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专题4 三角恒等变换
(23-24高一下·江苏苏州·阶段练习)
1.已知,且.
(1)求的值:
(2)求的值.
(23-24高一下·江西南昌·阶段练习)
2.已知,且是第三象限角.
(1)求的值;
(2)求的值.
(23-24高一下·广东中山·阶段练习)
3.已知,.
(1)求的值;
(2)若,求的值.
4.设向量,函数.
(1)求的对称轴方程;
(2)若且求的值.
(23-24高一下·广东珠海·阶段练习)
5.(1)直接写出下列各式的值.
①
②
③
(2)结合(1)的结果,分析式子的共同特点,写出能反映一般规律的等式,并证明你的结论.
(23-24高一下·福建莆田·期中)
6.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点.
(1)求,和的值;
(2)求的值.
(23-24高一下·江苏扬州·阶段练习)
7.定义:为实数对的“正弦方差”.
(1)若,则实数对的“正弦方差”的值是否是与无关的定值,并证明你的结论
(2)若,若实数对的“正弦方差”的值是与无关的定值,求值.
(22-23高一下·江苏南京·期中)
8.由两角和差公式我们得到倍角公式,实际上可以表示为的三次多项式.
(1)试用仅含有的多项式表示;
(2)求出的值.
(23-24高一下·全国·期中)
9.已知,求函数的值域.
(23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习)
10.已知函数,.
(1)求函数的单调递增区间;
(2)若使有解,求的取值范围.
(23-24高一下·四川成都·阶段练习)
11.已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)若且,求的值.
(23-24高一下·湖北·阶段练习)
12.已知函数.
(1)求函数的值域;
(2)设,若,恒成立,求时t的最大值.
(22-23高一下·江苏淮安·期末)
13.已知,,.
(1)求;
(2)求.
(22-23高一下·江苏连云港·期中)
14.已知角,为锐角,,.
(1)求的值;
(2)求的值.
(23-24高一上·江苏无锡·期末)
15.已知.
(1)求的单调递增区间;
(2)若,,求满足不等式的x的取值范围.
(22-23高一上·江苏常州·期末)
16.计算:
(1)求值;
(2)已知,,求的值
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.(1)
(2)
【分析】(1)利用二倍角的正切公式和两角差的正切公式即可求解;
(2)根据已知角的范围及三角函数值,结合同角三角函数的平方关系和商数关系求出,由二倍角的正切公式求出,再由及差角正切公式求解即可.
【详解】(1)因为,所以,
所以.
(2)因为,所以,
因为,所以,所以,
所以,
,
则,
因为,所以.
2.(1)
(2)5
【分析】(1)根据题意,求得和,得到,再由正切的倍角公式,即可求解;
(2)由(1),结合,代入即可求解.
【详解】(1)解:由,
可得,因为是第三象限角,可得,所以.
则.
(2)解:由(1)知且,
可得.
3.(1)
(2).
【分析】(1)由正弦值确定角的范围,再由同角的三角函数关系确定余弦值,再用余弦展开式求解即可;
(2)由同角的三角函数和余弦展开式结合拆角后得到.
【详解】(1)因为,
所以,,.
(2),
因为,,
所以,
因为,所以.
4.(1)
(2)
【分析】(1)由向量数量积坐标公式、二倍角公式、辅助角公式化简函数表达式,结合对称轴方程的定义即可求解.
(2)由已知条件先算出,,再结合两角差的余弦公式即可求解.
【详解】(1)因为
,
令,得,
所以的对称轴方程为.
(2)因为,所以,即,
又因为所以,
故,
所以
.
5.(1)①,②,③,(2),证明见解析
【分析】(1)根据余弦二倍角公式及特殊角的三角函数值可得结果;
(2)结合(1)的结果,分析式子的共同特点,可得一般规律的等式,根据余弦二倍角公式及特殊角的三角函数值可得结果.
【详解】(1)①
,
②
,
③
,
(2)结合(1)的结果,分析式子的共同特点,写出能反映一般规律的等式为:
,
证明如下:
.
6.(1),,
(2)
【分析】(1)根据三角函数定义、二倍角公式和两角和的正弦公式直接求解即可;
(2)利用诱导公式化简所求式子,代入的值即可.
【详解】(1)由三角函数定义可知:,,
,,
.
(2)由(1)得:,
.
7.(1)是与无关的定值,证明见解析;
(2)或.
【分析】(1)根据的定义,结合三角恒等变换,整理化简,即可求得结果为定值;
(2)根据的定义,结合三角恒等变换,根据其为定值,求得,再结合角度范围,即可求得结果.
【详解】(1)“正弦方差”的值是与无关的定值;
证明:若,
则
.
(2)若,
根据题意,
因为的值是与无关的定值,故可得,
因为,故,
由可知,或,即或,
若,则,,故舍去;
对,两边平方后相加可得:
,即;
因为,故或或,
即或或;
综上所述,当,解得,不满足题意;
当,解得,满足题意;
当,解得,满足题意;
故或.
【点睛】关键点点睛:解决本题第二问的关键一是找到的关系,二是根据角度范围,讨论可能得取值.
8.(1)
(2)
【分析】(1)利用余弦的两角和公式和平方关系求解即可;
(2)利用,结合三角恒等变换求解即可.
【详解】(1)
.
(2)因为,
所以,
所以,
所以,
解得,或(舍去),
故.
9.
【分析】利用换元法与辅助角公式、同角的基本关系式将函数转化为关于的二次函数,从而得解.
【详解】令,
当时,,故,即,
又,所以,
故,
又在上单调递增,在上单调递减,
所以当时,取得最大值,当时,函数取得最小值,
所以的值域为.
10.(1)
(2)
【分析】(1)化简函数,结合三角函数的性质,即可求解;
(2)由,得到,求得,结合题意,得到,即可求解.
【详解】(1)解:由函数
,
令,解得,
所以函数的单调递增区间为.
(2)解:由,可得,可得,
所以,
要使得使有解,则,
所以实数的取值范围为.
11.(1)
(2)
【分析】(1)利用辅助角公式化简,求出最小正周期;
(2)将代入可求出,结合的范围,求出,因为,由两角差的余弦公式求出结果.
【详解】(1),
所以的最小正周期
(2),所以,
因为,,
所以,
所以
.
12.(1)
(2)
【分析】(1)讨论的象限,化简函数,再求其值域,
(2)利用(1)的结论求的最小值,化简条件,解不等式求t的最大值.
【详解】(1)当时,
所以,,
所以,
当时,
所以,,
所以,
当时,
所以,,
所以,
当时,
所以,,
所以,
所以函数的值域为,
(2)因为,恒成立,
所以,
所以,
所以,
当时,,
所以,
所以,
设,则,
所以,
所以,
所以,
所以或,
所以或,
所以或,
所以或,
又,
所以,
所以,
所以t的最大值为.
13.(1)
(2)
【分析】(1)由已知函数值以及角的范围可得,结合两角差的余弦公式即可求值.
(2)根据,结合两角差的正余弦公式即可求值
【详解】(1)因为,则,
所以.
(2)由(1)可得:,
因为,则,
可得,
所以
.
14.(1)
(2)
【分析】(1)利用倍角公式及同角三角函数的基本关系求解即可;
(2)先由同角三角函数的基本关系得出,再根据两角和与差的正切公式即可求解.
【详解】(1)因为,
所以.
(2)因为,均为锐角,所以,
所以,
所以,
因为为锐角,所以,
又β为锐角,所以,
则,
所以.
15.(1),
(2)
【分析】(1)化简的解析式,根据正弦函数的单调性可求的单调递增区间;
(2)利用换元法求x的取值范围.
【详解】(1)
=
=,
令,解得
所以单调递增区间为,.
(2)由(1)可得,
令,则,所以
所以不等式为,得,即
由,解得,所以解集为.
16.(1)
(2)
【分析】(1)利用两角和的余弦、正弦、诱导公式化简计算可得出所求代数式的值;
(2)利用诱导公式、二倍角的正弦公式可求得的值,结合角的取值范围可求得的值,再利用诱导公式可求得的值.
【详解】(1)解:原式
.
(2)解:原式,
即,
因为,则,所以,,则,
因此,.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页
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