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8.5.1　直线与直线平行
班级 姓名
学习目标
1．理解并掌握基本事实4，并会用其解决相关直线与直线平行问题．
2．理解等角定理，并会用其解决有关问题．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、基本事实4文字语言平行于同一直线的两条直线__________图形语言a b c符号语言直线a,b,c,若a//b,b//c,则___________作用证明或判断两直线平行说明基本事实4表述的性质通常叫做平行线的_________
阅读教材，完成右边的内容 二、空间等角定理1．定理文字语言如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 符号语言OA∥O′A′，OB∥O′B′ ∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°图形语言 INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-174.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-174.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-174.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-174.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\数学 人A 必修第二册（新教材）最新（加双选）\\8-174.TIF" \* MERGEFORMATINET 作用判断或证明两个角相等或互补2．推广如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
变式1、如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求证：GH∥MN. INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-176.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-176.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-176.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-176.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\数学 人A 必修第二册（新教材）最新（加双选）\\8-176.TIF" \* MERGEFORMATINET
等角定理的应用 例3、如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1．变式2、如图，已知三棱锥A BCD的四个面分别是△ABC，△ABD，△ACD和△BCD，E，F，G分别为线段AB，AC，AD上的点，EF∥BC，FG∥CD．求证：△EFG∽△BCD．
课后作业
一、基础训练题
1．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是(　　)
A．相交　 　B．异面 C．平行 D．异面或相交
2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形(　　)
A．全等 B．相似 C．仅有一个角相等 D．全等或相似
3．(多选题)下列命题中，错误的有(　　)
A．如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等
B．如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C．如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补
D．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行
4．已知直线a∥直线b，直线b∥直线c，直线c∥直线d，则a与d的位置关系是(　　)
A．平行　　　B．相交　　　C．异面　　　D．不确定
5．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是(　　)
A．相交但不垂直
B．相交且垂直
C．异面
D．平行
6．如图，已知直线a，b为异面直线，A，B，C为直线a上三点，D，E，F为直线b上三点，A′，B′，C′，D′，E′分别为AD，DB，BE，EC，CF的中点，若∠A′B′C′＝120°，则∠C′D′E′＝________．
7．如图，在空间四边形ABCD中，M，N分别是△ABC和△ACD的重心，
若BD＝m，则MN＝________．
8．如图所示，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′
交于同一点O，且＝＝＝，则＝________．
9．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边的中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________．
10．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E，F，G分别是棱AB，PC，PD的中点，求证：EF∥AG.
11．如图(1)所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来，使CD到达C′D′的位置(如图(2))，G，H分别为AD′，BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
图(1)　　　　　　 　图(2)
二、综合训练题
12．已知平面α∩平面β＝直线l，点A，C∈α，点B，D∈β，且A，B，C，D l，点M，N分别是线段AB，CD的中点，则下列说法正确的是(　　)
A．当CD＝2AB时，M，N不可能重合
B．M，N可能重合，但此时直线AC与l不可能相交
C．当直线AB与CD相交，且AC∥l时，BD可能与l相交
D．当直线AB与CD异面时，MN可能与l平行
13．(多选题)若直线l1与l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题不正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交
14．(多选题)如图，在四棱锥A－BCDE中，底面四边形BCDE为梯形，BC∥DE.设CD，BE，AE，AD的中点分别为M，N，P，Q，则(　　)
A．PQ＝MN
B．PQ∥MN
C．M，N，P，Q四点共面
D．四边形MNPQ是梯形
8.5.1　直线与直线平行
参考答案
【答案】D　
【解析】由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．
2、【答案】D　
【解析】由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等．
3、【答案】AC　
【解析】这两个角相等或互补，选项A错误；由等角定理知选项B正确；在空间中，这样的两个角大小关系不确定，选项C错误；由基本事实4知选项D正确．
4、【答案】A　
【解析】∵a∥b，b∥c，∴a∥c．又c∥d，∴a∥d．
5、【答案】D　
【解析】连接D1E并延长，与AD交于点M，则△MDE∽△D1A1E，
因为A1E＝2ED，所以M为AD的中点．
连接BF并延长，交AD于点N，
同理可得，N为AD的中点．
所以M，N重合，又＝，＝，
所以＝，所以EF∥BD1．
6、【答案】120°　
【解析】因为A′，B′分别是AD，DB的中点，所以A′B′∥a，同理C′D′∥a，B′C′∥b，D′E′∥b，
所以A′B′∥C′D′，B′C′∥D′E′．
又∠A′B′C′的两边和∠C′D′E′的两边的方向都相同，
所以∠A′B′C′＝∠C′D′E′，
所以∠C′D′E′＝120°．
7、【答案】m　
【解析】连接AM并延长交BC于E，连接AN并延长交CD于F，再连接MN，EF(图略)，根据三角形重心性质得BE＝EC，CF＝FD，∴MNEF，EFBD，∴MNBD，∴MN＝m．
8、【答案】
【解析】∵AA′∩BB′＝O，且＝＝，
∴AB∥A′B′，同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
∵A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴∠BAC＝∠B′A′C′，
同理∠ABC＝∠A′B′C′，
∴△ABC∽△A′B′C′且＝＝，
∴＝＝.
9、【答案】矩形
【解析】如图所示．
∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，
∴MN∥AC，且MN＝AC，
PQ∥AC，且PQ＝AC，
∴MN∥PQ，且MN＝PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
又∵AC⊥BD，NP∥BD，
∴PQ⊥NP，
∴四边形MNPQ是矩形．
10、[证明]　∵底面ABCD为平行四边形，∴ABCD.
∵E为AB中点，∴AECD，
连接GF，∵G，F分别是PD，PC的中点，∴GFCD.∴AEGF.
∴四边形AEFG为平行四边形．∴EF∥AG.
11、[证明]　在题图(1)中，∵四边形ABCD为梯形，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，
∴EF∥AB且EF＝(AB＋CD)．
在题图(2)中，易知C′D′∥EF∥AB．
∵G，H分别为AD′，BC′的中点，
∴GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，
∴GH∥EF，GH＝EF，
∴四边形EFGH为平行四边形．
12、【答案】B　
【解析】当CD＝2AB时，若A，B，C，D四点共面且AC∥BD，M，N两点重合，可知A错误；
若M，N重合，则AC∥BD，故AC∥l，此时直线AC与直线l不可能相交，可知B正确；
当AB与CD相交，直线AC∥l时，直线BD与l平行，可知C错误；
当AB与CD是异面直线时，MN不可能与l平行，可知D错误．故选B．
13、【答案】ABC
【解析】可用反证法．假设l与l1，l2都不相交，因为l与l1都在平面α内，所以l∥l1，
同理l∥l2，所以l1∥l2，与已知矛盾，故l至少与l1，l2中的一条相交．
14、【答案】BCD
【解析】由题意知PQ＝DE，且DE≠MN，
所以PQ≠MN，故A不正确；
又PQ∥DE，DE∥MN，
所以PQ∥MN，又PQ≠MN，
所以M，N，P，Q四点共面，且四边形MNPQ是梯形．故B、C、D正确．
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