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专题4 三角恒等变换
（23-24高一下·江苏苏州·阶段练习）
1．已知，且．
(1)求的值：
(2)求的值．
（23-24高一下·江西南昌·阶段练习）
2．已知，且是第三象限角.
(1)求的值；
(2)求的值.
（23-24高一下·广东中山·阶段练习）
3．已知，.
(1)求的值；
(2)若，求的值.
4．设向量,函数.
(1)求的对称轴方程；
(2)若且求的值.
（23-24高一下·广东珠海·阶段练习）
5．（1）直接写出下列各式的值．
①
②
③
（2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式，并证明你的结论．
（23-24高一下·福建莆田·期中）
6．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求，和的值；
(2)求的值．
（23-24高一下·江苏扬州·阶段练习）
7．定义:为实数对的“正弦方差”.
(1)若，则实数对的“正弦方差”的值是否是与无关的定值，并证明你的结论
(2)若，若实数对的“正弦方差”的值是与无关的定值，求值.
（22-23高一下·江苏南京·期中）
8．由两角和差公式我们得到倍角公式，实际上可以表示为的三次多项式.
(1)试用仅含有的多项式表示；
(2)求出的值.
（23-24高一下·全国·期中）
9．已知，求函数的值域.
（23-24高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）
10．已知函数，．
(1)求函数的单调递增区间；
(2)若使有解，求的取值范围.
（23-24高一下·四川成都·阶段练习）
11．已知函数.
(1)求函数的最小正周期；
(2)若且，求的值.
（23-24高一下·湖北·阶段练习）
12．已知函数.
(1)求函数的值域；
(2)设，若，恒成立，求时t的最大值.
（22-23高一下·江苏淮安·期末）
13．已知，，.
(1)求；
(2)求.
（22-23高一下·江苏连云港·期中）
14．已知角，为锐角，，．
(1)求的值；
(2)求的值．
（23-24高一上·江苏无锡·期末）
15．已知.
(1)求的单调递增区间；
(2)若，，求满足不等式的x的取值范围.
（22-23高一上·江苏常州·期末）
16．计算：
(1)求值；
(2)已知，，求的值
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）利用二倍角的正切公式和两角差的正切公式即可求解；
（2）根据已知角的范围及三角函数值，结合同角三角函数的平方关系和商数关系求出，由二倍角的正切公式求出，再由及差角正切公式求解即可.
【详解】（1）因为，所以，
所以.
（2）因为，所以，
因为，所以，所以，
所以，
，
则，
因为，所以.
2．(1)
(2)5
【分析】（1）根据题意，求得和，得到，再由正切的倍角公式，即可求解；
（2）由（1），结合，代入即可求解.
【详解】（1）解：由，
可得，因为是第三象限角，可得，所以.
则.
（2）解：由（1）知且，
可得.
3．(1)
(2).
【分析】（1）由正弦值确定角的范围，再由同角的三角函数关系确定余弦值，再用余弦展开式求解即可；
（2）由同角的三角函数和余弦展开式结合拆角后得到.
【详解】（1）因为，
所以，，.
（2），
因为，，
所以，
因为，所以.
4．(1)
(2)
【分析】（1）由向量数量积坐标公式、二倍角公式、辅助角公式化简函数表达式，结合对称轴方程的定义即可求解.
（2）由已知条件先算出，，再结合两角差的余弦公式即可求解.
【详解】（1）因为
，
令，得，
所以的对称轴方程为.
（2）因为，所以，即，
又因为所以，
故，
所以
.
5．（1）①，②，③，（2），证明见解析
【分析】（1）根据余弦二倍角公式及特殊角的三角函数值可得结果；
（2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，可得一般规律的等式，根据余弦二倍角公式及特殊角的三角函数值可得结果.
【详解】（1）①
，
②
，
③
，
（2）结合（1）的结果，分析式子的共同特点，写出能反映一般规律的等式为：
，
证明如下：
.
6．(1)，，
(2)
【分析】（1）根据三角函数定义、二倍角公式和两角和的正弦公式直接求解即可；
（2）利用诱导公式化简所求式子，代入的值即可.
【详解】（1）由三角函数定义可知：，，
，，
.
（2）由（1）得：，
.
7．(1)是与无关的定值，证明见解析；
(2)或.
【分析】（1）根据的定义，结合三角恒等变换，整理化简，即可求得结果为定值；
（2）根据的定义，结合三角恒等变换，根据其为定值，求得，再结合角度范围，即可求得结果.
【详解】（1）“正弦方差”的值是与无关的定值；
证明：若，
则
.
（2）若，
根据题意，
因为的值是与无关的定值，故可得，
因为，故，
由可知，或，即或，
若，则，，故舍去；
对，两边平方后相加可得：
，即；
因为，故或或，
即或或；
综上所述，当，解得，不满足题意；
当，解得，满足题意；
当，解得，满足题意；
故或.
【点睛】关键点点睛：解决本题第二问的关键一是找到的关系，二是根据角度范围，讨论可能得取值.
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用余弦的两角和公式和平方关系求解即可；
（2）利用，结合三角恒等变换求解即可.
【详解】（1）
.
（2）因为，
所以，
所以，
所以，
解得，或（舍去），
故.
9．
【分析】利用换元法与辅助角公式、同角的基本关系式将函数转化为关于的二次函数，从而得解.
【详解】令，
当时，，故，即，
又，所以，
故，
又在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，当时，函数取得最小值，
所以的值域为.
10．(1)
(2)
【分析】（1）化简函数，结合三角函数的性质，即可求解；
（2）由，得到，求得，结合题意，得到，即可求解.
【详解】（1）解：由函数
，
令，解得，
所以函数的单调递增区间为.
（2）解：由，可得，可得，
所以，
要使得使有解，则，
所以实数的取值范围为.
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用辅助角公式化简，求出最小正周期；
（2）将代入可求出，结合的范围，求出，因为，由两角差的余弦公式求出结果.
【详解】（1），
所以的最小正周期
（2），所以，
因为，，
所以，
所以
.
12．(1)
(2)
【分析】（1）讨论的象限，化简函数，再求其值域，
（2）利用（1）的结论求的最小值，化简条件，解不等式求t的最大值.
【详解】（1）当时，
所以，，
所以，
当时，
所以，，
所以，
当时，
所以，，
所以，
当时，
所以，，
所以，
所以函数的值域为，
（2）因为，恒成立，
所以，
所以，
所以，
当时，，
所以，
所以，
设，则，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以或，
所以或，
所以或，
又，
所以，
所以，
所以t的最大值为.
13．(1)
(2)
【分析】（1）由已知函数值以及角的范围可得，结合两角差的余弦公式即可求值.
（2）根据，结合两角差的正余弦公式即可求值
【详解】（1）因为，则，
所以.
（2）由（1）可得：，
因为，则，
可得，
所以
.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用倍角公式及同角三角函数的基本关系求解即可；
（2）先由同角三角函数的基本关系得出，再根据两角和与差的正切公式即可求解．
【详解】（1）因为，
所以．
（2）因为，均为锐角，所以，
所以，
所以，
因为为锐角，所以，
又β为锐角，所以，
则，
所以．
15．(1)，
(2)
【分析】（1）化简的解析式，根据正弦函数的单调性可求的单调递增区间；
（2）利用换元法求x的取值范围.
【详解】（1）
=
=，
令，解得
所以单调递增区间为，.
（2）由（1）可得，
令，则，所以
所以不等式为，得，即
由，解得，所以解集为.
16．(1)
(2)
【分析】（1）利用两角和的余弦、正弦、诱导公式化简计算可得出所求代数式的值；
（2）利用诱导公式、二倍角的正弦公式可求得的值，结合角的取值范围可求得的值，再利用诱导公式可求得的值.
【详解】（1）解：原式
.
（2）解：原式，
即，
因为，则，所以，，则，
因此，.
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