资源简介

2024年中考数学热点探究十三 格点图中的作图与计算问题
一、作图题
1．（2023九上·兰溪月考） 如图在的网格中，的顶点都在格点上.仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图.（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中，画出的重心G；
（2）在图2中，画线段，点E在上，使得；
（3）图3中，在内寻找一格点N，使∠ANB=2∠C。并标注点N的位置。
2．（2024九下·荆州月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
（1）在图①中画出一个，使，D为格点（点D不在点C处）：
（2）在图②中的边BC上找一点E，连接AE，使；
（3）在图③中的边BC上找一点F，使点F到AB和AC所在直线的距离相等．
3．（2024九下·龙湾开学考）如图，在由边长为1的小正方形构成的6×8的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段AC上找一点D，使得.
（2）如图2，画出△ABC的角平分线BE．
4．（2024·靖宇模拟）如图①，图②，图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，找一个格点C，使AC＝BC．
（2）在图②中，以AB为直角边画等腰直角三角形ABD（画出一个即可）．
（3）在图③中，画锐角三角形ABE，使∠AEB＝45°（画出一个即可）．
5．（2024九下·朝阳月考）如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A、B、C在同一个圆上，只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）图①中，先画出圆心O，然后在上画点D，使．
（2）图②中，在弧BC上画点E，连接AE，使AE平分∠CAB．
6．（2024九下·武汉开学考）如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
（1）如图1，判断圆心O　 　（填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点O；
（2）在图1中画出⊙O的切线CG（G为格点）；
（3）在图2中画出的中点E；
7．（2023九上·江北期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中，画出的中线.
（2）在图2中，标出圆心，并画出的角平分线.
（3）在图3中，画出的边上的高线.
8．（2023九上·永修月考）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作的角平分线；
（2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．
9．（2023九上·舟山期中）如图在的网格中，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中，画出的重心G；
（2）在图2中，画线段，点E在上，使得；
（3）图3中，在内寻找一格点N，使，并标注点N的位置．
10．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，在6×6方格纸中，已知格点P和格点线段AC，请按要求画出以AC为对角线的格点四边形（顶点均在格点上），且点P在四边形内部（不包括边界上）．
（1）在图1中画出一个 ABCD；
（2）在图2中画出一个四边形AECF，使得点P落在四边形某一边的中垂线上，且四边形中有且仅有两个内角为直角．
11．（2023九上·吉林月考）图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1.线段AB、BC 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，使所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等.
（1）在图①中画一个四边形ABCD，∠ABC+∠DAB=180°；
（2）在图②中画一个四边形ABCE，使∠ABC=∠AEC；
（3）在图③中画一个四边形ABCF，使∠ABC+∠AFC=180°.
12．（2022九上·安徽开学考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）．
⑴以点为位似中心，在网格中画出，使与的位似比为；
⑵将向右平移7格，再向下平移2格，得到，画出；
⑶借助网格，在上选一点，使得平分的面积（保留确定关键点的画法），画出线段．
13．（2022九上·宜秀开学考）如图所示，在平面直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（-4，1），C（2，0）．
⑴作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标 ▲ ．
⑵在（1）的条件下，若点P在x轴上，当B1P＋PA的值最小时，画出点P的位置，并直接写出B1P＋PA的最小值．
⑶在x轴上是否存在一点M，使△MAC是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
14．（2023·金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格.在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数.阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法（如图） 结论
①在上取点，使. ， 点表示.
②以为圆心，8为半径作弧，与交于点 ， 点表示.
③分别以，为圆心，大于长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连结EF与BC相交于点. …
④以为圆心，的长为半径作弧，与射线交于点，连结交于点. …
（1）分别求点表示的度数.
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点，使该点表示（保留作图痕迹，不写作法）.
15．（2023·武汉模拟）如图是由边长为的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示．画图结果用实线表示，完成下列问题：
⑴ ▲ ；
⑶将边绕点顺时针旋转得到线段则 ▲ ；
⑶画出的外接圆的圆心；
⑷在上确定一点，使．
16．（2023·武汉模拟）如图是由小正方形组成的12×11网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点A，B，C的圆交于点F，点G在DE上，其中D，G是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图，画图过程用虚线表示．
⑴在AD的下方画出正方形ADMN；
⑵画出圆心O；
⑶画出的中点P；
⑷画出线段AE绕点A逆时针旋转90°后的对应线段AQ．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如图所示，中线和重心点G即为所作；
（2）解：如图所示，即为所作；
（3）解：如图，点O即为所作，
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）找到三角形两条边AB和BC边上的中点，连接中点与对应顶点，其交点即为重心；
（2）两个三角形同高，根据三角形面积公式，可得面积之比等于底边AE：EB；取格点M、N，交AB与点E，连接EC即可；
（3）作线段AB的垂直平分线m，作线段AC的垂直平分线n，直线m、n交于点O，即为所求.
2．【答案】（1）解：△ABD就是所求的三角形；
（2）解：如图，点E就是所求的点；
（3）解：如图，点F就是所求的点；
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据“同底等高面积相等”画出图形即可；
（2）通过构造全等三角形进行作图即可；
（3）利用勾股定理构造等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质作图即可．
3．【答案】（1）解：如图，点D就是所求的点，
（2）解：如图，BE就是所求的△ABC的角平分线，
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义即可得出结论.
4．【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）利用网格的特点，找出线段AB垂直平分线上的格点即可；
（2）根据网格的特点，把AB绕着点A旋转90°即可；
（3）利用网格的特点，确定以∠AEB为一个内角构成等腰直角三角形即可．
5．【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先连接AB，再过点C作出线段AB的垂线交于点D即可；
（2）先作出圆心，再过圆心作出AC的平行线交圆于点E即可.
6．【答案】（1）是
（2）解：如图：
CG即为所求；
（3）解：如图：
由方格的特征，取BC的中点K，连接并延长OK交⊙O于E，
点E即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；切线的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（1）如图，
圆心O在弦AB、CD的垂直平分线上，
∴圆心O是在格点上，
故答案为：是.
【分析】（1）画出弦AB、CD的垂直平分线即可判断圆心是否在格点上；
（2）连接OC，取格点G，使CG⊥OC即可；
（3）由方格的特征，取BC的中点K，连接并延长OK交⊙O于E，取的中点.
7．【答案】（1）解：根据题意，，
∴的中点在的位置，如图所示，
∴即为所求的中线.
（2）解：根据题意，，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴的圆心在线段的中点上，如图所示，
∵点，分别是的中点，连接并延长，交于点，如图所示，
连接交于，
∵是的中位线，
∴，则，
∵是的圆周角，是的圆心角，所对弧相同，
∴，
∴，
∴是的角平分，即是的角平分线.
（3）解：由（2）可知是直角三角形，，，，
为的高，则点在斜边上，
∵，
∴，
在中，，
如图所示，过点作，连接交于，
∵，
∴，
∴为直角三角形，即，
∴如图所示，即为所求的边上的高线.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理的逆定理；圆周角定理；角平分线的判定；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的值，然后取其一半可得线段AB中点D的位置，再连接CD即可；
（2）根据勾股定理可得AB、AC、BC的值，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，则⊙P的圆心在线段AC的中点上，连接PD并延长，交⊙P于点M，连接CM交AB于点E，则PD为△ABC的中位线，PD∥BC，由平行线的性质可得∠DPA=∠BCA，由圆周角定理可得∠MCA=∠DPA，则∠MCA=∠BCA，推出CE为△ABC的角平分线；
（3）由（2）可知△ABC为直角三角形，根据等面积法可得BF的值，利用勾股定理求出AF，过点A作AN=AC=5，连接BN交AC于点F，则△ANF为直角三角形，BF即为△ABC的AC边上的高线.
8．【答案】（1）解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位，
∵线段和是矩形的两条对角线且交于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴平分，
∴射线即为所作；
（2）如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位，
∴，，
，，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，且，
∴直线即为所作．
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；勾股定理的应用；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连结AC，取AC的中点P，作射线BP即可；
（2）连接、、、 ，根据勾股定理可求出、、、的长并得出四边形是菱形，
在和中，从而得出 ，进而得出四边形是正方形， 所以，，且，所以直线即为所作 。
9．【答案】（1）解：如图所示，中线和重心点G即为所作；
（2）解：如图所示，即为所作；
（3）解：如图，点O即为所作，
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到DC的中点D，连接AD即可，再作AB边上的中线，两条中线的交点即为三角形的重心；
（2）取格点M，N，连接MN交AB于点E，连接CE即可；
（3）作线段AB和线段AC的垂直平分线，两直线交于N，则N为三角形的外心，根据圆周角定理即可求解.
10．【答案】（1）解：如图1： ABCD即为所求；
（2）解：如图2：四边形AECF即为所求．
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作图；
（2）根据线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作图。
11．【答案】（1）解：如图①，四边形ABCD即为所求；
（2）解：如图②，四边形ABCE即为所求；
（3）解：如图③，四边形ABCF即为所求。
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据网格线的特点，利用等腰直角三角形和全等三角形作图，即可满足∠ABC+∠DAB=180°；
（2）根据网格线的特点和垂直平分线的性质，及等腰三角形的性质作图，即可满足∠ABC=∠AEC；
（3）根据网格线特点，利用等腰直角三角形和全等三角形作图，即可满足∠ABC+∠AFC=180°。
12．【答案】解：⑴如图所示：即为所求；
⑵如图所示：即为所求；
⑶如图所示：线段即为所求
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】 ⑴ 位似比就是新图与原图的相似比； ⑵ 会进行平移作图； ⑶ 作AC的垂直平分线找到中点D，连接BD。
13．【答案】解：⑴如图，即为所求作的三角形，
；
⑵如图，连接 交轴于
则即为所求作的点，
⑶存在，
的坐标为：
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】 解：⑴如图，即为所求作的三角形，
；
⑵如图，连接 交轴于
则即为所求作的点，
⑶在轴上，且为等腰三角形，
而
当时，满足条件，
此时
当时，轴，
当在的垂直平分线上时，如图， 则
设 由勾股定理可得：
解得： 则
综上：的坐标为：
【分析】(1) 按照要求作图即可；
(2) 连接 交轴于 根据 确定P点；
(3)勾股定理求出，当时，求出点坐标，当时，求出，当在的垂直平分线上时，求出.
14．【答案】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
.
由作图可知，EF是OP2的中垂线，
.
点P3表示60°；
由作图可知，.
.
又，
.
点P4表示15°；
（2）解：方法不唯一，如图2，如作∠P3OP4的角平分线交BC于点P5，点P5即为所求作的点，理由如下：
由（1）可知∠P4OA=15°，∠P3OA=60°，
∴∠P3OP4=∠P3OA-∠P4OA=45°，
∵OP5平分∠P3OP4，
∴∠P5OP4=22.5°，
∴∠P5OA=∠P5OP4+∠P4OA=37.5°，
∴点P5表示37.5°.
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行得BC∥OA，由二直线平行，内错角相等得∠OP2C=∠P2OA=30°，由作图可知，EF是OP2的中垂线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得OP3=P3P2，由等边对等角得∠P3OP2=∠P3P2O=30°，然后根据角的和差可求出∠P3OA的度数，从而得出点P3所表示的度数；由等边对等角得∠P2OD=∠P2DO，由二直线平行，内错角相等得∠P2DO=∠DOA，从而推出∠P2OD=∠DOA，结合角的和差即可求出点P4所表示的度数；
（2）方法不唯一，如图2，如作∠P3OP4的角平分线交BC于点P5，点P5即为所求作的点，理由如下：由（1）可知∠P4OA=15°，∠P3OA=60°，进而根据角的和差及角平分线的定义可得∠P5OP4=22.5°，最后根据角的和差可得∠P5OA=37.5°，从而即可得出结论.
15．【答案】解：⑴
⑵135°
⑶如图，点即为所求作．
⑷如图，点即为所求作．
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）如图，
在Rt△ADC中，AD=1，CD=2，
∴.
故答案为：
（2）连接CI，取格点D，连接AD，BD，延长CA交格点与点J，连接DJ，
∵CN垂直平分AI，
∴AC=IC，
∴∠ACI=2∠FCA，
∴△ADB∽△CAI，
∴∠DAB=∠ACI=2∠FCA，
∵AB=AD，
∴AD是AB绕着点A顺时针旋转2∠FCA得到的，
∴△ADJ是等腰直角三角形，
∴∠DAJ=45°，
∴∠DAC=135°.
故答案为：135°
【分析】（1）在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义可求出tan∠FCA的度数.
（2）连接CI，取格点D，连接AD，BD，延长CA交格点与点J，连接DJ，利用线段垂直平分线的性质可证得AC=IC，利用等腰三角形的性质可证得∠ACI=2∠FCA，同时可得到△ADB∽△CAI，利用相似三角形的对应角相等可证得∠DAB=∠ACI=2∠FCA，因此可得到AD是AB绕着点A顺时针旋转2∠FCA得到的，可推出△ADJ是等腰直角三角形，可知∠DAJ=45°，即可求出∠DAC的度数.
（3）利用三角形的外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，据此可作出△ADC的外接圆的圆心O.
（4）取格点J，K，连接JK交格线于点D，连接DF交AD于点G，可确定出点G的位置.
16．【答案】解：所作正方形ADMN、圆心O、点P、线段AQ如图所示，
【知识点】正方形的性质；作图﹣旋转；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质进行作图；
（2）作AF、BC的垂直平分线，交点即为圆心O；
（3）令AF的垂直平分线与圆的交点为P，则点P即为所求；
（4）根据旋转的性质，找出点E到点A顺时针旋转90°的对应点Q的位置，然后连接AQ即可.
1 / 12024年中考数学热点探究十三 格点图中的作图与计算问题
一、作图题
1．（2023九上·兰溪月考） 如图在的网格中，的顶点都在格点上.仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图.（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中，画出的重心G；
（2）在图2中，画线段，点E在上，使得；
（3）图3中，在内寻找一格点N，使∠ANB=2∠C。并标注点N的位置。
【答案】（1）解：如图所示，中线和重心点G即为所作；
（2）解：如图所示，即为所作；
（3）解：如图，点O即为所作，
【知识点】相似三角形的判定与性质；三角形的重心及应用；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）找到三角形两条边AB和BC边上的中点，连接中点与对应顶点，其交点即为重心；
（2）两个三角形同高，根据三角形面积公式，可得面积之比等于底边AE：EB；取格点M、N，交AB与点E，连接EC即可；
（3）作线段AB的垂直平分线m，作线段AC的垂直平分线n，直线m、n交于点O，即为所求.
2．（2024九下·荆州月考）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．按要求完成下列画图．（要求：用无刻度直尺，保留必要的画图痕迹，不写画法）
（1）在图①中画出一个，使，D为格点（点D不在点C处）：
（2）在图②中的边BC上找一点E，连接AE，使；
（3）在图③中的边BC上找一点F，使点F到AB和AC所在直线的距离相等．
【答案】（1）解：△ABD就是所求的三角形；
（2）解：如图，点E就是所求的点；
（3）解：如图，点F就是所求的点；
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据“同底等高面积相等”画出图形即可；
（2）通过构造全等三角形进行作图即可；
（3）利用勾股定理构造等腰三角形，根据等腰三角形三线合一性质作图即可．
3．（2024九下·龙湾开学考）如图，在由边长为1的小正方形构成的6×8的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母．
（1）如图1，在线段AC上找一点D，使得.
（2）如图2，画出△ABC的角平分线BE．
【答案】（1）解：如图，点D就是所求的点，
（2）解：如图，BE就是所求的△ABC的角平分线，
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）利用数形结合的思想画出图形即可；
（2）根据等腰三角形的性质和角平分线的定义即可得出结论.
4．（2024·靖宇模拟）如图①，图②，图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B均在格点上．在图①，图②，图③中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，所画图形的顶点均在格点上．
（1）在图①中，找一个格点C，使AC＝BC．
（2）在图②中，以AB为直角边画等腰直角三角形ABD（画出一个即可）．
（3）在图③中，画锐角三角形ABE，使∠AEB＝45°（画出一个即可）．
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
【知识点】等腰直角三角形；线段垂直平分线的判定；尺规作图-作三角形
【解析】【分析】（1）利用网格的特点，找出线段AB垂直平分线上的格点即可；
（2）根据网格的特点，把AB绕着点A旋转90°即可；
（3）利用网格的特点，确定以∠AEB为一个内角构成等腰直角三角形即可．
5．（2024九下·朝阳月考）如图是由小正方形组成的6×7网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点．格点A、B、C在同一个圆上，只用无刻度直尺在分别在给定网格中按照下列要求作图，保留作图痕迹．
（1）图①中，先画出圆心O，然后在上画点D，使．
（2）图②中，在弧BC上画点E，连接AE，使AE平分∠CAB．
【答案】（1）解：如图：
（2）解：如图：
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）先连接AB，再过点C作出线段AB的垂线交于点D即可；
（2）先作出圆心，再过圆心作出AC的平行线交圆于点E即可.
6．（2024九下·武汉开学考）如图，是由边长为1的小正方形构成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点，⊙O经过A、B、C、D四个格点，仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图（画图过程中起辅助作用的用虚线表示，画图结果用实线表示，并用黑色水笔描黑）
（1）如图1，判断圆心O　 　（填“是”或“不是”）在格点上，并在图1中标出格点O；
（2）在图1中画出⊙O的切线CG（G为格点）；
（3）在图2中画出的中点E；
【答案】（1）是
（2）解：如图：
CG即为所求；
（3）解：如图：
由方格的特征，取BC的中点K，连接并延长OK交⊙O于E，
点E即为所求．
【知识点】线段垂直平分线的性质；垂径定理；切线的判定与性质；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【解答】解：（1）如图，
圆心O在弦AB、CD的垂直平分线上，
∴圆心O是在格点上，
故答案为：是.
【分析】（1）画出弦AB、CD的垂直平分线即可判断圆心是否在格点上；
（2）连接OC，取格点G，使CG⊥OC即可；
（3）由方格的特征，取BC的中点K，连接并延长OK交⊙O于E，取的中点.
7．（2023九上·江北期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，经过格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图.（保留作图痕迹）
（1）在图1中，画出的中线.
（2）在图2中，标出圆心，并画出的角平分线.
（3）在图3中，画出的边上的高线.
【答案】（1）解：根据题意，，
∴的中点在的位置，如图所示，
∴即为所求的中线.
（2）解：根据题意，，，，
∴，
∴是直角三角形，
∴的圆心在线段的中点上，如图所示，
∵点，分别是的中点，连接并延长，交于点，如图所示，
连接交于，
∵是的中位线，
∴，则，
∵是的圆周角，是的圆心角，所对弧相同，
∴，
∴，
∴是的角平分，即是的角平分线.
（3）解：由（2）可知是直角三角形，，，，
为的高，则点在斜边上，
∵，
∴，
在中，，
如图所示，过点作，连接交于，
∵，
∴，
∴为直角三角形，即，
∴如图所示，即为所求的边上的高线.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理的逆定理；圆周角定理；角平分线的判定；尺规作图-垂线
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AB的值，然后取其一半可得线段AB中点D的位置，再连接CD即可；
（2）根据勾股定理可得AB、AC、BC的值，由勾股定理逆定理知△ABC为直角三角形，则⊙P的圆心在线段AC的中点上，连接PD并延长，交⊙P于点M，连接CM交AB于点E，则PD为△ABC的中位线，PD∥BC，由平行线的性质可得∠DPA=∠BCA，由圆周角定理可得∠MCA=∠DPA，则∠MCA=∠BCA，推出CE为△ABC的角平分线；
（3）由（2）可知△ABC为直角三角形，根据等面积法可得BF的值，利用勾股定理求出AF，过点A作AN=AC=5，连接BN交AC于点F，则△ANF为直角三角形，BF即为△ABC的AC边上的高线.
8．（2023九上·永修月考）如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．
（1）在图1中作的角平分线；
（2）在图2中过点作一条直线，使点，到直线的距离相等．
【答案】（1）解：如图1，连接、，与交于点，设小正方形的边长为1个单位，
∵线段和是矩形的两条对角线且交于点，
∴，
又∵，，
∴，
∴平分，
∴射线即为所作；
（2）如图2，连接、、、，直线经过点和点，设小正方形的边长为1个单位，
∴，，
，，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，，，
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，，且，
∴直线即为所作．
【知识点】全等三角形的应用；角平分线的性质；勾股定理的应用；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）连结AC，取AC的中点P，作射线BP即可；
（2）连接、、、 ，根据勾股定理可求出、、、的长并得出四边形是菱形，
在和中，从而得出 ，进而得出四边形是正方形， 所以，，且，所以直线即为所作 。
9．（2023九上·舟山期中）如图在的网格中，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）
（1）在图1中，画出的重心G；
（2）在图2中，画线段，点E在上，使得；
（3）图3中，在内寻找一格点N，使，并标注点N的位置．
【答案】（1）解：如图所示，中线和重心点G即为所作；
（2）解：如图所示，即为所作；
（3）解：如图，点O即为所作，
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；三角形的重心及应用
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质得到DC的中点D，连接AD即可，再作AB边上的中线，两条中线的交点即为三角形的重心；
（2）取格点M，N，连接MN交AB于点E，连接CE即可；
（3）作线段AB和线段AC的垂直平分线，两直线交于N，则N为三角形的外心，根据圆周角定理即可求解.
10．（2023九上·前郭尔罗斯期中）如图，在6×6方格纸中，已知格点P和格点线段AC，请按要求画出以AC为对角线的格点四边形（顶点均在格点上），且点P在四边形内部（不包括边界上）．
（1）在图1中画出一个 ABCD；
（2）在图2中画出一个四边形AECF，使得点P落在四边形某一边的中垂线上，且四边形中有且仅有两个内角为直角．
【答案】（1）解：如图1： ABCD即为所求；
（2）解：如图2：四边形AECF即为所求．
【知识点】平行四边形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，作图；
（2）根据线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，作图。
11．（2023九上·吉林月考）图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1.线段AB、BC 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求作图，使所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等.
（1）在图①中画一个四边形ABCD，∠ABC+∠DAB=180°；
（2）在图②中画一个四边形ABCE，使∠ABC=∠AEC；
（3）在图③中画一个四边形ABCF，使∠ABC+∠AFC=180°.
【答案】（1）解：如图①，四边形ABCD即为所求；
（2）解：如图②，四边形ABCE即为所求；
（3）解：如图③，四边形ABCF即为所求。
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据网格线的特点，利用等腰直角三角形和全等三角形作图，即可满足∠ABC+∠DAB=180°；
（2）根据网格线的特点和垂直平分线的性质，及等腰三角形的性质作图，即可满足∠ABC=∠AEC；
（3）根据网格线特点，利用等腰直角三角形和全等三角形作图，即可满足∠ABC+∠AFC=180°。
12．（2022九上·安徽开学考）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点（顶点是网格线的交点）．
⑴以点为位似中心，在网格中画出，使与的位似比为；
⑵将向右平移7格，再向下平移2格，得到，画出；
⑶借助网格，在上选一点，使得平分的面积（保留确定关键点的画法），画出线段．
【答案】解：⑴如图所示：即为所求；
⑵如图所示：即为所求；
⑶如图所示：线段即为所求
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】 ⑴ 位似比就是新图与原图的相似比； ⑵ 会进行平移作图； ⑶ 作AC的垂直平分线找到中点D，连接BD。
13．（2022九上·宜秀开学考）如图所示，在平面直角坐标系中△ABC三个顶点坐标分别为A（0，4），B（-4，1），C（2，0）．
⑴作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并直接写出点B1的坐标 ▲ ．
⑵在（1）的条件下，若点P在x轴上，当B1P＋PA的值最小时，画出点P的位置，并直接写出B1P＋PA的最小值．
⑶在x轴上是否存在一点M，使△MAC是等腰三角形，若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：⑴如图，即为所求作的三角形，
；
⑵如图，连接 交轴于
则即为所求作的点，
⑶存在，
的坐标为：
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】 解：⑴如图，即为所求作的三角形，
；
⑵如图，连接 交轴于
则即为所求作的点，
⑶在轴上，且为等腰三角形，
而
当时，满足条件，
此时
当时，轴，
当在的垂直平分线上时，如图， 则
设 由勾股定理可得：
解得： 则
综上：的坐标为：
【分析】(1) 按照要求作图即可；
(2) 连接 交轴于 根据 确定P点；
(3)勾股定理求出，当时，求出点坐标，当时，求出，当在的垂直平分线上时，求出.
14．（2023·金华）如图，为制作角度尺，将长为10，宽为4的矩形OABC分割成4×10的小正方形网格.在该矩形边上取点P，来表示∠POA的度数.阅读以下作图过程，并回答下列问题：
作法（如图） 结论
①在上取点，使. ， 点表示.
②以为圆心，8为半径作弧，与交于点 ， 点表示.
③分别以，为圆心，大于长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，连结EF与BC相交于点. …
④以为圆心，的长为半径作弧，与射线交于点，连结交于点. …
（1）分别求点表示的度数.
（2）用直尺和圆规在该矩形的边上作点，使该点表示（保留作图痕迹，不写作法）.
【答案】（1）解：∵四边形OABC是矩形，
.
由作图可知，EF是OP2的中垂线，
.
点P3表示60°；
由作图可知，.
.
又，
.
点P4表示15°；
（2）解：方法不唯一，如图2，如作∠P3OP4的角平分线交BC于点P5，点P5即为所求作的点，理由如下：
由（1）可知∠P4OA=15°，∠P3OA=60°，
∴∠P3OP4=∠P3OA-∠P4OA=45°，
∵OP5平分∠P3OP4，
∴∠P5OP4=22.5°，
∴∠P5OA=∠P5OP4+∠P4OA=37.5°，
∴点P5表示37.5°.
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）由矩形的对边平行得BC∥OA，由二直线平行，内错角相等得∠OP2C=∠P2OA=30°，由作图可知，EF是OP2的中垂线，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得OP3=P3P2，由等边对等角得∠P3OP2=∠P3P2O=30°，然后根据角的和差可求出∠P3OA的度数，从而得出点P3所表示的度数；由等边对等角得∠P2OD=∠P2DO，由二直线平行，内错角相等得∠P2DO=∠DOA，从而推出∠P2OD=∠DOA，结合角的和差即可求出点P4所表示的度数；
（2）方法不唯一，如图2，如作∠P3OP4的角平分线交BC于点P5，点P5即为所求作的点，理由如下：由（1）可知∠P4OA=15°，∠P3OA=60°，进而根据角的和差及角平分线的定义可得∠P5OP4=22.5°，最后根据角的和差可得∠P5OA=37.5°，从而即可得出结论.
15．（2023·武汉模拟）如图是由边长为的小正方形构成的网格．每个小正方形的顶点叫做格点．的顶点在格点上，仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图．画图过程用虚线表示．画图结果用实线表示，完成下列问题：
⑴ ▲ ；
⑶将边绕点顺时针旋转得到线段则 ▲ ；
⑶画出的外接圆的圆心；
⑷在上确定一点，使．
【答案】解：⑴
⑵135°
⑶如图，点即为所求作．
⑷如图，点即为所求作．
【知识点】三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；旋转的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：（1）如图，
在Rt△ADC中，AD=1，CD=2，
∴.
故答案为：
（2）连接CI，取格点D，连接AD，BD，延长CA交格点与点J，连接DJ，
∵CN垂直平分AI，
∴AC=IC，
∴∠ACI=2∠FCA，
∴△ADB∽△CAI，
∴∠DAB=∠ACI=2∠FCA，
∵AB=AD，
∴AD是AB绕着点A顺时针旋转2∠FCA得到的，
∴△ADJ是等腰直角三角形，
∴∠DAJ=45°，
∴∠DAC=135°.
故答案为：135°
【分析】（1）在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义可求出tan∠FCA的度数.
（2）连接CI，取格点D，连接AD，BD，延长CA交格点与点J，连接DJ，利用线段垂直平分线的性质可证得AC=IC，利用等腰三角形的性质可证得∠ACI=2∠FCA，同时可得到△ADB∽△CAI，利用相似三角形的对应角相等可证得∠DAB=∠ACI=2∠FCA，因此可得到AD是AB绕着点A顺时针旋转2∠FCA得到的，可推出△ADJ是等腰直角三角形，可知∠DAJ=45°，即可求出∠DAC的度数.
（3）利用三角形的外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，据此可作出△ADC的外接圆的圆心O.
（4）取格点J，K，连接JK交格线于点D，连接DF交AD于点G，可确定出点G的位置.
16．（2023·武汉模拟）如图是由小正方形组成的12×11网格，每个小正方形的顶点叫作格点，过格点A，B，C的圆交于点F，点G在DE上，其中D，G是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求完成画图，画图过程用虚线表示．
⑴在AD的下方画出正方形ADMN；
⑵画出圆心O；
⑶画出的中点P；
⑷画出线段AE绕点A逆时针旋转90°后的对应线段AQ．
【答案】解：所作正方形ADMN、圆心O、点P、线段AQ如图所示，
【知识点】正方形的性质；作图﹣旋转；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质进行作图；
（2）作AF、BC的垂直平分线，交点即为圆心O；
（3）令AF的垂直平分线与圆的交点为P，则点P即为所求；
（4）根据旋转的性质，找出点E到点A顺时针旋转90°的对应点Q的位置，然后连接AQ即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑