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1.4 充分、必要条件(精讲)
考点一 充分、必要条件的判断
【例1】(1)(2021·湖南)“”是“”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)．(2021·黑龙江哈尔滨市)设，则“”是“”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【一隅三反】
1．(2021·全国高二期末)已知，，则是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
2．(2021·陕西西安市)已知“x>2”是“<1”的( )条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
3．(2021·上海高三二模)设α：x1且y2，β：x+y3，则α是β成立的(　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
4．(2021·黑龙江大庆市)若、、，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点二 充分、必要条件的选择
【例2】(多选)(2021·浙江高一期末)“”的一个充分不必要条件可以是( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·浙江高一期末)(多选)的必要不充分条件可以是( )
A． B． C． D．
2．(2021·广东)使得“”成立的一个必要且不充分的条件是(　　)
A． B． C． D．
3．(2021·福建福州市·高一期末)“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是( )
A． B． C． D．
考点三 文字中的充分、必要条件
【例3】(2021·江苏南通市)1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的( )条件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【一隅三反】
1．(2021·兰州市第二十七中学)王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．(2021·浙江)2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者症状是发热 干咳 浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热 干咳 浑身乏力”的(　　)
已知该患者不是无症状感染者
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．(2021·浙江)伟人毛泽东的《清平乐 六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点四 根据充分、必要条件求参数
【例4-1】(2021·宁夏固原市)若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【例4-2】(2021·全国高二期末)已知：实数满足(其中)：实数满足.
(1)若，且与都为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【一隅三反】
1．(2021·河北衡水中学)若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
2．(2021·浙江高一期末)已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________．
3．(2021·全国高二单元测试)设α：2＜x≤4，β：x＞m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是__．
4．(2021·全国高一单元测试)若“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件，则的取值范围是________．
5．(2021·山东日照市·高一期末)已知“，使等式”是真命题.
(1)求实数的取值范围：
(2)设关于的不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
考点五 充分、必要条件的证明
【例5】(2020·山西长治市·沁县一中高一月考)求证：是等边三角形的充要条件是.这里是的三条边．
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
(2021·全国高一课时练习)设证明:的充要条件是.
答案与解析
考点一 充分、必要条件的判断
【例1】(1)(2021·湖南)“”是“”的( )
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
(2)．(2021·黑龙江哈尔滨市)设，则“”是“”的( )
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】(1)C(2)C
【解析】(1)由可得，由可得所以“”是“”的充分不必要条件故选：C
(2)由，
由不一定能推出，但是由一定能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，故选：C
【一隅三反】
1．(2021·全国高二期末)已知，，则是的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【解析】或，因此由不一定能推出，
但是由一定能推出，所以是的必要不充分条件，故选：B
2．(2021·陕西西安市)已知“x>2”是“<1”的( )条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】，
所以是的充分不必要条件.故选:A
3．(2021·上海高三二模)设α：x1且y2，β：x+y3，则α是β成立的(　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【解析】若“且”则“”成立，
当，时，满足，但且不成立，
故且”是“”的充分非必要条件．故选：A．
4．(2021·黑龙江大庆市)若、、，则“”是“”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：若，，则，充分性不成立；
必要性：若，则，由不等式的性质可得，必要性成立.
因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
考点二 充分、必要条件的选择
【例2】(多选)(2021·浙江高一期末)“”的一个充分不必要条件可以是( )
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】，所以.设,设选项对应的集合为,
因为选项是“”的一个充分不必要条件，所以是的真子集.故选：BC.
【一隅三反】
1．(2021·浙江高一期末)(多选)的必要不充分条件可以是( )
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】,
即的充要条件是，
其必要不充分条件必须满足，其集合的一个真子集是充要条件的集合，
观察选项发现是的真子集，
故选：BD.
2．(2021·广东)使得“”成立的一个必要且不充分的条件是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】使成立的一个必要不充分条件，满足不等式的范围包含，但不完全一致，
A选项解集为或，成立，A选项正确；
B选项解集为，为充要条件，B选项错误；
C选项解集为，不成立，C选项错误；
D选项错误；故选：A.
3．(2021·福建福州市·高一期末)“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由关于的不等式的解集为，
可得，解得，所以的取值范围是.
根据必要不充分条件的概念可知B项正确.故选：B.
考点三 文字中的充分、必要条件
【例3】(2021·江苏南通市)1943年深秋的一个夜晚，年仅19岁的曹火星在晋察冀边区创作了歌曲《没有共产党就没有中国》，毛主席得知后感觉歌名的逻辑上有点问题，遂提出修改意见，将歌名改成《没有共产党就没有新中国》，今年恰好是建党100周年，请问“没有共产党”是“没有新中国”的( )条件．
A．充分 B．必要 C．充分必要 D．既非充分又非必要
【答案】A
【解析】记条件p: “没有共产党”，条件q：“没有新中国”，由歌词知，p可推出q，故“没有共产党”是“没有新中国”的充分条件.故选：A.
【一隅三反】
1．(2021·兰州市第二十七中学)王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由题意知：“攻破楼兰”未必“返回家乡”，即“攻破楼兰”“返回家乡”；
若“返回家乡”则必然“攻破楼兰”，即“返回家乡”“攻破楼兰”；
“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选：A.
2．(2021·浙江)2020年2月11日，世界卫生组织将新型冠状病毒感染的肺炎命名为COVID-19(新冠肺炎)新冠肺炎,患者症状是发热 干咳 浑身乏力等外部表征.“新冠肺炎患者”是“患者表现为发热 干咳 浑身乏力”的(　　)
已知该患者不是无症状感染者
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】新冠肺炎患者症状是发热 干咳 浑身乏力等外部表征，充分的同，但有发热 干咳 浑身乏力等外部表征的不一定是新冠肺炎患者，不必要，即为充分不必要条件．故选：A．
3．(2021·浙江)伟人毛泽东的《清平乐 六盘山》传颂至今，“天高云淡，望断南飞雁.不到长城非好汉，屈指行程二万，六盘山上高峰，红旗漫卷西风，今日长缨在手，何时缚住苍龙？”现在许多人前往长城游玩时，经常会用“不到长城非好汉”来勉励自己，由此推断，“到长城”是“为好汉”的( )
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】设为不到长城，推出非好汉，即，则，即好汉到长城，
故“到长城”是“好汉”的必要条件，故选：．
考点四 根据充分、必要条件求参数
【例4-1】(2021·宁夏固原市)若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解不等式可得.
因为“”是“”的充分不必要条件，则 ，
由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.
【例4-2】(2021·全国高二期末)已知：实数满足(其中)：实数满足.
(1)若，且与都为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)当时，：实数满足，又：实数满足，
因为与都为真命题，所以，解得，即；
(2)记，，因为是的必要不充分条件，所以
所以，解得：，
所以实数的取值范围是．
【一隅三反】
1．(2021·河北衡水中学)若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】由得，
因为是不等式成立的充分不必要条件，
∴满足且等号不能同时取得，即，解得．
2．(2021·浙江高一期末)已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】，，且是的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以或，解得，
3．(2021·全国高二单元测试)设α：2＜x≤4，β：x＞m，α是β的充分条件，则实数m的取值范围是__．
【答案】(﹣∞，2]
【解析】∵α：2＜x≤4，β：x＞m，若α是β的充分条件，则m≤2．
∴实数m的取值范围是(﹣∞，2]．故答案为：(﹣∞，2]．
4．(2021·全国高一单元测试)若“”是“”的必要条件，但“”不是“”的充分条件，则的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意可知，“”是“”必要不充分条件，则，
所以，.故答案为：.
5．(2021·山东日照市·高一期末)已知“，使等式”是真命题.
(1)求实数的取值范围：
(2)设关于的不等式的解集为，若“”是“”的充分条件，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)若“，使等式”是真命题，
则，
因为，所以，
所以，
(2)由不等式可得，
所以，
若“”是“”的充分条件，
则是的子集，所以解得，
经检验、符合题意，
所以的取值范围是
考点五 充分、必要条件的证明
【例5】(2020·山西长治市·沁县一中高一月考)求证：是等边三角形的充要条件是.这里是的三条边．
【答案】详见解析
【解析】先证明充分性：
由，
即，
所以，
所以，三角形为等边三角形.
然后证明必要性.
当三角形是等边三角形时，，所以.
综上所述，是等边三角形的充要条件是.
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
【答案】见解析．
【解析】 (1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0.
(2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
2．(2021·全国高一课时练习)设证明:的充要条件是.
【答案】见解析
【解析】证明:(1)充分性:如果,
那么,
.
(2)必要性:如果,
那么,
,.
由(1)(2)知,的充要条件是.

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