资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
浙江省中考数学之函数综合二
（精选全省各市历年函数综合小压轴，大压轴题型）
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（　　）
x … ﹣1 0 2 3 4 …
y … 5 0 ﹣4 ﹣3 0 …
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝2
C．当0＜x＜4时，y＜0
D．若A（x1，2），B（x2，3）是图象上两点，则x1＜x2
2．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，下列说法中正确的个数是（　　）
①当m＝0时，此抛物线图象关于y轴对称；
②若点A（m﹣2，y1），点B（m+1，y2）在此函数图象上，则y1＜y2；
③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则；
④无论m为何值，此抛物线的顶点到直线y＝2x的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m（m＞0）个单位后过点（5，2），则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确结论有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知函数y＝﹣x2+mx+n（﹣1≤x≤1），且x＝﹣1时，y取到最大值1，则m的值可能为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
6．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（　　）
A．2 B．±2 C．2或 D．2或
7．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值﹣1，a可能为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0.5 D．1.5
8．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（　　）
A． B．±1 C．﹣1或 D．1或
9．二次函数y＝x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（　　）
A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣2
10．点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（　　）
A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜2
11．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m的图象经过A（1，y1），B（5，y2）两个点，下列选项正确的是（　　）
A．若m＜1，则y1＞y2 B．若1＜m＜3，则y1＜y2
C．若1＜m＜5，则y1＞y2 D．若m＞5，则y1＜y2
12．若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过三个不同的点A（0，4），B（m，4），C（3，n），则下列选项正确的是（　　）
A．若m＝4，则n＜4 B．若m＝2，则n＜4
C．若 m＝﹣2，则n＞4 D．若m＝﹣4，则n＞4
13．已知点A（a，y1），B（a+5，y2），C（c，y3）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣3上，0＜y1＜y2＜y3，点A，B在对称轴的两侧，下列选项正确的是（　　）
A．若c＜0，则a＜c＜0 B．若c＜0，则c＜0＜a
C．若c＞0，则0＜a+5＜c D．若c＞0，则0＜c＜a+5
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（x1，y1），B（1﹣m，n），C（x2，y2），D（m+3，n），若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＜0
15．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min（﹣x2+3，﹣2x}的最大值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
16．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（　　）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
17．在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣4x+k|x﹣1|+3的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣2 B．﹣2≤k＜2 C．k≥2 D．2≤k＜4
18．在平面直角坐标系中，过点（﹣2，3）的直线l经过一、二、三象限，若点（a，﹣1），（﹣1，b），（0，c）都在直线l上，则下列判断正确的是（　　）
A．c＜b B．c＜3 C．b＜3 D．a＜﹣2
19．已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（　　）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
20．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）
A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤
C．n≤﹣1或1＜n≤ D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与y轴交于点B（0，5）．
（1）求该函数表达式．
（2）若一次函数y＝cx﹣1（c≠0）的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）图象交于点C（a，1），求a，c的值．
（3）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝m（x﹣2）+1（m≠0）的值都大于y＝kx+b（k≠0）的值，求m的取值范围．
22．已知抛物线y＝ax2﹣6ax﹣5经过点A（1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）抛物线与x轴的另一交点为B，将线段AB向上平移n个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点C，D（点C在点D左侧），若AB＝2CD，求n的值．
23．已知抛物线y＝x2+2cx+c．
（1）若抛物线与y轴的交点为（0，3），求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点A（m，n），B（m﹣4，n）在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且5m+5n＜﹣13，请比较p，q的大小，并说明理由．
25．已知二次函数y＝ax2+4ax+1（a≠0）．
（1）直接写出该函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标．
（2）若该函数图象开口向上，且图象上的一点（x0，y0）在x轴的下方，求证：a＞．
（3）已知点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（1，y3），（2，y4）在该函数图象上，若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，试求a的取值范围．
26．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
27．定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点（2，1）是函数y＝x﹣1的图象的“倍值点”．
（1）分别判断函数y＝x+1，y＝x2﹣x的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“倍值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为2时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣3（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出m的取值范围．
28．若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．
（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；
（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；
（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN为矩形，求b2﹣4ac的值．
浙江省24届中考数学二轮专题之函综（二）
参考答案与试题解析
一．选择题（共20小题）
1．已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（　　）
x … ﹣1 0 2 3 4 …
y … 5 0 ﹣4 ﹣3 0 …
A．抛物线开口向上
B．抛物线的对称轴是直线x＝2
C．当0＜x＜4时，y＜0
D．若A（x1，2），B（x2，3）是图象上两点，则x1＜x2
【分析】先利用交点式求出抛物线解析式，则可对A进行判断；利用抛物线的对称性可对B进行判断；利用抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0）可对C进行判断；根据二次函数的增减性可对D进行判断．
【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），
把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，开口向上，所以A选项不符合题意；
抛物线的对称轴为直线x＝2，所以B选项不符合题意；
∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），
∴当0＜x＜4时，y＜0，所以C选项不符合题意；
若A（x1，2），B（x2，3）是图象上两点，则不能判断x1与x2的大小，所以选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质．
2．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，下列说法中正确的个数是（　　）
①当m＝0时，此抛物线图象关于y轴对称；
②若点A（m﹣2，y1），点B（m+1，y2）在此函数图象上，则y1＜y2；
③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则；
④无论m为何值，此抛物线的顶点到直线y＝2x的距离都等于．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】求得抛物线的对称轴即可判断①；求得两点到对称轴的距离即可判断②；令x﹣4＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，根据Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+2m）＝0，求得m的值即可判断③；求得抛物线顶点坐标得到抛物线的顶点在直线y＝2x﹣4上，可知直线y＝2x﹣4与直线y＝2x平行，求得两直线的距离即可判断④．
【解答】解：①当m＝0时，y＝x2﹣4，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∴此抛物线图象关于y轴对称；
∴①正确；
②∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝＝m，
∵点A（m﹣2，y1），点B（m+1，y2）在此函数图象上，且m﹣（m﹣2）＞m+1﹣m，
∴y1＞y2；
∴②错误；
③若此抛物线与直线y＝x﹣4有且只有一个交点，则令x﹣4＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4，
整理得x2﹣（2m+1）x+m2+2m＝0，
Δ＝[﹣（2m+1）]2﹣4（m2+2m）＝0，
解得m＝，
∴③错误；
④∵y＝x2﹣2mx+m2+2m﹣4＝（x﹣m）2+2m﹣4，
∴顶点为（m，2m﹣4），
∴抛物线的顶点在直线y＝2x﹣4上，
∵直线y＝2x﹣4与直线y＝2x平行，
∴顶点到直线y＝2x的距离都相等，如图，
设直线y＝2x﹣4交x轴于A，交y轴于B，点O到AB的距离为OD，则A（2，0），B（0，﹣4），O
∴AB＝＝2，
∵S△AOB＝，
∴，
∴OD＝，
∴两直线间的距离为，
∴④正确．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与方程的关系，熟知二次函数的性质是解题的关键．
3．将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m（m＞0）个单位后过点（5，2），则m的值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据“左加右减”的规律得到平移后抛物线解析式为y＝（x﹣4）2﹣14；然后将点（5，2）代入来求m的值即可．
【解答】解：∵y＝x2﹣8x+2＝（x﹣4）2﹣14，
∴将二次函数y＝x2﹣8x+2的图象向左平移m个单位后所得二次函数解析式为：y＝（x﹣4+m）2﹣14．
将（5，2）代入，得（5﹣4+m）2﹣14＝2，
解得m＝3．
故选：B．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
4．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＞0；②b＞a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＞3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1的实数）其中正确结论有（　　）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：①由图象可知：a＜0，c＞0，﹣＞0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①错误，不符合题意；
②当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，即b＞a+c，故②正确，符合题意；
③由图象知，当x＝2时，函数值大于0，即y＝4a+2b+c＞0，故③正确，符合题意；
④对称轴为直线﹣＝1，即2a+b＝0，
∴a＝﹣，代入b＞a+c，得
b＞+c，
∴3b＞2c，故④错误，不符合题意；
⑤当x＝1时，y的值最大．此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c＞am2+bm+c，
故a+b＞am2+bm，即a+b＞m（am+b），故⑤正确，符合题意．
故正确的结论为②③⑤，
故选：B．
【点评】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
5．已知函数y＝﹣x2+mx+n（﹣1≤x≤1），且x＝﹣1时，y取到最大值1，则m的值可能为（　　）
A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣3
【分析】根据二次函的性质分析求解即可．
【解答】解：因二次函数y＝﹣x2+mx+n中a＝﹣1，所以开口向下．
由二次函数的性质得当a＜0时，当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小；
若当x＝﹣1时，y取到最大值1，
必有．
即m≤﹣2．
故答案为：D．
【点评】本题考查二次函数的基本性质．
6．当1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣2ax+3的最小值为﹣1，则a的值为（　　）
A．2 B．±2 C．2或 D．2或
【分析】将二次函数化成顶点式，再求最值．
【解答】解：y＝x2﹣2ax+3＝（x﹣a）2+3﹣a2．
抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a．
∴当a≤1时，若1≤x≤3时，y随x的增大而增大，
当x＝1时，y有最小值＝1﹣2a+3＝4﹣2a，
∴4﹣2a＝﹣1，
∴a＝，
不合题意，舍去．
当1＜a≤3时，x＝a，y有最小值3﹣a2．
∴3﹣a2＝﹣1．
∴a2＝4，
∵1≤a≤3，
∴a＝2．
当a≥3时，若1≤x≤3，y随x的增大而减小．
∴当x＝3时，y有最小值＝9﹣6a+3＝12﹣6a．
∴12﹣6a＝﹣1．
∴a＝．
∵a≥3．
∴不合题意，舍去．
综上：a＝2．
故选A．
【点评】本题考查二次函数的最值，对a的范围进行分类讨论是求解本题的关键．
7．已知二次函数y＝x2﹣4x+2，关于该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值﹣1，a可能为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0.5 D．1.5
【分析】根据二次函数的性质可得二次函数图象的对称轴为直线x＝2，最小值为﹣2，从而得到点（3，﹣1）关于对称轴的对称点为（1，﹣1），即可求解．
【解答】解：∵1＞0，
∴二次函数的图象开口向上，y＝x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2，
∴二次函数图象的对称轴为直线x＝2，最小值为﹣2，
当x＝3时，y＝32﹣4×3+2＝﹣1，
∴点（3，﹣1）在二次函数图象上，且点（3，﹣1）关于对称轴的对称点为（1，﹣1），
∵该函数在a≤x≤3的取值范围内有最大值﹣1，
∴1≤a≤3，
∴a可能为1.5，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
8．已知二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2（a≠0），若﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，则a的值为（　　）
A． B．±1 C．﹣1或 D．1或
【分析】根据二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2＝a（x﹣1）2+2，可以得到该函数的对称轴，再根据当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4和二次函数的性质，可以得到|a（﹣1﹣1）2+2﹣2|＝4，然后求解即可．
【解答】解：二次函数y＝ax2﹣2ax+a+2＝a（x﹣1）2+2，
∴该函数的对称轴为直线x＝1，
∵当﹣1≤x≤2时，函数的最大值与最小值的差为4，
∴当|a（﹣1﹣1）2+2﹣2|＝4，
解得a1＝1，a2＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．二次函数y＝x2+bx+1中，当x＞1时，y随x的增大而增大，则一次项系数b满足（　　）
A．b＞﹣2 B．b≥﹣2 C．b＜﹣2 D．b＝﹣2
【分析】根据a的值先确定抛物线的开口方向，然后再根据已知当x＞1时，y随x的增大而增大，可得抛物线的对称轴﹣≤1，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴二次函数y＝x2+bx+1的图象开口向上，
∵当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴﹣≤1，
解得：b≥﹣2，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
10．点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（　　）
A．m＞2 B．m＞ C．m＜1 D．＜m＜2
【分析】根据y1＜y2列出关于m的不等式即可解得答案．
【解答】解：∵点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上，
∴y1＝（m﹣1﹣1）2+n＝（m﹣2）2+n，
y2＝（m﹣1）2+n，
∵y1＜y2，
∴（m﹣2）2+n＜（m﹣1）2+n，
∴（m﹣2）2﹣（m﹣1）2＜0，
即﹣2m+3＜0，
∴m＞，
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．本题属于基础题，难度不大．
11．已知二次函数y＝x2﹣2mx+m的图象经过A（1，y1），B（5，y2）两个点，下列选项正确的是（　　）
A．若m＜1，则y1＞y2 B．若1＜m＜3，则y1＜y2
C．若1＜m＜5，则y1＞y2 D．若m＞5，则y1＜y2
【分析】先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据函数的对称性和增减性即可解答．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2mx+m，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，
∵二次函数y＝x2﹣2mx+m的图象经过A（1，y1），B（5，y2）两个点，
∴若m＜1，过A（1，y1），B（5，y2）两个点都在抛物线对称轴的右边，y随x的增大而增大，则y1＜y2，故A选项错误，不符合题意；
∴若1＜m＜3，点A（1，y1）比点B（5，y2）更接近抛物线的对称轴，则y1＜y2，故B选项正确，符合题意；
∴若1＜m＜5，不能确定过A（1，y1），B（5，y2）两个点都在抛物线对称轴的右边或左边，不能判定抛物线的增减性，则不能确定y1，y2的大小，故C选项错误，不符合题意；
∴若m＞5，过A（1，y1），B（5，y2）两个点都在抛物线对称轴的左边，y随x的增大而减小，则y1＞y2，故D选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性和增减性，熟记二次函数的性质是解题的关键．
12．若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过三个不同的点A（0，4），B（m，4），C（3，n），则下列选项正确的是（　　）
A．若m＝4，则n＜4 B．若m＝2，则n＜4
C．若 m＝﹣2，则n＞4 D．若m＝﹣4，则n＞4
【分析】根据抛物线的对称性求得对称轴，然后根据二次函数的性质即可判断．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过三个不同的点A（0，4），B（m，4），C（3，n），
∴A（0，4），B（m，4）关于对称轴对称，
∴对称轴为直线x＝＝，
∵抛物线开口向下，
∴当x＞时，y随x的增大而减小，
A、若m＝4，则对称轴为直线x＝2，
∵2＜3＜4，
∴n＞4，故A错误，不符合题意；
B、若m＝2，则对称轴为直线x＝1，
∵1＜2＜3，
∴n＜4，故B正确，符合题意；
C、若m＝﹣2，则对称轴为直线x＝﹣1，
∵﹣1＜0＜3，
∴n＜4，故C错误，不符合题意；
D、若m＝﹣4，则对称轴为直线x＝﹣2，
∵﹣2＜0＜3，
∴n＜4，故C错误，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．已知点A（a，y1），B（a+5，y2），C（c，y3）都在抛物线y＝（x﹣1）2﹣3上，0＜y1＜y2＜y3，点A，B在对称轴的两侧，下列选项正确的是（　　）
A．若c＜0，则a＜c＜0 B．若c＜0，则c＜0＜a
C．若c＞0，则0＜a+5＜c D．若c＞0，则0＜c＜a+5
【分析】先根据解析式画出函数图象，顶点为（1，﹣3），由0＜y1＜y2＜y3，点A，B在对称轴的两侧可知a＜0，a+5＞0，由函数图象的性质可得c＜a或c＞a+5，从而得到C选项正确．
【解答】解：根据解析式画出图象，如图：
∵0＜y1＜y2＜y3，点A，B在对称轴的两侧，
∴a＜0，a+5＞0，
若c＜0，则c＜a＜0，故A、B不符合题意，
若c＞0，则c＞a+5＞0，故D不符合题意，C符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数的性质，根据函数值确定A、B、C三点的位置是解题的关键．
14．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（x1，y1），B（1﹣m，n），C（x2，y2），D（m+3，n），若|x1﹣2|＞|x2﹣2|，则下列表达式正确的是（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2
C．a（y1﹣y2）＞0 D．a（y1﹣y2）＜0
【分析】根据函数的对称性求得对称轴为直线x＝2，然后分两种情况讨论，判断y1、y2的大小关系，进一步得出a（y1﹣y2）＞0．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（x1，y1），B（1﹣m，n），C（x2，y2），D（m+3，n），
∴对称轴为直线x＝＝2，
∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|，
∴当a＞0时，y1＞y2；当a＜0时，y1＜y2，
∴a（y1﹣y2）＞0，
故选：C．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，求得对称轴，能够判断出y1、y2的大小是解题的关键．
15．定义符号min{a，b}的含义为：当a≥b时min{a，b}＝b；当a＜b时min{a，b}＝a．如min{1，﹣3}＝﹣3，min{﹣4，﹣2}＝﹣4．则min（﹣x2+3，﹣2x}的最大值是（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】先求出两个函数的交点坐标，再根据min的定义解答即可．
【解答】解：联立，
解得，，
①如果x≤﹣1，min{﹣x2+3，﹣2x}＝﹣x2+3，最大值是2；
②如果﹣1＜x≤3，min{﹣x2+3，﹣x}＝﹣2x，最大值小于2；
③如果x＞3，min{﹣x2+3，﹣x}＝﹣x2+3，最大值小于﹣6．
所以min{﹣x2+3，﹣x}的最大值是2．
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数的最值问题，读懂题目信息，理解定义符号的意义并考虑求两个函数的交点是解题的关键．
16．对于一个函数：当自变量x取a时，其函数值y也等于a，我们称a为这个函数的不动点．若二次函数y＝x2+2x+c（c为常数）有两个不相等且都小于1的不动点，则c的取值范围是（　　）
A．c＜﹣3 B．﹣3＜c＜﹣2 C．﹣2＜c＜ D．c＞
【分析】由函数的不动点概念得出x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个实数根，由Δ＞0且x＝1时y＞0，即可求解．
【解答】解：由题意知二次函数y＝x2+2x+c有两个相异的不动点x1、x2是方程x2+2x+c＝x的两个不相等实数根，且x1、x2都小于1，
整理，得：x2+x+c＝0，
由x2+x+c＝0有两个不相等的实数根知：Δ＞0，即1﹣4c＞0①，
令y＝x2+x+c，画出该二次函数的草图如下：
而x1、x2（设x2在x1的右侧）都小于1，即当x＝1时，y＝x2+x+c＝2+c＞0②，
联立①②并解得：﹣2＜c＜；
故选：C．
【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．
17．在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣4x+k|x﹣1|+3的图象与x轴恰好有2个交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＜﹣2 B．﹣2≤k＜2 C．k≥2 D．2≤k＜4
【分析】函数与x轴有2个交点，那么交点的纵坐标为0．让函数值y＝0，得到关于x的一元二次方程，一元二次方程有2个解．根据绝对值的意义分x≥1和x＜1两种情况解一元二次方程，得到x的两个值，根据恰好有2个解可判断出k的取值范围．
【解答】解：∵y＝x2﹣4x+k|x﹣1|+3的图象与x轴相交，
∴交点的纵坐标为0．
∴x2﹣4x+k|x﹣1|+3＝0．
①x≥1．
x2﹣4x+k（x﹣1）+3＝0，
x2﹣4x+kx﹣k+3＝0，
x2+（k﹣4）x+（3﹣k）＝0，
（x﹣1）（x+k﹣3）＝0，
∴x1＝1，x2＝3﹣k．
②x＜1．
x2﹣4x+k（1﹣x）+3＝0，
x2﹣4x+k﹣kx+3＝0，
x2+（﹣k﹣4）x+（3+k）＝0，
（x﹣1）（x﹣k﹣3）＝0，
∴x1＝1（舍去），x2＝3+k．
∵恰好有2个解，其中有一个解是x＝1，
∴另一个解3﹣k和3+k只能有一个存在．
①另一个解是x＝3﹣k．
．
解得：﹣2≤k＜2．
②另一个解是x＝3+k．
．
解得：原不等式组无解．
综上：﹣2≤k＜2．
故选：B．
【点评】本题综合考查二次函数与一元二次方程的关系．用到的知识点为：二次函数与x轴有2个交点，那么二次函数的函数值为0时的一元二次方程有2个不相等的实数解．
18．在平面直角坐标系中，过点（﹣2，3）的直线l经过一、二、三象限，若点（a，﹣1），（﹣1，b），（0，c）都在直线l上，则下列判断正确的是（　　）
A．c＜b B．c＜3 C．b＜3 D．a＜﹣2
【分析】设直线l：y＝kx+b，且经过一、二、三象限，可得b＞0，k＞0，利用一次函数的性质可求解．
【解答】解：设直线l：y＝kx+b，且经过一、二、三象限，
∴b＞0，k＞0
∴y随x的增大而增大，
∵﹣2＜﹣1＜0
∴c＞b＞3
∴选项A，B，C错误
∵y1＝3＞y2＝﹣1
∴﹣2＞a
故选：D．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练运用一次函数的性质是本题的关键．
19．已知二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0）的图象上有两点A（x1，y1）和B（x2，y2）（其中x1＜x2），则（　　）
A．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＜0
B．若a＞0，当x1+x2＜1时，a（y1﹣y2）＞0
C．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＜0
D．若a＜0，当x1+x2＞﹣1时，a（y1﹣y2）＞0
【分析】由二次函数的解析式求得对称轴为直线x＝，然后判断y1与y2的大小，即可判断每个选项正误．
【解答】解：∵二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）（a≠0），
∴y＝0时，x1＝1﹣m，x2＝m，
∴二次函数y＝a（x+m﹣1）（x﹣m）的对称轴为直线x＝＝，
当a＞0时，当x1+x2＜1时，
∴＜，
∴y1＞y2，
∴y1﹣y2＞0，
∴a（y1﹣y2）＞0；
当a＜0时，当x1+x2＞﹣1时，
∴，
∴当﹣＜时，y1＜y2，
则a（y1﹣y2）＞0；
当＞时，y1＞y2，
则a（y1﹣y2）＜0；
故选：B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，判断出y1与y2的大小是解题的关键．
20．对于二次函数y＝ax2+bx+c，规定函数y＝是它的相关函数．已知点M，N的坐标分别为（﹣，1），（，1），连接MN，若线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象有两个公共点，则n的取值范围为（　　）
A．﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤ B．﹣3＜n＜﹣1或1≤n≤
C．n≤﹣1或1＜n≤ D．﹣3＜n＜﹣1或n≥1
【分析】首先确定出二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值，然后结合函数图象可确定出n的取值范围．
【解答】解：如图1所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有1个公共点．
所以当x＝2时，y＝1，即﹣4+8+n＝1，解得n＝﹣3．
如图2所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n与y轴交点纵坐标为1，
∴﹣n＝1，解得：n＝﹣1．
∴当﹣3＜n＜﹣1时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
如图3所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有3个公共点．
∵抛物线y＝﹣x2+4x+n经过点（0，1），
∴n＝1．
如图4所示：线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
∵抛物线y＝x2﹣4x﹣n经过点M（﹣，1），
∴+2﹣n＝1，解得：n＝．
∴1＜n≤时，线段MN与二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数的图象恰有2个公共点．
综上所述，n的取值范围是﹣3＜n≤﹣1或1＜n≤，
故选：A．
【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，求得二次函数y＝﹣x2+4x+n的相关函数与线段MN恰好有1个交点、2个交点、3个交点时n的值是解题的关键．
二．解答题（共8小题）
21．已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与y轴交于点B（0，5）．
（1）求该函数表达式．
（2）若一次函数y＝cx﹣1（c≠0）的图象与一次函数y＝kx+b（k≠0）图象交于点C（a，1），求a，c的值．
（3）当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝m（x﹣2）+1（m≠0）的值都大于y＝kx+b（k≠0）的值，求m的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）将点C（a，1）坐标代入y＝﹣2x+5解出a，再将C（2，1）代入y＝cx﹣1解出c值即可；
（3）函数y＝m（x﹣2）+1（m≠0）恒过定点（2，1），且（2，1）在一次函数y＝﹣2x+5 图象上，依据题意得m（3﹣2）+1＞﹣2×3+5，解答即可得解．
【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（1，3），且与y轴交于点B（0，5），
∴，
∴，
∴一次函数解析式为：y＝﹣2x+5；
（2）∵若一次函数y＝cx﹣1（c≠0）的图象与一次函数y＝﹣2x+5（k≠0）图象交于点C（a，1），
∴﹣2a+5＝1，
∴a＝2，
将C（2，1）坐标代入y＝cx﹣1得：
2c﹣1＝1，
∴c＝1．
（3）∵函数y＝m（x﹣2）+1（m≠0）恒过定点（2，1），且（2，1）在一次函数y＝﹣2x+5 图象上，
又∵当x＞3时，对于x的每一个值，函数y＝m（x﹣2）+1（m≠0）的值都大于y＝﹣2x+5的值，
∴m（3﹣2）+1＞﹣2×3+5，
解得m＞﹣2，
∴m的取值范围为m＞﹣2．
【点评】本题考查了两条直线相交和平行问题，熟练掌握一次函数与不等式间的关系式解答本题的关键．
22．已知抛物线y＝ax2﹣6ax﹣5经过点A（1，0）．
（1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
（2）抛物线与x轴的另一交点为B，将线段AB向上平移n个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点C，D（点C在点D左侧），若AB＝2CD，求n的值．
【分析】（1）根据抛物线y＝ax2﹣6ax﹣5经过点A（1，0），可以求得a的值，然后将函数解析式化为顶点式，即可得到该抛物线的顶点坐标；
（2）根据（1）中的抛物线解析式，可以得到该抛物线的对称轴，从而可以得到点B的坐标，进而求得AB的值，然后即可得到CD的值，即可写出点C的横坐标，再代入抛物线解析式，求出相应的y的值，此时y的值就是n的值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣6ax﹣5经过点A（1，0），
∴0＝a﹣6a﹣5，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标为（3，4），
即抛物线的函数表达式是y＝﹣x2+6x﹣5，顶点坐标为（3，4）；
（2）由（1）知：y＝﹣（x﹣3）2+4，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝3，
∵抛物线y＝ax2﹣6ax﹣5经过点A（1，0），抛物线与x轴的另一交点为B，
∴点B的坐标为（5，0），
∴AB＝5﹣1＝4，
∵将线段AB向上平移n个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点C，D（点C在点D左侧），AB＝2CD，
∴CD＝AB＝2，
∴点C的横坐标为2，
∴点C的纵坐标y＝﹣（2﹣3）2+4＝3，
∴n＝3，
即n的值为3．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
23．已知抛物线y＝x2+2cx+c．
（1）若抛物线与y轴的交点为（0，3），求抛物线的函数表达式和顶点坐标；
（2）已知抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，与x轴有交点．若点A（m，n），B（m﹣4，n）在抛物线上，求c的取值范围及m的最大值．
【分析】（1）将（0，3）代入解析式求出c的值，再将二次函数解析式化为顶点式求解．
（2）由抛物线与x轴有交点及抛物线与y轴正半轴相交可得c的取值范围，由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，进而求解．
【解答】解：（1）将（0，3）代入y＝x2+2cx+c得c＝3，
∴y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6，
∴抛物线的顶点为（﹣3，﹣6）．
（2）将x＝0代入y＝x2+2cx+c得y＝c，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，c），
∴c＞0，
∵抛物线与x轴有交点，
∴（2c）2﹣4c≥0，
∴c≥1或c≤0（舍）．
∵y＝x2+2cx+c，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝﹣c，
∵点A（m，n），B（m﹣4，n）在抛物线上，
∴m+m﹣4＝2m﹣4＝﹣2c，
∵c≥1，
∴﹣2c≤﹣2，
∴2m﹣4≤﹣2，
解得m≤1，
∴m的最大值为1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且5m+5n＜﹣13，请比较p，q的大小，并说明理由．
【分析】（1）①当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），将其代入函数解析式中解得a＝﹣1，则函数解析式为抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，再根据求对称轴的公式即可求解；
②令y＝0，求出抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），由题意可得p＜0，则点B在x轴的下方，以此即可解答；
（2）将点A坐标代入函数解析式，通过t＜0可得a的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B，C到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：（1）①当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，0），
∴4a+2（a+2）+2＝0，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣；
②令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），
∵点A（﹣2，0），B（m，p），且p＜0，
∴点B（m，p）在x轴的下方，
∴m＜﹣2或m＞1．
（2）p＜q，理由如下：
将（﹣2，t）代入y＝ax2﹣（a+2）x+2得t＝4a+2（a+2）+2＝6a+6，
∵t＜0，
∴6a+6＜0，
∴a＜﹣1，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝+，
∵a＜﹣1，
∴﹣1＜＜0，
∴﹣+＜，
∵m＜n且5m+5n＜﹣13，
∴＜﹣＜﹣，
∴点B（m，p）到对称轴的距离大于点C（n，q）到对称轴的距离，
∴p＜q．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
25．已知二次函数y＝ax2+4ax+1（a≠0）．
（1）直接写出该函数图象的对称轴和与y轴的交点坐标．
（2）若该函数图象开口向上，且图象上的一点（x0，y0）在x轴的下方，求证：a＞．
（3）已知点（﹣3，y1），（﹣1，y2），（1，y3），（2，y4）在该函数图象上，若y1，y2，y3，y4四个函数值中有且只有一个小于零，试求a的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式和y轴上点的坐标特征即可求得；
（2）根据题意a＞0，且Δ＞0，即（4a）2﹣4a 1＞0，解得即可；
（3）根据二次函数的性质即可得出y3＝a+4a+1≥0，y4＝4a+8a+1＜0，解得即可．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+4ax+1（a≠0）．
∴函数图象的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，y轴的交点坐标为（0，1）；
（2）∵该函数图象开口向上，且图象上的一点（x0，y0）在x轴的下方，
∴a＞0，且Δ＞0，即（4a）2﹣4a 1＞0，
∴a＞；
（3）∵函数图象的对称轴为直线x＝﹣2，
∴点（﹣3，y1）关于对称轴的对称点为（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜1＜2，y1＝y2，
∴当开口向上时，则y1＝y2＜y3＜y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中最少有两个小于零，不合题意，
当开口向下时，则y1＝y2＞y3＞y4，y1，y2，y3，y4四个函数值中可以满足y1＝y2＞y3＞0＞y4，
∴y3＞0，y4＜0，即当x＝1时，y3＝a+4a+1≥0，
x＝2时，y4＝4a+8a+1＜0，
解得﹣≤a＜﹣．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，得到关于a的不等式是解题 的关键．
26．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx+c（其中ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax+c称为“关联抛物线”．例如：抛物线y＝2x2+3x+1的“关联抛物线”为：y＝3x2+2x+1．已知抛物线C1：y＝4ax2+ax+4a﹣3（a≠0）的“关联抛物线”为C2．
（1）写出C2的解析式（用含a的式子表示）及顶点坐标；
（2）若a＞0，过x轴上一点P，作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N．
①当MN＝6a时，求点P的坐标；
②当a﹣4≤x≤a﹣2时，C2的最大值与最小值的差为2a，求a的值．
【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出C2的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出C2的顶点坐标；
（2）①设点P的横坐标为m，则可表达点M和点N的坐标，根据两点间距离公式可表达MN的长，列出方程，可求出点P的坐标；
②分情况讨论，当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，分别得出C2的最大值和最小值，进而列出方程，可求出a的值．
【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得C2的解析式为：y＝ax2+4ax+4a﹣3，
∵y＝ax2+4ax+4a﹣3＝a（x+2）2﹣3，
∴C2的顶点坐标为（﹣2，﹣3）；
（2）①设点P的横坐标为m，
∵过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1，C2于点M，N，
∴M（m，4am2+am+4a﹣3），N（m，am2+4am+4a﹣3），
∴MN＝|4am2+am+4a﹣3﹣（am2+4am+4a﹣3）|＝|3am2﹣3am|，
∵MN＝6a，
∴|3am2﹣3am|＝6a，
解得m＝﹣1或m＝2，
∴P（﹣1，0）或（2，0）．
②∵C2的解析式为：y＝a（x+2）2﹣3，
∴当x＝﹣2时，y＝﹣3，
当x＝a﹣4时，y＝a（a﹣4+2）2﹣3＝a（a﹣2）2﹣3，
当x＝a﹣2时，y＝a（a﹣2+2）2﹣3＝a3﹣3，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当a﹣4≤﹣2≤a﹣2时，0＜a≤2，
且当0＜a≤1时，函数的最大值为a（a﹣2）2﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a（a﹣2）2﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝2﹣或a＝2+（舍）；
当1≤a≤2时，函数的最大值为a3﹣3；函数的最小值为﹣3，
∴a3﹣3﹣（﹣3）＝2a，解得a＝或a＝﹣（舍）；
Ⅱ、当﹣2≤a﹣4≤a﹣2时，a≥2，
函数的最大值为a3﹣3，函数的最小值为a（a﹣2）2﹣3；
∴a3﹣3﹣[a（a﹣2）2﹣3]＝2a，
解得a＝（舍）；
Ⅲ、当a﹣4≤a﹣2≤﹣2时，a≤0，不符合题意，舍去；
综上，a的值为2﹣或．
【点评】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出C2的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
27．定义：若一个函数图象上存在横坐标是纵坐标两倍的点，则称该点为这个函数图象的“倍值点”，例如：点（2，1）是函数y＝x﹣1的图象的“倍值点”．
（1）分别判断函数y＝x+1，y＝x2﹣x的图象上是否存在“倍值点”？如果存在，求出“倍值点”的坐标；如果不存在，说明理由；
（2）设函数y＝（x＞0），y＝﹣x+b的图象的“倍值点”分别为点A，B，过点B作BC⊥x轴，垂足为C．当△ABC的面积为2时，求b的值；
（3）若函数y＝x2﹣3（x≥m）的图象记为W1，将其沿直线x＝m翻折后的图象记为W2，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）根据“倍值点”的定义建立方程求解即可得出答案；
（2）先根据“倍值点”的定义求出函数y＝（x＞0）的图象上有两个“倍值点”A（21），同理求出B（b，b），根据△ABC的面积为2可得，求解即可；
（3）先求出函数y＝x2﹣3的图象上有两个“倍值点”（﹣，﹣）或（2，1），再利用翻折的性质分类讨论即可．
【解答】解：（1）在y＝x+1中，令x＝2y，得y＝y+1不成立，
∴函数y＝x+1的图象上不存在“倍值点”；
在y＝x2﹣x中，令2y＝x，y＝4y2﹣2y
解得：y1＝0，y2＝，得到，x1＝0，x2＝
∴函数y＝x2﹣x的图象上有两个“倍值点”（0，0）或（，）；
（2）在函数y＝（x＞0）中，令x＝2y，
解得：y＝1，
∴A（2，1），
在函数y＝﹣x+b中，令x＝2y，
解得：y＝b，
∴B（b，b），
∵BC⊥x轴，
∴C（b，0），
∴BC＝|b|，
∵△ABC的面积为2，
，
（﹣1+b） b＝6，
﹣b﹣6＝0，
b2﹣3b﹣18＝0，
∴b＝6，b＝﹣3．
综上所述，b的值为﹣3或6；
（3）令x＝x2﹣3，
解得：x1＝﹣，x2＝2，
∴函数y＝x2﹣3的图象上有两个“倍值点”（﹣，﹣）或（2，1），
①当m＜﹣时，W1，W2两部分组成的图象上必有2个“倍值点”（﹣，﹣）或（2，1），
W1：y＝x2﹣3（x≥m），
W2：y＝（x﹣2m）2﹣3（x＜m），
令x＝（x﹣2m）2﹣3，
整理得：2x2﹣（8m+1）x+8m2﹣6＝0，
∵W2的图象上不存在“等值点”，
∴Δ＜0，
∴（8m+1）2﹣8（8m2﹣6）＜0，
∴m＜﹣，
②当m＝﹣时，有3个“倍值点”（﹣2，﹣2），
③当﹣＜m＜2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”，
④当m＝2时，W1，W2两部分组成的图象上恰有1个“倍值点”（2，2），
⑤当m＞2时，W1，W2两部分组成的图象上没有“倍值点”，
综上所述，当W1，W2两部分组成的图象上恰有2个“倍值点”时，m＜﹣或﹣＜m＜2．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了一次函数，反比例函数，二次函数与新定义“等值点”的综合运用，一元二次方程根的判别式，翻折的性质等，综合性较强，解题的关键是理解并运用新定义，运用分类讨论思想解决问题．
28．若二次函数y1＝a1x2+b1x+c1与y2＝a2x2+b2x+c2的图象关于点P（1，0）成中心对称图形，我们称y1与y2互为“中心对称”函数．
（1）求二次函数y＝x2+6x+3的“中心对称”函数的解析式；
（2）若二次函数y＝ax2+2ax+c（a＞0）的顶点在它的“中心对称”函数图象上，且当时，y最大值为2，求此二次函数解析式；
（3）二次函数y1＝ax2+bx+c（a＜0）的图象顶点为M，与x轴负半轴的交点为A、B，它的“中心对称”函数y2的顶点为N，与x轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若AB＝2BP，且四边形AMDN为矩形，求b2﹣4ac的值．
【分析】（1）由新定义即可求解；
（2）求出c＝﹣7a，得到抛物线的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），即可求解；
（3）由MH2＝AH DH，即可求解．
【解答】解：（1）y＝x2+6x+3＝（x+3）2﹣6，
则该函数的顶点坐标为：（﹣3，﹣6），
则该顶点关于（1，0）的对称点为（5，6），
则“中心对称”函数的解析式为：y＝﹣（x﹣5）2+6；
（2）由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝﹣1，则顶点坐标为：（﹣1，c﹣a），
则“中心对称”函数的顶点坐标为：（3，a﹣c），
则“中心对称”函数的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c，
将（﹣1，c﹣a）代入上式得：c﹣a＝﹣a（﹣1﹣3）2+a﹣c，
解得：c＝﹣7a，
则抛物线的表达式为：y＝﹣a（x﹣3）2+a﹣c＝a（x2+2x﹣7），
当时，即﹣5≤x≤2，
则抛物线在x＝﹣5时，取得最大值为2，
即a（25﹣10﹣7）＝2，
解得：a＝，
则抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣；
（3）如下图：
设点A、D的横坐标分别为：x1，x2，Δ＝b2﹣4ac，
则点M的坐标为：（﹣，），x1＝，
根据点的对称性，点D的横坐标x2＝2﹣x1，
由点A、H的坐标得，AB＝﹣，
则BP＝1﹣，
若AB＝2BP，即＝2﹣×2，
整理得：2a+b＝2，
当四边形AMDN为矩形时，则∠AMD＝90°，设左侧抛物线的对称轴交x轴于点H，
在Rt△ADM中，tan∠MDH＝＝tan∠AMH＝，
则MH2＝AH DH，
而MH＝﹣，AH＝﹣﹣（）＝，DH＝（2﹣xA﹣xH），
则（﹣）2＝×（2﹣xA﹣xH），
整理得：＝（2b+4a+），
将2a+b＝2代入上式得：＝×（5），
解得：Δ＝20，
即b2﹣4ac＝20．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解一元二次方程、新定义、矩形的性质、解直角三角形等，综合性强，难度适中．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑