资源简介

湖北省2024届高三下学期高中毕业生四月模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三下·湖北模拟）设，，，则（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，先求出的坐标，再根据向量数量积坐标运算公式求解即可.
2．（2024高三下·湖北模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，当且仅当，即时等号成立，即集合；
由，解得，即集合，所以.
故答案为：B.
【分析】由绝对值三角不等式求得集合，再求定义域求得集合，最后根据集合的交集运算求解即可.
3．（2024高三下·湖北模拟）下面四个数中，最大的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，即，所以，；
又因为，所以，故四个数中，最大的是.
故答案为：D.
【分析】先根据对数函数的单调性求得，即可判断四数中的最大数.
4．（2024高三下·湖北模拟）数列的首项为1，前n项和为，若，（m，）则（　　）
A．9 B．1 C．8 D．45
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：数列的首项为1， 前n项和为， 且满足，
令，可得，即，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，则.
故答案为：B.
【分析】根据题意，令，得，得数列是等差数列，求得，再结合求解即可.
5．（2017高二下·西安期末）复数z= （m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由已知z= = [（m﹣4）﹣2（m+1）i]
在复平面对应点如果在第一象限，则
而此不等式组无解．
即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
故选A
【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z；令复数的实部、虚部大于0，得到不等式无解，即对应的点不在第一象限．
6．（2024高三下·湖北模拟）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数，
当时，均单调递增，故在区间上单调递增，排除BC；
因为，所以函数不是奇函数，即图象不关于原点对称，排除D.
故答案为：A.
【分析】根据时的单调性即可排除BC；再由函数的奇偶性排除D.
7．（2024高三下·湖北模拟）能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（　　）
A．228 B．210 C．240 D．238
【答案】A
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，将0~9的10个数字分成三组：
被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，
若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：
三个数字均取第一组、或均取第二组有个；
三个数字均取第三组，取出的数字无0，有；
三组各取一个数字，第三组不取0，有个；
三组各取一个数字，第三组取0，有个；
所以3的倍数的三位数有：228个.
故答案为：A.
【分析】根据题意将0~9的10个数字分成三组：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，若要求所得的三位数被3整除，再分类讨论求出3的倍数的三位数的个数即可.
8．（2024高三下·湖北模拟）抛物线上有四点A，B，C，D，直线，交于点P，且，.过A，B分别作的切线交于点Q，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知如图所示：
因为，，所以∥，
设分别为弦，的中点，直线的方程为：，
联立，消元整理可得，由韦达定理可得：， ，
所以，，
同理可得：，
由抛物线的几何意义可知：点在直线上，所以，
因为，所以，，
所以抛物线在处的切线为，即，，即
同理可得抛物线在处的切线为，即，
由，解得，
综上，，，
所以四点共线，且所在直线平行于轴，
由，得，则，，
又，所以，
又，化简可得：，
同理可得：，
由两式知直线的方程为：，
因为，所以，
又直线过点，代入得，
，
整理得，即，
因为，，所以， 解得.
故答案为：D.
【分析】由题意可得∥，设分别为弦，的中点，直线的方程为：，联立直线和抛物线方程，消元整理由韦达定理可得，，，从而得在直线上，根据切线方程可得，作出图象，可得，，再根据求解即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（2024高三下·湖北模拟）平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（　　）
A．0 B．4 C．8 D．16
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：因为平行六面体的各个面都是平行四边形，且相对的平行四边形全等，
所以六个平行四边形中的矩形个数可能为，所以各个表面的直角个数之和可能为.
故答案为：ACD.
【分析】根据平行六面体的性质判断即可.
10．（2024高三下·湖北模拟）已知函数有最小正零点，，若在上单调，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，，所以，又因为，
所以，故，，故或，
当时，，，故，，，有最小正零点，
，，，
故，，故，，
当，，函数不单调，故A错误；
当时，，，故，
，或，
或，，故，，故，故B正确；
，，故C正确，D错误.
故答案为：BC．
【分析】根据已知条件，确定，，故或，当时，不满足单调性，排除；当时，计算，，代入计算即可得结果．
11．（2024高三下·湖北模拟）如图，三棱台的底面为锐角三角形，点D，H，E分别为棱，，的中点，且，；侧面为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为，则下列说法可能但不一定正确的是（　　）
A．该三棱台的体积最小值为 B．
C． D．
【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质；棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：因为，，所以点的轨迹为椭圆，如图所示：
则椭圆方程为，由于，则，
又因为为锐角三角形，所以且，所以，，
所以，由于，所以，
设，三棱台的高为，则，，
因为该三棱台的体积最大值为，，所以，
由于无最小值，故该三棱台的体积无最小值，故A错误；
由三棱台的侧面垂直于底面，则以为原点，在平面上作面，在面作面，如图所示：
则，
设，则，，，则，
由于，，所以，又，故B可能正确；
同理，又，故D可能正确；
将三棱台补成三棱锥，如图所示：
设点到平面的距离为，
则，
又，所以，故C一定正确.
故答案为：BD.
【分析】根据题意可得点的轨迹为椭圆，由椭圆的几何性质从而可确定的坐标范围，设三棱台的高为，由三棱台的体积最大值确定的范围，即可判断A；建立空间直角坐标系，根据两点之间的距离公式求解的取值范围，即可判断B，D；将三棱台补成三棱锥，根据棱锥与棱台的体积关系即可判断C.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三下·湖北模拟）写出函数的一条斜率为正的切线方程：　 　.
【答案】（合理即可）
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数的定义域为，求导可得，
取定义域内的一点作为切点，则切线的斜率为，又，
则切线的方程为：，即.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】先求定义域，根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，取定义域内的一点作切点，求斜率与切点坐标，利用点斜式写切线方程即可.
13．（2024高三下·湖北模拟）两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则　 　.
【答案】0.86
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，所以，，所以，
所以.
故答案为：0.86.
【分析】根据题意，利用期望和方差的性质可得，再由对称性求解即可.
14．（2024高三下·湖北模拟）双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为　 　.
【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：与渐近线的交点记为，根据题意，如图所示：
，，故；
则在△中，设，又，由余弦定理可得：，解得，即；
在△中，，又，故；
又左焦点到直线的距离，
即，又，故，则在圆上，即与圆相切；
显然，则，又，又，
故可得，根据对称性，，故，
故三点共线，点是唯一的，根据题意，必为双曲线右顶点；
此时显然有，故双曲线离心率为.
故答案为：2.
【分析】先根据几何关系证明点必为双曲线的右顶点，再结合离心率计算公式，直接求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.
15．（2024高三下·湖北模拟）数列中，，，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前n项和为，且满足，，求.
【答案】（1）解：因为，所以，
所以数列是公差为8的等差数列，其首项为，于是，
则，则
.
（2）解：由（1）问知，，则，
又，则，两式相乘得，即，因此与同号，
因为，所以当时，，此时，
当n为奇数时，，
n为偶数时，：
当时，，此时，
当n为奇数时，，
n为偶数时，；
综上，在时，；时，.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意可得：，推出数列为等差数列，即，再利用累加法求和即可；
（2）由（1）可得，由，得到与同号，再对分类讨论，利用并项求和计算即可.
16．（2024高三下·湖北模拟）已知椭圆和的离心率相同，设的右顶点为，的左顶点为，，
（1）证明：；
（2）设直线与的另一个交点为P，直线与的另一个交点为Q，连，求的最大值.
参考公式：
【答案】（1）证明：当时，的离心率，时，的离心率；
因为，所以或，得，
又，所以，且；
由题意知，，即，则，，
它们的斜率之积为，因此.
（2）解：由（1）可知，，
联立与的方程，将y消去得：，
解得，，又在曲线上，则，，
联立与的方程，将y消去得：，
解得，，又在曲线上，则，，
因此的中点，连，因为，即，
所以，记，当最大时，也最大；
可知，
令得，解得，又，则，
令得，因此在处取得最大值，
且最大值为，
因此最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；直线的斜率；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率相等可得，再求直线和的斜率，利用斜率求证即可；
（2）由（1）可知，，联立直线和椭圆方程消元求出点的坐标，再求得的中点坐标，根据（1）中结论可得，最后利用导数求解即可.
17．（2024高三下·湖北模拟）空间中有一个平面和两条直线m，n，其中m，n与的交点分别为A，B，，设直线m与n之间的夹角为，
图1 图2
（1）如图1，若直线m，n交于点C，求点C到平面距离的最大值；
（2）如图2，若直线m，n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点Q满足，且，
（i）证明：直线m，n与平面的夹角之和为定值；
（ii）设，求点P到平面距离的最大值关于d的函数.
【答案】（1）解：设点C到平面的距离为h，作于点H，可知，
设，，在中，由余弦定理可知：，
由于直线m与n之间的夹角为，且它们交于点C，则，
从而，又，则（时取等）；
因为，所以，
所以点C到平面的距离，其最值为.
（2）解：（i）证：如图，
过点P作直线，由题知直线l与平面必相交于一点，设其为点D，
连接，，则P，Q，D，B共面，又且，于是，
又，则四边形为平行四边形，则，
因为且，所以且，所以，
又，所以平面，
作于H，则，又，则，
设，则P到平面的距离也为h，且直线m，n与平面的夹角分别为和；
由于直线m与n之间的夹角为，则直线m与l之间的夹角也为，
则，于是，
即直线m，n与平面的夹角之和为定值；
（ii）解：因为平面，所以，
中，，则，
又，由（1）问同法算得，
即点P到平面距离h的最大值为.
【知识点】基本不等式；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【分析】（1）设点到平面的距离为，结合余弦定理、三角形面积公式，利用基本不等式求最大值即可；
（2）（i)利用空间直线之间的位置关系、线面垂直的性质定理与判定定理确定线面夹角即可证明结论；
(ii)根据点到平面的距离，结合（1）中结论求解即可.
18．（2024高三下·湖北模拟）已知函数，，
（1）若对定义域内任意非零实数，，均有，求a；
（2）记，证明：.
【答案】（1）解：解：的定义域为，且；
，因此；
i.时，，则此时令有，令有，
则在上单调递增，上单调递减，又，
于是，此时令，有，不符合题意；
ii.时，有零点0和，
若，即，此时令有，在上单调递减，
又，则，令，，有，不符合题意；
若，即，此时令有，在上单调递减，
又，则，令，有，不符合题意；
若，即，此时，在上单调递增，又，
则时，时；则时，也即对，，
综上，.
（2）解：证：由（1）问的结论可知，时，；
且时，；
则时，，令，有，
即，
于是，，
将上述n个式子相加，；
欲证，只需证，只需证；
因为，
所以，得证：
于是得证.
【知识点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，求导可得，再分与两种情况利用导数判断原函数的单调性，当时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定的值即可；
（2）由（1）问的结论可知，，再利用累加结合放缩方法证明即可.
19．（2024高三下·湖北模拟）欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），
（1）求和；
（2）现有三个素数p，q，，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则；‘
（3）设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值.
【答案】（1）解：中，与6互质的数有1和5，则；
中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则8；
（2）解：证明：因为，p和q为素数，则对，仅当或时，x和n不互质，
又，则，，…，或，，…时，x与n不互质，
则
设，，可知s，t不全为0，下证时，；
由题知，，
又，
所以，同理有；
于是记，，
即，同理，记，于是，
则，因为，所以，所以，
即；
i.时，记，则，
记，又，而，则，
即，即；
ii.若，不妨设，于是，
所以，又，，
所以；
综上，，得证.
（3）解：因为，所以，则，则，
假设存在，，使得；记，，
令，那么，且，于是，使，则，
从而数列有且仅有项，
考虑使成立，
则对于相邻项有，
将两式相加并整理得：，
令，得，又由于，，…，及均由和确定，
则数列的各项也可根据n和确定，
由上知，，
则，
即，其中是根据n和唯一确定的.
【知识点】集合的表示方法；数列的递推公式；二项式定理；二项展开式
【解析】【分析】（1）利用欧拉函数的定义直接求出和；
（2）分析求出x与n不互质的数的个数，求得，设，，
结合二项式展开式证明，再按与分类求证即可；
（3）利用的定义，记，，令，那么，且，，使，
则，再探求数列项数及递推关系求解即可.
1 / 1湖北省2024届高三下学期高中毕业生四月模拟考试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三下·湖北模拟）设，，，则（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2024高三下·湖北模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高三下·湖北模拟）下面四个数中，最大的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·湖北模拟）数列的首项为1，前n项和为，若，（m，）则（　　）
A．9 B．1 C．8 D．45
5．（2017高二下·西安期末）复数z= （m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024高三下·湖北模拟）函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024高三下·湖北模拟）能被3整除，且各位数字不重复的三位数的个数为（　　）
A．228 B．210 C．240 D．238
8．（2024高三下·湖北模拟）抛物线上有四点A，B，C，D，直线，交于点P，且，.过A，B分别作的切线交于点Q，若，则（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．（2024高三下·湖北模拟）平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（　　）
A．0 B．4 C．8 D．16
10．（2024高三下·湖北模拟）已知函数有最小正零点，，若在上单调，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2024高三下·湖北模拟）如图，三棱台的底面为锐角三角形，点D，H，E分别为棱，，的中点，且，；侧面为垂直于底面的等腰梯形，若该三棱台的体积最大值为，则下列说法可能但不一定正确的是（　　）
A．该三棱台的体积最小值为 B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三下·湖北模拟）写出函数的一条斜率为正的切线方程：　 　.
13．（2024高三下·湖北模拟）两个连续随机变量X，Y满足，且，若，则　 　.
14．（2024高三下·湖北模拟）双曲线的左右焦点分别为，，以实轴为直径作圆O，过圆O上一点E作圆O的切线交双曲线的渐近线于A，B两点（B在第一象限），若，与一条渐近线垂直，则双曲线的离心率为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤.
15．（2024高三下·湖北模拟）数列中，，，且，
（1）求数列的通项公式；
（2）数列的前n项和为，且满足，，求.
16．（2024高三下·湖北模拟）已知椭圆和的离心率相同，设的右顶点为，的左顶点为，，
（1）证明：；
（2）设直线与的另一个交点为P，直线与的另一个交点为Q，连，求的最大值.
参考公式：
17．（2024高三下·湖北模拟）空间中有一个平面和两条直线m，n，其中m，n与的交点分别为A，B，，设直线m与n之间的夹角为，
图1 图2
（1）如图1，若直线m，n交于点C，求点C到平面距离的最大值；
（2）如图2，若直线m，n互为异面直线，直线m上一点P和直线n上一点Q满足，且，
（i）证明：直线m，n与平面的夹角之和为定值；
（ii）设，求点P到平面距离的最大值关于d的函数.
18．（2024高三下·湖北模拟）已知函数，，
（1）若对定义域内任意非零实数，，均有，求a；
（2）记，证明：.
19．（2024高三下·湖北模拟）欧拉函数在密码学中有重要的应用.设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），
（1）求和；
（2）现有三个素数p，q，，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则；‘
（3）设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：因为，，，所以，
则.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件，先求出的坐标，再根据向量数量积坐标运算公式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：，当且仅当，即时等号成立，即集合；
由，解得，即集合，所以.
故答案为：B.
【分析】由绝对值三角不等式求得集合，再求定义域求得集合，最后根据集合的交集运算求解即可.
3．【答案】D
【知识点】利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：因为，即，所以，；
又因为，所以，故四个数中，最大的是.
故答案为：D.
【分析】先根据对数函数的单调性求得，即可判断四数中的最大数.
4．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；通项与前n项和的关系
【解析】【解答】解：数列的首项为1， 前n项和为， 且满足，
令，可得，即，
故数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，则.
故答案为：B.
【分析】根据题意，令，得，得数列是等差数列，求得，再结合求解即可.
5．【答案】A
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：由已知z= = [（m﹣4）﹣2（m+1）i]
在复平面对应点如果在第一象限，则
而此不等式组无解．
即在复平面上对应的点不可能位于第一象限．
故选A
【分析】利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z；令复数的实部、虚部大于0，得到不等式无解，即对应的点不在第一象限．
6．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数，
当时，均单调递增，故在区间上单调递增，排除BC；
因为，所以函数不是奇函数，即图象不关于原点对称，排除D.
故答案为：A.
【分析】根据时的单调性即可排除BC；再由函数的奇偶性排除D.
7．【答案】A
【知识点】排列与组合的综合
【解析】【解答】解：由题意，将0~9的10个数字分成三组：
被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，
若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：
三个数字均取第一组、或均取第二组有个；
三个数字均取第三组，取出的数字无0，有；
三组各取一个数字，第三组不取0，有个；
三组各取一个数字，第三组取0，有个；
所以3的倍数的三位数有：228个.
故答案为：A.
【分析】根据题意将0~9的10个数字分成三组：即被3除余1的；被3除余2的；被3整除的，若要求所得的三位数被3整除，再分类讨论求出3的倍数的三位数的个数即可.
8．【答案】D
【知识点】向量在几何中的应用；抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：已知如图所示：
因为，，所以∥，
设分别为弦，的中点，直线的方程为：，
联立，消元整理可得，由韦达定理可得：， ，
所以，，
同理可得：，
由抛物线的几何意义可知：点在直线上，所以，
因为，所以，，
所以抛物线在处的切线为，即，，即
同理可得抛物线在处的切线为，即，
由，解得，
综上，，，
所以四点共线，且所在直线平行于轴，
由，得，则，，
又，所以，
又，化简可得：，
同理可得：，
由两式知直线的方程为：，
因为，所以，
又直线过点，代入得，
，
整理得，即，
因为，，所以， 解得.
故答案为：D.
【分析】由题意可得∥，设分别为弦，的中点，直线的方程为：，联立直线和抛物线方程，消元整理由韦达定理可得，，，从而得在直线上，根据切线方程可得，作出图象，可得，，再根据求解即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征
【解析】【解答】解：因为平行六面体的各个面都是平行四边形，且相对的平行四边形全等，
所以六个平行四边形中的矩形个数可能为，所以各个表面的直角个数之和可能为.
故答案为：ACD.
【分析】根据平行六面体的性质判断即可.
10．【答案】B,C
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：因为，，所以，又因为，
所以，故，，故或，
当时，，，故，，，有最小正零点，
，，，
故，，故，，
当，，函数不单调，故A错误；
当时，，，故，
，或，
或，，故，，故，故B正确；
，，故C正确，D错误.
故答案为：BC．
【分析】根据已知条件，确定，，故或，当时，不满足单调性，排除；当时，计算，，代入计算即可得结果．
11．【答案】B,D
【知识点】椭圆的简单性质；棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：因为，，所以点的轨迹为椭圆，如图所示：
则椭圆方程为，由于，则，
又因为为锐角三角形，所以且，所以，，
所以，由于，所以，
设，三棱台的高为，则，，
因为该三棱台的体积最大值为，，所以，
由于无最小值，故该三棱台的体积无最小值，故A错误；
由三棱台的侧面垂直于底面，则以为原点，在平面上作面，在面作面，如图所示：
则，
设，则，，，则，
由于，，所以，又，故B可能正确；
同理，又，故D可能正确；
将三棱台补成三棱锥，如图所示：
设点到平面的距离为，
则，
又，所以，故C一定正确.
故答案为：BD.
【分析】根据题意可得点的轨迹为椭圆，由椭圆的几何性质从而可确定的坐标范围，设三棱台的高为，由三棱台的体积最大值确定的范围，即可判断A；建立空间直角坐标系，根据两点之间的距离公式求解的取值范围，即可判断B，D；将三棱台补成三棱锥，根据棱锥与棱台的体积关系即可判断C.
12．【答案】（合理即可）
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：函数的定义域为，求导可得，
取定义域内的一点作为切点，则切线的斜率为，又，
则切线的方程为：，即.
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】先求定义域，根据导数的几何意义结合导数运算求导函数，取定义域内的一点作切点，求斜率与切点坐标，利用点斜式写切线方程即可.
13．【答案】0.86
【知识点】正态密度曲线的特点；正态分布的期望与方差
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，所以，，所以，
所以.
故答案为：0.86.
【分析】根据题意，利用期望和方差的性质可得，再由对称性求解即可.
14．【答案】2
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：与渐近线的交点记为，根据题意，如图所示：
，，故；
则在△中，设，又，由余弦定理可得：，解得，即；
在△中，，又，故；
又左焦点到直线的距离，
即，又，故，则在圆上，即与圆相切；
显然，则，又，又，
故可得，根据对称性，，故，
故三点共线，点是唯一的，根据题意，必为双曲线右顶点；
此时显然有，故双曲线离心率为.
故答案为：2.
【分析】先根据几何关系证明点必为双曲线的右顶点，再结合离心率计算公式，直接求解即可.
15．【答案】（1）解：因为，所以，
所以数列是公差为8的等差数列，其首项为，于是，
则，则
.
（2）解：由（1）问知，，则，
又，则，两式相乘得，即，因此与同号，
因为，所以当时，，此时，
当n为奇数时，，
n为偶数时，：
当时，，此时，
当n为奇数时，，
n为偶数时，；
综上，在时，；时，.
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；数列的递推公式；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）由题意可得：，推出数列为等差数列，即，再利用累加法求和即可；
（2）由（1）可得，由，得到与同号，再对分类讨论，利用并项求和计算即可.
16．【答案】（1）证明：当时，的离心率，时，的离心率；
因为，所以或，得，
又，所以，且；
由题意知，，即，则，，
它们的斜率之积为，因此.
（2）解：由（1）可知，，
联立与的方程，将y消去得：，
解得，，又在曲线上，则，，
联立与的方程，将y消去得：，
解得，，又在曲线上，则，，
因此的中点，连，因为，即，
所以，记，当最大时，也最大；
可知，
令得，解得，又，则，
令得，因此在处取得最大值，
且最大值为，
因此最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；直线的斜率；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据离心率相等可得，再求直线和的斜率，利用斜率求证即可；
（2）由（1）可知，，联立直线和椭圆方程消元求出点的坐标，再求得的中点坐标，根据（1）中结论可得，最后利用导数求解即可.
17．【答案】（1）解：设点C到平面的距离为h，作于点H，可知，
设，，在中，由余弦定理可知：，
由于直线m与n之间的夹角为，且它们交于点C，则，
从而，又，则（时取等）；
因为，所以，
所以点C到平面的距离，其最值为.
（2）解：（i）证：如图，
过点P作直线，由题知直线l与平面必相交于一点，设其为点D，
连接，，则P，Q，D，B共面，又且，于是，
又，则四边形为平行四边形，则，
因为且，所以且，所以，
又，所以平面，
作于H，则，又，则，
设，则P到平面的距离也为h，且直线m，n与平面的夹角分别为和；
由于直线m与n之间的夹角为，则直线m与l之间的夹角也为，
则，于是，
即直线m，n与平面的夹角之和为定值；
（ii）解：因为平面，所以，
中，，则，
又，由（1）问同法算得，
即点P到平面距离h的最大值为.
【知识点】基本不等式；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角；余弦定理
【解析】【分析】（1）设点到平面的距离为，结合余弦定理、三角形面积公式，利用基本不等式求最大值即可；
（2）（i)利用空间直线之间的位置关系、线面垂直的性质定理与判定定理确定线面夹角即可证明结论；
(ii)根据点到平面的距离，结合（1）中结论求解即可.
18．【答案】（1）解：解：的定义域为，且；
，因此；
i.时，，则此时令有，令有，
则在上单调递增，上单调递减，又，
于是，此时令，有，不符合题意；
ii.时，有零点0和，
若，即，此时令有，在上单调递减，
又，则，令，，有，不符合题意；
若，即，此时令有，在上单调递减，
又，则，令，有，不符合题意；
若，即，此时，在上单调递增，又，
则时，时；则时，也即对，，
综上，.
（2）解：证：由（1）问的结论可知，时，；
且时，；
则时，，令，有，
即，
于是，，
将上述n个式子相加，；
欲证，只需证，只需证；
因为，
所以，得证：
于是得证.
【知识点】函数的定义域及其求法；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；不等式的证明；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，求导可得，再分与两种情况利用导数判断原函数的单调性，当时分析极值点的正负与原函数的正负区间，从而确定的值即可；
（2）由（1）问的结论可知，，再利用累加结合放缩方法证明即可.
19．【答案】（1）解：中，与6互质的数有1和5，则；
中，与15互质的数有1、2、4、7、8、11、13和14，则8；
（2）解：证明：因为，p和q为素数，则对，仅当或时，x和n不互质，
又，则，，…，或，，…时，x与n不互质，
则
设，，可知s，t不全为0，下证时，；
由题知，，
又，
所以，同理有；
于是记，，
即，同理，记，于是，
则，因为，所以，所以，
即；
i.时，记，则，
记，又，而，则，
即，即；
ii.若，不妨设，于是，
所以，又，，
所以；
综上，，得证.
（3）解：因为，所以，则，则，
假设存在，，使得；记，，
令，那么，且，于是，使，则，
从而数列有且仅有项，
考虑使成立，
则对于相邻项有，
将两式相加并整理得：，
令，得，又由于，，…，及均由和确定，
则数列的各项也可根据n和确定，
由上知，，
则，
即，其中是根据n和唯一确定的.
【知识点】集合的表示方法；数列的递推公式；二项式定理；二项展开式
【解析】【分析】（1）利用欧拉函数的定义直接求出和；
（2）分析求出x与n不互质的数的个数，求得，设，，
结合二项式展开式证明，再按与分类求证即可；
（3）利用的定义，记，，令，那么，且，，使，
则，再探求数列项数及递推关系求解即可.
1 / 1

展开更多......

收起↑