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1.3 集合的基本运算(精讲)
考点一 数集之间的基本运算
【例1】(1)(2021·辽宁高三其他模拟)已知集合，则( )
A． B． C． D．
(2)(2021·北京高考真题)已知集合，，则( )
A． B． C． D．
(3)(2021·浙江宁波市)设全集，集合，，则集合是( )
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1.(2021·黑龙江哈尔滨市)已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝( )
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
2．(2021·河南焦作市)已知集合，，，则( )
A． B． C． D．
3．(2021·全国高考真题)设集合，则( )
A． B． C． D．
4．(2021·全国)已知全集，则A集合为( )
A． B． C． D．
5．(2021·辽宁)若集合，则A∩B＝( )
A． B． C． D．
6．(2021·四川自贡市)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|＜0}，则A∩B＝( )
A．{x|2＜x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
考点二 点集之间的基本运算
【例2】(2021·河北高三其他模拟)已知集合，则中元素的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【一隅三反】
1．(2021·山东济南市)已知集合M＝{(x，y)|y＝2，xy≤0}，N＝{(x，y)|y＝x2}，则中的元素个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．1或2
2．(2021·全国高三其他模拟)已知集合}，则集合中元素的个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
3．(2021·江苏南通市)若集合，，则( )
A． B． C． D．
考点三 韦恩图求交并补
【例3】(1)(2021·北京101中学高三其他模拟)已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·山东烟台市)已知集合M，N都是R的子集，且，则( )
A． B． C． D．
(3)(2021·珠海市)下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是( )
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．(2021·浙江温州市)设全集U为实数集R，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为( )
A． B． C． D．
2．(2021·沈阳市)已知非空集合、、满足：，．则( )．
A． B．
C． D．
3．(2021·江苏苏州市)已知为全集，非空集合、满足，则( )
A． B． C． D．
4．(2021·全国高三专题练习(文))若集合，，满足：，则( )
A． B． C． D．
考点四 利用集合运算求参数
【例4】(1)(2021·山东泰安市)集合若，则( )
B． C． D．
(2)(2021·全国高三专题练习)设集合，，若，则____，____．
(3)(2021·重庆八中)已知集合，集合，若，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
(4)(2021·河南安阳市)已知集合，，若，则实数的取值集合为( )
A． B． C． D．
(5)(2021·全国高三月考(理))设集合，，且，则( )
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．(2021·全国高三)已知集合，若，则实数a等于( )
A．或3 B．0或 C．3 D．
2．(2021·辽宁沈阳市)已知集合，若，则实数( )
A． B．1 C． D．或
3．(2021·安徽宣城市)
(1)，求的取值范围；
(2)，求的取值范围．
4．(2021·浙江高一期末)在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合，．
(Ⅰ)若，求；
(Ⅱ)若________(在①，②这两个条件中任选一个)，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
考点五 实际生活中集合间的运算
【例5】(2021·山东高三专题练习)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了了解在校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有80位，阅读过《西游记》的学生共有60位，阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，则在调查的100位同学中阅读过《三国演义》的学生人数为( )
A．60 B．50 C．40 D．20
【一隅三反】
1．(2021·云南省云天化中学高一期末)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为( )
A．80 B．70 C．60 D．50
2．(2021·全国高三专题练习)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A． B． C． D．
3．(2021·吴县中学高一月考)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．63% B．47% C．55% D．42%
4．(2021·广东清远市·高一期末)某幼儿园满天星班开设“小小科学家”、“小小演说家”兴趣小组，假设每位学员最少参加一个小组，其中有13位学员参加了“小小科学家”兴趣小组，有16位学员参加了“小小演说家”兴趣小组，有8位学员既参加了“小小科学家”兴趣小组，又参加了“小小演说家”兴趣小组，则该幼儿园满天星班学员人数为( )
A．19 B．20 C．21 D．37
答案与解析
考点一 数集之间的基本运算
【例1】(1)(2021·辽宁高三其他模拟)已知集合，则( )
A． B． C． D．
(2)(2021·北京高考真题)已知集合，，则( )
A． B． C． D．
(3)(2021·浙江宁波市)设全集，集合，，则集合是( )
A． B．
C． D．
【答案】(1)A(2)B(3)B
【解析】(1)由题得,,所以故选：A
(2)由题意可得：，即.故选：B.
(3)由，则又，所以故选：B
【一隅三反】
1.(2021·黑龙江哈尔滨市)已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝( )
A．{﹣1，0，1} B．{0，1} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
【答案】D
【解析】集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|0＜x＜3}，则A∩B＝{1，2}，故选：D
2．(2021·河南焦作市)已知集合，，，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】题意，，又∵，∴.选：D.
3．(2021·全国高考真题)设集合，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题设可得，故，故选：B.
4．(2021·全国)已知全集，则A集合为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，用Venn图表示集合，依次填写，，，最后剩下的数字3只有填写在中，
所以．故选：C．
5．(2021·辽宁)若集合，则A∩B＝( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，得，所以．故选：D
6．(2021·四川自贡市)设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|＜0}，则A∩B＝( )
A．{x|2＜x≤3} B．{x|2≤x≤3} C．{x|1≤x＜4} D．{x|1＜x＜4}
【答案】A
【解析】∵A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，∴A∩B＝{x|2＜x≤3}．故选：A．
考点二 点集之间的基本运算
【例2】(2021·河北高三其他模拟)已知集合，则中元素的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】因为集合，
所以，所以中元素的个数为3，故选：D
【一隅三反】
1．(2021·山东济南市)已知集合M＝{(x，y)|y＝2，xy≤0}，N＝{(x，y)|y＝x2}，则中的元素个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．1或2
【答案】A
【解析】∵集合M＝{(x，y)|y＝2x﹣1，xy≤0}，N＝{(x，y)|y＝x2﹣4}，
∴M∩N＝{(x，y)|}＝．∴M∩N中的元素个数为0．故选：A．
2．(2021·全国高三其他模拟)已知集合}，则集合中元素的个数是( )
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【解析】由可得, ，即,
N中的满足的整点有：
，共9个点，
其中只有(1,1)这一个点不满足，故中的元素个数为8个，故选：C.
3．(2021·江苏南通市)若集合，，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵集合，，
因为∴，所以，故选：B.
考点三 韦恩图求交并补
【例3】(1)(2021·北京101中学高三其他模拟)已知集合，集合，则图中阴影部分表示的集合是( )
A． B．
C． D．
(2)(2021·山东烟台市)已知集合M，N都是R的子集，且，则( )
A． B． C． D．
(3)(2021·珠海市)下图中矩形表示集合U，A，B是U的两个子集，则不能表示阴影部分的是( )
A． B．
C． D．
【答案】(1)C(2)A(3)C
【解析】(1)依题意，由补集的韦恩图表示知，图中阴影部分表示的集合是，
因集合，集合，则有，
所以图中阴影部分表示的集合是.故选：C
(2)由题知：，所以，即.故选：A
(3)由图知：当U为全集时，阴影部分表示集合A的补集与集合B的交集，
当B为全集时，阴影部分表示的补集，
当为全集时，阴影部分表示A的补集，故选：C.
【一隅三反】
1．(2021·浙江温州市)设全集U为实数集R，集合，集合，则图中阴影部分表示的集合为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】图中的阴影部分表示集合B中不满足集合A的元素，所以阴影部分所表示的集合为.
故选：B.
2．(2021·沈阳市)已知非空集合、、满足：，．则( )．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为非空集合、、满足：，，
作出符合题意的三个集合之间关系的venn图，如图所示，
所以．
故选：D．
3．(2021·江苏苏州市)已知为全集，非空集合、满足，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
，由图可知，，，
故选：A.
4．(2021·全国高三专题练习(文))若集合，，满足：，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由集合，，满足：，，如图所示：
，， 故选：B
考点四 利用集合运算求参数
【例4】(1)(2021·山东泰安市)集合若，则( )
B． C． D．
(2)(2021·全国高三专题练习)设集合，，若，则____，____．
(3)(2021·重庆八中)已知集合，集合，若，则的取值范围为( )
A． B． C． D．
(4)(2021·河南安阳市)已知集合，，若，则实数的取值集合为( )
A． B． C． D．
(5)(2021·全国高三月考(理))设集合，，且，则( )
A． B．
C． D．
【答案】(1)B(2) (3)A(4)D(5)A
【解析】(1)由知，，解得故选：B
(2)
由，得或.
①当时，解得，此时，，符合题意；
②当时，解得，此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意．
综上所述，，.故答案为：；.
(3)由题知，得，则，故选：A．
(4)，因为，所以，
当时，集合，满足；
当时，集合，
由，得或，解得或，
综上，实数的取值集合为.故选：D.
(5)由题意，集合，且，
可得是方程的根，即，解得，
所以，
则.故选：A.
【一隅三反】
1．(2021·全国高三)已知集合，若，则实数a等于( )
A．或3 B．0或 C．3 D．
【答案】C
【解析】由可知，故，解得或.
当时，，与集合元素互异性矛盾，故不正确.
经检验可知符合题意.故选：C.
2．(2021·辽宁沈阳市)已知集合，若，则实数( )
A． B．1 C． D．或
【答案】A
【解析】由得，
时，不合题意，时，也不合题意，
时，，满足题意．故选：A．
3．(2021·安徽宣城市)
(1)，求的取值范围；
(2)，求的取值范围．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)，，，解得，即的取值范围为；
(2)可得或，
，若，则，解得，满足题意；
若，则，不等式无解，综上，的取值范围为.
4．(2021·浙江高一期末)在“①，②”这两个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题：已知集合，．
(Ⅰ)若，求；
(Ⅱ)若________(在①，②这两个条件中任选一个)，求实数的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分．
【答案】(1)；(2)若选①，；若选②，
【解析】(1)当时，，；
所以
(2)若选①，，
当时，，解得，
当时，或，解得：或，
综上：实数的取值范围．
若选②，，
则，即，解得：，所以实数的取值范围．
考点五 实际生活中集合间的运算
【例5】(2021·山东高三专题练习)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了了解在校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有80位，阅读过《西游记》的学生共有60位，阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，则在调查的100位同学中阅读过《三国演义》的学生人数为( )
A．60 B．50 C．40 D．20
【答案】A
【解析】因为阅读过《西游记》或《三国演义》的学生共有位，阅读过《西游记》的学生共有60位，
所以只阅读了《三国演义》的学生有位，
又因为阅读过《西游记》且阅读过《三国演义》的学生共有40位，
所以只阅读过《三国演义》的学生共有位，故选：A.
【一隅三反】
1．(2021·云南省云天化中学高一期末)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，六盘水市第七中学为了解我校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则在调查的100位同学中阅读过《西游记》的学生人数为( )
A．80 B．70 C．60 D．50
【答案】B
【解析】因为阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有位，
所以《西游记》与《红楼梦》两本书中只阅读了一本的学生共有位，
因为阅读过《红楼梦》的学生共有位，
所以只阅读过《红楼梦》的学生共有位，
所以只阅读过《西游记》的学生共有位，
故阅读过《西游记》的学生人数为位，故选：B.
2．(2021·全国高三专题练习)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．
3．(2021·吴县中学高一月考)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有95%的学生喜欢篮球或羽毛球，60%的学生喜欢篮球，82%的学生喜欢羽毛球，则该中学既喜欢篮球又喜欢羽毛球的学生数占该校学生总数的比例是( )
A．63% B．47% C．55% D．42%
【答案】B
【解析】设只喜欢篮球的百分比为，只喜欢羽毛球的百分比为，两个项目都喜欢的百分比为，
由题意，可得，，，解得．
该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是．
故选：B．
4．(2021·广东清远市·高一期末)某幼儿园满天星班开设“小小科学家”、“小小演说家”兴趣小组，假设每位学员最少参加一个小组，其中有13位学员参加了“小小科学家”兴趣小组，有16位学员参加了“小小演说家”兴趣小组，有8位学员既参加了“小小科学家”兴趣小组，又参加了“小小演说家”兴趣小组，则该幼儿园满天星班学员人数为( )
A．19 B．20 C．21 D．37
【答案】C
【解析】由条件可知该幼儿园满天星班学员人数为.故选：C

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