资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题27 轴对称问题
考点扫描☆聚焦中考
轴对称问题在近几年各地中考主要以填空题或选择题的形式进行考查，属于中、低档题，较为简单；也有部分地区以选择、填空的压轴题出现，少数地区以解答题的形式进行考查，属于中档题，难度一般；考查的内容主要涉及的有：轴对称与轴对称图形的概念；轴对称的性质；轴对称变换；利用平移设计图案；考查的热点主要有轴对称图形的判断；轴对称的性质；轴对称变换；最短路线问题；折叠问题；剪纸问题。
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（　　）
A．B． C．D．
【答案】A
【点拨】利用轴对称图形的定义进行分析即可．
【解析】解：选项B，C，D中的图形都不能确定一条直线，使图形沿这条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，不是轴对称图形，选项A中的图形沿某条直线对折后两部分能完全重合，是轴对称图形，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
例2（2020 哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】A
【点拨】由余角的性质可求∠C＝40°，由轴对称的性质可得∠AB'B＝∠B＝50°，由外角性质可求解．
【解析】解：∵∠BAC＝90°，∠B＝50°，
∴∠C＝40°，
∵△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，
∴∠AB'B＝∠B＝50°，
∴∠CAB'＝∠AB'B﹣∠C＝10°，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，掌握轴对称的性质是本题的关键．
例3（2021 深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）见解析；
（2）8．
【点拨】（1）依据轴对称的性质得出四边形ABCD各顶点的对称点，再顺次连接各顶点即可；
（2）依据四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD进行计算，即可得到四边形ABCD的面积．
【解析】解：（1）如图所示，四边形A'B'C'D'即为所求；
（2）四边形ABCD的面积＝S△ABD+S△BCD＝×4×1+×4×3＝8．
【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图，解决问题的关键是利用轴对称的性质得到对称点的位置．
例4（2023 泸州）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是 　　．
【答案】．
【点拨】找出点E关于AC的对称点E'，连接FE'与AC的交点P'即为PE+PF取得最小值时，点P的位置，再设法求出的值即可．
【解析】解：作点E关于AC的对称点E'，连接FE'交AC于点P'，连接PE'，
∴PE＝PE'，
∴PE+PF＝PE'+PF≥E'F，
故当PE+PF取得最小值时，点P位于点P'处，
∴当PE+PF取得最小值时，求的值，只要求出的值即可．
∵正方形ABCD是关于AC所在直线轴对称，
∴点E关于AC所在直线对称的对称点E'在AD上，且AE'＝AE，
过点F作FG⊥AB交AC于点G，
则∠GFA＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB＝∠B＝90°，∠CAB＝∠ACB＝45°，
∴FG∥BC∥AD，∠AGF＝∠ACB＝45°，
∴GF＝AF，
∵E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，
∴AE'＝AE＝EF＝FB，
∴GC＝AC，，
∴AG＝AC，，
∴AP'＝AG＝AC＝AC，
∴P'C＝AC﹣AP'＝AC﹣AC＝AC，
∴＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，熟悉运用将军饮马模型，以及转化思想是解题的关键．
例5（2023 黄石）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE＝1，则MN＝（　　）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【点拨】根据折叠的性质得到AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∠AEF＝∠BEN＝90°，BN＝AB＝2，∠ABM＝∠NBM，∠BNM＝∠A＝90°，求得BE＝，根据直角三角形的性质得到∠BNE＝30°，求得∠EBN＝60°，于是得到结论．
【解析】解：∵对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，
∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∠AEF＝∠BEN＝90°，
∵折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，
∴BN＝AB＝2，∠ABM＝∠NBM，∠BNM＝∠A＝90°，
∴BE＝，
∴∠BNE＝30°，
∴∠EBN＝60°，
∴∠ABM＝∠MBN＝30°，
∴MN＝BN＝，
故选：C．
【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
例6（2022 六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（　　）
A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形
【答案】C
【点拨】动手操作可得结论．
【解析】解：将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到：正方形．
故选：C．
【点睛】本题考查剪纸问题，正方形的判定和性质，矩形的性质等知识，解题的关键是学会动手操作，属于中考常考题型．
考点过关☆专项突破
类型一 轴对称图形
1．（2023 淮安）剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【点拨】关于某条直线对称的图形是轴对称图形．
【解析】解：A、选项不是轴对称图形，不符合题意；
B、选项关于某条直线对称，是轴对称图形，符合题意；
C、选项不是轴对称图形，不符合题意；
D、选项不是轴对称图形，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查学生轴对称图形的认识，属于重点题型．
2．（2023 深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【点拨】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解析】解：A、B、C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
D选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（2023 云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】根据轴对称图形的概念进行判断即可．
【解析】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形的概念，熟知：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．
4．（2023 益阳）如图所示正方体的展开图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【点拨】根据轴对称图形的定义分别判断可得出结果．
【解析】解：由轴对称图形定义可知D选项中的图形是轴对称图形，
故选：D．
【点睛】此题主要是考查了轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形就叫做轴对称图形．
5．（2023 衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解析】解：A、B，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
6．（2023 泰州）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解析】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
【点睛】本题考查了利用轴对称设计图案，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
7．（2023 宁夏）下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】结合轴对称图形的概念求解即可．
【解析】解：A、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
8．（2022 北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【点拨】一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个图形的一条对称轴，由此即可解决问题．
【解析】解：如图所示，该图形有5条对称轴，
故选：D．
【点睛】此题考查了利用轴对称图形的定义判断轴对称图形的对称轴条数和位置的灵活应用．
类型二 轴对称的性质
1．（2023 德州）下列选项中，直线l是四边形的对称轴的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】利用对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线可对各选项进行判断．
【解析】解：直线L是四边形的对称轴的是．
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
2．（2021 广州）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 　33°　．
【答案】33°．
【点拨】先根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B＝38°，再利用平行线的性质得∠ADB′＝∠A＝38°，接着根据轴对称的性质得到∠CDB′＝∠CDB，则可出∠CDB的度数，然后利用三角形内角和计算出∠BCD的度数．
【解析】解：∵AC＝BC，
∴∠A＝∠B＝38°，
∵B′D∥AC，
∴∠ADB′＝∠A＝38°，
∵点B关于直线CD的对称点为B′，
∴∠CDB′＝∠CDB＝（38°+180°）＝109°，
∴∠BCD＝180°﹣∠B﹣∠CDB＝180°﹣38°﹣109°＝33°．
故答案为33°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质：轴对称的两个图形全等．也考查了平行线的性质和等腰三角形的性质．
3．（2021 株洲）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝　21　度．
【答案】21．
【点拨】由点P与点A关于直线DQ对称求出∠PDQ，再由△ABD和△CBD求出∠CDB和∠ADB，进而计算出∠CDP，最后利用三角形内角和即可求解．
【解析】解：∵点P与点A关于直线DQ对称，∠ADQ＝24°，
∴∠PDQ＝∠ADQ＝24°，AD＝DP，
∵△ABD和△CBD为两个全等的等腰直角三角形，
∴∠CDB＝∠ADB＝45°，CD＝AD，
∴∠CDP＝∠CDB+∠ADB+∠PDQ+∠ADQ＝138°，
∵AD＝DP，CD＝AD，
∴CD＝DP，即△DCP是等腰三角形，
∴∠DCP＝（180°﹣∠CDP）＝21°．
故答案为：21．
【点睛】本题考查了关于直线对称、全等三角形的性质，熟练掌握性质，找出对应边和对应角是解题的关键．
4．（2021 鞍山）如图，∠POQ＝90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA′C，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为 　67.5°或72°　．
【答案】67.5°或72°．
【点拨】结合折叠及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质可得∠COA＝∠COA′＝∠BAO，设∠COA＝∠COA′＝∠BAO＝x°，然后利用三角形外角和等腰三角形的性质表示出∠BCO＝2x°，∠A′OB＝90°﹣2x°，∠OBD＝90°﹣x°，∠BDO＝∠AOD+∠BAO＝3x°，从而利用分类讨论思想解题．
【解析】解：∵∠POQ＝90°，C为AB的中点，
∴OC＝AC＝BC，
∴∠COA＝∠BAO，∠OBC＝∠BOC，
又由折叠性质可得∠COA＝∠COA′，
∴∠COA＝∠COA′＝∠BAO，
设∠COA＝∠COA′＝∠BAO＝x°，则∠BCO＝2x°，∠A′OB＝90°﹣2x°，∠OBD＝90°﹣x°，∠BDO＝∠AOD+∠BAO＝3x°，
①当OB＝OD时，∠ABO＝∠BDO，
∴90°﹣x°＝3x°，
解得x＝22.5°，
∴∠OBD＝90°﹣22.5°＝67.5°；
②当BD＝OD时，∠OBD＝∠A′OB，
∴90°﹣x°＝90°﹣2x°，解得：x＝0（舍去），
∴此情况不存在；
③当OB＝DB时，∠BDO＝∠A′OB，
∴3x°＝90°﹣2x°，
解得：x＝18°，
∴∠OBD＝90°﹣18°＝72°；
综上，∠OBD的度数为67.5°或72°，
故答案为：67.5°或72°．
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质及直角三角形斜边中线等于斜边的一半，掌握相关性质并注意分类讨论思想解题是关键．
5．（2023 泰安）如图，在△ABC中，AC＝BC＝16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于F点，G点，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，则CG的长度为 　　．
【答案】．
【点拨】根据轴对称可得∠B＝∠B′，进而得出△ADF∽△B′GF，根据相似三角形的性质可求出FG，进而求出CG．
【解析】解：∵△BDE与△B′DE关于DE对称，
∴∠B＝∠B′，
∵AC＝BC，
∴∠B＝∠A，
∴∠A＝∠B'，
又∵∠AFD＝∠B′FG，
∴△ADF∽△B′GF，
∴＝，
即＝，
∴GF＝，
∴CG＝AC﹣AF﹣GF
＝16﹣8﹣
＝，
故答案为：．
【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及轴对称的性质，掌握轴对称的性质以及相似三角形的判定和性质是正确解答的前提．
6．（2021 浙江）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是 　　；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为 　（1+）π﹣1﹣　．
【答案】，（1+）π﹣1﹣．
【点拨】如图1中，过点B作BH⊥AC于H．解直角三角形求出CA，当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，求出CA′，CK．可得结论．如图2中，点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA﹣2S△ABC，由此求解即可．
【解析】解：如图1中，过点B作BH⊥AC于H．
在Rt△ABH中，BH＝AB sin30°＝1，AH＝BH＝，
在Rt△BCH中，∠BCH＝45°，
∴CH＝BH＝1，
∴AC＝CA′＝1+，
当CA′⊥AB时，点A′到直线AB的距离最大，
设CA′交AB的延长线于K．
在Rt△ACK中，CK＝AC sin30°＝，
∴A′K＝CA′﹣CK＝1+﹣＝．
如图2中，点P到达点B时，线段A′P扫过的面积＝S扇形A′CA﹣2S△ABC＝﹣2××（1+）×1＝（1+）π﹣1﹣．
故答案为：，（1+）π﹣1﹣．
【点睛】本题考查轴对称的性质，翻折变换，解直角三角形，扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用分割法求面积，属于中考填空题中的压轴题．
类型三 轴对称变换
1．（2023 安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
【答案】见解析；
【点拨】（1）根据轴对称的性质画出图形即可；
（2）根据平移的性质画出图形即可；
（3）根据线段垂直平分线的作法画出图形即可．
【解析】解：（1）线段A1B1如图所示；
（2）线段A2B2如图所示；
（3）直线MN即为所求．
【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了线段垂直平分线的性质．
2．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕着原点O逆时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
【答案】（1）见解析．
（2）见解析．
（3）．
【点拨】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）利用勾股定理求出OA2，OC2的长，再利用扇形面积公式计算即可．
【解析】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）由勾股定理得，OA2＝＝，OC2＝＝，
∴线段A2C2在旋转过程中扫过的面积﹣＝．
【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换、平移变换、旋转变换、扇形面积公式，熟练掌握轴对称的性质、平移的性质、旋转的性质、扇形面积公式是解答本题的关键．
3．（2023 宿迁）如图，在 ABCD中，AB＝5，，∠A＝45°．
（1）求出对角线BD的长；
（2）尺规作图：将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点E处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）；
（2）见解析．
【点拨】（1）连接BD，过D作DH⊥AB于H，依据等腰直角三角形以及勾股定理，即可得到BD的长；
（2）以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于E；分别以B，E为圆心，适当的长为半径画弧，两弧交于点F；作射线AF，交DC于G，则AG即为折痕．
【解析】解：（1）如图所示，连接BD，过D作DH⊥AB于H，
∵∠A＝45°，∠AHD＝90°，
∴∠ADH＝45°＝∠A，
∴△ADH是等腰直角三角形，
又∵，
∴AH＝DH＝3，
∴BH＝AB﹣AH＝5﹣3＝2，
∴Rt△BDH中，BD＝＝；
（2）如图所示，AG即为所求．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及轴对称变换，掌握平行四边形的性质以及轴对称的性质是解决问题的关键．
4．（2022 桂林）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．
（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
【答案】（1）图形见解解析；
（2）图形见解析；
（3）W，X．
【点拨】（1）根据要求直接平移即可；
（2）在第四象限画出关于x轴对称的图形；
（3）观察图形可得结论．
【解析】解：（1）如图1，
（2）如图2，
（3）图1是W，图2是X．
【点睛】本题考查了轴对称的性质和平移，解题关键是牢固掌握关于坐标轴对称的点的坐标的特征并能灵活运用．
5．（2022 吉林）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．
【答案】见解析．
【点拨】（1）作点B关于直线AC的对称点D，四边形ABCD为筝形．
（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，四边形ABCE为平行四边形．
【解析】解：（1）作点B关于直线AC的对称点D，连接ABCD，四边形ABCD为筝形，符合题意．
（2）将点A向右平移1个单位，再向上平移1个单位可得点E，连接ABCE，AE∥BC且AE＝BC，
∴四边形ABCE为平行四边形，符合题意．
【点睛】本题考查网格无刻度尺作图，解题关键是掌握平行四边形的性质．
6．（2022 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH的面积为4，连接DH，请直接写出线段DH的长．
【答案】见解析
【点拨】（1）根据轴对称的性质可得△ADC；
（2）利用平行四边形的性质即可画出图形，利用勾股定理可得DH的长．
【解析】解：（1）如图，△ADC即为所求；
（2）如图， EFGH即为所求；
由勾股定理得，DH＝＝5．
【点睛】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，平行四边形的性质，勾股定理等知识，准确画出图形是解题的关键．
7．（2021 无锡）（1）如图甲，6×6的网格中，△ABC的顶点都是格点，AD是△ABC的高，E是AC与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下画图，画图过程用虚线表示：①画出点E关于AD的对称点F；②在AB上画点G，使DG＝DB．
（2）如图乙，已知直线l和直线l外一点P，请你用无刻度的直尺和圆规在直线l上找一点A，使PA所在直线与直线l的夹角为60°．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】（1）作图见解析；
（2）作图见解析．
【点拨】（1）①取格点Q，连接AQ，线段AQ与网格线的交点F，即为所求；
②取格点T，连接DT交AB于点G，连接DG即可；
（2）作PT∥直线l，在射线PT截取线段PE，在直线PT的上方，作等边△PEF，直线PF交直线l于点A，直线PA即为所求．
【解析】解：（1）①如图甲中，点F即为所求；
②如图甲中，线段DG即为所求．
（2）如图乙中，直线PA即为所求．
【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，平行线分线段成比例定理，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
8．（2021 宁夏）在平面直角坐标系中，已知线段A1B1与线段AB关于y轴对称，点A1（﹣2，1）是点A的对应点，点B1是点B（4，2）的对应点．
（1）画出线段AB和A1B1；
（2）画出将线段A1B1绕点A1逆时针旋转90°所得的线段A1B2，并求出点B1旋转到点B2所经过的路径长．
【答案】（1）见解析；
（2）π．
【点拨】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A点、B1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出B1的对应点B2，再求出A1B1的长，然后利用弧长公式计算点B1旋转到点B2所经过的路径长．
【解析】解：（1）如图，线段AB和A1B1为所作；
（2）如图，线段A1B2为所作，
A1B1＝＝，
所以点B1旋转到点B2所经过的路径长＝＝π．
【点睛】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了旋转变换．
9．（2020 广州）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，BD＝10，求点E到AD的距离．
【答案】见解析
【点拨】（1）根据点关于直线的对称点的画法，过点A作BD的垂线段并延长一倍，得对称点C；
（2）①根据菱形的判定即可求解；
②过B点作BF⊥AD于F，根据菱形的性质，勾股定理得到OB＝5，OA＝12，AD＝13，再根据三角形面积公式即可求解．
【解析】解：（1）如图所示：点C即为所求；
（2）①证明：∵∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
∵C是点A关于BD的对称点，
∴CB＝AB，CD＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD，
∴四边形ABCD是菱形；
②过B点作BF⊥AD于F，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝BD＝5，
∵E是BC的中点，OA＝OC，
∴BC＝2OE＝13，
∴OC＝＝12，
∴OA＝12，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝13，
∴BF＝×12×5×2×2÷13＝，
故点E到AD的距离是．
【点睛】此题主要考查了基本作图以及轴对称变换的作法、菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等知识，得出BC，AC的长是解题关键．
类型四 最短路线问题
1．（2023 广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为 　　．
【答案】．
【点拨】如图，连接AE交BD于一点F，根据正方形的性质得到点A与点C关于BD对称，求得AF＝CF，推出AF+EF＝AE，此时CF+EF最小，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：如图，连接AE交BD于一点F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A与点C关于BD对称，
∴AF＝CF，
∴AF+EF＝AE，此时CF+EF最小，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴AD＝AB＝4，∠DAB＝90°，
∵点E在BC上且BE＝1，
∴AE＝＝＝，
故CF+EF的最小值为．
故答案为：
【点睛】此题考查了轴对称﹣最短路径问题，正方形的性质，熟练运用勾股定理计算是解题的关键．
2．（2022 赤峰）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（　　）
A．3 B．5 C．2 D．
【答案】A
【点拨】根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值，求出此时的最小值即可．
【解析】解：根据题意得，E点关于x轴的对称点是BC的中点E'，连接DE'交AC与点P，此时PD+PE有最小值为DE'，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），
∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，
∴△BCD是等边三角形，
∴DE'＝OC＝3，
即PD+PE的最小值是3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质，等边三角形的判定和性质是解题的关键．
3．（2022 广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（　　）
A．2 B． C．1.5 D．
【答案】A
【点拨】如图，取AB的中点T，连接PT，FT．首先证明四边形ADFT是平行四边形，推出AD＝FT＝2，再证明PE+PF＝PT+PF，由PF+PT≥FT＝2，可得结论．
【解析】解：如图，取AB的中点T，连接PT，FT．
∵四边形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，CD＝AB，
∵DF＝CF，AT＝TB，
∴DF＝AT，DF∥AT，
∴四边形ADFT是平行四边形，
∴AD＝FT＝2，
∵四边形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，
∴E，T关于AC对称，
∴PE＝PT，
∴PE+PF＝PT+PF，
∵PF+PT≥FT＝2，
∴PE+PF≥2，
∴PE+PF的最小值为2．
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，菱形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
4．（2022 资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【点拨】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点A'，再连接A'O，运用两点之间线段最短得到A'O为所求最小值，再运用勾股定理求线段A'O的长度即可．
【解析】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点A'，连接A'O，其与BC的交点即为点E，再作OF⊥AB交AB于点F，
∵A与A'关于BC对称，
∴AE＝A'E，AE+OE＝A'E+OE，当且仅当A'，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时AE+OE＝A'E+OE＝A'O，
∵正方形ABCD，点O为对角线的交点，
∴，
∵A与A'关于BC对称，
∴AB＝BA'＝4，
∴FA'＝FB+BA'＝2+4＝6，
在Rt△OFA'中，，
故选：D．
【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键．
5．（2022 德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【点拨】要求ME+MC的最小值，ME、MC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化ME，MC的值，从而找出其最小值求解．
【解析】解：如图，连接AE交BD于M点，
∵A、C关于BD对称，
∴AE就是ME+MC的最小值，
∵正方形ABCD中，点E是BC上的一定点，且BE＝BC﹣CE＝6﹣2＝4，
∵AB＝6，
∴AE＝＝2，
∴ME+MC的最小值是2．
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是轴对称﹣﹣路径最短问题、勾股定理的应用、正方形的性质，明确当点A、M、E在一条直线上时，ME+MA有最小值是解题的关键．
6．（2023 德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为 　　．
【答案】．
【点拨】先确定FG和EC的长为确定的值，得到四边形CGFE的周长最小时，即为CG+EF最小时，平移CG到C'F，作点E关于AD对称点E'，连接E'C'交AD于点G'，得到CG+EF最小时，点G与G'重合，再利用平行线分线段成比例求出C'G'长即可．
【解析】解：∵∠A＝90°，AD∥BC，
∴∠B＝90°，
∵AB＝3，BC＝4，AE＝1，
∴BE＝AB﹣AE＝3﹣1＝2，
在Rt△EBC中，
由勾股定理，得EC＝＝＝，
∵FG＝1，
∴四边形CGFE的周长＝CG+FG+EF+EC＝CG+EF+1+，
∴四边形CGFE的周长最小时，只要CG+EF最小即可．
过点F作FC'∥GC交BC于点C'，延长BA到E'，使AE'＝AE＝1，连接E'F，E'C'，E'C'交AD于点G'，
可得AD垂直平分E'E，
∴E'F＝EF，
∵AD∥BC，
∴C'F＝CG，CC'＝FG＝1，
∴CG+EF＝C'F+E'F≥E'C'，
即CG+EF最小时，CG＝C'G'，
∵E'B＝AB+AE'＝3+1＝4，BC'＝BC﹣CC'＝4﹣1＝3，
由勾股定理，得E'C'＝＝＝5，
∵AG'∥BC'，
∴＝，即＝，
解得C'G'＝，
即四边形CGFE的周长最小时，CG的长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，解答中涉及三角形三边关系，勾股定理，平行线分线段成比例定理，能将周长和的最小值表示成一条线段的长与固定长度的和是解题的关键．
7．（2023 盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝，AD＝4，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．3 D．4
【答案】C
【点拨】根据三角形的中位线可得AM＝BP，DN＝，转化所求最值为（PB+PC）再依据将军饮马模型解答即可．
【解析】解：∵点M，N分别是PB，PC的中点，
∴AM＝BP，DN＝PC，MN∥BC，
∵ME∥DN，
∴四边形DEMN是平行四边形，
∴ME＝ND，
∴AM+ME＝AM+DN＝（BP+PC），
∴AM+ME的最小值就是（BP+PC）的最小值．
找到点C关于直线AD对称点Q，连接PQ、BQ．
BP+PC＝BP+PQ，
当点BPQ三点共线时，BP+PQ的最小值就是BQ，
在Rt△BCQ中，BC＝AD＝4，QC＝2CD＝2，
BQ＝＝＝6，
∴AM+ME的最小值＝BM＝3，
故选：C．
【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题以及三角形中位线性质，转化所求最值是本题的关键．
8．（2022 鄂州）如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（　　）
A．24 B．24 C．12 D．12
【答案】C
【点拨】沿BC的方向将PQ和MN平移重合，即B和C点重合，点D平移至T，连接AT，即AB+CD最小，进一步求得结果．
【解析】解：如图，
作DL⊥PQ于L，过点A作PQ的垂线，过点D作PQ的平行线，它们交于点R，延长DF至T，使DT＝BC＝12，连接AT，
AT交MN于B′，作B′C′∥BC，交PQ于C′，则当BC在B′C′时，AB+CD最小，最小值为AT的长，
可得AK＝AE sin60°＝＝2，DL＝＝4，＝6，
∴AR＝2+6+4＝12，
∵AD＝24，
∴sin∠ADR＝＝，
∴∠ADR＝30°，
∵∠PFD＝60°，
∴∠ADT＝90°，
∴AT＝＝＝12，
故答案为：C．
【点睛】本题考查了平移性质和平移的运用，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，将B和C两地变为“一个点”．
9．（2023 黑龙江）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠ABC＝60°，点E，F分别是边BC和对角线AC上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF相交于点M，点P是BC边上的一个动点，连接PM，PD，则PM+PD的最小值是 　﹣　．
【答案】﹣．
【点拨】证明△ABE≌△BCF，求出∠AMB＝120°，作⊙O，说明点M在上运动，作点D关于BC的对称点D′，连接OD′，利用点圆关系及线段和最短的求法解出答案即可．
【解析】解：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCA＝60°，
∵BE＝CF，
∴△ABE≌△BCF，
∴∠BAE＝∠CBF，
∵∠ABM+∠CBM＝60°，
∴∠ABM+∠BAM＝60°，
∴∠AMB＝120°，
如图，作以AB为弦，以∠AMB为圆周角的⊙O，
∴点M在上运动，延长BC，作点D关于BC的对称点D′，连接OD′，交⊙O为M′，交BC为P′，DD′交BC于H，
则D′M′为点D到在的最小距离，且P′D′+P′M′即PD+PM的最小值，
即D′M′为PD+PM的最小值，
∵∠AMB＝120°，
∴∠AOB＝120°，
∵AB＝3，
∴OA＝OB＝＝OM，
在Rt△CDH中，
∵CD＝AB＝3，∠DCH＝∠ABC＝60°，
∴CH＝，DH＝，
∴BH＝BC+CH＝，DD′＝2DH＝3，
作OQ⊥DD′于Q，
∴四边形BHQO为矩形，
∴OQ＝BH＝，QH＝OB＝，
∴D′Q＝HD′+HQ＝，
在Rt△OD′Q中，OD′＝＝，
∴D′M′＝﹣，
故答案为：﹣．
【点睛】本题考查了菱形及圆的知识点，点圆关系和线段和最短的题型的解法是解题关键
类型五 折叠问题
1．（2023 金昌）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【点拨】由折叠可知∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，由同旁内角互补，两直线平行得AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，由平行线的性质可得FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，再根据对角线互相垂直平分的四边形为菱形可知四边形EFGH为菱形，最后利用菱形的面积公式计算即可求解．
【解析】解：如图，设EG与FH交于点O，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
根据折叠的性质可得，∠AGE＝∠BGE＝90°，AG＝BG，∠AFH＝∠DFH＝90°，AF＝DF，
∴AD∥GE⊥BC，AB∥FH∥CD，
∴FH⊥GE，GE＝BC＝4，FH＝AB＝2，OF＝OH，OG＝OE，
∴四边形EFGH为菱形，
∴S菱形EFGH＝＝＝4．
故选：B．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、菱形的面积公式，熟知折叠的性质和菱形的判定方法是解题关键．
2．（2023 牡丹江）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（　　）
A．3 B． C．2 D．1
【答案】C
【点拨】由矩形的性质得DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，由折叠得∠AFE＝∠B＝90°，AF＝AB＝8，所以四边形ABEF是正方形，则BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，所以EM＝8﹣BM，FM＝CM＝12﹣BM，由勾股定理得（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，求得BM＝2，于是得到问题的答案．
【解析】解：如图①，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝12，
∴DC＝AB＝8，BC＝AD＝12，∠BAD＝∠B＝90°，
由折叠得∠AFE＝∠B＝90°，
∴四边形ABEF是矩形，
∵AF＝AB＝8，
∴四边形ABEF是正方形，
∴BE＝EF＝AB＝8，∠BEF＝90°，
如图②，由折叠得FM＝CM，
∵EM2+EF2＝FM2，且EM＝8﹣BM，FM＝CM＝12﹣BM，
∴（8﹣BM）2+82＝（12﹣BM）2，
解得BM＝2，
故选：C．
【点睛】此题重点考查正方形的判定与性质、矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，推导出EM＝8﹣BM，FM＝CM＝12﹣BM，是解题的关键．
3．（2023 无锡）如图，正方形ABCD的边长为2，M是AD的中点，将四边形ABCM沿CM翻折得到四边形EFCM，连接DF，则sin∠DFE的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【点拨】延长CF，AD交于G，过D作DH⊥CG于H，由正方形ABCD的边长为2，M是AD的中点，将四边形ABCM沿CM翻折得到四边形EFCM，可得∠BCM＝∠GCM，CF＝BC＝2，从而∠DMC＝∠GCM，GM＝GC，设DG＝x，在Rt△DCG中有x2+22＝（x+1）2，解得DG＝1.5，GC＝x+1＝2.5，求出FG＝GC﹣CF＝0.5，用面积法可得DH＝＝1.2，即得GH＝＝0.9，FH＝GH﹣FG＝0.4，用勾股定理得DF＝＝；可得sin∠FDH＝＝，而∠FDH＝∠DFE，故sin∠DFE＝．
【解析】解：延长CF，AD交于G，过D作DH⊥CG于H，如图：
∵正方形ABCD的边长为2，M是AD的中点，
∴AD∥BC，DM＝AD＝1，
∴∠DMC＝∠BCM，
∵将四边形ABCM沿CM翻折得到四边形EFCM，
∴∠BCM＝∠GCM，∠EFC＝∠B＝90°，CF＝BC＝2，
∴∠DMC＝∠GCM，
∴GM＝GC，
设DG＝x，则GM＝x+1＝GC，
在Rt△DCG中，DG2+CD2＝GC2，
∴x2+22＝（x+1）2，
解得x＝1.5，
∴DG＝1.5，GC＝x+1＝1.5+1＝2.5，
∴FG＝GC﹣CF＝2.5﹣2＝0.5，
∵2S△CDG＝DG CD＝CG DH，
∴DH＝＝＝1.2，
∴GH＝＝＝0.9，
∴FH＝GH﹣FG＝0.9﹣0.5＝0.4，
∴DF＝＝＝；
∴sin∠FDH＝＝＝，
∵∠EFC＝∠DHC＝90°，
∴DH∥EF，
∴∠FDH＝∠DFE，
∴sin∠DFE＝；
故选：A．
【点睛】本题考查正方形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，解题的关键是掌握正方形性质和翻折的性质．
4．（2023 浙江）如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．则DH的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【点拨】过点M作MG⊥BD于点G，根据勾股定理求得BD＝5，由折叠可知BE＝CE＝EH＝BC＝2，∠C＝∠EHM＝90°，CM＝HM，进而得出BE＝EH，∠EBH＝∠EHB，利用等角的余角相等可得∠HDM＝∠DHM，则DM＝HM，于是可得DM＝HM＝CM＝CD＝，由等腰三角形的性质可得DH＝2DG，易证明△MGD∽△BCD，利用相似三角形的性质即可求解．
【解析】解：如图，过点M作MG⊥BD于点G，
∵四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，
∴AB＝CD＝3，∠C＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝＝＝5，
根据折叠的性质可得，BE＝CE＝BC＝2，∠C＝∠EHM＝90°，CE＝EH＝2，CM＝HM，
∴BE＝EH＝2，
∴△BEH为等腰三角形，∠EBH＝∠EHB，
∵∠EBH+∠HDM＝90°，
∠EHB+∠DHM＝90°，
∴∠HDM＝∠DHM，
∴△DHM为等腰三角形，DM＝HM，
∴DM＝HM＝CM＝CD＝，
∵MG⊥BD，
∴DH＝2DG，∠MGD＝∠BCD＝90°，
∵∠MDG＝∠BDC，
∴△MGD∽△BCD，
∴，即，
∴DG＝，
∴DH＝2DG＝．
故选：D．
【点睛】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据矩形和折叠的性质推理论证出DM＝HM，以此得出点M为CD的中点是解题关键．
5．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，2） D．（1﹣，2）
【答案】D
【点拨】根据相似三角形的判定定理得到△ABC∽△D1C1O，求出AB＝CD＝2，连接OC，设BC与OC1交于F，然后求出OC＝OC1＝2，得到C1F＝2﹣2，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】解：∵矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4，
∴OA＝1，OD＝4，BC＝5，
∵AB∥OC1，
∴∠ABO＝∠D1OC1，
∵∠BAO＝∠OD1C1＝90°，
∴△AOB∽△D1C1O，
∴，
∵将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，
∴OD1＝OD＝4，D1C1＝DC＝AB，
∴，
∴AB＝2（负值舍去），
∴CD＝2，
连接OC，设BC与OC1交于F，
∴OC＝，
∵∠FOA＝∠OAB＝∠ABF＝90°，
∴四边形OABF是矩形，
∴AB＝OF＝2，∠BFO＝90°＝∠EFC1，OA＝BF＝1，
∴CF＝5﹣1＝4，
由折叠知，OC1＝OC＝2，EC1＝EC＝CF﹣EF＝4﹣EF，
∴FC1＝OC1﹣OF＝2﹣2，
∵EF2+C1F2＝，
∴，
解得EF＝﹣1，
∴E（1﹣，2），
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，利用相似三角形的性质求出AB的长是解题的关键．
6．（2023 赤峰）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合，DE交BC于点F，交AB延长线于点E，DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM＝4，则下列结论：①DQ＝EQ，②BQ＝3，③BP＝，④BD∥FQ．正确的是（　　）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
【答案】A
【点拨】由折叠性质和平行线的性质可得∠QDF＝∠CDF＝∠QEF，根据等角对等边即可判断①正确；根据等腰三角形三线合一的性质求出MQ＝AM＝4，再求出BQ即可判断②正确；由△CDP∽△BQP 得 ，求出BP即可判断③正确；根据 即可判断④错误．
【解析】解：由折叠性质可知：∠CDF＝∠QDF，CD＝DQ＝5，
∵CD∥AB，
∴∠CDF＝∠QEF．
∴∠QDF＝∠QEF．
∴DQ＝EQ＝5．故①正确；
∵DQ＝CD＝AD＝5，DM⊥AB，
∴MQ＝AM＝4．
∵MB＝AB﹣AM＝5﹣4＝1，
∴BQ＝MQ﹣MB＝4﹣1＝3．故②正确；
∵CD∥AB，
∴△CDP∽△BQP．
∴．
∵CP+BP＝BC＝5，
∴，故③正确；
∵CD∥AB，
∴△CDF∽△BEF．
∴，
∴，
∵，
∴，
∴△EFQ与△EDB不相似．
∴∠EQF≠∠EBD．
∴BD与FQ不平行．故④错误；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，属于选择压轴题，有一定难度，熟练掌握相关性质是解题的关键．
7．（2023 凉山州）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝　2　．
【答案】2．
【点拨】由∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，可得∠A＝∠ACD，由翻折的性质可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，故∠A＝∠ACD＝∠A'CD，而A'C⊥AB，即得∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，在Rt△ABC中，tan30°＝，可解得AC，从而可得答案．
【解析】解：设CA'交AB于O，如图：
∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，
∴CD＝AD＝DB，
∴∠A＝∠ACD，
由翻折的性质可知∠ACD＝∠A'CD，AC＝CA'，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD，
∵A'C⊥AB，
∴∠AOC＝90°，
∴∠A'CD+∠ACD+∠A＝90°，
∴∠A＝∠ACD＝∠A'CD＝30°，
在Rt△ABC中，tanA＝，
∴tan30°＝，
∴AC＝2，
∴CA'＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，熟练掌握含30°角的直角三角形三边的关系．
8．（2023 邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为 　﹣2　．
【答案】﹣2．
【点拨】根据折叠的性质得出B'在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在BC上时，当点P在DC上时，当P在AD上时，即可求解．
【解析】解：在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，
∴BC＝AD＝，AC＝＝，
如图所示，当点P在BC上时，
∵AB'＝AB＝2，
.∴B'在A为圆心，2为半径的弧上运动，
当A，B'，C三点共线时，CB'最短，
此时CB'＝AC﹣AB'＝﹣2，
当点P在DC上时，如图所示，
此时CB'＞﹣2，
当P在AD上时，如图所示，此时CB'＞﹣2，
综上所述，CB'的最小值为﹣2，
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
9．（2023 黑龙江）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝9，点D在BC上，且BD：DC＝1：2，连接AD．将AD沿直角边翻折，得到线段AE，连接BE，点P在射线AC上，且∠APB＝∠ABE，则AP的长是 　4或20　．
【答案】4或20．
【点拨】分两种情况讨论，一是AD沿AB翻折得到线段AE，则∠ABE＝∠ABC，而∠APB＝∠ABE，所以∠APB＝∠ABC，则＝tan∠APB＝tan∠ABC＝＝，所以AP＝AB＝4；二是AD沿AC翻折得到线段AE，连接DE交AC于点M，作EN⊥BA交BA的延长线于点N，可证明△MDC∽△ABC，则＝＝＝，求得MD＝AB＝4，MC＝AC＝6，则AM＝3，所以EN＝3，BN＝10，则＝tan∠APB＝tan∠ABE＝＝，求得AP＝AB＝20．
【解析】解：如图1，AD沿AB翻折得到线段AE，则∠ABE＝∠ABC，
∵∠APB＝∠ABE，
∴∠APB＝∠ABC，
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝9，
∴＝tan∠APB＝tan∠ABC＝＝＝，
∴AP＝AB＝×6＝4；
如图2，AD沿AC翻折得到线段AE，连接DE交AC于点M，作EN⊥BA交BA的延长线于点N，
∵点E与点D关于AC对称，
∴AC垂直平分DE，
∴∠DMC＝∠BAC＝90°，
∴MD∥AB，
∴△MDC∽△ABC，
∵BD：DC＝1：2，
∴＝，
∴＝＝＝，
∴MD＝AB＝×6＝4，MC＝AC＝×9＝6，
∴AM＝AC﹣MC＝9﹣6＝3，
∵∠N＝∠MAN＝∠AME＝90°，
∴四边形AMEN是矩形，
∴AN＝ME＝MD＝4，EN＝AM＝3，
∴BN＝AB+AN＝6+4＝10，
∵∠APB＝∠ABE，
∴＝tan∠APB＝tan∠ABE＝＝，
∴AP＝AB＝×6＝20，
故答案为：4或20．
【点睛】此题重点考查轴对称的性质、锐角三角函数与解直角三角形等知识，推导出∠APB＝∠ABC是解题的关键．
10．（2023 南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝　　cm．
【答案】．
【点拨】作EH⊥BC于点H，由CF＝4cm，FB′＝1cm，求得B′C＝5cm，由折叠得BC＝B′C＝5cm，由菱形的性质得BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，因为CB′⊥AD于点F，所以∠BCB′＝∠CFD＝90°，则∠BCE＝∠B′CE＝45°，DF＝＝3cm，所以∠HEC＝∠BCE＝45°，则CH＝EH，由＝sinB＝sinD＝，＝cosB＝cosD＝，得CH＝EH＝BE，BH＝BE，于是得BE+BE＝5，则BE＝cm．
【解析】解：作EH⊥BC于点H，则∠BHE＝∠CHE＝90°，
∵CF＝4cm，FB′＝1cm，
∴B′C＝CF+FB′＝4+1＝5（cm），
由折叠得BC＝B′C＝5cm，∠BCE＝∠B′CE，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，DC＝BC＝5cm，∠B＝∠D，
∵CB′⊥AD于点F，
∴∠BCB′＝∠CFD＝90°，
∴∠BCE＝∠B′CE＝∠BCB′＝×90°＝45°，DF＝＝＝3（cm），
∴∠HEC＝∠BCE＝45°，
∴CH＝EH，
∵＝sinB＝sinD＝＝，＝cosB＝cosD＝＝，
∴CH＝EH＝BE，BH＝BE，
∴BE+BE＝5，
∴BE＝cm，
故答案为：．
【点睛】此题重点考查菱形的性质、轴对称的性质、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
11．（2023 徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 　　．
【答案】3．
【点拨】由折叠性质可知AC＝AC'＝3，然后根据三角形的三边不等关系可进行求解．
【解析】解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝3，
∴，
由折叠的性质可知AC＝AC'＝3，
∵BC'≥AB﹣AC'，
∴当A、C′、B三点在同一条直线时，BC'取最小值，最小值即为，
故答案为 ．
【点睛】本题主要考查勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系，熟练掌握勾股定理、折叠的性质及三角形的三边不等关系是解题的关键．
类型六 剪纸问题
1．（2021 浙江）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
【答案】D
【点拨】对折是轴对称得到的图形，根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠2次后，剪去一个三角形得到的，按原图返回即可．
【解析】解：如图，由题意可知，剪下的图形是四边形BACD，
由折叠可知CA＝AB，
∴△ABC是等腰三角形，
又△ABC和△BCD关于直线BC对称，
∴四边形BACD是菱形，
故选：D．
【点睛】本题主要考查折叠的性质及学生动手操作能力：逆向思维也是常用的一种数学思维方式．
2．（2020 青海）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【点拨】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．
【解析】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：
．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．
3．（2023 临沂）如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 　14　．
【答案】14．
【点拨】根据DE∥BC，DF∥AC，可得四边形DECF为平行四边形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，所以＝＝，＝＝，因为AC＝6，BC＝9，所以DE＝3，DF＝4，即可得出答案．
【解析】解：如图，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF为平行四边形，△ADE∽△ABC，△BDF∽△BAC，
∴＝＝，＝＝，
∵AC＝6，BC＝9，
∴DE＝3，DF＝4，
∴平行四边形纸片的周长是2×（3+4）＝14．
故答案为：14．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的判定和性质．
4．（2021 资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB剪开，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为 　135°　．
【答案】135°
【点拨】根据翻折可以知道∠OAB＝∠DCE，且∠CDE＝75°，CD＝CE，求出∠AOB和∠OAB的度数即可求∠OBA的度数．
【解析】解：由题知，∠AOB＝×180°＝30°，
由翻折知∠OAB＝∠DCE，CD＝CE，
∵∠CDE＝75°，
∴∠DCE＝180°﹣75°﹣75°＝30°，
∴∠OAB＝∠DCE＝＝15°，
∴∠OBA＝180°﹣∠AOB﹣∠OAB＝180°﹣30°﹣15°＝135°，
故答案为：135°．
【点睛】本题主要考查剪纸问题，熟练掌握剪纸中的翻折是解题的关键．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
备考2024中考二轮数学《高频考点冲刺》（全国通用）
专题27 轴对称问题
考点扫描☆聚焦中考
轴对称问题在近几年各地中考主要以填空题或选择题的形式进行考查，属于中、低档题，较为简单；也有部分地区以选择、填空的压轴题出现，少数地区以解答题的形式进行考查，属于中档题，难度一般；考查的内容主要涉及的有：轴对称与轴对称图形的概念；轴对称的性质；轴对称变换；利用平移设计图案；考查的热点主要有轴对称图形的判断；轴对称的性质；轴对称变换；最短路线问题；折叠问题；剪纸问题。
考点剖析☆典型例题
例1 （2023 广东）下列出版社的商标图案中，是轴对称图形的为（　　）
A．B． C．D．
例2（2020 哈尔滨）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
例3（2021 深圳）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位．
（1）过直线m作四边形ABCD的对称图形；
（2）求四边形ABCD的面积．
例4（2023 泸州）如图，E，F是正方形ABCD的边AB的三等分点，P是对角线AC上的动点，当PE+PF取得最小值时，的值是 　　．
例5（2023 黄石）如图，有一张矩形纸片ABCD．先对折矩形ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN，MN．观察所得的线段，若AE＝1，则MN＝（　　）
A． B．1 C． D．2
例6（2022 六盘水）如图，将一张长方形纸对折，再对折，然后沿图中虚线剪下，剪下的图形展开后可得到（　　）
A．三角形 B．梯形 C．正方形 D．五边形
考点过关☆专项突破
类型一 轴对称图形
1．（2023 淮安）剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023 深圳）下列图形中，为轴对称的图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 云南）中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 益阳）如图所示正方体的展开图中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 衡阳）下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 泰州）书法是我国特有的优秀传统文化，其中篆书具有象形特征，充满美感．下列“福”字的四种篆书图案中，可以看作轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023 宁夏）下面是由七巧板拼成的图形（只考虑外形，忽略内部轮廓），其中轴对称图形是（　　）
A． B． C． D．
8．（2022 北京）图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
类型二 轴对称的性质
1．（2023 德州）下列选项中，直线l是四边形的对称轴的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2021 广州）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，点D是边AB上一点，点B关于直线CD的对称点为B′，当B′D∥AC时，则∠BCD的度数为 　　．
3．（2021 株洲）《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（“”为“蜨”，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“樣”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中△ABD和△CBD为“大三斜”组件（“一樣二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点P处，点P与点A关于直线DQ对称，连接CP、DP．若∠ADQ＝24°，则∠DCP＝　 　度．
4．（2021 鞍山）如图，∠POQ＝90°，定长为a的线段端点A，B分别在射线OP，OQ上运动（点A，B不与点O重合），C为AB的中点，作△OAC关于直线OC对称的△OA′C，A′O交AB于点D，当△OBD是等腰三角形时，∠OBD的度数为 　 　．
5．（2023 泰安）如图，在△ABC中，AC＝BC＝16，点D在AB上，点E在BC上，点B关于直线DE的轴对称点为点B′，连接DB′，EB′，分别与AC相交于F点，G点，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，则CG的长度为 　　．
6．（2021 浙江）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，∠ACB＝45°，AB＝2，点P从点A出发沿AB方向运动，到达点B时停止运动，连结CP，点A关于直线CP的对称点为A′，连结A′C，A′P．在运动过程中，点A′到直线AB距离的最大值是 　　；点P到达点B时，线段A′P扫过的面积为 　 　．
类型三 轴对称变换
1．（2023 安徽）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点）．
（1）画出线段AB关于直线CD对称的线段A1B1；
（2）将线段AB向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段A2B2，画出线段A2B2；
（3）描出线段AB上的点M及直线CD上的点N，使得直线MN垂直平分AB．
2．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，﹣1），B（1，﹣2），C（3，﹣3）．
（1）将△ABC向左平移5个单位，再向下平移2个单位，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
（3）将△A2B2C2绕着原点O逆时针旋转90°，得到△A3B3C3，求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积（结果保留π）．
3．（2023 宿迁）如图，在 ABCD中，AB＝5，，∠A＝45°．
（1）求出对角线BD的长；
（2）尺规作图：将四边形ABCD沿着经过A点的某条直线翻折，使点B落在CD边上的点E处，请作出折痕．（不写作法，保留作图痕迹）
4．（2022 桂林）如图，在平面直角坐标系中，形如英文字母“V”的图形三个端点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（0，3）．
（1）画出“V”字图形向左平移2个单位后的图形；
（2）画出原“V”字图形关于x轴对称的图形；
（3）所得图形与原图形结合起来，你能从中看出什么英文字母？（任意答一个即可）
5．（2022 吉林）图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形．
（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；
（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．
6．（2022 哈尔滨）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点和线段EF的端点均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出△ADC，使△ADC与△ABC关于直线AC对称（点D在小正方形的顶点上）；
（2）在方格纸中画出以线段EF为一边的平行四边形EFGH（点G，点H均在小正方形的顶点上），且平行四边形EFGH的面积为4，连接DH，请直接写出线段DH的长．
7．（2021 无锡）（1）如图甲，6×6的网格中，△ABC的顶点都是格点，AD是△ABC的高，E是AC与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成以下画图，画图过程用虚线表示：①画出点E关于AD的对称点F；②在AB上画点G，使DG＝DB．
（2）如图乙，已知直线l和直线l外一点P，请你用无刻度的直尺和圆规在直线l上找一点A，使PA所在直线与直线l的夹角为60°．（不写作法，保留作图痕迹）
8．（2021 宁夏）在平面直角坐标系中，已知线段A1B1与线段AB关于y轴对称，点A1（﹣2，1）是点A的对应点，点B1是点B（4，2）的对应点．
（1）画出线段AB和A1B1；
（2）画出将线段A1B1绕点A1逆时针旋转90°所得的线段A1B2，并求出点B1旋转到点B2所经过的路径长．
9．（2020 广州）如图，△ABD中，∠ABD＝∠ADB．
（1）作点A关于BD的对称点C；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）所作的图中，连接BC，DC，连接AC，交BD于点O．
①求证：四边形ABCD是菱形；
②取BC的中点E，连接OE，若OE＝，BD＝10，求点E到AD的距离．
类型四 最短路线问题
1．（2023 广州）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上，且BE＝1，F为对角线BD上一动点，连接CF，EF，则CF+EF的最小值为 　 　．
2．（2022 赤峰）如图，菱形ABCD，点A、B、C、D均在坐标轴上．∠ABC＝120°，点A（﹣3，0），点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是（　　）
A．3 B．5 C．2 D．
3．（2022 广安）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（　　）
A．2 B． C．1.5 D．
4．（2022 资阳）如图，正方形ABCD的对角线交于点O，点E是直线BC上一动点．若AB＝4，则AE+OE的最小值是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022 德州）如图，正方形ABCD的边长为6，点E在BC上，CE＝2．点M是对角线BD上的一个动点，则EM+CM的最小值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 德州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，AB＝3，BC＝4，点E在AB上，且AE＝1．F，G为边AD上的两个动点，且FG＝1．当四边形CGFE的周长最小时，CG的长为 　　．
7．（2023 盘锦）如图，四边形ABCD是矩形，AB＝，AD＝4，点P是边AD上一点（不与点A，D重合），连接PB，PC，点M，N分别是PB，PC的中点，连接MN，AM，DN，点E在边AD上，ME∥DN，则AM+ME的最小值是（　　）
A．2 B．3 C．3 D．4
8．（2022 鄂州）如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（　　）
A．24 B．24 C．12 D．12
9．（2023 黑龙江）如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠ABC＝60°，点E，F分别是边BC和对角线AC上的动点，且BE＝CF，连接AE，BF相交于点M，点P是BC边上的一个动点，连接PM，PD，则PM+PD的最小值是 　　 ．
类型五 折叠问题
1．（2023 金昌）如图，将矩形纸片ABCD对折，使边AB与DC，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH．若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
2．（2023 牡丹江）在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，某位同学进行了如下操作：
第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折出一个正方形ABEF，然后把纸片展平；
第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕MN，如图②．
根据以上的操作，若AB＝8，AD＝12，则线段BM的长是（　　）
A．3 B． C．2 D．1
3．（2023 无锡）如图，正方形ABCD的边长为2，M是AD的中点，将四边形ABCM沿CM翻折得到四边形EFCM，连接DF，则sin∠DFE的值等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 浙江）如图，已知矩形纸片ABCD，其中AB＝3，BC＝4，现将纸片进行如下操作：
第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②；
第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③；
第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④．则DH的长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2023 黑龙江）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5．OA：OD＝1：4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1位置，点E的坐标是（　　）
A．（1，2） B．（﹣1，2） C．（﹣1，2） D．（1﹣，2）
6．（2023 赤峰）如图，把一个边长为5的菱形ABCD沿着直线DE折叠，使点C与AB延长线上的点Q重合，DE交BC于点F，交AB延长线于点E，DQ交BC于点P，DM⊥AB于点M，AM＝4，则下列结论：①DQ＝EQ，②BQ＝3，③BP＝，④BD∥FQ．正确的是（　　）
A．①②③ B．②④ C．①③④ D．①②③④
7．（2023 凉山州）如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB，若BC＝2，则CA′＝　 　．
8．（2023 邵阳）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝，动点P在矩形的边上沿B→C→D→A运动．当点P不与点A、B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB'，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为 　 ．
9．（2023 黑龙江）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝9，点D在BC上，且BD：DC＝1：2，连接AD．将AD沿直角边翻折，得到线段AE，连接BE，点P在射线AC上，且∠APB＝∠ABE，则AP的长是 　 　．
10．（2023 南京）如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F．若CF＝4cm，FB′＝1cm，则BE＝　　cm．
11．（2023 徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为 　　 ．
类型六 剪纸问题
1．（2021 浙江）将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
2．（2020 青海）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 临沂）如图，三角形纸片ABC中，AC＝6，BC＝9，分别沿与BC，AC平行的方向，从靠近A的AB边的三等分点剪去两个角，得到的平行四边形纸片的周长是 　 　．
4．（2021 资阳）将一张圆形纸片（圆心为点O）沿直径MN对折后，按图1分成六等份折叠得到图2，将图2沿虚线AB剪开，再将△AOB展开得到如图3的一个六角星．若∠CDE＝75°，则∠OBA的度数为 　　．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑