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专题7 解三角形
类型一:正、余弦定理、面积公式的直接考查
例1在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC=，AD=4，AB=2BD，且△ADC的面积为4，则sin∠ABD=( )
B. C. D.
解：得AC=4，由此可得∠ADC=∠ACD=30°，∠ADB=150°，由∠BAD=30°-∠B，在△ABD中，由正弦定理得即有得，,即有sinB=，选A.
类型二：中线及角平分线的考查
点评：题目考查了面积公式和正弦定理、和差公式，其中和差公式的使用要注意联想到.
例2在△ABC中，点M、N分别在线段BC、BA上，且BM=CM，∠ACN=∠BCN，AB=，AM=,AC=2,
(1)求BM的长;
(2)求△BCN的面积.
解：(1)方法一：向量法
易知得即有得cos∠BAC=，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=25,故BC=5，故BM=；
方法二：两次余弦定理
在ABM和ACM中，设AMB=，则AMC=，，，由此可得BM=；
方法三：中线长公式
由中线长公式可知2(AM2+BM2)=AB2+AC2,得BC=5，故BM=
(2)由角平分线定理知BN：AN=CB：CA=2：5，，而由(1)中方法一可知sin∠BAC=,,故(此处△ABC的面积亦可由△ACM为直角三角形直接得到)
点评：题目的解答方法不唯一，需同学们对三角形相关的知识要非常全面、熟悉，例如角平分线定理、中线长公式，正余弦定理、面积公式，同时需要灵活变换，在不同题目中切换.
类型三：最值问题
例3△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知(b-c)sinB=bsin(A-C).
(1)求角A；
(2)若△ABC为锐角三角形，且△ABC的面积为S，求的取值范围.
解：(1)由正弦定理得(sinB-sinC)sinB=sinBsin(A-C)，sinB-sinC=sin(A-C)同时sinB=sin(A+C)得sinAcosC+cosAsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC,得cosA=,故A=
(2),同时由余弦定理得即有，于是，而，而得，故tanB，得，，故
点评：最值问题的处理方式一般会回到利用基本不等式或函数的值域的求解.
全真模拟
已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，其中a=4,b=3.
若点D为AB的中点且CD=2，求ACB的余弦值；
若ACB的角平分线与AB相交于点E，当cCE取得最大值时，求CE的长.
△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC
(1)求C；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=45°，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P
(1)求∠BAM的正弦值；
(2)求∠MPN的余弦值.
如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=3，且sin∠ADB=sinB
(1)求AB的长.
(2)若AD AC，BC=3BD，求△ABC的面积.
5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c设cos2A+sinAsinB=sin2B+sin2C
(1)求角C.
(2)若D为AB的中点，CD=，AB=，求△ABC的面积.
6.记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知sin2B-cosA=cos(A+2B)
(1)若A=，求C.
(2)若，求的最小值.
7.在△ABC的内角，A、B、C的对边分别为a,b,c，ABC的周长为
(1)求A.
(2)若b=4,c=2,M是AC的中点，点N满足，设AN交BM于点O，求cos∠MON的值.
8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c，且向量与向量共线，
求角B.
请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，并求AC边中线BD的长.
条件①：；条件②：；条件③：
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专题7 解三角形
类型一:正、余弦定理、面积公式的直接考查
例1在△ABC中，D为边BC上一点，∠DAC=，AD=4，AB=2BD，且△ADC的面积为4，则sin∠ABD=( )
B. C. D.
解：得AC=4，由此可得∠ADC=∠ACD=30°，∠ADB=150°，由∠BAD=30°-∠B，在△ABD中，由正弦定理得即有得，,即有sinB=，选A.
类型二：中线及角平分线
点评：题目考查了面积公式和正弦定理、和差公式，其中和差公式的使用要注意联想到.
例2在△ABC中，点M、N分别在线段BC、BA上，且BM=CM，∠ACN=∠BCN，AB=，AM=,AC=2,
(1)求BM的长;
(2)求△BCN的面积.
解：(1)方法一：向量法
易知得即有得cos∠BAC=，由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC=25,故BC=5，故BM=；
方法二：两次余弦定理
在ABM和ACM中，设AMB=，则AMC=，，，由此可得BM=；
方法三：中线长公式
由中线长公式可知2(AM2+BM2)=AB2+AC2,得BC=5，故BM=
(2)由角平分线定理知BN：AN=CB：CA=2：5，，而由(1)中方法一可知sin∠BAC=,,故(此处△ABC的面积亦可由△ACM为直角三角形直接得到)
点评：题目的解答方法不唯一，需同学们对三角形相关的知识要非常全面、熟悉，例如角平分线定理、中线长公式，正余弦定理、面积公式，同时需要灵活变换，在不同题目中切换.
类型三：最值问题
例3△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知(b-c)sinB=bsin(A-C).
(1)求角A；
(2)若△ABC为锐角三角形，且△ABC的面积为S，求的取值范围.
解：(1)由正弦定理得(sinB-sinC)sinB=sinBsin(A-C)，sinB-sinC=sin(A-C)同时sinB=sin(A+C)得sinAcosC+cosAsinC-sinC=sinAcosC-cosAsinC,得cosA=,故A=
(2),同时由余弦定理得即有，于是，而，而得，故tanB，得，，故
点评：最值问题的处理方式一般会回到利用基本不等式或函数的值域的求解.
全真模拟
已知△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a,b,c，其中a=4,b=3.
(1)若点D为AB的中点且CD=2，求∠ACB的余弦值；
(2)若∠ACB的角平分线与AB相交于点E，当cCE取得最大值时，求CE的长.
解：(1)如图，D为AB的中点知，即有，，得cos∠ACB=-
或由中线长公式得求解；(其它方法参照例1)
(2)设∠ACE=∠BCE=α，AB2=AC2+BC2+2AC·BCcos2α,得AB2=25-24cos2α而于是CE=，cCE=当且仅当cosα=时等号成立，CE=
△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知acosB+bcosA=2ccosC
(1)求C；
(2)若△ABC为锐角三角形，求的取值范围.
解：(1)由正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=2sinCcosC得sin(A+B)=2sinCcosC,sinC=2sinCcosC,cosC=,故C=
(2)，而得，故tanA，得
如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=6，∠BAC=45°，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P
(1)求∠BAM的正弦值；
(2)求∠MPN的余弦值.
解：(1)由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,得BC=2，cos∠ABC=
由此可得AM2=AB2+MB2-2AB·BMcos∠ABM,得AM=5，sin∠ABC=，由正弦定理得得sin∠BAM=
(2)在△AMC中，由余弦定理得，sin∠CAM=；在△ABN中，BN2=AB2+AN2-2AB·ANcos∠BAN得BN=，cos∠ANP=,sin∠ANP=,∠APB=∠CAM+∠ANP，cos∠APB=cos(∠CAM+∠ANP)=
如图，在△ABC中，D为边BC上一点，AD=3，且sin∠ADB=sinB
(1)求AB的长.
(2)若AD AC，BC=3BD，求△ABC的面积.
解：(1)由正弦定理得AB=3
(2)设BD=m，则CD=2m，由余弦定理得,得m=3，于是CD=6，∠B=30°，故S△ABC=
5.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a,b,c设cos2A+sinAsinB=sin2B+cos2C
(1)求角C.
(2)若D为AB的中点，CD=，AB=，求△ABC的面积.
解：(1)由已知得1-sin2A+sinAsinB=sin2B+1-sin2C得-sin2A+sinAsinB=sin2B-sin2C，-a2+ab=b2-c2,得cosC=,C=60°
(2)D为AB的中点，得即有得；同时即有由此得CA·CB=8，故S△ABC=
6.记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c，已知sin2B-cosA=cos(A+2B)
(1)若A=，求C.
(2)若，求的最小值.
解：(1)由已知得sin2B-cosA=cosAcos2B-sinAsin2B,A=得sin(2B-)=,得B=或，C=或
(2)sin2B-cosA=cosAcos2B-sinAsin2B得sin2B(1+sinA)=cosA(1+cos2B)得2sinBcosB(1+sinA)=2cos2BcosA得sinB=-cosC,得C=B+，故A=-2B于是当且仅当cos2B=时成立，最小值为
7.在△ABC的内角，A、B、C的对边分别为a,b,c，△ABC的周长为
(1)求A.
(2)若b=4,c=2,M是AC的中点，点N满足，设AN交BM于点O，求cos∠MON的值.
解：(1)由已知得a+b+c=,得sinC(c-b)=(a+b)(sinA-sinB),得b2+c2-a2=bc，故cosA=故A=
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcosA得BC=2，得∠ABC=90°，BN=,cos∠ANB=,而∠MON=90°，故cos∠MON=0
8.在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a,b,c，且向量与向量共线，
(1)求角B.
(2)请从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，并求AC边中线BD的长.
条件①：；条件②：；条件③：
解：(1)由向量共线得得得cosB=,故B=30°
(2)选①由正弦定理知得sinA=,A=60°或120°(故不可选)
选②S=得ac=3，而a2+c2-2accosB=3，a2+c2=12,a=3，c=或a=,c=3,(故不可选)
选③，此时b=c=,A=120°,由余弦定理得BD=
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