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河南省创新发展联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容:人教A版选择性必修第三册第七章占,选择性必修第一、二册,选择性必修第三册第六章占。
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.300的不同正因数的个数为
A.16 B.20 C.18 D.24
2.已知等差数列的前项和为,若,则
A.15 B.35 C.75 D.105
3.已知函数在处可导,若,则
A.22 B.11 C.-22 D.-11
4.泊松分布的概率分布列为,其中为自然对数的底数,是泊松分布的均值.若随机变量服从二项分布,当很大且很小时,二项分布近似于泊松分布,其中,即.现已知某种元件的次品率为0.01,抽检100个该种元件,则次品率不超过的概率约为(参考数据:)
A. B. C. D.
5.设抛物线的焦点为,点在上,,若,则
A. B.14 C. D.
6.高尔顿钉板是英国生物学家高尔顿设计的,如图,每一个黑点表示钉在板上的一颗钉子,上一层的每个钉子的水平位置恰好位于下一层的两颗钉子的正中间,从入口处放进一个直径略小于两颗钉子之间距离的白色圆玻璃球,白色圆玻璃球向下降落的过程中,首先碰到最上面的钉子,碰到钓子后皆以二分之一的概率向左或向右滚下,于是又碰到下一层钉子,如此继续下去,直到滚到底板的一个格子内为止.现从入口处放进一个白色圆玻璃球,记白色圆玻璃球落入格子的编号为,则随机变量的期望与方差分别为
A. B.2,1 C.3,1 D.
7.河北省沧州市渤海新区中捷产业园区是典型的盐碱地区,面对盐碱地改造成本高、维护难的现实,农技人员从“以种适地”角度入手,近年来相继培育出“捷麦19”和“捷麦20”等自主研发的旱碱麦品种,亩产量大幅提高,有力促进农民收入增长,带动农村经济发展.现有四块盐碱地,计划种植“捷麦19”和“捷麦20”这两种旱碱麦,若要求这两种旱碱麦都要种植,每块盐碱地种植一种旱碱麦,则不同的种植方案共有
A.18种 B.16种 C.14种 D.12种
8.已知,则
A.722 B.729 C.-7 D.-729
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知随机变量,随机变量,若,则下列结论正确的是
A. B.
C.若,则 D.若,则
10.在空间直角坐标系中,已知,则
A. B.直线PB与平面PCD所成角的正弦值为
C.从这6个点中选2个点确定一条直线,则有13条不同的直线
D.从这6个点中选3个点确定一个平面,则有20个不同的平面
11.设定义在上的函数的导函数为,若满足,且,则下列结论正确的是
A.在上单调递增 B.不等式的解集为
C.若恒成立,则 D.若,则
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.三位同学每人从六个景点中选择一处游览,不同的选法种数是____________.
13.的展开式中的系数为____________.
14.已知椭圆的离心率为,过的右焦点的直线与交于两点,与直线交于点,且.则的斜率为____________.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)
已知数列的首项,且.
(1)证明:是等比数列.
(2)求数列的前项和.
16.(15分)
如图,在三棱柱中,,点在底面ABC的射影为BC的中点,为的中点.
(1)证明:平面.
(2)求二面角的正弦值.
17.(15分)
已知双曲线的焦距为,且经过抛物线的焦点.记为坐标原点,过点的直线与相交于不同的两点.
(1)求C的方程；
(2)证明：“△OAB的面积为”是“轴”的必要不充分条件.
18.(17分)
已知函数.
(1)求的极值.
(2)已知,且.
①求的取值范围;
②证明:.
19.(17分)
“布朗运动”是指悬浮在液体或气体中的微小颗粒所做的永不停息的无规则运动,在如图所示的试验容器中,容器由三个仓组成,某粒子做布朗运动时每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓,且粒子经过次随机选择后到达2号仓的概率为,已知该粒子的初始位置在2号仓.
(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;
(2)粒子经过4次随机选择后,记粒子在1号仓出现的次数为,求的分布列与数学期望.
河南省创新发展联盟2023-2024学年高二下学期4月期中考试
数学试卷参考答案
1.C 因为,所以300的正因数为,其中,2,所以300的不同正因数有个.
2.B 因为为等差数列,所以,所以.因为,所以.
3.A 因为,所以.
4.B 由题意知,则,所以.
因为,
所以次品率不超过的概率约为.
5.D 由题意可知,因为,所以.因为抛物线的通径长为,所以轴,所以.
6.C 白色圆玻璃球从起点到进入格子一共跳了4次,向左或向右的概率均为,则向左的次数服从二项分布.因为,,
所以,.
7.C 第一类,先选一块地种植一种旱碱麦,剩下的三块地种植另外一种旱碱麦,则不同的种植方案有种;第二类,先选两块地种植一种旱碱麦,剩下的两块地种植另外一种旱碱麦,则不同的种植方案有种.故不同的种植方案共有种.
8.A 设,
则,
所以.
又因为,所以,所以.
9. 因为,
所以,故错误,正确;
因为,
所以,
因为,所以错误;
因为,所以,所以,故D正确.
10. 因为,所以,所以,所以,A正确.,,设平面PCD的法向量为,则,可取,设直线PB与平面PCD所成的角为,则,B错误.因为三点共线,所以从这6个点中选2个点确定一条直线,则有条不同的直线,C正确.因为五点共面四点共面,所以从这6个点中选3个点确定一个平面,则有个不同的平面,错误.
11.BCD 因为,所以.
令,则,
所以,所以.因为,所以.
因为,所以在上单调递减,在上单调递增,故A错误.因为,所以,故B正确.
若,则.当时,恒成立.
当时,等价于,即.
令,则,所以在上单调递增,在上单调递减,所以,所以,故C正确.
若,即.因为在上单调递增,且,所以,且,所以,故D正确.
12.216 根据分步乘法计数原理,不同的选法有种.
13. 的展开式的通项,所以的系数为.
14. 由题意得得,所以的方程为.
设,联立得,
则
所以.
易得,则.
由,得,得,即.
故的斜率为.
15.解:(1)因为,所以.…………………………………………3分
因为,所以是首项为2,公比为2的等比数列.………………………………………6分
(2)由(1)知,则,………………………………………………………………7分
所以.……………………………………………………………………8分
记,
则,
两式相减得……………………………10分
所以,故.……………………………………13分
16.(1)证明:如图,设为在底面的射影,连接,则平面ABC.
因为平面ABC，所以……………………………………1分
又为BC的中点,,所以3分
因为平面平面,
∴平面.……………………………………………………………………5分
又为的中点,所以,
∴平面.……………………………………………………………………7分
(2)解:建立如图所示的空间直角坐标系.
在三棱柱中,,
所以，………………………………………………8分
则.……………………………9分
由(1)知平面,则是平面的一个法向量,分
因为,且,所以.………………………………11分
设平面的法向量为,
则即设,得,………………………………13分
所以,则,
所以二面角的正弦值为.……………………………………………………15分
17.(1)解:设的焦距为2c,则,得.……………………………………………1分
因为抛物线的焦点为,……………………………………………2分
所以………………………………………………………………………………3分
所以.…………………………………………………………………4分
故C的方程为……………………………………………5分
(2)证明:当轴时,不妨假设在第二象限,则分
则,必要性得证.…………………………………………8分
设直线的方程为,联立得分
由且,得且,……………………………………………………11分
.……………………………………………………………12分,……………………13分
整理得,则当或(满足且)时,均有△OAB的面积为,所以充分性不成立.………………………………………………………………………………………14分
故“的面积为”是“轴”的必要不充分条件.………………………………15分
18.（1）解：，…………………………………………………………1分
则当时,,当时,分
所以当时,取得极小值,当时,取得极大值.…………7分
(2)①解:因为当时,,且在和上单调递增,在,上单调递减,所以的取值范围为.…………………………………………………………………………………9分
②证明:由(1)可知.………………………………………………………………………10分
令,则,因为,所以,即,解得,…13分
所以,要证,即证.
令,则,所以在上单调递增,所以,故成立.…………………………………………………………………17分
19.解:(1)记粒子经过次随机选择后到达1号仓的概率为,粒子经过次随机选择后到达3号仓的概率为,
所以………………………………………………………………………………………4分
得,即,……………………………………………………………………………………………5分
所以,即是公比为的等比数列.…………………………………6分
又,所以.………………………………………8分
(2)结合题意易得可取0,1,2,……………………………………………………………………………9分
，………………………………………………………………………10分
,
………………………………………………………13分
所以的分布列为
0 1 2
……………………………………………………………………………………………………………15分
的数学期望……………………………………………17分

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