资源简介

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8.4.1平面
学习目标
1．了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法．
2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、平面平面的描述性概念几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周 的画法水平放置常把平行四边形的一边画成横向竖直放置常把平行四边形的一边画成竖向记法(1)用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内(2)用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面ABCD(3)用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面AC，平面BD
阅读教材，完成右边的内容 二、点、直线、平面之间的位置关系文字语言表达图形语言表达符号语言表达点A在直线l上 点B在直线l外 点A在平面α内 点P在平面α外 直线l在平面α内 直线l不在平面α内 平面α与β相交于直线l
阅读教材，完成右边的内容 三、平面的基本事实及推论(1)基本事实：基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的 ，有且只有一个平面 基本事实2如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 基本事实3如果两个不重合的平面有一 ，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 (2)基本事实1的推论．①　　　　　　②　　　　　　③推论1　经过 和这条直线外 ，有且只有一个平面(图①)．推论2　经过两条 ，有且只有一个平面(图②)．推论3　经过两条 ，有且只有一个平面(图③)．
符号语言的运用 例1、根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB： ；(2)点C与直线AB： ；(3)点M与平面AC： ；(4)点A1与平面AC： ；(5)直线AB与直线BC： ；(6)直线AB与平面AC： ；(7)平面A1B与平面AC： .变式1、把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后的横线上：①A α，a α：________；②α∩β＝a，P α，且P β：________；③a α，a∩α＝A：________；④α∩β＝a，α∩γ＝c，β∩γ＝b，a∩b∩c＝O：________．
符号语言与图形的运用 例2、用符号表示下列语句，并画出图形．(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．变式2、用符号表示下列语句，并画出图形．(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC．
直线在平面内的证明 例3、如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内. INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\数学 人A 必修第二册（新教材）最新（加双选）\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2019年同步最终\\数学 人教A版 必修第二册(新教材)\\8-140.TIF" \* MERGEFORMATINET
共点、共线与共面问题的证明 例4、如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点．变式3、如图，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点，求证：O1，M，A三点共线．例5、在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，Q，P分别为AB，BC，CC1，C1D1的中点．(1)求证：M，N，P，Q四点共面；(2)求证：PQ，MN，DC三线共点．
课后作业
一、基础训练题
1．(多选题)在空间中，下列命题中正确的是(　　)
A．如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点
B．若已知四个点不共面，则其中任意三个点也不共面
C．若点A既在平面α内又在平面β内，则点A在平面α与平面β的交线上
D．若两点A，B既在直线l上又在平面α内，则l在平面α内
2．(多选题)下列命题中错误的是(　　)
A．空间三点可以确定一个平面
B．三角形一定是平面图形
C．若A，B，C，D既在平面α内，又在平面β内，则平面α和平面β重合
D．四条边都相等的四边形是平面图形
3．已知点A，直线a，平面α，以下命题表述正确的个数是(　　)
①A∈a，a α A α；②A∈a，a∈α A∈α；③A a，a α A α；④A∈a，a α A α．
A．0　　 　 　 B．1　　 　 　
C．2　　 　 　 D．3
4．如果直线a 平面α，直线b 平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则(　　)
A．l α B．l α
C．l∩α＝M D．l∩α＝N
5．如图，已知平面α∩平面β＝l，P∈β且P l，M∈α，N∈α，
又MN∩l＝R，M，N，P三点确定的平面记为γ，则β∩γ是(　　)
A．直线MP　　　　　 B．直线NP
C．直线PR D．直线MR
6．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是(　　)
7．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是(　　)
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
8．三条两两平行的直线可以确定平面的个数为(　　)
A．0 B．1
C．0或1 D．1或3
9．(多选题)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，下列推理正确的是(　　)
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
10．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l．
11．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．
12．已知平面α与平面β、平面γ都相交，则这三个平面的交线可能有________条．
13．给出以下四个命题：
①不共面的四点中，任意三点不共线；
②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；
③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
其中正确的有________．(填序号)
14．根据下列条件画出图形：平面α∩平面β＝直线AB，直线a α，直线b β，a∥AB，b∥AB.
15．已知：A∈l，B∈l，C∈l，D l，如图所示．
求证：直线AD，BD，CD共面．
16．如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，
BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．
17．已知空间四边形ABCD(如图所示)，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)直线FH，EG，AC共点．
二、综合训练题
18．如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，点G为正方形ABCD的中心，点E为A1D1的中点，点F为AE的中点，则(　　)
A．C，E，F，G四点共面，且CF＝EG
B．C，E，F，G四点共面，且CF≠EG
C．C，E，F，G四点不共面，且CF＝EG
D．C，E，F，G四点不共面，且CF≠EG
19．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，平面A1CC1与平面BDC1的交线是________．
三、能力提升题
20．在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，MD＝DD1，NB＝BB1，那么正方体过点M，N，C1的截面图形是(　　)
A．三角形 B．四边形
C．五边形 D．六边形
21．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为8 cm，M，N，P分别是AD，A1B1，B1B的中点．
(1)画出过M，N，P三点的平面与平面AC的交线以及与平面BC1的交线；
(2)设过M，N，P三点的平面与BC交于点R，求PR的长．
8.4.1平面参考答案
1、【答案】ACD
2、【答案】ACD
【解析】共线的三点不能确定一个平面，故A错误；当A，B，C，D四点共线时，这两个平面可以是相交的，故C错误；四边都相等的四边形可以是空间四边形，故D错误.
3、【答案】A　
【解析】①不正确，如a∩α＝A；②不正确，∵“a∈α”表述错误；③不正确，如图所示，A a，a α，但A∈α；④不正确，“A α”表述错误．
4、【答案】A
【解析】∵M∈a，a α，∴M∈α，又∵N∈b，b α，∴N∈α，又M，N∈l，∴l α.
5、【答案】C　
【解析】因为MN γ，R∈MN，所以R∈γ.又α∩β＝l，MN∩l＝R，所以R∈β.又P∈β，P∈γ，所以P，R均为平面γ与β的公共点，所以β∩γ＝PR.故选C.
6、【答案】D
【解析】在选项A，B，C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，
即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.
7、【答案】B　
【解析】两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面，选B．
8、【答案】D　
【解析】当三条直线是同一平面内的平行直线时，确定一个平面；当三条直线是三棱柱侧棱所在的直线时，确定三个平面，选D．
9、【答案】ABD　
【解析】对于A，由基本事实2可知，a β，A正确；对于B，由M∈α，M∈β，N∈α，N∈β，由基本事实2可知，直线MN α.同理MN β，∴α∩β＝MN，B正确；对于C，∵A∈α，A∈β，∴A∈(α∩β)．由基本事实可知α∩β为经过A的一条直线而不是点A.故α∩β＝A的写法错误；对于D，∵A，B，M不共线，由基本事实1可知，过A，B，M有且只有一个平面，故α，β重合．故选A、B、D.
10、【答案】∈　
【解析】因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β．又因为α∩β＝l，所以M∈l．
11、【答案】5　
【解析】由题图可知，既与AB共面又与CC1共面的棱有CD、BC、BB1、AA1、C1D1共5条．
12、【答案】1或2或3　
【解析】当β与γ相交时，若α过β与γ的交线，有1条交线；若α不过β与γ的交线，有3条交线；
当β与γ平行时，有2条交线．
13、【答案】①
【解析】①假设有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，
故任意三点不共线，所以①正确；
②不正确，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；
③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
14、【解】图形如图所示．
15、证明 因为D l，所以l与D可以确定平面α，
因为A∈l，所以A∈α，
又D∈α，所以AD α．同理，BD α，CD α，
所以AD，BD，CD在同一平面α内，即它们共面．
16、【解】因为AB∩α＝P，CD∩α＝P，所以AB∩CD＝P.
所以AB，CD可确定一个平面，设为β.
因为A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，所以A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.
所以AC β，BD β，平面α，β相交．因为AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，
所以P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．
所以P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．
17、【解】 (1)连接EF，GH.因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，
因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.所以GHBD，所以EF∥GH，
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EFBD，
因为G，H分别是BC，CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.
所以GHBD，所以EF∥GH，且EF≠GH，所以四边形EFHG是梯形，
设两腰EG，FH相交于一点T.因为EG 平面ABC，FH 平面ACD，
所以T∈平面ABC，且T∈平面ACD，又平面ABC∩平面ACD＝AC，
所以T∈AC，即直线EG，FH，AC相交于一点T.
18、【答案】B
【解析】如图，连接AC，FG，EC，因为G为正方形ABCD的中心，所以AG＝GC.
又因为F为AE的中点，所以AF＝FE，所以由三角形的中位线定理可知，FG∥EC，
所以由推论3知，C，E，F，G四点共面．
过点E作EH⊥AD于H，连接HG，
则EG＝＝＝2.
过点F作FT⊥AD于T，连接CT，
则CF＝＝＝，
所以CF≠EG.故选B.
19、【答案】C1M　
【解析】因为C1∈平面A1CC1，且C1∈平面BDC1，同时M∈平面A1CC1，且M∈平面BDC1，
所以平面A1CC1与平面BDC1的交线是C1M．
20、【答案】C
【解析】在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱DD1和BB1上的点，
MD＝DD1，NB＝BB1.如图，延长C1M交CD的延长线于点P，
延长C1N交CB的延长线于点Q，连接PQ交AD于点E，AB于点F，
连接NF，ME，则正方体过点M，N，C1的截面图形是五边形，故选C.
21、解 (1)如图，延长NP，AB交于点Q，连接MQ，则Q∈平面MNP，Q∈平面AC.
又M∈平面MNP，M∈平面AC.
∴平面MNP∩平面AC＝MQ.
设MQ∩BC＝R，连接PR，则平面MNP∩平面BC1＝PR.
(2)∵△PB1N∽△PBQ，P为BB1中点，
∴BQ＝B1N＝AB，∴BR＝AM＝ cm.
∴PR＝＝ cm.
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