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8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
班级 姓名
学习目标
1．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．
2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．
3．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、空间中直线与直线的位置关系1．异面直线(1)定义：不同在 的两条直线．(2)异面直线的画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图．①　　　　　　　　②2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有 公共点平行同一平面内， 公共点异面直线不同在 内， 公共点
阅读教材，完成右边的内容 二、直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点 公共点 公共点 公共点符号表示a αa∩α＝Aa∥α图形表示
阅读教材，完成右边的内容 三、两个平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点 有 个公共点(在一条直线上)符号表示 图形表示
两直线位置关系的判定 例1、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.变式1、(1)已知a，b是两条异面直线，b∥c，那么a，c的位置关系是(　　)A．平行或相交 B．异面或平行C．异面或相交 D．平行或异面或相交(2)如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为(　　)A．①② B．③④ C．①③ D．②④
直线与平面的位置关系 例2、(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是(　　)A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内D．直线上至少有一个点在平面内(2)下列命题中正确的是 ①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么直线a∥b；④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α；⑤如果直线a与平面α内的无数条直线平行，那么直线a必平行于平面α；⑥如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，那么直线AB∥α.
平面与平面的位置关系 例3、(多选题)以下四个命题中，正确的有(　　)A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行B．在平面α内有无数条直线与平面β平行，那么这两个平面平行C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交变式3、(多选题)已知两平面α，β平行，且a α，以下四个命题中，正确的有(　　)A．a与β内的所有直线平行；B．a与β内无数条直线平行；C．直线a与β内任何一条直线都不垂直； D．a与β无公共点.
课后作业
一、基础训练题
1．在正方体ABCD A1B1C1D1中，与棱AA1异面的棱有(　　)
A．8条　　 　B．6条　 　C．4条　 　 D．2条
2．若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是(　　)
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行、相交或异面
3．已知异面直线a，b，有a α，b β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是(　　)
A．c与a，b都相交 B．c与a，b都不相交
C．c至多与a，b中的一条相交 D．c至少与a，b中的一条相交
4．(多选题)下列结论正确的是(　　)
A．直线a∥平面α，直线b α，则a∥b B．若a α，b α，则a，b无公共点
C．若a α，则a∥α或a与α相交 D．若a∩α＝A，则a α
5．已知平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面可能的交线有(　　)
A．1条或2条　　 B．2条或3条
C．1条或3条　　 D．1条或2条或3条
6．设a为空间中的一条直线，记直线a与正方体ABCD A1B1C1D1的六个面相交的平面个数为m，则m的所有可能取值构成的集合为(　　)
A．{2,4} B．{2,6}
C．{4,6} D．{2,4,6}
7．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则(　　)
A．过P，Q的平面一定与α，β都相交
B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行
C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行
D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行
8．若直线l上有两点到平面α的距离相等，则直线l与平面α的关系是________．
9．在四棱锥P ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对．
10．如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中判断下列位置关系：
(1)AD1所在直线与平面BCC1的位置关系是________；
(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是________．
11．已知，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB 平面α，CD 平面α，则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是________．
12．下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中相互异面的有________对．
13．下列命题正确的有________．
①若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
②若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α；
③若直线l与平面α相交，则l与平面α内的任意直线都是异面直线；
④若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
⑤若直线l与平面α平行，则l与平面α内的直线平行或异面；
⑥若平面α∥β，直线a α，直线b β，则直线a∥b.
二、综合训练题
14．(多选题)以下四个命题是真命题的是(　　)
A．三个平面最多可以把空间分成八部分
B．若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C．若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D．若n条直线中任意两条共面，则它们共面
15．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有(　　)
A．3个　　 　B．4个 C．6个 　 　　D．7个
16．如图所示，在三棱锥A BCD中，E，F是棱AD上异于A，D的不同两点，G，H是棱BC上异于B，C的不同两点，给出下列说法：
①AB与CD为异面直线；
②FH与CD，DB均为异面直线；
③EG与FH为异面直线；
④EG与AB为异面直线．
其中正确的说法是________．(填序号)
三、能力提升题
17．三个平面可以将空间划分成几个部分？
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
参考答案
1、【答案】C　
【解析】正方体共有12条棱，其中与AA1平行的有BB1，CC1，DD1，共3条，与AA1相交的有AD，AB，A1D1，A1B1，共4条，因此与棱AA1异面的棱有11－3－4＝4(条)，故选C．
2、【答案】D
【解析】可借助长方体来判断.
如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，
已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，
则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.
故a和c可以平行、相交或异面.
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3、【答案】D　
【解析】若c与a，b都不相交，因为c与a在α内，所以a∥c.又c与b都在β内，所以b∥c.
所以a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．
4、【答案】CD　
【解析】结合直线与平面的位置关系可知，AB错误，CD正确．
5、【答案】D　
【解析】当三个平面两两相交且过同一直线时，它们有1条交线；当平面β和γ平行时，它们的交线有2条；当这三个平面两两相交且不过同一条直线时，它们有3条交线．
6、【答案】D　
【解析】体对角线所在的直线与正方体的6个面都相交，面对角线所在的直线与正方体的4个面相交，而棱所在的直线与正方体的2个面相交，故选D．
7、【答案】C　
【解析】当过P，Q的直线与α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除B，D；当过P，Q的直线与α，β都平行时，可以作唯一的一个平面与α，β都平行，排除A，故选C．
8、【答案】平行或相交　
【解析】当这两点在α的同侧时，l与α平行；当这两点在α的异侧时，l与α相交．
9、【答案】8　
【解析】以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线．
10、【答案】(1)平行　(2)相交　
【解析】(1)AD1所在的直线与平面BCC1没有公共点，所以平行；(2)平面A1BC1与平面ABCD有公共点B，故相交．
11、【答案】平行或异面　
【解析】如图，由于ABCD是梯形，AB∥CD，所以AB与CD无公共点，又CD 平面α，所以CD与平面α无公共点．当m∥AB时，则m∥DC；当m与 AB相交时，则m与DC异面．
12、【答案】3
【解析】还原为正方体如图所示，相互异面的线段有AB与CD，EF与GH，AB与GH，共3对．
13、【答案】①⑤
【解析】对于②，直线l也可能与平面相交；对于③，直线l与平面内不过交点的直线是异面直线，而与过交点的直线相交；对于④，另一条直线可能在平面内，也可能与平面平行或相交；对于⑥，两平行平面内的直线可能平行，也可能异面．故①⑤正确．
14、【答案】AC　
【解析】对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱并不共面，故D错．所以正确的是AC．
15、【答案】D　
【解析】把不共面的四个定点看作四面体的四个顶点，平面α可以分为两类：第一类：如图(1)所示，四个定点分布在α的一侧1个，另一侧3个，此类中α共有4个．
图(1)　　　　　　　　图(2)
第二类：如图(2)所示，四个定点分布在α的两侧各两个，此类中α共3个．
综上，α共有4＋3＝7(个)，故选D．
16、【答案】①②③④　
【解析】因为直线CD 平面BCD，直线AB 平面BCD，点B 直线DC，所以AB与CD为异面直线，①正确；同理，②③④正确．
17、【解】(1)若三个平面互相平行，则它们将空间分成四个部分，如图①.
(2)若三个平面中，两个平面平行，另一个平面与它们相交，则它们将空间分成六个部分，如图②.
(3)若三个平面两两相交，则它们将空间分成六、七或八个部分，如图③④⑤.
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