场平面图，标出树木、草坪和花坛的位置。
2.计算花坛的周长和石子路的周长。
（二）项目：设计理想中的卧室
情境: 你的卧室是一个长 4 米，宽 3 米的长方形房间，层高 2.5 米。你将设计自己理想中的卧室，包括家具的摆放、房间的装饰等。
任务一：空间规划)
1.你希望在卧室中摆放一张床、一个书桌和一个衣柜。床的尺寸是长 2 米，宽 1.5 米；书2.桌的尺寸是长 1.2 米，宽 0.6 米；衣柜的尺寸是长 1 米，宽 0.6 米。请在房间平面图上绘制出这些家具的摆放位置，并确保留出足够的活动空间。
（1）计算卧室的面积和周长。
（2）计算卧室的体积。
3.假设你想购买一块地毯，地毯的面积需要覆盖卧室面积的 80%，这块地毯的面积是多少平方米？
任务二：装饰设计
1.你计划用壁纸装饰卧室的一面墙，这面墙的面积是多少平方米？
2.壁纸的价格是每平方米 25 元，你需要购买多少平方米的壁纸才能装饰这面墙？总共需要花费多少钱？
（三）项目：设计社区健身路径
情境: 社区公园是一个圆形，直径为 200 米。社区计划建设一条环绕公园一周的健身路径，并配备健身器材。
任务一：路径规划与器材选择
1.计算这条环形健身路径的长度。
2.选择 3 种适合社区健身路径的器材，并分别计算每种器材占地面的面积。
3.假设社区计划购买 2 个漫步机、3 个椭圆机和 1 个力量训练器械，计算这些器材占地面的总面积。
4.公园内有一个圆形花坛，花坛的半径为 5 米，计算花坛的面积和周长。
任务二：器材布置与成本预算
1.在公园平面图上标出健身路径、三种器材和花坛的布置位置。
2.假设每种器材的价格分别为 500 元、800 元和 1200 元，社区预算 5000 元，是否足够购买这些器材？
及时练参考答案：
一、数论基础
1. 质数、合数、约数、倍数
列出 100 以内的所有质数:
解析: 质数是指只能被 1 和自身整除的自然数。我们可以使用筛选法，逐步排除合数，最终留下质数。
答案: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
判断下列数是质数还是合数: 15, 23, 36, 47
解析: 根据质数和合数的定义，逐个判断每个数是否只能被 1 和自身整除。
答案: 15(合数), 23(质数), 36(合数), 47(质数)
写出 24 的所有约数和前 5 个倍数:
解析: 约数是能够整除 24 的所有自然数；倍数是 24 的整数倍。
答案: 约数: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24; 倍数: 24, 48, 72, 96, 120
2. 整除性质
判断下列数能被哪些数整除: 128, 315, 522, 704
解析: 应用各种整除法则判断每个数能被哪些数整除。例如，128 的个位数是 8，所以能被 2 整除；各位数字之和为 1+2+8=11，不能被 3 或 9 整除；末两位数字 28 能被 4 整除，所以 128 能被 4 整除；依此类推。
答案: 128(2, 4, 8), 315(3, 5, 9), 522(2, 3, 6, 9, 18), 704(2, 4, 8)
填空: 能被 9 整除的最小三位数是____；能被 11 整除的最大两位数是____.
解析: 应用 9 和 11 的整除法则，找到满足条件的最小三位数和最大两位数。
答案: 能被 9 整除的最小三位数是 108; 能被 11 整除的最大两位数是 99.
3. 公约数、公倍数、互质数
求 12 和 18 的最大公约数和最小公倍数:
解析: 可以使用短除法或辗转相除法求最大公约数，然后用公式：最小公倍数 = 两数乘积 / 最大公约数 来求最小公倍数。
答案: 最大公约数: 6; 最小公倍数: 36
判断下列数是否互质: 15 和 22, 21 和 28, 35 和 48
解析: 判断两数是否只有公约数 1。
答案: 15 和 22(互质), 21 和 28(不互质), 35 和 48(互质)
二、计算方法
1. 和差问题、和倍问题、差倍问题、倍比问题
甲乙两数的和是 25，甲数是乙数的 2 倍，求甲乙两数:
解析: 设乙数为 x，则甲数为 2x。根据题意，列方程: x + 2x = 25，解得 x = 8.33，则甲数为 16.67。
答案: 甲数 16.67, 乙数 8.33
甲乙两数的差是 10，甲数是乙数的 3 倍，求甲乙两数:
解析: 设乙数为 x，则甲数为 3x。根据题意，列方程: 3x - x = 10，解得 x = 5，则甲数为 15。
答案: 甲数 15, 乙数 5
一块布，用去 米后，剩下的比用去的 3 倍还多 米，这块布原来长多少米 :
解析: 设这块布原来长 x 米，根据题意，列方程: x - = 3 * () + ，解得 x = 1.
答案: 1 米
2. 方程求解
学校买了若干个篮球和足球，篮球比足球多 5 个，篮球的个数是足球的 2 倍，学校买了多少个篮球 :
解析: 设足球个数为 x，则篮球个数为 2x。根据题意，列方程: 2x - x = 5，解得 x = 5，则篮球个数为 10。
答案: 15 个
3. 分数小数百分数混合运算
计算: 1/4 + 0.25 - 20%
解析: 将所有数都化为小数，然后进行计算。= 0.25, 20% = 0.2, 0.25 + 0.25 - 0.2 = 0.5
答案: 0.5
化简: ÷ (+)
解析: 先计算括号内的加法，然后进行除法运算。 + = , ÷ =
答案:
4. 小数和分数转换问题
将 0.3(6) 化为分数:
解析: 这是一个混循环小数，先将其化为分数形式，再化简。
答案:
答案: 0.58(3)
三、应用题类型
1. 年龄问题
父亲今年 40 岁，儿子 10 岁，多少年后父亲的年龄是儿子的 3 倍 :
解析: 设 x 年后父亲的年龄是儿子的 3 倍，则列方程: 40+x = 3(10+x)，解得 x=10。
答案: 10 年后
2. 鸡兔同笼
鸡兔同笼，共有头 35 个，脚 94 只，鸡兔各有多少只 :
解析: 可以使用假设法。假设全部是鸡，则脚数应为 35 × 2 = 70 只，比实际少了 94 - 70 = 24 只。每将一只鸡换成一只兔，脚数增加 2 只，所以需要换 24 ÷ 2 = 12 只兔，则鸡有 35 - 12 = 23 只。
答案: 鸡 23 只，兔 12 只
3. 相遇问题
甲乙两人同时从 AB 两地相向而行，4 小时相遇，甲每小时行 5 千米，乙每小时行 4 千米，AB 两地相距多少千米 :
解析: 甲乙两人每小时共行 5 + 4 = 9 千米，4 小时共行 9 × 4 = 36 千米，所以 AB 两地相距 36 千米。
答案: 36 千米
4. 追及问题
甲乙两人从同一地点出发，同向而行，甲的速度是 5 米/秒，乙的速度是 3 米/秒，5 秒后两人相距多少米 :
解析: 甲乙两人的速度差为 5 - 3 = 2 米/秒，5 秒后两人相距 2 × 5 = 10 米。
答案: 10 米
5. 列车问题
一列火车长 150 米，以每秒 20 米的速度通过一座 350 米长的桥，火车全部通过桥需要多少秒 :
解析: 火车全部通过桥，相当于行驶了 150 + 350 = 500 米，所以需要 500 ÷ 20 = 25 秒。
答案: 25 秒
6. 行船问题
一艘轮船，顺水每小时行 15 千米，逆水每小时行 10 千米，求水速和船速各是多少 :
解析: 船速 = (顺水速度 + 逆水速度) ÷ 2 = (15 + 10) ÷ 2 = 12.5 千米/小时；水速 = (顺水速度 - 逆水速度) ÷ 2 = (15 - 10) ÷ 2 = 2.5 千米/小时。
答案: 水速 2.5 千米/小时，船速 12.5 千米/小时
7. 盈亏问题
100 个苹果，平均分给若干人，每人分 5 个余 5 个，每人分 7 个则不足 7 个，问有多少人 :
解析: 设人数为 x，根据题意，列方程组: 5x + 5 = 100, 7x - 7 < 100。解得 19 > x > 12, 且 x 为整数，所以 x = 12.
答案: 12 人
8. 工程问题
甲乙两人共同做一项工作，甲独做 10 小时完成，乙独做 15 小时完成，两人合做几小时完成 :
解析: 甲每小时做，乙每小时做，两人合做每小时做 + =，所以两人合做 6 小时完成。
答案: 6 小时
9. 正反比例问题
5 个工人 8 小时可以生产 240 个零件，照这样计算，3 个工人 10 小时可以生产多少个零件 :
解析: 工人数量和生产时间成反比，工人数量和生产数量成正比。设 3 个工人 10 小时可以生产 x 个零件，列比例式: = , = 。解得 x = 180.
答案: 180 个
10. 按比例分配问题
将 60 元按 2:3 的比例分成两份，每份是多少元 :
解析: 两份的比例之和为 2+3 = 5，则第一份为 60 × = 24 元，第二份为 60 ×= 36 元。
答案: 24 元和 36 元
11. 百分比问题
一件商品打八折出售，售价为 80 元，这件商品的原价是多少元 :
解析: 八折即 80%，设原价为 x，列方程: 80%x = 80，解得 x = 100.
答案: 100 元
12. 商品利润问题
一件商品的进价为 100 元，售价为 120 元，这件商品的利润率是多少 :
解析: 利润率 = (售价 - 进价) ÷ 进价 × 100% = (120 - 100) ÷ 100 × 100% = 20%
答案: 20%
13. 存款利率问题
将 10000 元存入银行，年利率为 2.25%，两年后可得利息多少元 :
解析: 利息 = 本金 × 年利率 × 时间 = 10000 × 2.25% × 2 = 450 元
答案: 450 元
14. 溶液浓度问题
将 10 克盐溶解在 90 克水中，所得盐水的浓度是多少 :
解析: 浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液质量 × 100% = 10 ÷ (10 + 90) × 100% = 10%
答案: 10%
15. 牛吃草问题
一块草地上的草每天均匀生长 ，一头牛 10 天可以吃完这块草地上的草，这头牛吃草的同时草继续生长，问这头牛多少天可以吃完草地上的草 :
解析: 由于草每天的生长量与牛每天的食用量相同，因此草的总量保持不变，牛永远无法吃完草地上的草。
答案: 永远吃不完
16. 植树问题
在一条公路的一侧植树，每隔 5 米种一棵，一共种了 41 棵，这段公路长多少米 :
解析: 由于两端都要植树，所以间隔数比树的棵数少 1，即间隔数为 41 - 1 = 40 个。因此，这段公路长 5 × 40 = 200 米。
答案: 200 米
17. 方阵问题
40 人排成一个空心方阵，每边人数相同，且都比每层人数多 2 人，这个方阵有多少层 :
解析: 设每边人数为 x，则每层人数为 x - 2。根据空心方阵的计算公式，总人数 = (外边人数)2 - (内边人数) 2 = x2 - (x-2)2 = 40。解得 x = 10，则每层人数为 8，所以层数为 40 ÷ 8 = 5 层。由于最外层不算作层数，因此答案为 5 - 1 = 4 层。
答案: 4 层
18. 时钟问题
3 点到 4 点之间，时针和分针成直角是几时几分 :
解析: 时针每分钟走 0.5°，分针每分钟走 6°，两者速度差为 5.5°。从 3 点到成直角，分针需要追赶时针 15 分钟的路程，即 15 × 6 = 90°。所需时间为 90 ÷ 5.5 = 16 又 分钟。
答案: 3 点 16 又 分
19. 幻方问题
构造一个三阶幻方，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于 15:
解析: 三阶幻方的幻和为中间数字的 3 倍，因此中间数字为 15 ÷ 3 = 5。根据幻方的排列规律，可以将 1 放在右上角，然后依次斜着向下填写数字，超出范围时折回。
答案: 多种答案，例如:
8 1 6
3 5 7
4 9 2
20. 概率和频率
一枚硬币抛掷 100 次，出现正面 52 次，出现反面的频率是多少 :
解析: 频率 = 出现次数 ÷ 总次数 = (100 - 52) ÷ 100 = 0.48
答案: 0.48
四、其他
1. 排列组合
从 5 名学生中选出 3 名参加比赛，有多少种不同的选法 :
解析: 由于选出的 3 名学生没有顺序之分，所以是组合问题。使用组合公式 C(5,3) = 5! / (3! * 2!) = 10.
答案: 10 种
2. 等差数列
求等差数列 2, 5, 8, 11, ... 的第 20 项和前 20 项的和。
解析: 该数列的公差为 3，第一项为 2。使用等差数列的通项公式，第 20 项为 2 + (20-1) × 3 = 59。使用等差数列求和公式，前 20 项的和为 (2 + 59) × 20 ÷ 2 = 610.
答案: 第 20 项: 59; 前 20 项的和: 610
3. 图形相关问题
计算一个底面半径为 3 厘米，高为 5 厘米的圆锥的体积。
解析: 圆锥的体积公式为 V = × π × r2 × h，代入数据计算: V = × π × 32 × 5 = 15π 立方厘米。
答案: 15π 立方厘米
配套练习：
项目：校园绿化设计
任务一：计算与规划
计算植树数量:
操场周长为 2 × (80 + 60) = 280 米
种树间隔为 5 米，需要种 (280 ÷ 5) + 1 = 57 棵树 (两端都要种树)
计算草坪面积:
操场总面积为 80 × 60 = 4800 平方米
草坪面积为 4800 × 70% = 3360 平方米
预算是否足够:
树苗总价为 57 × 20 = 1140 元
草坪总价为 3360 × 15 = 50400 元
总价为 1140 + 50400 = 51540 元
预算不足，需要增加预算或调整方案。
计算花坛面积:
花坛面积 = π × 半径 = π × 5 ≈ 78.54 平方米
计算石子路面积:
石子路的外圆半径为 5 + 0.5 = 5.5 米
石子路面积 = 外圆面积 - 内圆面积
石子路面积 ≈ π × 5.5 - π × 5 ≈ 15.71 平方米
任务二：方案设计
绘制平面图:
学生根据自己的想法绘制平面图，标注出树木、草坪和花坛的位置。
计算周长:
花坛周长 = π × 直径 = π × 10 ≈ 31.42 米
石子路周长 = π × 外圆直径 = π × 11 ≈ 34.56 米
项目：设计理想中的卧室
任务一：空间规划
绘制平面图:
学生根据房间尺寸和家具尺寸，在平面图上合理摆放家具，并确保留出足够的活动空间。
计算卧室面积:
卧室面积 = 长 × 宽 = 4 × 3 = 12 平方米
计算卧室周长:
卧室周长 = 2 × (长 + 宽) = 2 × (4 + 3) = 14 米
计算卧室体积:
卧室体积 = 长 × 宽 × 高 = 4 × 3 × 2.5 = 30 立方米
计算地毯面积:
地毯面积 = 卧室面积 × 80% = 12 × 0.8 = 9.6 平方米
任务二：装饰设计
计算墙面面积:
学生需要选择一面墙进行计算，例如选择长为 4 米的墙面，则墙面面积 = 长 × 高 = 4 × 2.5 = 10 平方米
计算壁纸用量和花费:
壁纸用量 = 墙面面积 = 10 平方米
总花费 = 壁纸用量 × 价格 = 10 × 25 = 250 元
项目：设计社区健身路径
任务一：路径规划与器材选择
计算路径长度:
路径长度等于圆的周长，公式为 πd，其中 d 为直径。
路径长度 = π × 200 ≈ 628.32 米
计算器材占地面积:
学生需要假设并计算每种器材占地面的面积，例如:
漫步机：2 平方米
椭圆机：1.5 平方米
力量训练器械：3 平方米
计算器材总占地面积:
漫步机占地面积 = 2 × 2 = 4 平方米
椭圆机占地面积 = 3 × 1.5 = 4.5 平方米
器材总占地面积 = 4 + 4.5 + 3 = 11.5 平方米
计算花坛面积和周长:
花坛面积 = π × 半径 = π × 5 ≈ 78.54 平方米
花坛周长 = 2 × π × 半径 = 2 × π × 5 ≈ 31.42 米
任务二：器材布置与成本预算
绘制平面图:
学生在公园平面图上标出健身路径、三种器材和花坛的布置位置，确保合理分布和安全间距。
计算总成本:
器材总价 = 2 × 500 + 3 × 800 + 1 × 1200 = 4600 元
预算足够购买这些器材。

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