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1.5 全称量词与存在量词(精讲)
考点一 判断全称、特称量词命题的真假
【例1-1】(2021·全国高一课时练习)判断下列全称量词命题的真假:
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;
(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
(3)对任意负数的平方是正数;
(4)梯形的对角线相等
【例1-2】(2021·江苏无锡市·)有下列四个命题：
①，；
②；
③，；
④.其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【一隅三反】
1．(2021·山东潍坊市)(多选)下列命题中是假命题的是( )．
A．， B．，
C．， D．，
2．(2021·淮安市)(多选)下列命题是真命题的有( )
A． B．
C． D．
3．(2021·云南省云天化中学高一开学考试)(多选)下列命题正确的有( )
A．，
B．是函数为偶函数的充要条件
C．，
D．是的必要条件
4．(2021·浙江高一期末)(多选)下列命题错误的是( )
A．， B．，
C．， D．，
考点二 命题的否定
【例2-1】(2021·云南丽江市·高一期末)命题的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
【例2-2】(2021·全国高一单元测试)写出下列命题的否定：
(1)，；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程的根；
(4)p：有些分数不是有理数.
【一隅三反】
1．(2021·全国高三其他模拟)命题“”的否定( )
A． B．
C． D．
2．(2021·四川遂宁市)设命题，则为( )
A．
B．.
C．
D．.
3．(2021·黑龙江大庆市)命题“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
4．(2021·浙江高一期末)命题“”的否定是( )
A． B．
C． D．
考点三 求含有量词的参数
【例4】(1)(2021·全国高一课时练习)若“有 成立”是真命题，则实数的取值范围是____________
(2)(2021·黑龙江哈尔滨市)已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____.
【一隅三反】
1．(2021·全国高三专题练习(文))若对，都有，则实数的取值范围是___________.
2．(2021·安徽芜湖市·高一期末)已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________.
3．(2021·江西)已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是___________.
4．(2021·福建高一期末)若命题“”为真命题，则的取值范围是______
5．(2021·河北)已知，
(1)若“x∈A，使得x∈B”为真命题，求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
答案与解析
考点一 判断全称、特称量词命题的真假
【例1-1】(2021·全国高一课时练习)判断下列全称量词命题的真假:
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数;
(2)线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;
(3)对任意负数的平方是正数;
(4)梯形的对角线相等
【答案】(1)真命题;(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.
【解析】(1)根据整数的性质,末位是0的整数都是5的倍数成立.故为真命题.
(2)根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.故为真命题.
(3)对任意负数,不等式两边同时乘以负数有.故为真命题
(4)举反例如直角梯形对角线显然不相等.故为假命题.
【例1-2】(2021·江苏无锡市·)有下列四个命题：
①，；
②；
③，；
④.其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，，，故命题成立；
对于②，显然当时满足，但，故命题为假；
对于③，显然时满足，成立，故命题为真；
对于④，的实数根为，是无理数，故命题为假.
综上，真命题的个数为2.
故选：B.
【一隅三反】
1．(2021·山东潍坊市)(多选)下列命题中是假命题的是( )．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】ACD
【解析】取，，所以选项A，C不正确；
由得是无理数，所以选项B正确，选项D不正确，
故选：ACD
2．(2021·淮安市)(多选)下列命题是真命题的有( )
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对选项A，当时，满足，故A为真命题；
对选项B，当时，不满足，故B为假命题；
对选项C，，解得，
所以不满足，故C为假命题.
对选项D，因为恒成立，
所以满足，故D为真命题.
故选：AD
3．(2021·云南省云天化中学高一开学考试)(多选)下列命题正确的有( )
A．，
B．是函数为偶函数的充要条件
C．，
D．是的必要条件
【答案】AB
【解析】对于A，，解得，所以，，所以A正确；
对于B，“”时，函数是偶函数，“函数是偶函数时，由得到，故B正确．
对于C，，所以，不正确，所以C不正确．
对于D，可得，反之不成立，所以D不正确．
故选：AB．
4．(2021·浙江高一期末)(多选)下列命题错误的是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【解析】A. 由，得，故错误；
B.由得：或，故正确；
C. 由得：，故错误；
D. 由，故正确；
故选：AC
考点二 命题的否定
【例2-1】(2021·云南丽江市·高一期末)命题的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】特称命题的否定是全称命题，即命题“”的否定是“”.
故选：A
【例2-2】(2021·全国高一单元测试)写出下列命题的否定：
(1)，；
(2)p：所有自然数的平方都是正数；
(3)p：任何实数x都是方程的根；
(4)p：有些分数不是有理数.
【答案】(1)，；(2)有些自然数的平方不是正数；(3)存在实数x不是方程的根；(4)一切分数都是有理数.
【解析】(1)，；
(2)有些自然数的平方不是正数；
(3)存在实数x不是方程的根；
(4)一切分数都是有理数.
【一隅三反】
1．(2021·全国高三其他模拟)命题“”的否定( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为原命题“”，所以其否定为“”，
故选：D.
2．(2021·四川遂宁市)设命题，则为( )
A．
B．.
C．
D．.
【答案】A
【解析】命题，，
由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论，
则为：，．故选：．
3．(2021·黑龙江大庆市)命题“，”的否定是( )
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】根据全称命题与存在性命题的关系，
可得命题“，”的否定是“，”.
故选：B.
4．(2021·浙江高一期末)命题“”的否定是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”.
故选：C
考点三 求含有量词的参数
【例4】(1)(2021·全国高一课时练习)若“有 成立”是真命题，则实数的取值范围是____________
(2)(2021·黑龙江哈尔滨市)已知命题:“，使得”是真命题，则实数的最大值是____.
【答案】(1)(2)5
【解析】(1)由题意可得，函数的最大值为1，∴.故答案为：.
(2)当时，，
因为“，使得”是真命题，所以.故答案为：
【一隅三反】
1．(2021·全国高三专题练习(文))若对，都有，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为，都有，所以，都有，令，，因为，在上单调递减，所以，所以，
即实数的取值范围是；
故答案为：
2．(2021·安徽芜湖市·高一期末)已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】已知命题“，恒成立”是真命题.
当时，则有恒成立，合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
3．(2021·江西)已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为命题“存在，使”是假命题，
所以命题“，使得”是真命题，
当时，得，故命题“，使得”是假命题，不合题意；
当时，得，解得.
故答案为：
4．(2021·福建高一期末)若命题“”为真命题，则的取值范围是______
【答案】
【解析】依题意可得，命题等价于恒成立，
故只需要解得，即
故答案为：
5．(2021·河北)已知，
(1)若“x∈A，使得x∈B”为真命题，求m的取值范围；
(2)是否存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(1)存在，
【解析】，
(1)若“x∈A，使得x∈B”为真命题，即集合、存在公共元素，
假设、无公共元素，则或，
解得或，
则集合、存在公共元素时，实数m的取值范围.
(2)存在实数m，使“x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，
若 “x∈A”是“X∈B”必要不充分条件，
则，所以，解得，
所以m的取值范围为.

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