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第05讲 平行四边形
1．以中心对称为主线，研究平行四边形的性质；
2．经历探索平行四边形的有关概念、性质和平行四边形的条件过程，在活动中发展学生的探究意识和有条理的表达能力；
3．让学生在探究性学习中体验学习的快乐，在合作交流中提高分析问题、解决问题的能力．
一．平行四边形的性质
（1）平行四边形的概念：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
（2）平行四边形的性质：
①边：平行四边形的对边相等．
②角：平行四边形的对角相等．
③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）平行线间的距离处处相等．
（4）平行四边形的面积：
①平行四边形的面积等于它的底和这个底上的高的积．
②同底（等底）同高（等高）的平行四边形面积相等．
二．平行四边形的判定
（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．符号语言：∵ABDC，ADBC∴四边行ABCD是平行四边形．
（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．符号语言：∵AB＝DC，AD＝BC∴四边行ABCD是平行四边形．
（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵ABDC，AB＝DC∴四边行ABCD是平行四边形．
（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
符号语言：∵∠ABC＝∠ADC，∠DAB＝∠DCB∴四边行ABCD是平行四边形．
（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．符号语言：∵OA＝OC，OB＝OD∴四边行ABCD是平行四边形．
三．平行四边形的判定与性质
平行四边形的判定与性质的作用
平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．
运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．
凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．
四．反证法
（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．
（2）反证法的一般步骤是：
①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
一．平行四边形的性质（共7小题）
（2023春 涟水县月考）
1．在中，，则（ ）
A． B． C． D．
（2023春 鼓楼区校级月考）
2．如图，的对角线，相交于点，若，，则的长可能是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
（2023春 常州期中）
3．如图，在中，，的平分线交于E，则的长为 ．
（2023春 盐都区期中）
4．已知：如图 E、F 是平行四边形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AF＝CE． 求证：BE=DF．
（2023春 南通期末）
5．如图，在中，连接．为边的中点，，的延长线交于点，连接．

(1)求证；
(2)若，，，求四边形的面积．
（2023春 东台市期中）
6．如图，在中，，分别平分， ，交于点，．

(1)求证：；
(2)过点作，垂足为．若 的周长为， ，求的面积．
（2023春 滨海县期中）
7．如图，在平行四边形中，E，F是对角线上两个点，且．

(1)求证：；
(2)若，求的度数．
二．平行四边形的判定（共7小题）
（2023春 苏州期中）
8．在四边形中，，当满足下列哪个条件时，可以得出四边形是平行四边形（ ）
A． B．
C． D．
（2023春 徐州月考）
9．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是： ______．
（2023春 邗江区月考）
10．如图，在四边形中，且，，点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度由A向D运动，点Q以的速度由C向B运动．则 秒后直线将四边形截出一个平行四边形．
（2023春 太仓市期末）如
11．如图，四边形中，对角线，相交于点O，点E，F分别在线段，上，且，∠1=∠2，．求证：四边形是平行四边形．

（2023春 南京期中）
12．求证：一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
已知：如图， ．
求证： ．

（2023春 滨海县月考）
13．如图，E，F是四边形ABCD对角线AC上的两点，ADBC，DFBE，AE=CF．
求证：（1）△AFD≌△CEB；
（2）四边形ABCD是平行四边形．

（2023春 江阴市期中）
14．如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AD的两侧，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．
(1)求证：ACE≌DBF；
(2)求证：四边形BFCE是平行四边形．
三．平行四边形的判定与性质（共6小题）
（2023春 东海县期末）
15．如图1，直线，直线分别交直线，于点A，B．小嘉在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2，并探究得到下面两个结论：
①四边形ABCD是邻边不相等的平行四边形；
②四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．
下列判断正确的是（ ）
A．①②都正确 B．①错误，②正确 C．①②都错误 D．①正确，②错误
（2023春 盱眙县期末）
16．如图，在平行四边形中，，，点在边上以每秒的速度从点向点运动．点在边上以每秒的速度从点出发，在之间往返运动．两个点同时出发，当点到达点时停止（同时点也停止运动），设运动时间为秒．当时，运动时间t为何值时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形（ ）

A． B．8 C．4或 D．或8
（2023春 沭阳县月考）
17．如图，在中，点E，F在对角线上，请在不添加辅助线的情况下增加一个有关线段的条件 ，使四边形是平行四边形．
（2023春 盐城期中）
18．如图，在平行四边形中点E、F分别在上且．连接、．试说明与互相平分．
（2023春 姜堰区月考）
19．在中，点O是对角线的中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接如图1．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，，过点C作的垂线，与分别交于点G、H、P如图2．
①当．时，求的长；
②求证：．
（2023 邗江区校级模拟）
20．如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO＝CO，点E在BD上，满足∠EAO＝∠DCO．
（1）求证：四边形AECD是平行四边形；
（2）若AB＝BC，CD＝5，AC＝8，求四边形AECD的面积．
四．反证法（共4小题）
（2023春 大丰区期中）
21．用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先提出的假设是（ ）
A．同旁内角互补的两条直线平行 B．同旁内角互补的两条直线不平行
C．同旁内角不互补的两条直线平行 D．同旁内角不互补的两条直线不平行
（2023春 海陵区期中）
22．用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中（ ）
A．至少有两个内角是直角 B．没有一个内角是直角
C．至少有一个内角是直角 D．每一个内角都不是直角
（2023春 建邺区校级期中）
23．用反证法证明命题“若，则”时，应假设 ．
（2023春 天宁区校级期中）
24．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”，应当先假设这个三角形中 ．
一．选择题（共10小题）
（2023春 江都区月考）
25．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023春 沭阳县月考）
26．在平行四边形中，的角平分线把边分成长度为4和5的两条线段，则平行四边形的周长为（　　）
A．13或14 B．26或28 C．13 D．无法确定
（2023春 吴江区期中）
27．如图，在中，过点作交延长线于点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
（2023春 鼓楼区校级月考）
28．用反证法证明：“若，则”，应先假设（ ）
A． B． C． D．
（2023春 吴江区校级月考）
29．下列说法正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．平行四边形的对角互补
C．有两组对角相等的四边形是平行四边形
D．平行四边形的对角线平分每一组对角
（2023春 洪泽区期中）
30．如图，平行四边形中，的平分线交于，，，则的长为（ ）

A．2.5 B．2 C．1 D．1.5
（2023春 锡山区期中）
31．如图，在面积是12的平行四边形中，对角线绕着它的中点O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
（2023春 东台市期中）
32．如图，四边形是平行四边形，点为边中点，点为对角线上一点，且，连接、、，则：( )
A．1:4 B．1:3 C．1:6 D．2:5
（2023春 高港区月考）
33．如图，中，点E在上运动，连接、，以、为邻边作，当E从B向C运动时，的面积将（ ）

A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大再减小 D．不变
（2023春 东台市月考）
34．如图，的对角线、交于点O，平分交于点E，且，，连接，下列结论：①；②；③；成立的个数有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二．填空题（共8小题）
（2023春 句容市期末）
35．如图，在中，，，平分，则 ．

（2023春 江阴市月考）
36．如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，过点O的直线分别交、于点E、F，若，，，则图中阴影部分的面积是 ．

（2023春 常州期中）
37．如图，E为外一点，且，，若，则的度数为 ．
（2023春 建湖县期中）
38．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是，，，点D在第一象限内，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标是 ．
（2023春 高港区月考）
39．如图，平行四边形的活动框架，当时，面积为，将从扭动到，则四边形面积为 ．

（2023春 盱眙县期末）
40．如图，在 ABCD中，∠BCD的平分线交AD于点E，AB=3，AE=1，则BC= ．

（2023春 高港区月考）
41．，，，E为上一动点，连接，以为邻边作，的最小值为 ．

（2023春 大丰区期中）
42．如图，中，对 线， 交于点O，过点O的直线分别交，于点M，N，若的 积为2， 的 积为4，则的 积是 ．
三．解答题（共8小题）
（2023春 大丰区期中）
43．如图，在中，、分别是、的平分线，若，．

(1)求的周长；
(2)求线段的长．
（2023春 沭阳县月考）
44．如图，在中，平分交对角线于点E，平分交对角线于点F，连接，．
(1)若，求的度数；
(2)求证：四边形为平行四边形．
（2023春 灌云县月考）
45．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）．
(1)当点P运动t秒时，线段的长度为 ________cm ；
当点P运动2秒时，线段的长度为 ________cm ；
当点P运动5秒时，线段的长度为 ________cm；
(2)若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值
（2023春 镇江期中）
46．如图，在四边形中，．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接相交于点O，，则的周长等于_________．
（2023春 海州区期中）
47．如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且，与相交于点，求证：．
（2023春 泰州期末）
48．已知：如图，在平行四边形中，点E、F分别在边、上，连接、，给出下面三个选项：①平分；②平分；③．请从三个选项中选择两个作为条件，余下一个作为结论，并证明．

你的选择条件是__________，结论是____________．（填序号）
（2023春 姑苏区校级期末）
49．如图，四边形中，，点，在对角线上，且．连接，，若．

证明：
(1)四边形是平行四边形；
(2)连接交于，若，则四边形为______形．
（2023春 沭阳县月考）
50．如图，点B，E，F，D在同一条直线上，，交于点O，．
(1)求证：与互相平分；
(2)若，求的长．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由平行四边形的性质和平行线的性质即可求解．
【详解】解：如下图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
2．D
【分析】由平行四边形的性质可得，，再利用三角形的三边关系即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴在中，，
即，
∴的长可能是．
故选：D．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，三角形三边关系．掌握平行四边形的性质和三角形三边关系是解题的关键．
3．
【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，根据平行四边形的性质，可得，即可得，由角平分线的定义可得，进而可得，结合已知条件根据即可求得．
【详解】如图，
四边形是平行四边形，
，，
，
是的角平分线，
，
，
，
．
故答案为：．
4．见解析
【分析】根据平行四边形的对边相等可得AD=BC，对边平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ADF和△CBE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF．
【详解】∵在 ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴∠DAF=∠BCE，
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴BE=DF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，理解平行四边形的对边平行且相等是解答本题的关键．
5．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到．推出四边形是平行四边形．根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
在 和 中，
∴．
（2）解：∵，
∴．
又∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是矩形，
，
∴
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质证即可求证；
（2）作，由即可求解；
【详解】（1）证明：在中，
∵，
∴，
∵分别平分，，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
（2）如图，作，

∵的周长为，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、三角形的全等、角平分线的性质，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．
7．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质可得、即，然后证得即可证明结论；
（2）由可得，进而求得，再根据可得，最后根据三角形内角和定理即可解答．
【详解】（1）证明：∵平行四边形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键．
8．C
【分析】平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定逐一验证．
【详解】解：与以及，都不能判定或者．故A、B、D不符合题意．
若，则，所以根据“有两组对边互相平行的四边形是平行四边形”可以判定四边形是平行四边形，故C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的判定定理．掌握定理内容是解题关键．
9．（答案不唯一）
【分析】本题是开放题，已知，可以根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形来判定，也可以根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形来判定，主要条件明确，说法有理即可．
【详解】可添加的条件有或等，答案不唯一；
以为例进行说明：
解：在四边形ABCD中，，
可添加的条件是：，
四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
故答案是：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
10．2或3
【分析】分别利用①当时以及②当时，列方程得出答案．
【详解】解：设点P，Q运动的时间为．依题意得：，
．
∵，
①当时，四边形是平行四边形．
即，
解得．
②当时，
四边形是平行四边形，即，
解得：．
所以经过2秒或3秒后，直线将四边形截出一个平行四边形．
故答案为：2或3．
【点睛】此题主要考查的是平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
11．见解析
【分析】证明，得出，根据，得出，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得到结论．
【详解】证明：∵在和中
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．
12．见解析
【分析】根据平行四边形的判定方法“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，由此即可求证．
【详解】已知：如图，在四边形中，，，
求证：四边形是平行四边形
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理ASA证得△AFD≌△CEB；
（2）利用（1）中的全等三角形的对应边相等得到AD=CB，则由“有一组对边相等且平行的四边形是平行四边形”证得结论．
【详解】证明：（1）如图，
∵ADBC，DFBE，∴∠1=∠2，∠3=∠4．
又AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
在△AFD与△CEB中，
，
∴△AFD≌△CEB（ASA）；
（2）由（1）知，△AFD≌△CEB，则AD=CB．
又∵ADBC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．
14．(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）根据已知条件易证AC=BD，再由SAS即可判定ACE≌DBF；
（2）由ACE≌DBF，根据全等三角形的性质可得CE=BF，∠ACE=∠DBF， 即可得CEBF，所以四边形BFCE是平行四边形．
【详解】（1）∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD，
又∵AE=DF，∠A=∠D，
∴ACE≌DBF.
（2）∵ACE≌DBF，
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，
∴CEBF，
∴四边形BFCE是平行四边形．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
15．B
【分析】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，再证明四边形ABCD是菱形，再进行判断即可．
【详解】根据小嘉的行尺规作图，可以得到：∠ABD=∠CBD，AB=BC，
∵，
∴∠ADB=∠CBD，
∵∠ABD=∠CBD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵AB=BC，
∴AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是对角线互相垂直的平行四边形．
∴①错误，②正确
故选：B.
【点睛】本题考查了作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了菱形的判定与性质．
16．D
【分析】根据的速度为每秒，可得，从而得到，由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以、、、四点组成的四边形为平行四边形，当时，分两种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：四边形为平行四边形，
．
若要以、、、四点组成的四边形为平行四边形，则．
当时，，，，，
，
解得：；
当时，，，，
，
解得：．
综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形．
故选D．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，弄清在上往返运动情况是解决此题的关键．
17．（答案不唯一）
【分析】由平行四边形的性质可得，，进而可证，可得，，可得，进而可得，即可得出结论．
【详解】解：增加条件，使四边形是平行四边形．理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，则，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形．
故答案的为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
18．见解析
【分析】证明，推出，，可得结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴与互相平分．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题关键是正确寻找全等三角形解决问题．
19．(1)见解析
(2)①2；②见解析
【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形；
（2）①过点D作于点N，先根据勾股定理求出，由得，即可求出答案；
②根据DN⊥EC，CG⊥DE，得∠CEG+∠ECG＝90°，∠DEN+∠EDN＝90°，则有∠EDN＝∠ECG，再证∠CDH＝∠CHD，得出CD＝CH．
【详解】（1）证明：在平行四边形中，点O是对角线的中点，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）①解：如图，过点D作于点N，

∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
②证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等知识，熟记等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
20．（1）见解析；（2）24
【分析】（1）根据题意可证明，得到OD＝OE，从而根据“对角线互相平分的四边形为平行四边形”证明即可；
（2）根据AB=BC，AO=CO，可证明BD为AC 的中垂线，从而推出四边形AECD为菱形，然后根据条件求出DE的长度，即可利用菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：在△AOE 和△COD中，
∴．
∴OD＝OE．
又∵AO＝CO，
∴四边形AECD 是平行四边形．
（2）∵AB＝BC，AO＝CO，
∴BO为AC的垂直平分线，．
∴平行四边形 AECD是菱形．
∵AC＝8，
．
在 Rt△COD 中，CD＝5，
，
∴，
，
∴四边形 AECD 的面积为24．
【点睛】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与面积计算，掌握基本的判定方法，熟练掌握菱形的面积计算公式是解题关键．
21．C
【分析】首先明确什么是反证法，然后根据命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”可以得到应先假设什么，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设同旁内角不互补的两条直线平行，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反证法的第一步，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：
（1）假设结论不成立；
（2）从假设出发推出矛盾；
（3）假设不成立，则结论成立．
在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
22．A
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
【详解】解：用反证法证明“三角形中最多有一个内角是直角”应先假设这个三角形中至少有两个内角是直角，
故选：A．
【点睛】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
23．
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，可据此进行判断．
【详解】解：用反证法证明“若，则”时，应假设．
故答案为：
【点睛】本题考查了反证法的概念，理解反证法的概念是解题的关键．
24．三角形中每一个内角都小于
【分析】本题结合角的比较考查反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．
【详解】解：用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于”时，应先假设三角形中每一个内角都小于．
故答案为：三角形中每一个内角都小于．
25．B
【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可，本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
【详解】A. ，可以，不符合题意，
B. ，不可以，符合题意，
C. ，可以，不符合题意，
D. ，可以，不符合题意，
故选B．
26．B
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是先根据平行四边形的性质和平行线的性质求出，根据等腰三角形的判定得出，分两种情况讨论：当，时，当，时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：设的平分线交于点E，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
当，时，如图1，

则，，
∴；
当，时，如图2，

则，，
∴，
∴平行四边形的周长为26或28，
故选：B．
27．B
【分析】根据平行四边形的对角相等可得，再利用直角三角形两锐角互余即可得解．
【详解】解：∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，直角三角形两锐角互余．掌握平行四边形的性质是解题的关键．
28．C
【分析】根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，结论的反面成立，即可得出答案．
【详解】解：用反证法证明：“若，则”，应先假设．
故答案为：C．
【点睛】本题考查了反证法，要掌握一些常见结论的否定方法．如“大于”的否定是“不大于或小于等于”，“小于”的否定是“不小于”等等．
29．C
【分析】由平行四边形的判定与性质分别对各个说法进行判断即可．
【详解】解：A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是等腰梯形或平行四边形，
∴A错误，不符合题意；
B．平行四边形的对角相等，
∴B错误，不符合题意；
C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形，
∴C正确，符合题意；
D．平行四边形的对角线互相平分但不一定平分每一组对角，
∴D错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的评定方法是解题的关键．
30．B
【分析】根据平行四边形性质、角平分线性质可知为等腰三角形，从而，再由可得，从而得到答案．
【详解】解：在平行四边形中，，，
，
的平分线交于，
，
，即，
，
故选：B．
【点睛】本题考查平行四边形中求线段长，涉及平行四边形性质、角平分线性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟记相关性质及判定是解决问题的关键．
31．D
【分析】连接，结合平行四边形的性质可证明，则有；由题意易得，由此可求得结果．
【详解】连接，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵O是的中点，
∴，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，中线平分三角形面积的性质等知识，证明两个三角形全等及中线的性质是解题的关键．
32．C
【分析】根据四边形是平行四边形，点为边中点，可得，根据，可得，进而可得结果．
【详解】解：四边形是平行四边形，点为边中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
33．D
【分析】设，的高为h，，根据图形可得，求出即可得到答案．
【详解】解：设，的高为h，，
∵四边形是平行四边形，
∴
，
∴，
∵的边长和高都是不变的，
∴的面积不变，
故选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质及面积，设计到动点问题，灵活运用所学知识是解题的关键．
34．C
【分析】由平行四边形的性质得，则，而，所以，则，而，则是等边三角形，所以，则，所以，即可求得，所以，可判断①正确；由，，得，所以，可判断②正确；由“垂线段最短”可知，，可判断③错误，于是得到问题的答案．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，
故②正确；
，
∴，
∴，
故③错误，
故选：C．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂线段最短等知识，证明是等边三角形是解题的关键．
35．
【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据角平分线的定义得出，进而得出，结合已知条件即可求解．
【详解】解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
又∵平分，
∴
在中，，∴
又，，故，
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
36．
【分析】由平行四边形中，对角线、相交于点O，可得，可得阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，过点C作于点P，可得，，从而可得答案．
【详解】解：∵平行四边形中，对角线、相交于点O，
∴，
∴阴影部分面积等于的面积，即为面积的一半，
过点C作于点P，

∵，，
∴，，，
∴，
∴阴影部分面积为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理的应用，熟记平行四边形是中心对称图形是解题的关键．
37．##度
【分析】根据四边形内角和求出度数，再借助平行四边形的性质可知即可得到结果．
【详解】解：在四边形中，，，
所以．
四边形是平行四边形，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、四边形内角和，解题的关键是掌握特殊四边形的角度问题，一般借助旋转转化角，进行间接求解．
38．
【分析】根据题意，画出图形，即可得出结论．
【详解】解：由题意，画出平行四边形，如图所示：
由图可知：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了图形与坐标，平行四边形的性质等知识，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．
39．
【分析】本题主要考查了矩形的性质，含有角的直角三角形的性质，根据题意可得，，作，交于点，则，从而即可得到．添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
【详解】解：当时，面积为，
，
将从扭动到，
，
作，交于点，如图所示，
，
，
故答案为：．
40．4
【分析】只要证明DE=DC=3，AD=BC=4，即可解决问题．
【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC，
∴∠DEC=∠BCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠BCE=∠ECD，
∴∠DEC=∠ECD，
∴DE=CD=3，
∴AD=AE+DE=1+3=4．
∴BC=4．
故答案为4．
【点睛】题考查平行四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
41．
【分析】根据垂线段最短，得当时，有最小值，即有最小值，过点B作交于点F，证明四边形是矩形，在中，利用含30度角的直角三角形和勾股定理即可求解．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当时，有最小值，即有最小值，
过点B作交于点F，

∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，即，
∴四边形是矩形，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形和勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
42．24
【分析】利用平行四边形的性质得出，，，然后证明，得出，从而求出，然后利用三角形中线的性质求出，即可解答．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，，
∴，
∴，
又的 积为2， 的 积为4，
∴，
又，，
∴，
∴．
故答案为：24．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
43．(1)32
(2)2
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出，，即可解答；
（2）利用平行四边形的性质，角平分线的定义以及等角对等边可证，，然后利用线段的和差即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
∴，，
∴的周长为．
（2）在中，，，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
同理：，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，角平分线定义，等腰三角形的性质和判定等知识点的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．
44．(1)
(2)见解析
【分析】（1）由四边形是平行四边形得出，再根据角平分线的定义得出 的度数即可求解；
（2）由证明得出，，再根据平行线的判定得出即可得出结论．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分 ，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴ ，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
45．(1)；7；5
(2)t的值为6或10或12
【分析】（1）根据题意计算即可；
（2）由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分四种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）当点P运动t秒时，线段的长度为；
当点P运动2秒时，线段的长度为；
当点P运动5秒时，线段的长度为
（2）∵P在上运动，，即，
∵以点P、D、Q、B为顶点的平行四边形，
已有，还需满足，
①当点Q的运动路线是C-B时，，由题意得： 不合题意
②当点Q的运动路线是C-B-C时，，由题意得：，解得:；
③当点Q的运动路线是C-B-C-B时，由题意得： ，解得：
④当点Q的运动路线是C-B-C-B –C时，，由题意得:，解得:
综上所述，t的值为6或或,
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分四种情况进行讨论是解题的关键．
46．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证明即可；
（2）根据平行四边形的性质可得，即可得到的周长．
【详解】（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
（2）∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴的周长为，
故答案为：．
【点睛】此题主要考查平行四边形的判定和菱形的判断和性质．熟练掌握各种特殊四边形的性质定理和判定定理是解题的关键．
47．见解析
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由平行四边形的性质得，，则，而，可推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，得．
【详解】证明：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
48．见解析
【分析】选择条件①②，结论是③，根据平行四边形的性质和角平分线平分角，得到，即可得证；选择条件①③，结论是②，根据平行四边形的性质和角平分线平分角，得到，进而得到，即可得证；选择条件②③，结论是①，根据平行四边形的性质和角平分线平分角，得到，进而得到，即可得证．
【详解】①选择条件①②，结论是③；
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
∴，
∴；
②选择条件①③，结论是②；
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分；
③选择条件②③，结论是①；
∵平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴平分．
【点睛】本题考查平行四边的性质，角平分线的定义，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的对边平行，对角相等．
49．(1)见解析
(2)矩
【分析】（1）证，得，再证，然后由平行四边形的判定即可得出结论；
（2）证，得，再证，然后由矩形的判定即可得出结论．
【详解】（1）证明：在和中，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，
，
，
由（1）得：四边形是平行四边形，
，，
，
平行四边形是矩形．
故答案为：矩．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
50．(1)证明见解析
(2)8
【分析】（1）如图所示，连接，通过证明，得到，则四边形是平行四边形，由此即可证明与互相平分；
（2）由平行四边形的性质得到，求出，进而得到，利用勾股定理求出，则．
【详解】（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴与互相平分；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴由勾股定理得，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键．
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