资源简介

2024年岳阳市初中学业水平考试适应性测试试卷
数学
温馨提示：
1．本试卷共三大题，26小题，满分120分，考试时量120分钟；
2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内；
3．考试结束后，考生不得将试题卷、答题卡、草稿纸带出考场.
一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1. 随着科技的进步，各种移动支付方式改变着人们的生活．若晶晶的余额里转入了50元，记作“”元，则晶晶坐地铁花费了5元，应记作（ ）
A. “”元 B. “”元 C. “”元 D. “”元
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正负数在实际中的应用，正确理解题意是解题的关键．
根据正负数的意义解答即可．
【详解】解：晶晶的余额转入了50元，记作“”元，
那么晶晶花费了5元，应记作“”元．
故答案为．
2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】通过观察立体图形即可．
【详解】解：该立体图形的主视图是 ，
故选：B．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握解答几何体三视图的画法是正确解答．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同底数幂的乘法，完全平方公式，平方差公式，根据二次根式的性质与化简，同底数幂的乘法，完全平方公式，平方差公式进行计算判断即可，熟记运算法则是解题的关键．
【详解】解：A、，原计算错误，故选项不符合题意；
B、，原计算错误，故选项不符合题意；
C、，原计算错误，故选项不符合题意；
D、，计算正确，故选项符合题意；
故选：D．
4. 代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了二次根式、分式有意义的条件，正确得出的取值范围是解题关键．
直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而得出答案．
【详解】解：由题可知：，
解得：．
在数轴上表示为：
故选：A．
5. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查平行线性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
由平行线的性质可求得，从而可求的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
6. 如图，在平面直角坐标系中，与关于轴对称，其中点，，的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点在上的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了关于轴的对称点的坐标，关键是掌握关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．
利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案．
【详解】解：∵与关于轴对称，
点在的边上，
∴点在上的对应点的坐标是．
故选：C．
7. 如图，在菱形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了正方形四边形判定，关键是掌握正方形的判定方法．
根据正方形的判定来添加合适的条件．
【详解】解：要使菱形成为正方形，只要菱形满足以下条件之一即可，（1）有一个内角是直角，（2）对角线相等．
即或．
故选：B．
8. 下列说法中正确的是（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 检查某种灯的使用寿命用全面调查
D. “掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查的是圆相关知识点，平行线的性质，统计调查，事件发生的可能性大小等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
根据圆相关知识点，平行线的性质，统计调查，事件发生的可能性大小判断即可．
【详解】A、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故该项不符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故该项不符合题意；
C、检查某种灯的使用寿命用抽样调查，故该项不正确，不符合题意；
D、“掷一次股子，向上一面的点数是6”是随机事件，故该项正确，符合题意；
故选：D．
9. 如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段，分别以，为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为；
②以点为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点；
③连接、．
则下列说法不正确的是（ ）
A. B. 是正三角形
C. 点在的垂直平分线上 D. 与的面积相等
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了尺规作图，等边三角形的判定和性质，三角形外角的性质等知识．由作法得：，是正三角形，点在的垂直平分线上，与的面积相等，再结合三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解．
【详解】解：由作法得：，
∴是正三角形，点在的垂直平分线上，与的面积相等，故B，C，D选项正确，不符合题意；
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，故A选项错误，符合题意；
故选：A
10. 若要在抛物线（为常数，）上找点，则能找到点的个数是（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象上点坐标特征，根据题意可知恒在直线上，将和联立方程组，利用根的判别式即可得到本题答案．
【详解】解：∵恒在直线上，
∴，
整理得：，
∴，
∴抛物线上点M的个数是：2个，
故选：B．
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）
11. 分解因式：___________.
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式a即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法分解因式，解题的关键是正确确定公因式．
12. 古代为便于纪元，乃在无穷延伸的时间中，取天地循环终始为一巡，称为元，以元作为计算时间的最大单位，元年，其中用科学记数法表示为___________．
【答案】
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，是正整数，当原数的绝对值时，是负整数．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
13. 为进一步推进素质教育，不断丰富校园文化生活，陶冶艺术情操，展现中学生艺术素质教育成果．某校开展了“奏响时代主题，展现校园风采”为主题的器乐大赛．经过几轮筛选，校团委决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区级器乐比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 96 94 96 94
方差 1.4 1.2 0.6 0.6
若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择__________．
【答案】丙
【解析】
【分析】本题考查了平均数和方差的意义，平均数反映了一组数据的整体水平，方差反映了一组数据的稳定性．根据平均数得到甲丙的成绩要好于乙丁的成绩，根据方差得到丙丁的成绩要比甲乙的成绩更稳定，据此即可求解．
【详解】解：由平均数看，甲丙的成绩要好于乙丁的成绩，
由方差看，丙丁的成绩要比甲乙的成绩更稳定，
∴要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择丙．
故答案为：丙．
14. 已知实数，满足，则以，的值为边长的等腰三角形的周长为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，偶次方，算术平方根的非负性，三角形的三边关系，分两种情况讨论是解题的关键．
根据偶次方，算术平方根的非负性可得：，从而可得：，然后分两种情况：当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时；当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时；从而进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
，
解得：，
分两种情况：
当等腰三角形的腰长为5，底边长为2时，
∴的周长；
当等腰三角形的腰长为2，底边长为5时，
∵，
∴不能组成三角形；
综上所述：的周长是12，
故答案为：12．
15. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________．
【答案】8
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解答的关键是熟记一元二次方程根与系数的关系：．
由根与系数的关系可得：，再把所求的式子进行整理，代入相应的值运算即可．
【详解】解：∵一元二次方程两个实数根分别是，
，
，
故答案为：8．
16. 在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，下图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为______．
【答案】20
【解析】
【分析】根据题目中的图形，可以发现“H”的个数的变化特点，然后即可写出第9个壬烷分子结构式中“H”的个数．
【详解】解：由图可得，
甲烷分子结构式中“H”的个数是；
乙烷分子结构式中“H”的个数是；
丙烷分子结构式中“H”的个数是；
…，
∴第9个壬烷分子结构式中“H”的个数是：2+2×9=20；
故答案为：20．
【点睛】本题考查图形类规律探究，解答本题的关键是明确题意，发现“H”的个数的变化特点．
17. 如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口和之间的距离．点，点分别位于测绘点的正北和正西方向．已知测得两定位点和与隧道口和的距离分别为150m和100m，测绘点，分别为，的中点，测绘方在测绘点测得点在点的南偏西53°的方向上，且m，则隧道的长约为__________米．
（参考数据：，，）
【答案】1350
【解析】
【分析】先在中，根据三角函数的定义求出，再根据三角形中位线定理求出，即可求出；本题主要考查了解直角三角形的应用和三角形中位线定理，根据三角函数的定义求出是解决问题的关键．
【详解】在中，
(m)，
∵点，分别为，的中点，
是的中位线，
，
m，
(m)
答：隧道的长约为m．
故答案为：．
18. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在斜边的中点上，连接，若，则的长为__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了图形的旋转，解直角三角形，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
结合旋转，可得到对应线段，对应角度相等，作，构造直角三角形，然后利用勾股定理以及解直角三角形即可算出答案．
【详解】过作交的延长线于点
由旋转可知，，，
是的中点
中，
中，，
，
三、解答题（本大题共8道小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
首先计算零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后合并求出算式的值即可．
【详解】解：原式
．
20. 如图，点、、、在一条直线上，且，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键是掌握全等三角形的判定与性质及平行四边形的判定方法．
（1）根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，再根据，等量交换得，结合已知条件，根据全等三角形判定（边角边），得，即可得；
（2）根据（1）得，由全等三角形的性质得，，根据平行线的判定“内错角相等，两直线平行”得，再根据平行四边形的判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可证得结论．
【小问1详解】
证明：，
，
又，
，
即，
在和中，
，
，
．
【小问2详解】
证明：由（1）得，
，，
，
四边形是平行四边形．
21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，．连接，．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式．
（1）将点坐标分别代入两个解析式得到值即可；
（2）将分别代入解析式求出点坐标，根据三角形面积公式计算即可．
【小问1详解】
解：将代入，
解得，
反比例函数为；
将代入，得，
解得，
一次函数为；
【小问2详解】
轴于点，
轴．
，
点的纵坐标为1．
将代入，
解得，
，
，
．
22. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A．健美操；B．跳绳；C．剪纸；D．书法．为了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为______度；
（3）若全校共有学生1800人，则估计喜欢跳绳的学生人数约有______人；
（4）在4名跳绳成绩最好的学生中，有1名男生和3名女生．要从中随机抽取2名参加比赛，请用列表法或画树状图，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
【答案】（1）40，图见解析
（2）72 （3）720
（4）选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为．
【解析】
【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体及用列表法或树状图法求概率，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由A组人数及其所占百分比可得总人数，总人数减去A、B、D人数求出C组人数即可补全图形；
（2）用360度乘以C组人数所占比例即可；
（3）总人数乘以样本中B组人数所占比例即可；
（4）画树状图，共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好为一名男生、一名女生的结果有6种，再由概率公式求解即可．
【小问1详解】
解：本次调查总人数为（名），
C组人数为（名），
补全图形如下：
；
故答案为：40；
【小问2详解】
解：，
故答案为：72；
【小问3详解】
解：（人），
故答案为：720；
【小问4详解】
解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的结果共有6种，
∴选出的2名学生恰好是1名男生与1名女生的概率为．
23. 依托地理品牌与历史记忆，岳阳着手塑造“洞庭渔火季”文旅品牌，举办烟花秀、夜市、音乐节等一系列特色活动，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进、两种纪念品，用600元购进的种纪念品与用800元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比每件种纪念品的进价多5元．
（1）求、两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若该纪念品经销店种纪念品每件售价18元，种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进400件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1800元，求种纪念品最多购进多少件．
【答案】（1）种纪念品每件的进价为15元，则种纪念品每件的进价20元；
（2）种纪念品最多购进100件．
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分式方程； （2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.
（1）设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价为元，根据数量=总价÷单价结合用600元购进的种纪念品与用800元购进的B种纪念品的数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设种纪念品购进件，则种纪念品购进件，根据总利润=单件利润x销售数量结合总获利不低于1800元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设种纪念品每件的进价为元，则种纪念品每件的进价元，
由题意得，
解得，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意．
，
答：种纪念品每件的进价为15元，则种纪念品每件的进价20元；
【小问2详解】
设种纪念品购进件，由题意得：
，
解得：，
为整数，
的最大值为100．
答：种纪念品最多购进100件．
24. 如图，是的直径，为上一点，连接，是的平分线，作，垂足为，、的延长线交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留准确值）．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，特殊角的三角函数值，扇形的面积等知识，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
（1）连接，利用角平分线的定义和等腰三角形可判断，从而证明是切线；
（2）设半径为，由勾股定理得，求出半径，再根据即可．
【小问1详解】
证明：连接，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：设半径为，
在中，，
即，
解得：，
，，
，
，
．
25. 如图，在矩形中，点为射线上一动点，连接．将沿翻折，使点落在点处，交于点．
（1）如图1，当点在边上，点在边上时，若，，求的值；
（2）如图2，当点在边上，点在边上时，若，且时，求的长；
（3）如图3，当点在线段的延长线上，将沿翻折后，恰好经过点，当，时，求的长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据题意得出，由翻折知，即可求出；
（2）由扩叠的性质，，，则,再证，由相似比得出,再证,从而解决问题；
（3）证得,再由勾股定理得,再证，通过相似比解决问题．
【小问1详解】
解： 四边形是矩形，
由翻折知，
．
【小问2详解】
由折叠的性质得：，，
，
，
，
，
四边形矩形，
，
，，
，
，
，
，即，
解得：或（舍去负值）
，
【小问3详解】
四边形是矩形，
，
，
由折叠的性质得：，
，
，
，
在中，，
∴，
即
解得
【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质和折叠的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
26. 如图1所示，抛物线与直线相交于、两点（点在轴右侧），与轴相交于点．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，将抛物线以每秒个单位（）沿射线方向平移，5秒后得到新的抛物线，抛物线与轴相交于、两点（点在点左侧），与轴相交于点．求的长度（用含的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，令，求的最小值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）先求出点A的坐标，再用待定系数法求二次函数的解析式，即得答案；
（2）将抛物线沿射线方向平移个单位，即抛物线是由抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到，所以抛物线的解析式为，令，求得抛物线与x轴的交点的横坐标，即得答案；
（3）先求出点C，点F的坐标，得到，求得，由此即可求出的最小值．
【小问1详解】
解：当时， ，
点，
将，代入中，
得，
解得，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
将抛物线沿射线方向平移个单位，
抛物线是由抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位得到，
抛物线的解析式为，
令，
即，
解得：，，
；
【小问3详解】
令，则，
，
，
，
由（2）知，，
，
当时，最小，最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的平移，正确表示抛物线平移后的表达式是解题的关键．2024年岳阳市初中学业水平考试适应性测试试卷
数学
温馨提示：
1．本试卷共三大题，26小题，满分120分，考试时量120分钟；
2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内；
3．考试结束后，考生不得将试题卷、答题卡、草稿纸带出考场.
一、选择题（本大题共10道小题，每小题3分，满分30分.在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1. 随着科技的进步，各种移动支付方式改变着人们的生活．若晶晶的余额里转入了50元，记作“”元，则晶晶坐地铁花费了5元，应记作（ ）
A. “”元 B. “”元 C. “”元 D. “”元
2. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围在数轴上表示为（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，直线，直角三角形如图放置，，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，在平面直角坐标系中，与关于轴对称，其中点，，的对应点分别为点，，，若点在的边上，则点在上的对应点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，在菱形中，对角线、交于点，添加下列一个条件，能使菱形成为正方形的是（ ）
A. B. C. D.
8. 下列说法中正确的是（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等
B. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C. 检查某种灯的使用寿命用全面调查
D. “掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件
9. 如图，木工师傅在板材边角处作直角时，往往使用“三弧法”，其作法是：
①作线段，分别以，为圆心，以长为半径作弧，两弧的交点为；
②以点为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点；
③连接、．
则下列说法不正确的是（ ）
A. B. 是正三角形
C. 点在的垂直平分线上 D. 与的面积相等
10. 若要在抛物线（为常数，）上找点，则能找到点的个数是（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
二、填空题（本大题共8道小题，每小题3分，满分24分）
11 分解因式：___________.
12. 古代为便于纪元，乃在无穷延伸的时间中，取天地循环终始为一巡，称为元，以元作为计算时间的最大单位，元年，其中用科学记数法表示为___________．
13. 为进一步推进素质教育，不断丰富校园文化生活，陶冶艺术情操，展现中学生艺术素质教育成果．某校开展了“奏响时代主题，展现校园风采”为主题的器乐大赛．经过几轮筛选，校团委决定从甲、乙、丙、丁四名同学中选择一名同学代表学校参加区级器乐比赛，经过统计，四名同学成绩的平均数（单位：分）及方差如表所示：
甲 乙 丙 丁
平均数 96 94 96 94
方差 1.4 1.2 0.6 0.6
若要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择__________．
14. 已知实数，满足，则以，的值为边长的等腰三角形的周长为__________．
15. 已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________．
16. 在中国历法中，甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，它们经常和其它汉字来搭配命名，如化学中的“甲烷、乙烷、丙烷”等，下图为有机物甲烷、乙烷、丙烷的分子结构图，请你依照规律，推测出壬烷中“”的个数为______．
17. 如图，在铁路建设中，需要确定隧道两洞口和之间的距离．点，点分别位于测绘点的正北和正西方向．已知测得两定位点和与隧道口和的距离分别为150m和100m，测绘点，分别为，的中点，测绘方在测绘点测得点在点的南偏西53°的方向上，且m，则隧道的长约为__________米．
（参考数据：，，）
18. 如图，将绕点顺时针旋转得到，点恰好落在斜边的中点上，连接，若，则的长为__________．
三、解答题（本大题共8道小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 计算：．
20. 如图，点、、、在一条直线上，且，．
（1）求证：；
（2）求证：四边形是平行四边形．
21. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，轴于点，分别交反比例函数与一次函数的图象于点，．连接，．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）当时，求的面积．
22. 为提高学生的综合素养，某校开设了四个兴趣小组，A．健美操；B．跳绳；C．剪纸；D．书法．为了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将结果绘制出下面不完整的统计图，请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
（2）C组所对应的扇形圆心角为______度；
（3）若全校共有学生1800人，则估计喜欢跳绳的学生人数约有______人；
（4）在4名跳绳成绩最好的学生中，有1名男生和3名女生．要从中随机抽取2名参加比赛，请用列表法或画树状图，求刚好抽到1名男生与1名女生的概率．
23. 依托地理品牌与历史记忆，岳阳着手塑造“洞庭渔火季”文旅品牌，举办烟花秀、夜市、音乐节等一系列特色活动，旅游业火爆出圈，某纪念品经销店欲购进、两种纪念品，用600元购进种纪念品与用800元购进的种纪念品的数量相同，每件种纪念品的进价比每件种纪念品的进价多5元．
（1）求、两种纪念品每件的进价分别为多少元？
（2）若该纪念品经销店种纪念品每件售价18元，种纪念品每件售价25元，这两种纪念品共购进400件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于1800元，求种纪念品最多购进多少件．
24. 如图，是的直径，为上一点，连接，是的平分线，作，垂足为，、的延长线交于点．
（1）求证：是切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留准确值）．
25. 如图，在矩形中，点为射线上一动点，连接．将沿翻折，使点落在点处，交于点．
（1）如图1，当点在边上，点在边上时，若，，求的值；
（2）如图2，当点在边上，点在边上时，若，且时，求的长；
（3）如图3，当点在线段的延长线上，将沿翻折后，恰好经过点，当，时，求的长．
26. 如图1所示，抛物线与直线相交于、两点（点在轴右侧），与轴相交于点．已知点的横坐标为，点的纵坐标为．
（1）求抛物线解析式；
（2）如图2，将抛物线以每秒个单位（）沿射线方向平移，5秒后得到新的抛物线，抛物线与轴相交于、两点（点在点左侧），与轴相交于点．求的长度（用含的式子表示）；
（3）在（2）的条件下，令，求的最小值．

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