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《二次函数及新定义》中考数学新定义及探究题专题
2024中考数学新定义及探究题专题 《二次函数及新定义》 （学生版）
【类型1 二次函数问题中的新定义问题】
1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．
(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
①________； ②________； ③________．
(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．
5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．
(1)函数的友好同轴二次函数为 ．
(2)当时，函数 的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．
(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．
6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．
(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；
(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；
(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．
7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．
(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；
(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．
8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线的雅礼弦长；
(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；
(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．
9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；
(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；
(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数”
10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．
任务：
（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；
（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．
【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】
（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ．
2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横 纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．
(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．
3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数与函数，定义“和函数”．
(1)若，则“和函数” ；
(2)若“和函数”为，则 ， ；
(3)若该“和函数”的顶点在直线上，求．
4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．
(1)①已知点，则______．
②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．
函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．
5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】
(1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；
(2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；
(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积；
(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围．
6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为
(1)已知点A（-2，1）在一次函数的相关函数的图象上时，求a的值．
(2)已知二次函数．当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．
7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．
(1)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；
(2)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．
8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 　 　；
②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 　 　；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝　 　；（用含c的式子表示）
②求b的值．
9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．
(1)直接写出有界函数的边界值；
(2)已知函数是有界函数，且边界值为3，直接写出的最大值；
(3)将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，直接写出的取值范围，使得．
10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）．
(1)①判断：函数 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的明德点是 ___________；
(2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；
(3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值．
【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．
（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标 ；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．
（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；
（2）设点 在直线上运动：
①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．
②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．
4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A． B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍，则称点P为抛物线的“好”点．
（1）命题：P(0，3)是抛物线的“好”点．该命题是_____（ 真或假）命题．
（2）如图2，已知抛物线C:与轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．
5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．
6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．
已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．
（1）直接写出点A、C的坐标；
（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；
②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．
7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．
（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．
（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．
8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．
如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么
①a= ，b= ．
②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．
（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为 ，请直接写出点B的坐标．
10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝a+bx+c（a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝a+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝．
（1）图①是抛物线y＝﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标　 　，点B坐标　 　，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形　 　，|D|为　 　．
（2）如果抛物线y＝m﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．
（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|
2024中考数学新定义及探究题专题 《二次函数及新定义》 （解析版）
【类型1 二次函数问题中的新定义问题】
1．（2023春·山东济南·九年级统考期末）新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解．
【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为，
将代入得，
将代入得，
设，，如图，
联立与，得方程，
即
抛物线与直线有两个交点，
，
解得，
当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点，
把代入，得，
把代入得，
，
解得，
．
故选D．
【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解．
2．（2023春·湖北咸宁·九年级统考期中）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（ ）
A． B． C．1 D．﹣1
【答案】B
【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可；
【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为，
∴，解得：，
∴此函数的二次项系数为；
故选B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键．
3．（2023春·广西南宁·九年级统考期中）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′=n-4；m＜0时，n′=-n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（-2，3）的限变点是P2′（-2，-3）．若点P（m，n）在二次函数y=-x2+4x+2的图象上，则当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据新定义得到当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，在0≤m≤3时，得到-2≤n′≤2；当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，在-1≤m＜0时，得到-2≤n′≤3，即可得到限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3．
【详解】解：由题意可知，
当m≥0时，n′=-m2+4m+2-4=-（m-2）2+2，
∴当0≤m≤3时，-2≤n′≤2，
当m＜0时，n′=m2-4m-2=（m-2）2-6，
∴当-1≤m＜0时，-2＜n′≤3，
综上，当-1≤m≤3时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是-2≤n′≤3，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据限变点的定义得到n′关于m的函数．
4．（2023春·湖南长沙·九年级长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校校考期末）定义：我们不妨把纵坐标是横坐标2倍的点称为“青竹点”．例如：点、……都是“青竹点”．显然，函数的图象上有两个“青竹点”：和．
(1)下列函数中，函数图象上存在“青竹点”的，请在横线上打“√”，不存在“青竹点”的，请打“×”．
①________； ②________； ③________．
(2)若抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，求m的取值范围；
(3)若函数的图象上存在唯一的一个“青竹点”，且当时，a的最小值为c，求c的值．
【答案】(1)×；√；×
(2)
(3)
【分析】（1）根据“青一函数”的定义直接判断即可；
（2）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于m的不等式，即可求解；
（3）根据题意得出关于的一元二次方程，再根据根的判别式得出关于a的二次函数，利用二次函数最值求解即可．
【详解】（1）解：①令，方程无解，
∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；
②令，
解得：，，
∴函数图像上存在“青竹点”和，故答案为：√；
③令，方程无解，
∴函数图像上不存在“青竹点”，故答案为：×；
（2）解：由题意得，
整理，得，
∵抛物线（m为常数）上存在两个不同的“青竹点”，
∴，
解得；
（3）解：由题意得
整理，得
∵函数的图像上存在唯一的一个“青竹点”，
∴
整理，得
∴当时，a的最小值为，
∵当时，a的最小值为c，
∴
∴，
【点睛】本题属于函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程的关系，一元二次方程根的判别式．
5．（2023春·江苏泰州·九年级统考期中）定义：两个二次项系数之和为，对称轴相同，且图像与轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数.例如：的友好同轴二次函数为．
(1)函数的友好同轴二次函数为 ．
(2)当时，函数 的友好同轴二次函数有最大值为，求的值．
(3)已知点分别在二次函数及其友好同轴二次函数的图像上，比较的大小，并说明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)当时，；当时，；当时，
【分析】（1）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数即可；
（2）根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，判断函数图像开口方向，利用函数的对称轴和自变量范围进行最大值讨论；
（3）先根据友好同轴二次函数的定义，找出的友好同轴二次函数，再把两点代入，作差后比较大小，为含参数的二次不等式，求解的范围即可．
【详解】（1）设友好同轴二次函数为，
由函数可知，
对称轴为直线，与轴交点为，
，，对称轴为直线，
，
友好同轴二次函数为；
（2）由函数 可求得，
该函数的友好同轴二次函数为；
①当时，时，，
解得：；
②当时，时，，
解得：；
综上所述，；
（3）由函数可求得，
该函数的友好同轴二次函数为，
把分别代入可得，
，，
则，
，
，
①当时，，即，
，
解得：；
②当时，，即，
，
解得：；
③当时，，即，
，
解得：；
综上所述，当时，；
当时，；
当时，．
【点睛】本题考查二次函数的性质以及新定义问题，掌握二次函数的基本性质以及研究手段，准确根据题意求出符合要求的友好同轴二次函数是解题关键．
6．（2023春·浙江金华·九年级校考期中）定义：若抛物线y＝ax2+bx+c与x轴两交点间的距离为4，称此抛物线为定弦抛物线．
(1)判断抛物线y＝x2+2x﹣3是否是定弦抛物线，请说明理由；
(2)当一定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，且它的图像与坐标轴的交点间的连线所围成的图形是直角三角形，求该抛物线的表达式；
(3)若定弦抛物线y＝x2+bx+c（b＜0）与x轴交于A、B两点（A在B左边），当2≤x≤4时，该抛物线的最大值与最小值之差等于OB之间的距离，求b的值．
【答案】(1)是定弦抛物线，理由见解析
(2)或
(3)b＝﹣4或
【分析】（1）令y＝0，求出与x轴的交点坐标，可判断；
（2）分开口向上向下讨论，利用定弦抛物线的定义和对称轴可求出与x轴交点坐标，用相似求出与y轴交点坐标，代入可得答案；
（3）根据对称轴和所给范围分情况讨论即可．
【详解】（1）解：当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣3，
则|x1 -x2|＝4，
即该抛物线是定弦抛物线；
（2）：当该抛物线开口向下时，如图所示．
∵该定弦抛物线的对称轴为直线x＝1，
设
则
解得：
∴ C（﹣1，0），D（3，0），
∵△CED为直角三角形
∴由题意可得∠CED＝90°，
∵EO⊥CD，
∴△CEO∽△EDO，
∴OE2＝OC·OD＝3，
∴E（0，）
设该定弦抛物线表达式为，
把E（0，）代入求得
∴该定弦抛物线表达式为，
当该抛物线开口向上时，
同理可得该定弦抛物线表达式为，
∴综上所述，该定弦抛物线表达式为或；
（3）解：若≤ 2，则在2≤ x ≤4中，
当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝2时该定弦抛物线取最小值．
∴l6+4b+c-(4+2b+c)＝+2，
解得：b＝﹣4，
∵≤ 2，
∴b≥﹣4，即b＝﹣4，
若≤ 3，则在2≤x≤4中，
当x＝4时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．
∴16+4b+c﹣＝+2，
解得：b1＝﹣4，b2＝﹣14，
∵2≤≤3，
∴﹣6≤ b≤﹣4，
∴b1＝﹣4，b2＝﹣14（舍去），
若≤ 4，则在2≤ x ≤4中，
当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝时该定弦抛物线取最小值．
∴4+2b+c﹣＝+2，
解得：b＝﹣5，
∵≤4，
∴﹣8≤ b＜﹣6，
∴b＝﹣5不合题意，舍去，
若＞4，则在2≤ x≤ 4中，
当x＝2时该定弦抛物线取最大值，当x＝4时该定弦抛物线取最小值．
∴4+2b+c-(16+4b+c)＝+2，
解得：b＝-，
∵＞4，
∴b＜﹣8，
∴ b＝﹣，
∴综上所述b＝﹣4或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合性质，包括与x轴交点问题，最值问题，以及和相似的结合，准确地理解定弦抛物线的定义以及分类讨论是解决本题的关键．
7．（2023春·浙江·九年级期末）定义：若抛物线与抛物线．同时满足且，则称这两条抛物线是一对“共轭抛物线”．
(1)已知抛物线与是一对共轭抛物线，求的解析式；
(2)如图1，将一副边长为的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点A，E，D的抛物线为，经过A、B、C的抛物线为，请立接写出、的解析式并判断它们是否为一对共轭抛物线．
【答案】(1)
(2)，，、是一对共轭抛物线
【分析】（1）将化作顶点式，可求出，和的值，根据“共轭抛物线”的定义可求出，和的值，进而求出的解析式；
（2）根据七巧板各个图形之间的关系可求出各个图形的边长，进而可表示点，，，，的坐标，分别求出和的解析式，再根据“共轭抛物线”的定义可求解．
【详解】（1）解： ，
∴，，，
∵抛物线与是一对共轭抛物线，
∴，且，
．
（2）解：如图，
由题意得，，则，，，，，
∵点为的中点，∴，
∴，，，，，
∴可设抛物线，与抛物线，
∴，，解得：，，
∴抛物线，
抛物线，
∴，，，，，，
∵，，
∴满足且，
∴、是一对共轭抛物线．
【点睛】本题属于二次函数的新定义类问题，主要考查利用待定系数法求函数表达式，二次函数的顶点式，一般式及交点式三种方式的变换，熟知相关运算是解题关键．
8．（2023春·湖南长沙·九年级校联考期末）定义：如果抛物线与轴交于点，，那么我们把线段叫做雅礼弦，两点之间的距离称为抛物线的雅礼弦长．
(1)求抛物线的雅礼弦长；
(2)求抛物线的雅礼弦长的取值范围；
(3)设，为正整数，且，抛物线的雅礼弦长为，抛物线的雅礼弦长为，，试求出与之间的函数关系式，若不论为何值，恒成立，求，的值．
【答案】(1)4
(2)
(3)，或，
【分析】（1）根据定义求得抛物线与x轴的交点坐标即可求解；
（2）根据（1）的方法求得，根据的范围，即可求解．
（3）根据题意，分别求得，根据，求得出与之间的函数关系式，根据恒成立，可得，根据，为正整数，且，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，，
雅礼弦长；
（2），，
，
，，
，
，
当时，最小值为，
当时，最大值小于，
；
（3）由题意，令，
，，
则，
同理，
，
，
要不论为何值，恒成立，
即：恒成立，
由题意得：，，
解得：，
，为正整数，且，
则，或，．
【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴交点问题，一元二次方程根与系数的关系，综合运用以上知识是解题的关键．
9．（2023春·河南濮阳·九年级统考期中）小明在课外学习时遇到这样一个问题：定义：如果二次函数y=a1x2+b1x+c1（a1≠0）与y=a2x2+b2x+c2（a2≠0）满足a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，则称这两个函数互为“旋转函数”．求函数y=x2-3x-2的“旋转函数”．
小明是这样思考的：由函数y=x2-3x-2可知，a1=1，b1=-3，c1=-2，根据a1+a2=0，b1=b2，c1+c2=0，求出a2，b2，c2，就能确定这个函数的“旋转函数”．
请参考小明的方法解决下面问题：
(1)直接写出函数y=x2-3x-2的“旋转函数” ；
(2)若函数与y=x2-2nx+n互为“旋转函数”，求(m+n)2020的值；
(3)已知函数的图象与x轴交于点A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C，点A、B、C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，试证明经过点A1，B1，C1的二次函数与函数互为“旋转函数”
【答案】(1)y＝-x2-3x＋2；
(2)1
(3)见解析
【分析】（1）根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数；
（2）根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，根据负数奇数次幂是负数，可得答案；
（3）根据自变量与函数值的对应关系，可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得A1，B1，C1，根据待定系数法，可得函数解析式；根据y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0，a1，b1，c1是常数）与y＝a2x2＋b2x＋c2（a2≠0，a2，b2，c2是常数）满足a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，则称这两个函数互为“旋转函数”，可得a2，b2，c2，可得旋转函数．
【详解】（1）解：由y=x2-3x-2函数可知a1＝1，b1＝-3，c1＝ 2．
由a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，得
a2＝-1，b2＝-3，c2＝2．
函数y＝x2＋3x 2的“旋转函数”为y＝-x2-3x＋2；
（2）由与y＝x2 2nx＋n互为“旋转函数“，
得 2n＝， 2＋n＝0．
解得n＝2，m＝ 3．
当m＝2，n＝ 3时，(m+n)2020＝（2 3）2020＝（ 1）2020＝1；
（3）∵当y＝0时，，解得x＝ 1，x＝4，
∴A（ 1，0），B（4，0）．
当x＝0时，y＝×（ 4）＝-2，即C（0，-2）．
由点A，B，C关于原点的对称点分别是A1，B1，C1，
得A1（1，0），B1（ 4，0），C1（0，2）．
设过点A1，B1，C1的二次函数y＝a，将C1（0，2）代入，
解得，
∴过点A1，B1，C1的二次函数
而
∴a1＋a2＝0，b1＝b2，c1＋c2＝0，
∴经过点A1、B1、C1的二次函数与函数互为“旋转函数”．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征；会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式；对新定义的理解能力．
10．（2023春·山西大同·九年级统考期中）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
定义：我们把自变量为的二次函数与（，）称为一对“亲密函数”，如的“亲密函数”是．
任务：
（1）写出二次函数的“亲密函数”：______；
（2）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为______，猜想二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是______；
（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，请利用（2）中的结论直接写出二次函数的图像与轴交点的横坐标．
【答案】（1）；（2）4和-1；互为相反数；（3）二次函数的图像与轴交点的横坐标为和
【分析】（1）根据二次函数的“亲密函数”定义把一次项系数变为相反数即可；
（2）利用“亲密函数”建立y=0时方程，解方程，得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，与原函数与x轴交点横坐标比较，得出规律即可；
（3）先将函数变形，发现与“亲密函数”类似，根据原函数与x轴交点横坐标得出“亲密函数”与x轴交点横坐标，利用2x等于交点横坐标，求出x得出所求函数与x轴的交点横坐标即可．
【详解】解：（1）二次函数的“亲密函数”为，
故答案为：；
（2），解得，
它的“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标为4和-1，
∴二次函数（）的图像与轴交点的横坐标与其“亲密函数”的图像与轴交点的横坐标之间的关系是互为相反数；
故答案为4和-1；互为相反数；
（3），
∵二次函数的图像与轴交点的横坐标为1和，
∴二次函数的图像与轴交点的横坐标为-1和，
∴图像与轴交点的横坐标为-1和，
∴2x=-1,2x=2021，
∴，，
∴二次函数的图像与轴交点的横坐标为和．
【点睛】本题考查新定义函数，仔细阅读题目，抓住实质，抛物线与x轴交点横坐标和一元二次方程的根，利用“亲密函数”变形得出新函数图像与x轴的交点横坐标是解题关键．
【类型2 二次函数与一次函数综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·九年级课时练习）定义：由a，b构造的二次函数叫做一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”，一次函数y＝ax＋b叫做二次函数的“本源函数”（a，b为常数，且）．若一次函数y＝ax＋b的“滋生函数”是，那么二次函数的“本源函数”是 ．
【答案】
【分析】由“滋生函数”和“本源函数”的定义，运用待定系数法求出函数的本源函数．
【详解】解：由题意得
解得
∴函数的本源函数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查新定义运算下的一次函数和二次函数的应用，解题关键是充分理解新定义“本源函数”．
2．（2023春·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横 纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．
(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；
（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可．
【详解】（1）解：依题意把点代入解析式，
得，化简得：，解得：；
（2）解：设点是函数的一个不动点，
则有，化简得，，
关于的方程有实数解，
，解得：．
【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题．
3．（2023·安徽·模拟预测）已知函数与函数，定义“和函数”．
(1)若，则“和函数” ；
(2)若“和函数”为，则 ， ；
(3)若该“和函数”的顶点在直线上，求．
【答案】(1)．
(2)，．
(3)或．
【分析】（1）将代入函数中得出函数，再利用即可得出结论；
（2）的解析式为，又， 利用两者相等即可得出结论；
（3）先得出和函数，进而根据顶点在直线上得出，即可得出结论．
【详解】（1）解：当时，，
∵函数，此时和函数，
∴，
故答案为：．
（2）解：∵函数与函数，和函数，
∴和函数的解析式为，
∵和函数的解析式为，
∴，，
∴，，
故答案为：，．
（3）解：由题意得和函数为
，
，
∴和函数的顶点为，
∵和函数的顶点在上，
∴，
整理得，
解得，．
故答案为：或．
【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
4．（2023·北京·模拟预测）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，对两点和，用以下方式定义两点间距离：．
(1)①已知点，则______．
②函数的图象如图①所示，是图象上一点，，求点的坐标．
(2)函数的图象如图②所示，是图象上一点，求的最小值及对应的点的坐标．
【答案】(1)①，②
(2)，
【分析】（1）①根据公式直接计算即可；②根据函数的图象上的点的横纵坐标均非负，可得，，，再根据，可得，即有，进而可得，解方程即可求解；
（2）函数化为顶点式为：，即可得，，根据点是图象上一点，可得，，，则有，即可得，问题随之得解．
【详解】（1）①∵，，
∴，
故答案为：；
②∵点B是函数的图象点，
∵函数的图象上的点的横纵坐标均非负，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴B点坐标为：，
（2）函数化为顶点式为：，
∴，
∵，点是图象上一点，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最小值，最小值为，
∴，
∴D点坐标为：，
即最小值为3，D点坐标为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，充分理解定义的两点间距离：，是解答本题的关键．
5．（2023春·上海·九年级上海市民办新复兴初级中学校考期中）我们定义【，，】为函数的“特征数”，如：函数的“特征数”是【2，，5】，函数的“特征数”是【0，1，2】
(1)若一个函数的“特征数”是【1，，1】，将此函数图像先向左平移2个单位，再向上平移1个单位，得到一个图像对应的函数“特征数”是______；
(2)将“特征数”是【0，，】的图像向上平移2个单位，得到一个新函数，这个函数的解析式是______；
(3)在（2）中，平移前后的两个函数图像分别与轴交于A、两点，与直线分别交于、两点，在给出的平面直角坐标系中画出图形，并求出以A、、、四点为顶点的四边形的面积；
(4)若（3）中的四边形与“特征数”是【1，，】的函数图像有交点，求满足条件的实数的取值范围．
【答案】(1)【1，0，】
(2)
(3)图见解析；面积为
(4)
【分析】（1）由已知可知，平移后的函数为，则可求“特征数”；
（2）由已知可知函数为，平移后函数为；
（3）令，求出，令，求出，，则，又由，可判断四边形是菱形；然后结合图形求面积即可；
（4）由已知可得，则函数与AD边无交点，只能与BC边有交点，将代入函数，将代入函数求解即可得出结果．
【详解】（1）解：∵函数的特征数是【1，，1】，
∴函数为，
将函数向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到，
∴函数的“特征数”是【1，0，】．
故答案为：【1，0，】．
（2）∵函数的“特征数”是【0，，】，
∴，
∵函数图象向上平移2个单位，
∴平移后函数为．
故答案为：．
（3）解：令，则，
∴，
令，则，，
∴，，
∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
；
（4）∵函数的“特征数”是【1，，】，
∴，
∴由函数图象得：函数与AD边无交点，
∴函数与BC边有交点，
将代入函数得：，
将代入函数得：，
∴．
【点睛】本题考查二次函数的综合、新定义，函数的平移，理解定义，能将定义与所学函数知识结合是解题的关键．
6．（2023春·福建龙岩·九年级校考期末）定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x<0时，它们对应的函数值互为相反数；当x≥0时，它们对应的函数值相等．我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：一次函数，它的相关函数为
(1)已知点A（-2，1）在一次函数的相关函数的图象上时，求a的值．
(2)已知二次函数．当点B（m，）在这个函数的相关函数的图象上时，求m的值．
【答案】(1)a=-1；
(2)m=2-或m=3或m=1．
【分析】（1）函数y=ax-3的相关函数为y=，将点A（-2，1）代入y=-ax+3即可求解；
（2）当m＜0时，将B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+=，可求得m的值；当m≥0时，将B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=，可求得m的值．
(1)
解：函数y=ax-3的相关函数为y=，
将点A（-2，1）代入y=-ax+3得：2a+3=1，解得：a=-1；
(2)
解：二次函数y=-x2+4x-的相关函数为y=，
①当m＜0时，将B（m，）代入y=x2-4x+得m2-4m+=，
解得：m=2+（舍去）或m=2-；
②当m≥0时，将B（m，）代入y=-x2+4x-得：-m2+4m-=，
解得：m=3或m=1．
综上所述：m=2-或m=3或m=1．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了二次函数的图象和性质、函数图象上点的坐标与函数解析式的关系，理解互为相关函数的概念是解题的关键．
7．（2023春·江苏南通·九年级统考期末）定义：若图形与图形有且只有两个公共点，则称图形与图形互为“双联图形”，即图形是图形的“双联图形”，图形是图形的“双联图形”．
(1)若直线与抛物线互为“双联图形”，且直线不是双曲线的“双联图形”，求实数的取值范围；
(2)如图2，已知，，三点．若二次函数的图象与互为“双联图形”，直接写出的取值范围．
【答案】(1)的取值范围是
(2)或
【分析】（1）已知直线与抛物线有且只有两个公共点，
∴将代入抛物线中，得，
配方得，
∵方程有实数解，
∴即
又直线不是双曲线的“双联图形”，
∴直线与双曲线最多有一个公共点，
即当时，代入得，，即，
∴实数的取值范围是；
（2）∵是二次函数，
∴
∵二次函数的顶点坐标为（-1，3），且对称轴为直线x=-1，
∴当时，二次函数的图象与的图象没有交点，
∴不成立；
当时，二次函数的图象开口向下，为使它与互为双联图形，即有且只有两个公共点，
∴①当抛物线与AC和AB相交时，设直线BC的解析式为y=mx+n，
把C(1，4)，B(4，0)代入，得
，
∴，
∴y=-x+4，
∵抛物线与BC不想交，
∴，即ax2+(2a+1)x+a-1=0无实数根，
∴(2a+1)2-4a(a-1)<0，
解得a<，
又当时，要满足，相当于，所以；
∴；
②当抛物线与AC和BC相交时，
当x=4时，要满足，相当于，所以，，
∴；
综上，a的取值范围为：或
8．（2023春·北京·九年级北京市第三中学校考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）①点A（1，3）的“坐标差”为 　 　；
②抛物线y＝﹣x2+3x+3的“特征值”为 　 　；
（2）某二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为1，点B（m，0）与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等．
①直接写出m＝　 　；（用含c的式子表示）
②求b的值．
【答案】（1）①2；②5；（2）①m＝－c；②或．
【分析】（1）①由题中所给“坐标差”的定义即可得到点A（1，3）的坐标差.
②由坐标差的定义可得：二次函数y＝－x2＋3x＋4图象上点的坐标差为：y－x＝－x2＋3x＋4－x＝－x2＋2x＋4，将此关系式配方即可求得y－x的最大值，从而得到抛物线y＝－x2＋3x＋4的“特征值”.
（2）①由题意可得：0－m＝c－0，由此可得：m＝－c.
②由m＝－c可得点B的坐标为（－c，0），把点B的坐标代入y＝x2＋bx＋c（c≠0）中可得c(c－b＋1)＝0，由c≠0可得c－b＋1＝0，即b＝c＋1，再由y-x＝－x2＋（b－1）x＋c.
（c≠0）的特征值为1可得：=1，两者即可解得b和c的值．
【详解】解：（1）①根据图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为P点的“坐标差”，
点A（1，3）的“坐标差”为3－1＝2，
故答案为2；
②抛物线y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”为－x2＋3x＋4－x
－x2＋3x＋4－x＝－x2＋2x＋4＝－(x2－2x＋1－1)＋4＝－(x－1)2＋5，
所以抛物线y＝﹣x2＋3x＋4的“特征值”为5.
故答案为5；
（2）①∵点C是此二次函数的图象与y轴的交点，
∴C（0，c）,
∵ B（m，0），点B与点C的“坐标差”相等．
∴c-0=0-m
∴m=-c,
故答案为：m＝－c.
②∵m＝－c
∴B（－c，0）
将其代入 y＝－x2＋bx＋c中，
得－c2－bc＋c＝0
∵c≠0
∴－c－b＋1＝0
∴b＝－c＋1①
∴其“坐标差”为：y－x＝－x2＋bx＋c－x＝－x2＋（b－1）x＋c.
∴y－x＝－x2＋（b－1）x＋c=-[ x-（）]2+
∵“特征值”为1.
∴=1②.
将①代入②中，
解得c＝－2，
当，,
当，．
【点睛】本题考查新定义“坐标差”“特征值”，仔细阅读，掌握新定义的特征，二次函数的性质，一元二次方程的解法，解题的解题关键是能够正确利用题意进行计算，正确利用“特征值”的定义计算．
9．（2023春·北京·九年级人大附中校考期中）对某一个函数给出如下定义：若存在实数，对于任意的函数值，都满足，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是．
(1)直接写出有界函数的边界值；
(2)已知函数是有界函数，且边界值为3，直接写出的最大值；
(3)将函数的图象向下平移个单位，得到的函数的边界值是，直接写出的取值范围，使得．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】（1）先分别代入解析式，计算对应的函数值，再根据有界函数的定义确定边界值即可．
（2）根据新定义可得当最大时的顶点在上，求得此时与的交点的线段长，即为所求；
（3）分两种情况根据新定义分析即可．
【详解】（1）解：解析式为，
当时，；
当时，；
因为，
根据定义可得
所以函数的边界值是．
（2）解：∵函数是有界函数，且边界值为3，
∴开口向上，
如图，当最大时，的顶点在上，此时的长最大，
设，
当时，，
解得：，
∴，
即的最大值为．
（3）解：∵函数的图象向下平移个单位，
所以解析式为，
当时，函数值为，是函数的最小值，
当时，函数值为，
所以边界值，与矛盾，
所以不成立；
当时，
当时，函数，函数过点，此时函数有最小值，
当时，函数，函数过点，
当函数向下平移个单位后，两个点的坐标变为，，
∵函数的边界值是满足，
∴或
解得或，
故当或时，满足．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、有界函数的定义以及解一元一次不等式组，解题的关键是理解新定义，列出不等式．
10．（2023春·湖南长沙·九年级校考期中）若定义：若一个函数图像上存在纵坐标是横坐标2倍的点，则把该函数称为“明德函数”，该点称为“明德点”，例如：“明德函数”，其“明德点”为（1，2）．
(1)①判断：函数 __________ “明德函数”（填“是”或“不是”）；
②函数的图像上的明德点是 ___________；
(2)若抛物线上有两个“明德点”，求m的取值范围；
(3)若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，且当时，的最小值为，求的值．
【答案】(1)①不是；②（2，4）
(2)或，且
(3)或
【分析】（1）根据定义，即可得到结果；
（2）根据抛物线上有两个“明德点”，可知，得到，求解一元二次不等式方程即可；
（3）若函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，可知 ，得到方程，再进行分类讨论即可求出值．
【详解】（1）①时无解，
不是“明德函数”；
②根据定义，
解得：，（舍去），
明德点是（2，4）；
（2）抛物线是“明德函数”，
，
整理得：，
抛物线上有两个“明德点”，
，
即，
解得：或，
，
，
的取值范围为或且；
（3）函数的图像上存在唯一的一个“明德点”，
，且，
，
即，
，
是关于的二次函数，对称轴为，
①若，则当，时，有最小值，
，即，
解得：或（舍去）；
②若 ，则当时，有最小值，
，即，
，
方程没有实数根；
③若，则当时，有最小值，
，
解得，
综上可知：或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，理解新定义，将新定义与所学二次函数，一元二次方程的知识相结合，熟练掌握跟与系数关系是解题关键．
【类型3 二次函数与几何图形综合问题中的新定义问题】
1．（2023春·四川绵阳·九年级统考期末）定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．如图，在正方形中，点，点，则互异二次函数与正方形有交点时的最大值和最小值分别是（ ）
A．4，-1 B．，-1 C．4，0 D．，-1
【答案】D
【分析】分别讨论当对称轴位于y轴左侧、位于y轴与正方形对称轴x=1之间、位于直线x=1和x=2之间、位于直线x=2右侧共四种情况，列出它们有交点时满足的条件，得到关于m的不等式组，求解即可．
【详解】解：由正方形的性质可知：B（2,2）；
若二次函数与正方形有交点,则共有以下四种情况:
当时，则当A点在抛物线上或上方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当C点在抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点位于抛物线上或下方时，它们有交点，此时有，
解得：；
当时，则当O点在抛物线上或下方且B点在抛物线上或上方时，它们才有交点，此时有，
解得：；
综上可得：的最大值和最小值分别是，．
故选：D．
【点睛】本题考查了抛物线与正方形的交点问题，涉及到列一元一次不等式组等内容，解决本题的关键是能根据图像分析交点情况，并进行分类讨论，本题综合性较强，需要一定的分析能力与图形感知力，因此对学生的思维要求较高，本题蕴含了分类讨论和数形结合的思想方法等．
2．（2023春·山东济南·九年级统考期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．
（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标 ；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标 ；
（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．
（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．
①当四边形为正方形时，求a的值．
②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）(1，﹣2)，(1，2)；（2）y＝2（x﹣1）2﹣5；（3）①a＝；②≤a≤1或﹣≤a＜﹣
【分析】（1）根据顶点式y＝a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）；
（2）先化成顶点式，再求“同轴对称抛物线”的解析式；
（3）①写出点B的坐标，再由对称轴求出点B'，然后结合正方形的性质列出方程求 a；
②先由对称性分析得到封闭区域内在x轴上整点的个数，然后针对抛物线L开口的不同进行分类讨论．
【详解】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1，﹣2），
由y2＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1，2），
故答案为：（1，﹣2），（1，2）．
（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，
∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5．
（3）①当x＝1时，y＝1﹣3a，
∴B（1，1﹣3a），
∴C（1，3a﹣1），
∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，
∵抛物线L的对称轴为直线x＝＝2，
∴点B'（3，1﹣3a），
∴BB'＝3﹣1＝2，
∵四边形BB'C'C是正方形，
∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，
解得：a＝0（舍）或a＝．
②抛物线L的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1﹣4a），
∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，
∴整点数也是关于x轴对称出现的，
∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，
（i）当a＞0时，
∵L开口向上，与y轴交于点（0，1），
∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，
∴当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，当x＝2时，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，
解得：≤a≤1；
（ii）当a＜0时，
∵L开口向下，与y轴交于点（0，1），
∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，
∴当x＝2时，1＜1﹣4a≤2，当x＝﹣1时，5a+1＜0，
解得：，
综上所述：≤a≤1或﹣≤a＜﹣．
【点睛】此题借助二次函数考查正方形的性质，根据二次函数顶点式找顶点坐标，及新定义“同轴对称抛物线”．
3．（2023春·北京门头沟·九年级大峪中学校考期中）定义：对于平面直角坐标系上的点和抛物线，我们称是抛物线的相伴点，抛物线是点的相伴抛物线．如图，已知点，，．
（1）点的相伴抛物线的解析式为______；过，两点的抛物线的相伴点坐标为______；
（2）设点 在直线上运动：
①点的相伴抛物线的顶点都在同一条抛物线上，求抛物线的解析式．
②当点的相伴抛物线的顶点落在内部时，请直接写出的取值范围．
【答案】（1），；（2）①抛物线的解析式为：；②
【分析】（1）a=b=2，故抛物线的表达式为：y=x2-2x-2，故答案为：y=x2-2x-2；将点A、B坐标代入y=x2+ax+b并解得：a=-2，b=-10；
（2）①直线AC的表达式为：y=2x+2，设点P（m，2m+2），则抛物线的表达式为：y=x2+mx+2m+2，顶点为：（m，m2+2m+2），即可求解；
②如图所示，Ω抛物线落在△ABC内部为EF段，即可求解．
【详解】解：（1），
故抛物线的表达式为：．
故答案为：；
将点、坐标代入得：
，
解得：，．
故答案为：；
（2）①由点、的坐标得：直线的表达式为：，
设点，则抛物线的表达式为：，
顶点为：，
令，则，
则
即抛物线的解析式为：；
②如图所示，抛物线落在内部为段，
抛物线与直线的交点为点；
当时，即，解得：
故点；
故，由①知：，
故：．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、解不等式等，这种新定义类题目，通常按照题设的顺序逐次求解．
4．（2023春·浙江绍兴·九年级校联考期中）定义：如图1，抛物线与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(P点与A． B两点不重合)，如果△ABP中PA与PB两条边的三边满足其中一边是另一边倍，则称点P为抛物线的“好”点．
（1）命题：P(0，3)是抛物线的“好”点．该命题是_____（ 真或假）命题．
（2）如图2，已知抛物线C:与轴交于A，B两点，点P(1，2)是抛物线C的“好”点，求抛物线C的函数表达式．
（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ=S△ABP的Q点(异于点P)的坐标．
【答案】（1）假；（2）；（3），．
【分析】（1），则或，即点、的坐标分别为：、，即可求解；
（2）分、两种情况，分别求解即可；
（3），则点、关于抛物线对称轴对称，即可求解．
【详解】解：（1）令，则或，即点、的坐标分别为：、，
则，，
则与两条边满足其中一边是另一边的倍，则该命题是假命题，
故答案为：假；
（2）将点的坐标代入抛物线表达式得：，
点，则点，，点，
则，，
①当时，
即，解得：方程无解；
②当时，
，
解得：，则，
故抛物线的表达式为：；
（3），则点、关于抛物线对称轴对称，
函数的对称轴为：，
则点的坐标为：，．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏．
5．（2023·安徽安庆·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y=-与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为______，点A的坐标为______，点B的坐标为______．
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点M的坐标．
【答案】（1）y=-x+；（-2，2）；（1，0）；（2）N点坐标为（0，2-3）或（，）
【分析】（1）由“梦想直线”的定义可求得其解析式，联立直线与抛物线的解析式可求得A,B的坐标；
（2）根据“梦想三角形”的定义，分当点N在y轴上时和当M点在y轴上时两种情况讨论即可.
【详解】解（1）由“梦想直线”的定义得，抛物线的“梦想直线”的解析式为y=-x+，
联立梦想直线与抛物线解析式可得，解得或，
∴A（-2，2），B（1，0），
故答案为：y=-x+；（-2，2）；（1，0）；
（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，
在y=-x2-x+2中，令y=0可求得x=-3或x=1，
∴C（-3，0），且A（-2，2），
∴AC==，
由翻折的性质可知AN=AC=，
在Rt△AND中，由勾股定理可得DN==3，
∵OD=2，
∴ON=2-3或ON=2+3，
当ON=2+3时，则MN＞OD＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，
∴N点坐标为（0，2-3）；
当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，
在Rt△AMD中，AD=2，OD=2，
∴∠DAM=60°，
∵AD∥x轴，
∴∠AMC=∠DAO=60°，
又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，
∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，
∴MP=MN=，NP=MN=，
∴此时N点坐标为（，）；
综上可知N点坐标为（0，2-3）或（，）；
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，二次函数与一元二次方程的联系，翻折的性质，勾股定理，正确的理解“梦想直线”和“梦想三角的定义是解决问题的关键.
6．（2023春·湖南长沙·九年级统考期中）定义：在线段MN上存在点P、Q将线段MN分为相等的三部分，则称P、Q为线段MN的三等分点．
已知一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，且A、C为线段MN的三等分点（点A在点C的左边）．
（1）直接写出点A、C的坐标；
（2）①二次函数的图象恰好经过点O、A、C，试求此二次函数的解析式；
②过点A、C分别作AB、CD垂直x轴于B、D两点，在此抛物线O、C之间取一点P（点P不与O、C重合）作PF⊥x轴于点F，PF交OC于点E，是否存在点P使得AP＝BE？若存在，求出点P的坐标？若不存在，试说明理由；
（3）在（2）的条件下，将△OAB沿AC方向移动到△O'A'B'（点A'在线段AC上，且不与C重合），△O'A'B'与△OCD重叠部分的面积为S，试求当S＝时点A'的坐标．
【答案】（1）点A、C的坐标分别为：（1，2）、（2，1）；（2）①抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；②P的坐标为：（，）；（3）点A′的坐标为：（，）
【分析】（1）先求出M、N的坐标，再根据A、C为线段MN的三等分点，即可求解；
（2）①设函数的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、C的坐标代入上式即可求解；
②设点P（m，﹣m2+m），AP＝BE，则（m﹣1）2+（﹣m2+m﹣2）2＝，即可求解；
（3）S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝×GK×A′K﹣HE×A′R＝（1﹣m）（2﹣m）﹣（1﹣m）（）＝，即可求解．
【详解】解：（1）一次函数y＝﹣x+3的图象与x、y轴分别交于点M、N，令x=0，y=3，则M的坐标为（0，3），令y=0，x=3，则N的坐标为（3，0），由A、C为线段MN的三等分点，则点A、C的坐标分别为：（1，2）、（2，1）；
（2）①设函数的表达式为：y＝ax2+bx，将点A、C的坐标代入上式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x；
②存在，理由：
设点P（m，﹣m2+m），
直线OC的表达式为：y＝x，则点B（1，），BE＝，
AP＝BE，则（m﹣1）2+（﹣m2+m﹣2）2＝，
化简得：7m2﹣15m+7＝0，
解得：m＝（舍去负值），
故点P的坐标为：（，）；
（3）设直线A′O′交OC于点H，交x轴于点G，直线A′B′交OC于点R，交x轴于点K，过点H作HE⊥A′B′于点E，
设点A向下平移m个单位向右平移m个单位得到A′（1+m，2﹣m），
设直线O′A′的表达式为：y＝2x+b，将点A′的坐标代入上式并解得：
直线O′A′的表达式为：y＝2x﹣3m①，
故点G（，0），则GK＝1+m﹣＝1﹣m，
直线OC的表达式为：y＝x②，
联立①②并解得：x＝2m，故点H（2m，m），则HE＝1+m﹣2m＝1﹣m，
点R（1+m，），则A′R＝2﹣m﹣（m+1）＝，
S＝S△A′GK﹣S△A′HR＝×GK×A′K﹣HE×A′R＝（1﹣m）（2﹣m）﹣·（1﹣m）＝，
解得：m＝，
故点A′的坐标为：（，）．
【点睛】本题是对二次函数知识的综合考查，难度较大，属于中考压轴题.
7．（2023春·安徽合肥·九年级统考期中）定义：在平面直角坐标系中，图形G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而图形G上所有点的“坐标差”中的最大值称为图形G的“特征值”．
（1）求点A（2，1）的“坐标差”和抛物线y＝﹣x2+3x+4的“特征值”．
（2）某二次函数＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B与点C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等，求此二次函数的解析式．
（3）如图所示，二次函数y＝﹣x2+px+q的图象顶点在“坐标差”为2的一次函数的图象上，四边形DEFO是矩形，点E的坐标为（7，3），点O为坐标原点，点D在x轴上，当二次函数y＝﹣x2+px+q的图象与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围．
【答案】(1)-1,5;(2) y＝﹣x2+3x﹣2；(3) 2＜p＜10.
【分析】（1）1-2=-1，故“坐标差”为-1，y-x=-x2+3x+4-x=-（x-1）2+5，故“特征值”为5；
（2）由题意得：点C（0，c），故点B、C的“指标差”相等，故点B（-c，0），把点B的坐标代入y=-x2+（1-c）x+c得：0=-（-c）2+b（-c）+c，解得：b=1-c，故：y=-x2+（1-c）x+c，故抛物线的“特征值”为-1，y-x=-x2+（1-c）x+c-x=-x2-cx+c，故=-1，即可求解；
（3）“坐标差”为2的一次函数为：y=x+2，对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），则对称轴为：-=1，解得：p=2，对于图2，把点E（7，3）代入y=-（x-m）2+m+2并解得：m=5或10（舍去10），即可求解．
【详解】解：（1）1﹣2＝﹣1，故“坐标差”为﹣1，
y﹣x＝﹣x2+3x+4﹣x＝﹣（x﹣1）2+5，故“特征值”为5；
（2）由题意得：点C（0，c），且点B、C的“坐标差”相等，
故点B（﹣c，0），把点B的坐标代入y＝﹣x2+bx+c得：
0＝﹣（﹣c）2+b（﹣c）+c，
解得：b＝1﹣c，
故：y＝﹣x2+（1﹣c）x+c，
故抛物线的“特征值”为﹣1，
∴y﹣x＝﹣x2+（1﹣c）x+c﹣x＝﹣x2﹣cx+c，
故＝﹣1．
∴c＝﹣2，b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x﹣2；
（3）“坐标差”为2的一次函数为：y＝x+2，
∵抛物线y＝﹣x2+px+q的图象的顶点在y＝x+2上，
∴设抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m+2，
当抛物线与矩形有3个交点时，如图1、2，
对于图1，直线与矩形边的交点为：（1，3），
则对称轴为：﹣＝1，解得：p＝2，
对于图2，把点E（7，3）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2并解得：
m＝5或10（舍去10），
故﹣＝5，解得：p＝10，
故二次函与矩形的边有四个交点时，求p的取值范围：2＜p＜10．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法、二次函数的性质、一次函数、矩形性质等，这种新定义类的题目，通常按照题设的顺序逐次求解．
8．（2023·浙江杭州·九年级统考期中）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．
（1）初步尝试
如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．
（2）理解运用
如图2，已知△ACD为直角三角形，∠ADC=90°，以AC，AD为边向外作正方向ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）综合探究
如图3，二次函数y=x2–x–5的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，在二次函数的图象上是否存在一点D，使△ABC与△ABD是偏等积三角形？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）（，5）或（，5）
【详解】（1）如图1所示，取AC的中点D，连接BD，则△BAD和△BCD为偏等积三角形．
（2）如图2所示：过点B作BH⊥EA交EA延长线于点H．
∵四边形ABFC和四边形ADGE均为正方形，
∴∠HAC+∠DAC=90°，∠BAH+∠HAC=90°，AB=AC，AD=AE．
∴∠BAH=∠DAC．
在△ABH和△ACD中，，
∴△ABH≌△ACD．∴CD=HB．
∵S△ABE=AE BH，S△CDA=AD DC，AE=AD，CD=BH，
∴S△ABE=S△CDA．
∴△ACD与△ABE为偏等积三角形．
（3）∵S△ABC=S△ABD，
∴点D到AB的距离等于点C到AB的距离．
将x=0代入得：y=–5， ∴CO=5．
∴点D到AB的距离为5，即点D的纵坐标为±5．
当点D的纵坐标为–5时，△ABC与△ABD全等（舍去）．
当点D的纵坐标为5时，x2–x–5=5，
整理得：x2–3x–20=0，解得x1=，x2=．
∴点D的坐标为（，5）或（，5）
9．（2023春·江西赣州·九年级统考期末）我们给出如下定义：在平面直角坐标系xOy中，如果一条抛物线平移后得到的抛物线经过原抛物线的顶点，那么这条抛物线叫做原抛物线的过顶抛物线．
如下图，抛物线F2都是抛物线F1的过顶抛物线，设F1的顶点为A，F2的对称轴分别交F1、F2于点D、B，点C是点A关于直线BD的对称点．
（1）如图1，如果抛物线y=x2的过顶抛物线为y=ax2+bx，C（2，0），那么
①a= ，b= ．
②如果顺次连接A、B、C、D四点，那么四边形ABCD为（ ）
A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
（2）如图2，抛物线y=ax2+c的过顶抛物线为F2，B（2，c－1）．求四边形ABCD的面积．
（3）如果抛物线的过顶抛物线是F2，四边形ABCD的面积为 ，请直接写出点B的坐标．
【答案】（1）①a=1，b=2；②D；（2）4；（3）（，1），（，1）．
【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；根据自变量的值，可得相应的函数值，根据四边形对角线的关系，可得答案；
（2）根据对称性，可得AC的长，根据顶点式解析式，可得F2根据待定系数法，可得，根据四边形的面积公式，可得答案；
（3）分类讨论：B在A的右侧，B在A的左侧，AC=，BD=2，可得答案．
【详解】解：（1）①由A、C点关于对称轴对称，得对称轴
将C点坐标代入解析式，及对称轴公式，得
解得：
故答案为：．
②当时，，；
，；
四边形ABCD的对角线相等互相平分，且互相垂直，
四边形ABCD时正方形
故选D．
（2）∵B（2，c－1），
∴AC=2×2=4．
∵当x=0，y=c，
∴A（0，c）．
∵F1：y=ax2+c，B（2，c－1）．
∴设F2：y=a（x－2）2+c－1．
∵点A（0，c）在F2上，
∴4a+c－1=c，
∴．
当时，，
∴BD=（4a+c）－（c－1）=2．
∴S四边形ABCD=4．
（3）如图所示：
设F2的解析式，
B点在A点的右侧时，
解得：，，
B在点A的左侧时，
解得：，，
综上所述，，．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，利用待定系数法求函数解析式，又利用了正方形的判定，分类讨论是解题的关键，以防遗漏．
10．（2023春·江西赣州·九年级校考期末）定义：在平面直角坐标系中，抛物线y＝a+bx+c（a≠0）与直线y＝m交于点A、C（点C在点A右边）将抛物线y＝a+bx+c沿直线y＝m翻折，翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D．我们将两抛物线之间形成的封闭图形称为惊喜线，四边形ABCD称为惊喜四边形，对角线BD与AC之比称为惊喜度（Degreeofsurprise），记作|D|＝．
（1）图①是抛物线y＝﹣2x﹣3沿直线y＝0翻折后得到惊喜线．则点A坐标　 　，点B坐标　 　，惊喜四边形ABCD属于所学过的哪种特殊平行四边形　 　，|D|为　 　．
（2）如果抛物线y＝m﹣6m（m＞0）沿直线y＝m翻折后所得惊喜线的惊喜度为1，求m的值．
（3）如果抛物线y＝﹣6m沿直线y＝m翻折后所得的惊喜线在m﹣1≤x≤m+3时，其最高点的纵坐标为16，求m的值并直接写出惊喜度|D|．
【答案】（1）（-1,0）；（1，-4）；菱形；2；（2）；（3） m=2， 或 m=10，．
【分析】（1）联立两个函数的解析式，得到方程组，求得方程组的解，得A的坐标；利用配方法确定B的坐标；根据菱形的判定定理判定即可；根据惊喜度的定义计算即可；
（2）联立两个函数的解析式，得到方程组，解方程组确定交点的坐标，根据惊喜度的定义计算即可；（3）计算对称轴，分三种情形计算．
【详解】（1）根据题意，得 ，∴，
解得，
∴解方程组的解为，，点A（-1,0）；
∵y＝﹣2x﹣3=，
∴点B的坐标为（1，-4）；
∵翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D ，
∴直线BD是抛物线的对称轴，
∴BA=BC，DA=DC，
根据翻折的意义，得BA=DA，BC=DC，
∴BA=BC=DA=DC，
∴四边形ABCD是菱形；
设点D的纵坐标为n，
根据题意，得，
∴n=4，
∴点D的坐标为（1，4），
∴AC=，BD=，
∴|D|＝＝=2；
故答案为：（-1,0），（1，-4），菱形，2；
（2）根据题意，得，解得，
∴解方程组的解为，，
∴点A（，m），点C（，m）；
∴AC==2，
∵抛物线y＝m﹣6m（m＞0），
∴点B的坐标为（1，-6m）；
∵翻折前后两抛物线的顶点分别为点B、D ，
∴直线BD是抛物线的对称轴，
设点D的纵坐标为n，根据题意，得，
∴n=8m，
∴点D的坐标为（1，8m），
∴BD=，
∴|D|＝＝=1，
∴m=；
（3）∵抛物线y＝﹣6m，
∴抛物线的对称轴为x=1，
（a）当m﹣1≤1 ≤m+3时，即﹣2≤m ≤2时，如图③，
根据（2），得 点B的坐标为（1，-6m），点D的坐标为（1，8m），
根据对称性，得点D是最高点，且最高点的纵坐标为16，
∴8m=16，
∴m=2，
∴BD==28，
∴，解得，
∴点A（，2），点C（，2）；
∴AC==2，
∴|D|＝＝=；
（b）当m﹣1＞1 时，即m＞2时，如图④，
根据题意，得翻折前的坐标为（m-1，），翻折后对应点R的坐标为
（m-1，16），
根据对称性，得 =m，
∴，
∴m=2（舍去），m=10，
∴BD==140，
∴，解得，
∴点A（，10），点C（，10）；
∴AC==2，
∴|D|＝＝=；
（c）当m+3＜1 时，即m＜-2时，不能形成惊喜线，所以不存在m，
综上所述，m=2， 或 m=10，．

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