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北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷
考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题， 28道小题， 满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束， 请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1. 年月日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，年北京向天津、河北输出技术合同成交额元，将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，直线，相交于点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4. 如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（ ）
A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥
5. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 正十边形的内角和为（ ）
A. B. C. D.
7. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（ ）
A B. C. D.
8. 如图，四边形是正方形， 点分别在的延长线上， 且，设． 给出下面三个结论：①；②；③上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
二、填空题 （共16分，每题2分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
10. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____．
11. 方程的解为______．
12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____．
13. 某种植户种植了棵新品种果树，为了解这棵果树的水果产量，随机抽取了棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下：
水果产量
果树棵数
根据以上数据，估计这棵果树中水果产量不低于千克的果树棵数为_____．
14. 在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度_____．
15. 如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为_____．
16. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示：
A B C D
甲 9 5 6 8
乙 7 7 9 3
（1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为_______分钟；
（2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是_______．
三、解答题（共68分， 第17-19题， 每题5分， 第20-21题， 每题6分， 第22-23题， 每题5分， 第24题6分， 第25题5分， 第26题6分， 第27-28题， 每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
18 解不等式组：
19. 已知，求代数式 的值．
20. 如图，在中，，过点D作的平行线与的延长线相交于点 E．
（1）求证： 四边形是菱形；
（2）连接，若，求的长．
21. 燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？
22. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点．
（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围．
23. 某广场用月季花树做景观造型，先后种植了两批各棵，测量并获取了所有花树的高度 （单位：），数据整理如下：
a．两批月季花树高度频数：
第一批
第二批
b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数（结果保留整数）：
平均数 中位数 众数
第一批
第二批
（1）写出表中，的值；
（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是 （填“第一批”或“第二批”）；
（3）根据造型的需要，这两批花树各选用棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是 和 ．
24. 如图，是的直径，点在上，是的中点，的延长线与过点的切线交于点，与的交点为．
（1）求证：；
（2）若的半径是，，求的长．
25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．
表1从开始加热至水量与时间对照表
表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表
煮沸模式 保温模式
…
对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数．
（1）写出表中值；
（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容：
①在下图中补全水温与时间的函数图象；
②当时， ；
（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线 上有两点， 它的对称轴为直线．
（1）若该抛物线经过点，求t的值；
（2）当时，
①若， 则 0； （填“>”“=”或“<” ）
②若对于，都有，求t的取值范围．
27. 如图，在菱形中，，边上一点（不与点，重合）．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，连接交于点．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“对称弦”
（1）如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 ；
（2）是关于直线的“对称弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标；
（3）已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的值．北京市朝阳区九年级综合练习（一）
数学试卷
考生须知 1．本试卷共6页，共三道大题， 28道小题， 满分100分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束， 请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1. 年月日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，年北京向天津、河北输出技术合同成交额元，将用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，解题的关键要正确确定的值以及的值．
【详解】解：；
故选：C．
2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，根据中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；逐项分析即可得出答案．
【详解】解：A、正三角形是轴对称图形不是中心对称图形，A不符合题意；
B、等腰直角三角形是轴对称图形不是中心对称图形，B不符合题意；
C、正五边形轴对称图形不是中心对称图形，C不符合题意；
D、正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，D符合题意；
故选：D．
3. 如图，直线，相交于点，若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了对顶角相等，角的运算；根据对顶角的性质得，根据即可求解．
【详解】解：∵直线，相交于点，，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
4. 如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（ ）
A. 三棱柱 B. 长方体 C. 圆柱 D. 圆锥
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了简单几何图的三视图，根据几何体的三视图逐项判断即可求解．
【详解】解：三棱柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项A不符合题意；
长方体的三视图都是矩形，故选项B符合题意；
圆柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项C不符合题意；
正立的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项D不符合题意．
故选：B．
5. 若，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变逐项判定．
【详解】解：A、若，则，故不合题意；
B、若，则，故符合题意；
C、若，则，故不合题意；
D、若，则，故不合题意，
故选：B．
6. 正十边形的内角和为（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查多边形的内角和，解题的关键是利用多边形的内角和公式进行计算即可．
【详解】解：正十边形的内角和为
．
故选C．
7. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据概率公式求解，随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
【详解】解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，
∴向上一面的点数为5的概率是，
故选：D．
8. 如图，四边形是正方形， 点分别在的延长线上， 且，设． 给出下面三个结论：①；②；③上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，结合三角形的三边关系判断①；完全平方公式结合勾股定理判定②；勾股定理判断③．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；故①正确；
∵，即：，
∴，
∴；故②正确；
∵，且为动点，
∴无法确定和的关系，故③错误；
故选A．
二、填空题 （共16分，每题2分）
9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据被开方数不小于零列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：∵式子在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
10. 分解因式：3x2+6xy+3y2＝_____．
【答案】3（x+y）2．
【解析】
【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．
【详解】3x2+6xy+3y2=3（x2+2xy+y2）=3（x+y）2．
故答案为3（x+y）2．
【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
11. 方程的解为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程，然后检验即可得出答案．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为得：．
检验：当时，，
∴原分式方程的解为．
故答案为：．
12. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式＞0，即可求解本题．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．
13. 某种植户种植了棵新品种果树，为了解这棵果树的水果产量，随机抽取了棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下：
水果产量
果树棵数
根据以上数据，估计这棵果树中水果产量不低于千克的果树棵数为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．用乘以水果产量不低于千克的果树的百分比即可求解．
【详解】解：估计这棵果树中水果产量不低于千克的果树棵数为（棵）．
故答案为：．
14. 在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解．
【详解】解：由题意可知，，
∴，
∴，
即，
解得，
则教学楼高度，
故答案为：．
15. 如图，是的外接圆，于点，交于点，若，，则的长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得，，则可得是的中位线，设半径为，由勾股定理得，求出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，，
∵，
∴是的中位线，
∴，即，
设半径为，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，解得，
∴，
∴．
16. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示：
A B C D
甲 9 5 6 8
乙 7 7 9 3
（1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为_______分钟；
（2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是_______．
【答案】 ①. 35 ②.
【解析】
【分析】本题主要考查最优化时间的使用的有理数加减运算，
根据甲乙各自的拼装和上色所需时间进行分解，求出对应的用时再求得总时长即可；
由于甲乙开始都需要时间，为甲选择B，再结合各自所需时间排序即可．
【详解】解：（1）甲先拼装A需9分钟，乙开始上色A，与此同时甲可以拼装B和2分钟的C，乙给B上色时，甲可以继续拼装C和3分钟D，乙为C上色5分钟时甲可以完成D的拼装，此时乙还需要4分钟为C上色，接着为D上色3分钟，时间分解如图，（其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间）
故总时长最少为分钟，
故答案为35；
（2）甲先拼装B需5分钟，乙开始上色B，与此同时甲可以拼装C和1分钟的A，乙给C上色时，甲可以继续拼装A和1分钟D，乙为A上色7分钟时甲可以完成D的拼装，此时乙还需要3分钟为D上色，时间分解如图，选择这种方案即可用时最少．（其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间）
故答案为．
三、解答题（共68分， 第17-19题， 每题5分， 第20-21题， 每题6分， 第22-23题， 每题5分， 第24题6分， 第25题5分， 第26题6分， 第27-28题， 每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数运算，解题的关键是直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零整数指数幂的性质分别化简得出答案．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式组的解集为．
19. 已知，求代数式 的值．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简所求式子，再根据，可以得到，代入化简后的式子计算即可．
【详解】解：
，
∵，
∴，
∴原式．
20. 如图，在中，，过点D作的平行线与的延长线相交于点 E．
（1）求证： 四边形是菱形；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再证明四边形是平行四边形，进而证明，然后由菱形的判定即可得出结论；
（2）设与交于点，证明，再由菱形的性质得，，，进而由锐角三角函数定义得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
小问1详解】
证明：四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
平行四边形菱形；
【小问2详解】
如图，设与交于点，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
由（1）可知，四边形是菱形，
，，，
，
，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
，
，
即的长为．
【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识．
21. 燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括张长桌、张中桌和张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为平方尺，则长桌的长为多少尺？
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．
设每张桌面的宽为尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设每张桌面的宽为尺，
根据图形可得：小桌的长为尺，中桌的长为尺，长桌的长为尺，
故可得，
解得：，（舍去），
∴，
答：长桌的长为尺．
22. 在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点．
（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；
（2）当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：
（1）将点坐标代入两个函数解析式求出值即可；
（2）当时，，，根据题意，解出不等式解集即可．
【小问1详解】
解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点，
，，
正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：；
【小问2详解】
当时，，，
当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值，
，
解得．
23. 某广场用月季花树做景观造型，先后种植了两批各棵，测量并获取了所有花树的高度 （单位：），数据整理如下：
a．两批月季花树高度的频数：
第一批
第二批
b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数（结果保留整数）：
平均数 中位数 众数
第一批
第二批
（1）写出表中，的值；
（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是 （填“第一批”或“第二批”）；
（3）根据造型的需要，这两批花树各选用棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是 和 ．
【答案】（1），
（2）第一批 （3），
【解析】
分析】本题考查了众数，中位数，平均数等．
（1）根据众数和中位数的定义直接进行解答即可；
（2）从平均数，众数和中位数三个方面进行分析，即可得出答案；
（3）根据表中给出的数据，分别进行分析，即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵在第一批中，出现了次，出现的次数最多，
∴众数是，即；
把第二批花的高度从小到大排列，中位数是第、第个数的平均数，
则中位数是（），即；
【小问2详解】
解：第一批的平均数，众数和中位数均为，整齐度更好；
故答案为：第一批；
【小问3详解】
解：第二批去掉了高度为和的两棵花树后的平均数为：（），
第一批花树的平均数为，去掉的两棵且使高度尽可能均高度，则需要去掉高度最小的两颗，即去掉的两棵花树的高度分别是，；
故答案为：，．
24. 如图，是的直径，点在上，是的中点，的延长线与过点的切线交于点，与的交点为．
（1）求证：；
（2）若的半径是，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据在同圆中等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形中两个锐角互余可得，根据对顶角相等可得，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得，根据直角三角形中两个锐角互余可得，根据等角的余角相等可得，根据等角对等边即可证明；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，根据直角三角形中两个锐角互余可得，根据等角的余角相等可得，根据题意可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得，根据锐角三角形函数的定义可求得，根据等腰三角形底边上的高与底边上的中点重合可得，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵是的中点，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵与相切于点，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：连接，如图：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵的半径是，
∴，
∵，
在中，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角形函数的定义，等角的余角相等等，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．
25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于水壶不加热；若水温降至水壶开始加热，水温达到时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量（单位：L），水温（单位： ）与时间（单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．
表1从开始加热至水量与时间对照表
表2 1L水从开始加热，水温与时间对照表
煮沸模式 保温模式
…
对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温就是加热时间的一次函数．
（1）写出表中的值；
（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容：
①在下图中补全水温与时间的函数图象；
②当时， ；
（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有分钟，他往水壶中注入温度为 的水，当水加热至后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于的水．
【答案】（1）
（2）①图见解析；②
（3）不能
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键．
（1）在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，从而计算出每增加分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可；
（2）①描点并连线即可；
②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到．在这个过程中每分钟，水温升高，从而求出每增加分钟水上升的温度，据此列方程求出，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少；
（3）由表1可知，的水从加热到需要分，此时离出门还剩（分）；根据表2，计算水温从降到需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论．
【小问1详解】
解：在煮沸模式下，加热时间每增加分钟，水温就上升，
（），
∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：①补全水温与时间的函数图象如图所示：
②当时间从分开始，设时间为时，水温加热到．
在这个过程中每分钟，水温升高，则每1分钟水温升高（），
由此得，
解得，
（分），
根据表2的数据可知，经过分后水温降到了，
∴当时，．
故答案为：；
【小问3详解】
解：由表1可知，的水从加热到需要分，（分），
由表2可知，水温从降到需要（分），
∵，且电源已关闭，
∴出门前，他不能喝到低于的水．
故答案为：不能．
26. 在平面直角坐标系中，抛物线 上有两点， 它的对称轴为直线．
（1）若该抛物线经过点，求t的值；
（2）当时，
①若， 则 0； （填“>”“=”或“<” ）
②若对于，都有，求t的取值范围．
【答案】（1）
（2）①<，②或
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数的性质，
将点代入抛物线求得，结合对称轴定义即可求得；
①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，即可得；
②由已知求得，结合恒成立，则有点在x的同侧即可．
【小问1详解】
解：将点代入得，解得，
∴，
则；
【小问2详解】
①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，
∵，，
∴；
②∵， ，
∴，
∵有恒成立，
∴点在x的同侧，
则或．
27. 如图，在菱形中，，是边上一点（不与点，重合）．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，连接交于点．
（1）依据题意，补全图形；
（2）求证：；
（3）用等式表示线段，，之间的数量关系．
【答案】（1）图见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据题意连线即可；
（2）连接，与相交于点，根据旋转的性质可得，，根据菱形的性质可得，，，根据等边三角形的判定和性质可得，，根据全等三角形的的判定和性质可得，根据平行线的判定得出，根据平行线分线段成比例定理即可证明；
（3）根据勾股定理可得，根据等边三角形的性质可得，根据锐角三角函数可求得，推得，即可求解．
【小问1详解】
解：如图：
【小问2详解】
证明：连接，与相交于点，如图：
∵线段绕点逆时针旋转得到线段，
∴，，
∵在菱形中，，
∴，，，
∴、是等边三角形，
∴，，
∴,
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
解：，理由如下：
∵，，
∴，
在中，，
∵是等边三角形，，
∴，
，
∴，
则，
则，
∴，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解直角三角形等，解题的关键是根据全等三角形的性质和平行线的判定推得．
28. 在平面直角坐标系中，的半径为，对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“对称弦”
（1）如图，点，，，，，的横、纵坐标都是整数．线段，，中，是关于直线的“对称弦”的是 ；
（2）是关于直线的“对称弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标；
（3）已知直线和点，若线段是关于直线的“对称弦”，且，直接写出的值．
【答案】（1）
（2）或
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据题中定义即可画图得出；
（2）根据题意可得直线垂直平分，，结合点的坐标，推得点在上，即可得出点是与交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点、的坐标；
（3）结合（2）可得点是点与交点，先求出直线与，轴的交点坐标，结合三角形的面积求得的值，根据锐角三角函数可求得点的坐标，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可．
【小问1详解】
解：如图所示：
∴关于直线的“对称弦”的是线段；
【小问2详解】
解：设点，关于直线的对称点为,，
∴直线垂直平分，，
∵是关于直线的“对称弦”，
∴,在上，
∵点的坐标为，
即点在上，
∵直线经过圆心，
∴点也在上，
∵，
故点在以点为圆心，为半径的圆上，如图：与交于点与点；
∵，
即是等边三角形，
故点的横坐标为，点的纵坐标为，
同理，点的横坐标为，点的纵坐标为，
综上，点的坐标为或；
【小问3详解】
解：设点关于直线的对称点为,
∴直线垂直平分，
∵线段是关于直线的“对称弦”，
∴在上，
由（2）可得点在以点为圆心，为半径的圆上，
又∵，
即；
令直线与，轴交于点，，过点作直线交于点，点作轴交于点，如图：
令，则，即点，,
令，则，即点，，
则，
则，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
即点的坐标为，
∵，；
∴，
整理得：，
解得：或，
故的值为或．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键．

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