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人教版七年级下册数学单元测试卷
第九章 不等式与不等式组
（本试卷3个大题，25个小题。满分150分，考试时间120分钟。）
姓名 班级 学号 成绩
一、选择题（本题共12个小题，每小题3分，共36分；A、B、C、D四个选项中，只有一项符合题意。）
1．不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
2．如右图，数轴上表示的不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．空集
3．下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
4．不等式组的解集是（　 　）
A．﹣1＜x≤3 B．1≤x＜3 C．﹣1≤x＜3 D．1＜x≤3
5．若，则下列式子错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．若不等式组 有解，则a的取值范围是（ ）
A．a＞﹣1 B．a≥﹣1 C．a＜1 D．a≤1
7．关于的不等式，则的解集在数轴上可表示为（　 　）
A． B．
C． D．
8．若不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
9．某种导火线的燃烧速度是0.81厘米／秒，爆破员跑开的速度是5米／秒，为在点火后使爆破员跑到150米以外的安全地区，导火线的长至少为( )
A．22厘米 B．23厘米 C．24厘米 D．25厘米
10．不等式x+1≤﹣2的解集在数轴上表示如下，正确的是（　 　）
A． B．
C． D．
11．某批服装每件进价为200元，标价为300元，现商店准备将这批服装降价处理，按标价打折出售，使得每件衣服的利润不低于，根据题意可列出来的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
12．某校学生会组织七年级和八年级共60名同学参加环保活动，七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶．为了保证所收集的塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少名八年级学生参加活动？设需要x名八年级学生参加活动，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本题共4个小题，每小题4分，共16分。）
13．不等式组的解集是 ．
14．若不等式组有3个整数解，则a的取值范围为 ．
15．已知a，b，c为三个非负实数，且满足，若，则W的最大值为 ．
16．某商家花费855元购进某种水果90千克，销售中有5%的水果损耗，为确保不亏本，售价至少应定为 元/千克．
三、解答题（9个小题，共98分。）
17．（10分）解下列不等式(组)：
(1) (2).
18．（8分）解不等式组，把解集在数轴上表示出来．
19．（10分）已知关于x的不等式组：．
(1)若，求这个不等式组的解集．
(2)若这个不等式组的整数解有2个，求a的取值范围．
20．（10分）已知，若，则称x为a，b的偏小值；若，则称x为a，b的偏大值．
(1)已知x为和3的偏小值，且x为整数，求x的值；
(2)若m为整数，且在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，请直接写出所有符合条件的m的值．
21．（12分）（1）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
（2）已知关于的方程组的解满足，求的最大奇数值．
22．（12分）已知关于x，y的方程组，满足为负数．
(1)求出x，y的值（用含的代数式表示）；
(2)求出的取值范围；
(3)当为何正整数时，求的最大值？
23．（12分）某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
(1)求毛笔和宣纸的单价；
(2)计划用不多于360元的资金购买毛笔、宣纸的数量共计200件，则学校最多可以购买多少支毛笔？
24．（12分）如果一元一次方程的根是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．
(1)在方程：①；②；③中，不等式组的关联方程是______．（填序号）
(2)若不等式组的某个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是______．（写出一个即可）
(3)若方程，都是关于x的不等式组的关联方程，求m的取值范围．
25．（12分）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“友好方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“友好方程”．
(1)在方程①；②；③中，关于的不等式组的“友好方程”是__________；（填序号）
(2)若关于的方程是不等式组的“友好方程”求k的取值范围；
(3)若关于的方程是关于的不等式组的“友好方程”，且此时不等式组恰好有个整数解，试求的取值范围．
试卷第1页，共3页
七年级下册 数学单元测试卷 第 1 页，共 3 页
参考答案：
1．C
【分析】此题考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质求解即可．解题的关键是熟悉不等式的基本性质．
【详解】解： ，
，
．
故选：C．
2．C
【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：由图可以看出，两个解集公共部分为，
不等式的解集为．
故选：C．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式租的解集在数轴上的表示是解题的关键．不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（ ， 向右画； ， 向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．
3．B
【分析】根据不等式的性质分析判断即可．
【详解】解：A、若，当时，则，不正确，故该选项不符合题意；
B、若，则，正确，故该选项符合题意；
C、若，当时，则，不正确，故该选项不符合题意；
D、若，当时，则，不正确，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．也考查了等式的性质．
4．C
【详解】分析：分别求出每一个不等式的解集，然后再确定不等式组的解集即可.
详解：解不等式，得：x＜3，
解不等式2（x+2）+1≥3，得：x≥﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1≤x＜3，
故选C．
点睛：本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
5．C
【分析】根据不等式的性质，逐个进行判断即可．
【详解】解：A、∵，∴，故A正确，不符合题意；
B、∵，∴，∴，故B正确，不符合题意；
C、当时，，，故C错误，符合题意；
D、∵，∴，故D正确，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．
6．A
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找并结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解：解不等式x﹣a＜0，得：x＜a，
解不等式1﹣2x＜2﹣x，得：x＞﹣1，
∵不等式组有解，
∴﹣1＜x＜a，
∴a＞﹣1，
故选A．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
7．A
【分析】根据一元一次不等式的解法以及用数轴表示不等式的解集即可得到答案．
【详解】解：不等式，解得：，
在数轴上表示不等式解集为：
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法以及用数轴表示不等式的解集，熟练掌握一元一次不等式的解法以及用数轴表示不等式的解集是解决问题的关键．
8．A
【分析】由不等式组无解，可得在范围外，即时可以满足题意.
【详解】解：利用一元一次不等式解集口诀，当时，不等式组无解，
可得时可以满足题意.
故选A
【点睛】本题考查了一元一次不等式解集逆向求解不等式中的字母的值，容易忽略时也可以满足题意.
9．D
【分析】设导火线的长为xcm，根据题意可得跑开时间要小于或等于爆炸的时间，由此列出不等式，解不等式即可求解．
【详解】设导火线的长为xcm，
由题意得：
解得x≥24.3cm，
∴导火线的长至少为25厘米.
故选D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，根据题意列出不等式是解决问题的关键．
10．D
【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．
【详解】解：移项得，，
在数轴上表示为：
．
故选D．
【点睛】本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．
11．B
【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用．
设售价可以按标价打x折，根据“每件衣服的利润不低于”即可列出不等式．
【详解】按标价打折出售，根据题意，得
．
故选：B．
12．A
【分析】设至少需要x个八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为（60﹣x）个，由收集塑料瓶总数不少于1000个建立不等式求出其解即可．
【详解】设八年级有x名学生参加活动，则七年级参加活动的人数为（60﹣x），
根据题意，得：15（60﹣x）+20x≥1000，
故选：A．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，由收集塑料瓶总数不少于1000个建立不等式是解决本题关键．
13．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式组，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
14．3≤a＜4
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．
【详解】解：由x﹣2＜5得：x＜7，
∴不等式组的解集为：a＜x＜7，
∵只有3个整数解，
∴整数解为：4，5，6，
∴3≤a＜4，
故答案为3≤a＜4．
【点睛】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确解出不等式组的解集，确定a的范围，是解答本题的关键．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
15．130
【分析】将方程组两个方程相加，得到3a+5c＝130﹣4b，整体替换可得W＝130﹣2b，再由b的取值范围即可求解．
【详解】解： ，
①+②，得3a+4b+5c＝130，
可得出a＝10﹣，c＝20﹣，
∵a，b，c为三个非负实数，
∴a＝10﹣≥0，c＝20﹣≥0，
∴0≤b≤20，
∴W＝3a+2b+5c＝2b+130﹣4b＝130﹣2b，
∴当b＝0时，W＝130﹣2b的最大值为130，
故答案为：130．
【点睛】本题考查三元一次方程组，通过解方程组得到W与b的关系是解题的关键．
16．10
【分析】设商家把售价应该定为每千克x元，因为销售中有5%的水果正常损耗，故每千克水果损耗后的价格为x（1-5%），根据题意列出不等式即可．
【详解】设商家把售价应该定为每千克x元，
根据题意得：90x（1-5%）≥，
解得，x≥10，
故为避免亏本，商家把售价应该至少定为每千克10元．
故答案为10．
【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意，根据“去掉损耗后的售价≥进价”列出不等式即可求解．
17．(1)x<-1；(2)x≤-3.
【分析】（1）由移项，合并，系数化为1，即可得到答案；
（2）先分别求出每个不等式的解集，然后取解集的公共部分，即可得到不等式组的解集.
【详解】解：（1），
∴，
∴，
∴；
（2），
解不等式①，得：；
解不等式②，得：；
∴不等式组的解集为：.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解题的关键是掌握解一元一次不等式的步骤.
18．，见解析
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．熟练掌握解一元一次不等式组，在数轴上表示解集是解题的关键．
先分别求两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，然后在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
由，
解得，，
由，
解得，，
∴不等式组的解集为；
解集在数轴上表示如下；
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了解不等式组以及不等式组的整数解的问题，
（1）分别解出每个不等式的解集，再取它们的公共部分解集，即可作答．
（2）结合不等式组的整数解有2个，即这两个整数解应是，0，再列式，解出即可．
【详解】（1）解：∵
解不等式①，得；
解不等式②，得．
当时，不等式组的解集是．
（2）解：该不等式组的整数解有2个，
这两个整数解应是，0，
，
∴
解得
的取值范围是．
20．(1)0
(2)，，1，2
【分析】题目主要考查新定义的不等式的计算，理解新定义是解题关键．
（1）根据题意得出，然后求解即可；
（2）分两种情况：当时，当时，根据题意列出不等式，结合题意求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：，
解得：，
∴；
（2）当时，根据题意得：，
当时，即，不成立；
∴，即，
∵在和m的所有偏大值x中，仅存在一个整数，
∴，
∵m为整数，
∴或，
∴或；
当时，根据题意得：，
当时，即，不成立；
∴，即，
当时，，不成立；
当时，，此时，成立；
当时，，此时，成立；
当时，，不成立；
综上可得：或2或或．
21．（1），在数轴上表示见解析；（2）的最大奇数值为1
【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组；
（1）先求出每一个不等式的解集，然后确定其公共部分，最后在数轴上表示即可；
（2）先求出二元一次方程组的解集，代入，求解即可．
【详解】（1）
由①得：
由②得：
所以不等式组的解集为：
在数轴上表示解集如下所示：
（2）解方程组得：
∵方程组的解满足，
∴，解得：
∴的最大奇数值为1
22．(1)
(2)
(3)时，最大值为1
【分析】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式．熟练掌握加减消元法解二元一次方程组，解一元一次不等式是解题的关键．
（1）利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）由题意得，，计算求解即可；
（3）由题意得，，由，可知当时，有最大值，然后计算求解即可．
【详解】（1）解：，
得，，
将代入②得，，
解得，，
∴；
（2）解：∵为负数，
∴，
解得，，
∴的取值范围为；
（3）解：由题意知，，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为1．
23．(1)毛笔单价为6元，宣纸单价为元
(2)学校最多可以购买50支毛笔
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程组和不等式解答．
（1）设毛笔单价为x元，宣纸单价为y元，根据“购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元”列出方程组求解即可；
（2）设购买毛笔a支，则够买宣纸张，根据“计划用不多于360元的资金购买毛笔、宣纸”列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：设毛笔单价为x元，宣纸单价为y元，
，
解得：，
答：毛笔单价为6元，宣纸单价为元．
（2）解：设购买毛笔a支，则够买宣纸张，
，
解得：，
答∶学校最多可以购买50支毛笔．
24．(1)③
(2)（答案不唯一）
(3)
【分析】（1）先求出一元一次方程的解和一元一次不等式组的解集，得出答案即可；
（2）先求出不等式组的解集，再求出不等式的整数解，即可求得“关联方程”；
（3）先求出不等式组的解集和一元一次方程的解，再得出关于的不等式组，求出不等式组的解集即可．
本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式组，能理解不等式组的关联方程的含义是解此题的关键．
【详解】（1）解：解方程①得；
解方程②得；
解方程③得，
解不等式组得：，
所以③是不等式组的关联方程，
故答案为：③；
（2）解：解不等式组得：，
不等式组的整数解是1、2，
不等式组的某个关联方程的根是整数，
不等式组的一个“关联方程”为；
故答案为：；
（3）解：解方程得：，
解方程得：，
不等式组的解集为，
方程，都是关于的不等式组的关联方程，
，
解得：，
即的取值范围是．
25．(1)；
(2)k的取值范围：；
(3)的取值范围是：．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，熟练掌握解不等式组是关键．
（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出最后根据“友好方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为根据“友好方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可．
【详解】（1）解：
解得：；
解得：
解得：，
解不等式，得：
解不等式，得：，
的解集为：
在范围内，
∴不等式组 的“友好方程”是；
故答案为：．
（2）解：解不等式，得：
解不等式，得：
的解集为：
关于的方程的解为：
∵关于的方程是不等式组的“友好方程”，
在范围内，
解得：．
（3）解：解不等式，得：
解不等式 ，得：
的解集为：
∵此时不等式组有个整数解，
解得：
关于的方程 的解为：
∵关于的方程是不等式组 的“友好方程”，
在范围内，
解得：
综上所述，的取值范围是：．
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