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1.1 集合的概念(精讲)
考点一 集合的概念
【例1】(2021·浙江)下列各对象可以组成集合的是( )
A．与1非常接近的全体实数 B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学 D．与无理数相差很小的全体实数
【一隅三反】
1．(2021·江苏高一)下列说法中正确的有( )个：
①很小的数的全体组成一个集合：
②全体等边三角形组成一个集合；
③表示实数集；
④不大于3的所有自然数组成一个集合.
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(多选)(2021·全国高一单元测试)下列各组对象能构成集合的是( )
A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于的正整数
3．(2021·全国高一课时练习)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )
①我校高一年级聪明的孩子 ②直角坐标系中，横、纵坐标相等的点
③不小于3的整数 ④的近似值
A．② B．②③④
C．②③ D．①③
考点二 元素与集合的关系
【例2】(2021·广东)用符号“”或“”填空：
(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A；
(2)若，则-1_____________A；
(3)若，则3________________B；
(4)若，则8_______________C，9.1____________C.
【一隅三反】
1.(2021·安徽省安庆九一六学校)下列元素与集合的关系表示不正确的是( )
A． B． C． D．
2．(2021·全国高一课时练习)用符号“”或“”填空：
(1)0______；(2)_______；
(3)_______；(4)2017_______.
3．(2021·全国高一课时练习)已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是( )
①;②;③;④
A．4 B．3 C．2 D．1
考点三 集合的表示方法
【例3-1】(1)(2021·全国高一课时练习)把集合用列举法表示为( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·安徽省桐城中学高一月考)方程组的解集可表示为( )
A． B． C． D．
【例3-2】(2021·全国高一课时练习)用适当的方法表示下列集合：
(1)二次函数的函数值组成的集合；
(2)反比例函数的自变量组成的集合；
(3)不等式的解集
【一隅三反】
1．(2021·上海高一期末)10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________.
2．(2021·全国高一课时练习)若集合，，用列举法表示________．
3．(2021·北京大峪中学高一期中)方程组的解集是
4．(2021·全国高一课时练习)把下列集合用适当方法表示出来：
(1)；(2)；(3)；
(4) ；(5).
考点四 元素的个数
【例4】(1)(2021·江苏苏州市)设集合，则C中元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(2)(2021·江苏南通市)已知集合，则中元素的个数为( )
A． B． C． D．
(3)(2021·黑龙江大庆市)由实数所组成的集合，最多可含有( )个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【一隅三反】
1．(2021·江西宜春市)设集合，则中元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(2021·阜阳市颍东区衡水实验中学)已知集合，，则集合等于( )
A． B．
C． D．
3．(2021·全国)若集合，，则中所含元素的个数为( )
A． B．6 C． D．10
考点五 已知元素的特征求参数
【例5-1】(1)(2021·河北艺术职业中学)若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为( )
A．1 B．2 C．0 D．1 或2
(2)(2021·江西)已知集合只有一个元素，则的取值集合为( )
A． B． C． D．
(3)(2021·全国高一课时练习)已知集合，若，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
(4)(2021·宝山区)已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则__________．
【例5-2】(2020·上海)已知集合．
(1)若中只有一个元素，求的值；
(2)若中至少有一个元素，求的取值范围；
(3)若中至多有一个元素，求的取值范围.
【一隅三反】
1．(2021·安徽省桐城中学)已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为( )
A．－2 B．2
C．4 D．2或4
2．(2021·寿县第一中学)已知集合，且，则的值可能为( )
A． B． C．0 D．1
3．(2021·全国高一单元测试)设集合，若且，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
4．(多选)(2021·全国高三专题练习)已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为( )
A．2 B． C． D．1
5．(多选)(2020·河北安平中学高一月考)已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为( )
A． B． C． D．
答案与解析
考点一 集合的概念
【例1】(2021·浙江)下列各对象可以组成集合的是( )
A．与1非常接近的全体实数 B．某校2020-2021学年度笫一学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学 D．与无理数相差很小的全体实数
【答案】B
【解析】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B
【一隅三反】
1．(2021·江苏高一)下列说法中正确的有( )个：
①很小的数的全体组成一个集合：
②全体等边三角形组成一个集合；
③表示实数集；
④不大于3的所有自然数组成一个集合.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】①很小的数不确定，不能组成一个集合，故错误：
②全体等边三角形组成一个集合，故正确；
③表示以实数集为元素的集合，不表示实数集，故错误；
④不大于3的所有自然数是0，1，2，3，组成一个集合，故正确.故选：B
2．(多选)(2021·全国高一单元测试)下列各组对象能构成集合的是( )
A．拥有手机的人 B．2020年高考数学难题
C．所有有理数 D．小于的正整数
【答案】ACD
【解析】根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A、C、D中的元素都是确定的，故选项A、C、D能构成集合，但B选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选：ACD.
3．(2021·全国高一课时练习)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )
①我校高一年级聪明的孩子 ②直角坐标系中，横、纵坐标相等的点
③不小于3的整数 ④的近似值
A．② B．②③④
C．②③ D．①③
【答案】C
【解析】对于①，“某高中高一年级聪明的学生”，其中聪明没有明确的定义，故不能构成集合；
对于②，“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”，符合集合的定义，能构成集合；
对于③，“不小于3的正整数”，符合集合的定义，能构成集合；
对于④，“的近似值”，对近似的精确度没有明确定义，故不能构成集合．
综上所述，只有②③能构成集合，①④不能构成集合．故选：．
考点二 元素与集合的关系
【例2】(2021·广东)用符号“”或“”填空：
(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A；
(2)若，则-1_____________A；
(3)若，则3________________B；
(4)若，则8_______________C，9.1____________C.
【答案】(1)(2)(3)(4)
【解析】(1)根据国家的地理位置直接得到答案：中国，美国，印度，英国；
(2)，故；
(3)，故；
(4)，故；
故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)
【一隅三反】
1.(2021·安徽省安庆九一六学校)下列元素与集合的关系表示不正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据元素与集合的关系可得，，，，故D不正确，符合题意.故选：D.
2．(2021·全国高一课时练习)用符号“”或“”填空：
(1)0______；(2)_______；
(3)_______；(4)2017_______.
【答案】(1) (2) (3) (4)
【解析】(1)为不含有任何元素的集合，所以；
(2) ，；
(3)
(4)因为2017不能被表示为的形式，所以；
3．(2021·全国高一课时练习)已知集合,则下列四个元素中属于M的元素的个数是( )
①;②;③;④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】①当时，可得，这与矛盾，
②
，可得 ，都是有理数，所以正确，
③，
，可得，都是有理数，所以正确，
④
而 ，
，
是无理数，
不是集合中的元素，
只有②③是集合的元素.故选：C
考点三 集合的表示方法
【例3-1】(1)(2021·全国高一课时练习)把集合用列举法表示为( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·安徽省桐城中学高一月考)方程组的解集可表示为( )
A． B． C． D．
【答案】(1)D(2)C
【解析】(1)解方程得或，因此集合用列举法表示为.故选：D.
(2)方程组的解为，
根据集合的表示方法可知方程组的解集可表示为或.
所以C选项正确.故选：C
【例3-2】(2021·全国高一课时练习)用适当的方法表示下列集合：
(1)二次函数的函数值组成的集合；
(2)反比例函数的自变量组成的集合；
(3)不等式的解集
【答案】(1)(2)(3)
【解析】(1)二次函数的函数值为y，
∴二次函数的函数值y组成的集合为.
(2)反比例函数的自变量为x
∴反比例函数的自变量组成的集合为.
(3)由，得，∴不等式的解集为.
【一隅三反】
1．(2021·上海高一期末)10的所有正因数组成的集合用列举法表示为__________.
【答案】
【解析】∵对于正因数分解，有，∴其正因数组成的集合为.故答案为：
2．(2021·全国高一课时练习)若集合，，用列举法表示________．
【答案】
【解析】因为，，所以故答案为：
3．(2021·北京大峪中学高一期中)方程组的解集是
【答案】{(1，﹣1),(﹣1，1)}
【解析】方程组的解为或，其解集为　．故选：A．
4．(2021·全国高一课时练习)把下列集合用适当方法表示出来：
(1)；(2)；(3)；
(4) ；(5).
【答案】(1){且}；(2).(3) ；(4) ；(5).
【解析】(1)因为集合中的元素都是偶数，所以{且}；
(2).
(3)由得，,因此.
(3)由，且,，,得，因此.
(4)由得，.因此.
考点四 元素的个数
【例4】(1)(2021·江苏苏州市)设集合，则C中元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
(2)(2021·江苏南通市)已知集合，则中元素的个数为( )
A． B． C． D．
(3)(2021·黑龙江大庆市)由实数所组成的集合，最多可含有( )个元素
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】(1)B(2)D(3)B
【解析】(1)时，的值依次为，有4个不同值，即，因此中有4个元素．故选：B．
(2)由题意可知，集合中的元素有：、、、、、、、、、、、、，共个.故选：D.
(3)由题意，当时所含元素最多，
此时分别可化为，，，
所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．故选：B
【一隅三反】
1．(2021·江西宜春市)设集合，则中元素的个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【解析】因为，所以当时，由可得：；
当时，由可得：；
当时，由可得：，
当，时，由可知：不存在整数使该不等式成立，
所以,
因此中元素的个数为5.故选：C
(2021·阜阳市颍东区衡水实验中学)已知集合，，则集合等于( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，
所以，
故选：B
3．(2021·全国)若集合，，则中所含元素的个数为( )
A． B．6 C． D．10
【答案】D
【解析】因为集合，，
当时，；则是集合中的元素；
当时，或，则，是集合中的元素；
当时，或或，则，，是集合中的元素；
当时，或或或，则，，，是集合中的元素.
即中所含元素的个数为个.故选：D.
考点五 已知元素的特征求参数
【例5-1】(1)(2021·河北艺术职业中学)若a∈{1，a2﹣2a+2}，则实数a的值为( )
A．1 B．2 C．0 D．1 或2
(2)(2021·江西)已知集合只有一个元素，则的取值集合为( )
A． B． C． D．
(3)(2021·全国高一课时练习)已知集合，若，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
(4)(2021·宝山区)已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则__________．
【答案】(1)B(2)D(3)C(4)-3
【解析】(1)因为a∈{1，a2﹣2a+2}，则：a＝1或a＝a2﹣2a+2，
当a＝1时：a2﹣2a+2＝1，与集合元素的互异性矛盾，舍去；
当a≠1时：a＝a2﹣2a+2，解得：a＝1(舍去)或a＝2；故选：B．
①当时，，此时满足条件；
②当时，中只有一个元素的话，，解得，
综上，的取值集合为，．故选：D．
(3)因为集合，所以，又因为，则，即，故选：．
(4)因为实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，
所以(无解)或者，解得：．故答案为：-3．
【例5-2】(2020·上海)已知集合．
(1)若中只有一个元素，求的值；
(2)若中至少有一个元素，求的取值范围；
(3)若中至多有一个元素，求的取值范围.
【答案】(1)或；(2)；(3)或.
【解析】(1)若中只有一个元素，
则当时，原方程变为，此时符合题意，
当时，方程为二元一次方程，，即，
故当或时，原方程只有一个解；
(2)中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，
由得综合(1)当时中至少有一个元素；
(3)中至多有一个元素，即中有一个或没有元素
当，即时原方程无实数解，
结合(1)知当或时中至多有一个元素.
【一隅三反】
1．(2021·安徽省桐城中学)已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，则实数a的值为( )
A．－2 B．2
C．4 D．2或4
【答案】A
【解析】依题意，若，则，不满足集合元素的互异性，所以；
若，则或(舍去)，此时，符合题意；
若，则，而，不满足集合元素的互异性，所以.综上所述，的值为.
故选：A
2．(2021·寿县第一中学)已知集合，且，则的值可能为( )
A． B． C．0 D．1
【答案】C
【解析】集合，四个选项中，只有，故选：C．
3．(2021·全国高一单元测试)设集合，若且，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为集合，而且，
且，解得．故选：C．
4．(多选)(2021·全国高三专题练习)已知集合，，，若，则满足条件的实数可能为( )
A．2 B． C． D．1
【答案】AC
【解析】由题意得，或，
若，即，
或，
检验：当时，，与元素互异性矛盾，舍去；
当时，，与元素互异性矛盾，舍去．
若，即，
或，
经验证或为满足条件的实数．
故选：AC．
5．(多选)(2020·河北安平中学高一月考)已知集合中有且仅有一个元素，那么的可能取值为( )
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】
当时，即，解得，
当时，代入方程解得，满足题意；
当时，方程无解，不满足题意；
当时，即，，即，
整理可得，解得，满足题意；
故选：BC

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