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2.1 等式与不等式的性质(精讲)
考点一 不等式(组)表示实际问题
【例1】(2021·山东潍坊市)铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为(单位：)，这个规定用数学关系式表示为( )．
A． B．
C． D．
【一隅三反】
1．(2021·安庆市)某高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，同一车道上的车间距不得小于，用不等式表示为( )
A．且 B．或
C． D．
2．(2021·安徽芜湖市)我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大 小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大 小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为( )
A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱
考点二 比较大小
【例2-1】(2021·安徽六安市·六安一中高一开学考试)已知，，则、 的大小关系为( )
A． B． C． D．无法确定
【例2-2】(2021·黑龙江鹤岗市)设，比较与的大小
【一隅三反】
1．(2021·海南省农垦加来高级中学高一期末)比较与的大小( )
A．无法比较大小 B．
C． D．
2．(2021·平潭县新世纪学校)已知， ，则 和的大小关系为( )
A． B．
C． D．
3．(2021·上海)，比较与的大小．
考点三 不等式性质的运用
【例3】(2021·四川)若，则下列不等关系一定正确的是( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(2021·四川省绵阳南山中学)若，则下列不等式中，不能成立的是( )
A． B． C． D．
2．(2021·全国高三)已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是( )
A．ac+bd>ad+bc B．ac+bdC．ac>bd D．ac3．(2021·浙江高一期末)已知，且，那么下列各式中正确的是( )
A． B． C． D．
4．(2021·全国高一课时练习)设aA． B．acC．|a|>－b D．
5.(2021·东至县第三中学高一期中)下列结论正确的个数为( )
①两个实数，之间，有且只有，，三种关系中的一种；
②若，则；
③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变；
④一个非零实数越大，则其倒数就越小；
⑤，；
⑥若，则．
A．2 B．3 C．4 D．5
考点四 不等式的证明
【例4】(2021·平潭县新世纪学校高一月考)(1)已知，求证：；
(2)已知，求证：；
(3)已知，求证：.
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)已知，，，求证：．
2．(2020·上海)设，求证：．
考点五 求代数式的范围
【例5】(2021·江苏省)已知，，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【一隅三反】
1．(202··四川雅安市)已知，，则的取值范围是( ).
A． B． C． D．以上都不对
2．(2021·辽宁葫芦岛市)(多选)已知实数满足，则( )
A． B．
C． D．
3．(2021·浙江)(多选)设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
答案与解析
考点一 不等式(组)表示实际问题
【例1】(2021·山东潍坊市)铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过．设携带品外部尺寸长、宽、高分别为(单位：)，这个规定用数学关系式表示为( )．
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】长、宽、高之和不超过，.故选：.
【一隅三反】
1．(2021·安庆市)某高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，同一车道上的车间距不得小于，用不等式表示为( )
A．且 B．或
C． D．
【答案】A
【解析】因为高速公路要求行驶的车辆的速度的最大值为，所以；
因为同一车道上的车间距不得小于，所以，
因为两个规则都必须遵守，所以，且，故选：A.
2．(2021·安徽芜湖市)我国经典数学名著《九章算术》中有这样的一道题：今有出钱五百七十六，买竹七十八，欲其大小率之，向各几何？其意是：今有人出钱576，买竹子78根，拟分大 小两种竹子为单位进行计算，每根大竹子比小竹子贵1钱，问买大 小竹子各多少根？每根竹子单价各是多少钱？则在这个问题中大竹子每根的单价可能为( )
A．6钱 B．7钱 C．8钱 D．9钱
【答案】C
【解析】依题意可设买大竹子，每根单价为，购买小竹子，每根单价为，
所以，即，即，
因为，所以，
根据选项，，所以买大竹子根，每根元.故选：C
考点二 比较大小
【例2-1】(2021·安徽六安市·六安一中高一开学考试)已知，，则、 的大小关系为( )
A． B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】，
,，又， ，.
故选C.
【例2-2】(2021·黑龙江鹤岗市)设，比较与的大小
【答案】
【解析】，，.
两数作商，.
【一隅三反】
1．(2021·海南省农垦加来高级中学高一期末)比较与的大小( )
A．无法比较大小 B．
C． D．
【答案】B
【解析】，所以，故选：B
2．(2021·平潭县新世纪学校)已知， ，则 和的大小关系为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，故有，故选：D．
3．(2021·上海)，比较与的大小．
【答案】
【解析】由
所以
考点三 不等式性质的运用
【例3】(2021·四川)若，则下列不等关系一定正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，所以故选：B
【一隅三反】
1．(2021·四川省绵阳南山中学)若，则下列不等式中，不能成立的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】若，则，即，A成立；
，即，B不成立；
，C成立；，D成立；故选：B
2．(2021·全国高三)已知a>b，c>d，则下列关系式正确的是( )
A．ac+bd>ad+bc B．ac+bdC．ac>bd D．ac【答案】A
【解析】对于A、B：
a>b，c>d，ac+bd-(ad+bc)=(a-b)(c-d)>0，故A正确，B错误；
对于C：当b=0，c<0时，ac<0，bd=0，故C错误；
对于D：当a>b>0，c>d>0时，ac>bd，故D错误；故选：A.
3．(2021·浙江高一期末)已知，且，那么下列各式中正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A选项：举反例，则，则A不成立；
对于B选项：举反例，则，所以，则B不成立；
对于C选项：举反例，则，所以，则C不成立；
对于D选项：
∵，∴又∵∴，即.则D成立故选：D.
4．(2021·全国高一课时练习)设aA． B．acC．|a|>－b D．
【答案】B
【解析】对A，因为a对B，当c>0时选项B成立，其余情况不成立，则选项B不正确，符合题意；
对C，|a|＝－a>－b，则选项C正确，不符合题意；
对D，由－a>－b>0，可得，则选项D正确，不符合题意.
故选：B.
5.(2021·东至县第三中学高一期中)下列结论正确的个数为( )
①两个实数，之间，有且只有，，三种关系中的一种；
②若，则；
③一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变；
④一个非零实数越大，则其倒数就越小；
⑤，；
⑥若，则．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】解：对于①，任意两个实数显然成立；
对于②，若，则，故且或且，故错误；
对于③，不等式的两边乘以同一个正数，不等号方向不变，故错误；
对于④，例如，，故错误；
对于⑤，，进而由可得，故正确；
对于⑥，由得同号，故当时，，当时，，故若，则正确；综上正确的是：①⑤⑥故选：B.
考点四 不等式的证明
【例4】(2021·平潭县新世纪学校高一月考)(1)已知，求证：；
(2)已知，求证：；
(3)已知，求证：.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析.
【解析】证明：(1)因为，所以.则.
(2)因为，所以.又因为，所以，即，因此.
(3)因为，根据(2)的结论，得.
又因为，则 ，即.
【一隅三反】
1．(2021·全国高一课时练习)已知，，，求证：．
【答案】
【解析】，，
又，，，
又，．
2．(2020·上海)设，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
考点五 求代数式的范围
【例5】(2021·江苏省)已知，，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，，故选：C
【一隅三反】
1．(202··四川雅安市)已知，，则的取值范围是( ).
A． B． C． D．以上都不对
【答案】A
【解析】设，可得，解得，，
即，
因为，，所以，
所以.
故选：A.
2．(2021·辽宁葫芦岛市)(多选)已知实数满足，则( )
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】因为，所以，A正确；
因为，所以，解得，B错误；
因为，，所以，C正确；
，，所以， D错误.故选：AC.
3．(2021·浙江)(多选)设x，y为实数，满足，，则下列结论正确的是( )
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】，，，A正确；
，，，B错误；
，，，C正确；
，，，D错误；故选：AC

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