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1.2 集合间的关系(精讲)
考点一 集合间的关系
【例1】(1)(多选)(2021·全国高三专题练习)已知集合，则有( )
A． B． C． D．
(2)(2021·北京)已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是( )
A． B． C． D．
(3)(2021·广东)已知集合，，则集合与集合的关系是( )
A． B．MN C．NM D．
【一隅三反】
1．(2021·福建厦门市)已知集合，则( )
A． B． C． D．
2．(2021·广东中山市)能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是( )
A． B．
C． D．
3．(2021·全国高一课时练习)已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则
A． B． C． D．
4．(2021·全国高三专题练习(文))若集合，，则( )
A． B． C． D．
5．(2021·江苏泰州市)设集合，，则( )
A． A B．A C． D．
考点二 (真)子集的个数
【例2】(1)(2021·北京师范大学)已知集合，则集合的子集的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(2021·浙江)已知集合满足，则集合A可以是( )
A． B． C． D．
(3)(2021·河北)满足的集合M有______个.
【一隅三反】
1．(2021·四川省遂宁市第二中学校)已知集合，则集合的子集个数是( )
A．4 B．8 C．16 D．32
2．(2021·陵川县高级实验中学校)已知集合若A的子集的元素中至多有一个奇数，则这样的子集共( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
3．(2021·河南信阳高中)已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为( )
A．7 B．8 C．15 D．16
4．(2021·河北衡水市)定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为( )
A．12 B．14 C．15 D．16
考点三 集合相等
【例3】(1)(2020·全国高一课时练习)下列集合中表示同一集合的是( )
A．， B．，
C．， D．，
(2)(2021·全国高一单元测试)若集合，，且，则( )
A．0 B．1 C． D．0或1
【一隅三反】
1．(2021·浙江)下列集合与集合相等的是( )
A． B．
C． D．
2．(2021·江苏南通市)已知集合，，若，则的值为( )
A．0 B． C．1 D．
3．(2021·河北石家庄市)已知集合，，(，)，若，则( )
A． B．2 C． D．1
4．(2021·江苏省天一中学)设，则集合，若，则( )
A． B． C． D．
考点四 根据集合的关系求参数
【例4-1】(1)(2021·浙江杭州市)设，，若，则 ( )
A．0 B．0或2 C．0或 D．0或
(2)(2021·西安市经开第一中学)集合或，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
(3)(2021·重庆市蜀都中学校)已知集合，，且，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【例5-2】(2021·全国高一单元测试)设集合，，若，求实数a的值．
【一隅三反】
1．(2021·广东广州市)已知集合，若，则所有的取值构成的集合为( )
A． B． C． D．
2．(2021·宁夏)设全集，且，则满足条件的集合的个数是( )
A．3 B．4 C．7 D．8
3．(2021·全国高三专题练习)已知集合，集合，若，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
4．(2021·上海)已知，，若，求实数的值.
答案与解析
考点一 集合间的关系
【例1】(1)(多选)(2021·全国高三专题练习)已知集合，则有( )
A． B． C． D．
(2)(2021·北京)已知集合，集合与的关系如图所示，则集合可能是( )
A． B． C． D．
(3)(2021·广东)已知集合，，则集合与集合的关系是( )
A． B．MN C．NM D．
【答案】(1)ACD(2)D(3)C
【解析】(1)由题得集合，由于空集是任何集合的子集，故A正确：
因为，所以CD正确，B错误.故选ACD.
(2)由图可知：，，由选项可知：，故选：D.
(3)根据题意，
①a＝﹣1时，b＝0或1，x＝0或﹣1；
②a＝0时，无论b取何值，都有x＝0；
③a＝1时，b＝﹣1或0，x＝﹣1或0．
综上知N＝{0，﹣1}，则有NM.故选C．
【一隅三反】
1．(2021·福建厦门市)已知集合，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合是由小于3的自然数组成，0，，只有C正确，故选：C．
2．(2021·广东中山市)能正确表示集合和集合的关系的韦恩图的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，故选B.
3．(2021·全国高一课时练习)已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B A，C A，正方形是矩形，所以C B．故选B．
4．(2021·全国高三专题练习(文))若集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，时，取得所有奇数，
，时，取得整数因此．故选：B．
5．(2021·江苏泰州市)设集合，，则( )
A． A B．A C． D．
【答案】B
【解析】对于集合A，当，时，，
当，时，,所以或，所以A，
故选：B．
考点二 (真)子集的个数
【例2】(1)(2021·北京师范大学)已知集合，则集合的子集的个数是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)(2021·浙江)已知集合满足，则集合A可以是( )
A． B． C． D．
(3)(2021·河北)满足的集合M有______个.
【答案】(1)C(2)D(3)7
【解析】(1)，有2个元素，则集合的子集的个数是.
故选：C.
(2)，集合A可以是，.故选：D.
(3)由,可以确定集合M必含有元素1,2,且至少舍有元素3,4,5中的一个,因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：,,；含有四个元素：,,；含有五个元素：,故满足题意的集合M共有7个.故答案为：7
【一隅三反】
1．(2021·四川省遂宁市第二中学校)已知集合，则集合的子集个数是( )
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】，
即集合A中有3个元素，则集合A的子集个数为.故选：B.
2．(2021·陵川县高级实验中学校)已知集合若A的子集的元素中至多有一个奇数，则这样的子集共( )
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【解析】集合A的子集一共有：
则满足题意的共有，6个故选：C
3．(2021·河南信阳高中)已知集合，，若，则满足条件的集合的个数为( )
A．7 B．8 C．15 D．16
【答案】C
【解析】，，
，则集合M中一定包含元素0、1，
满足条件的集合M有：
，共15个.
故选：C
4．(2021·河北衡水市)定义集合A★B=，设，则集合A★B的非空真子集的个数为( )
A．12 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【解析】，所以集合的非空真子集的个数为，故选：B.
考点三 集合相等
【例3】(1)(2020·全国高一课时练习)下列集合中表示同一集合的是( )
A．， B．，
C．， D．，
(2)(2021·全国高一单元测试)若集合，，且，则( )
A．0 B．1 C． D．0或1
【答案】(1)B(2)A
【解析】(1)对于A选项，点和点不是同一个点，则；
对于B选项，集合和中的元素相同，则；
对于C选项，集合为点集，集合为数集，则；
对于D选项，集合为数集，集合为点集，则.故选：B.
(2)，，或1，显然，.故选：A.
【一隅三反】
1．(2021·浙江)下列集合与集合相等的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】集合表示数字和的集合.
对于A：集合中的元素代表点，与集合不同，A错误；
对于B：集合中的元素代表点，与集合不同，B错误；
对于C：由得：或，与集合元素相同，C正确；
对于D：表示两个代数式的集合，与集合不同，D错误.
故选：C.
2．(2021·江苏南通市)已知集合，，若，则的值为( )
A．0 B． C．1 D．
【答案】B
【解析】根据集合中元素的互异性可知，
因为，所以或，
当时，，此时；
当时，则，因为，所以，此时.故选：B
3．(2021·河北石家庄市)已知集合，，(，)，若，则( )
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【解析】∵集合，，且，
∴，或，
先考虑，解得，
此时，，满足题意，
∴；
再考虑，解得，
此时，，不满足题意，
综上，故选：D
4．(2021·江苏省天一中学)设，则集合，若，则( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得，
∵，∴仅当时符合题意，故.故选：C.
考点四 根据集合的关系求参数
【例4-1】(1)(2021·浙江杭州市)设，，若，则 ( )
A．0 B．0或2 C．0或 D．0或
(2)(2021·西安市经开第一中学)集合或，若，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
(3)(2021·重庆市蜀都中学校)已知集合，，且，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】(1)C(2)A(3)C
【解析】(1)当时，得，
若，则不满足集合中的元素的互异性，所以；
若，则，，满足题意，
当时，或(舍去)，满足题意，
∴或，故选：C．
(2)，①当时，即无解，此时，满足题意．
②当时，即有解，当时，可得，
要使，则需要，解得．
当时，可得，
要使，则需要，解得，
综上，实数的取值范围是．故选：A．
(3)因，而，
所以时，即，则，此时
时，，则，无解，
综上得，即实数的取值范围是.故选：C
【例5-2】(2021·全国高一单元测试)设集合，，若，求实数a的值．
【答案】a≤－1或a＝1.
【解析】∵A＝{0，－4}，B A，于是可分为以下几种情况．
(1)当A＝B时，B＝{0，－4}，
∴由根与系数的关系，得解得a＝1.
(2)当时，又可分为两种情况．
①当时，即B＝{0}或B＝{－4}，
当x＝0时，有a＝±1；
当x＝－4时，有a＝7或a＝1.
又由Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，
解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件；
②当时，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，
解得a<－1.
综合(1)(2)知，所求实数a的取值为a≤－1或a＝1.
【一隅三反】
1．(2021·广东广州市)已知集合，若，则所有的取值构成的集合为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】时，满足题意，
时，得，所以或，或，所求集合为．故选：D．
2．(2021·宁夏)设全集，且，则满足条件的集合的个数是( )
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【解析】由不等式，解得，即
又由，可得满足条件的集合的个数为．故选：D
3．(2021·全国高三专题练习)已知集合，集合，若，则的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】解不等式得，要使，
当集合时，，解得；
当集合时，，解得.
综上：.故选：D.
4．(2021·上海)已知，，若，求实数的值.
【答案】或
【解析】，或或或；
若，无解；
若，无解；
若，；
若，；综上：或.

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