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专题5 解三角形
（23-24高一下·安徽·期中）
1．已知锐角分别为角的对边，若.
(1)求证：；
(2)求的取值范围.
（23-24高二下·广东汕头·期中）
2．在△ABC中，角A，B，C的对边长依次是a，b，c，，．
(1)求角B的大小；
(2)若AD是∠BAC的内角平分线，当△ABC面积最大时，求AD的长．
（2024·北京东城·一模）
3．在中，.
(1)求；
(2)若为边的中点，且，求的值.
（23-24高一下·河南南阳·期中）
4．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且.
(1)求面积的最大值；
(2)若为边BC的中点，求线段的长度．
（23-24高一下·江苏南京·期中）
5．在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上，并给出解答.（注：如果选择多个条件份分别进行解答，则按第一个解答计分）
①；②；③向量，，.
在中，内角，，的对边分别为，，，且___________.
(1)求；
(2)若，求周长的最大值.
（23-24高二上·北京海淀·期末）
6．在锐角中，．
(1)求；
(2)求周长的最大值．
（23-24高二上·福建福州·期末）
7．在中，角的对边分别为
(1)求；
(2)若面积为，求的周长.
（23-24高二上·湖北·阶段练习）
8．已知的内角的对边分别为，且．
(1)求外接圆半径.
(2)求周长的最大值．
（23-24高一下·浙江·期中）
9．已知的内角所对的边分别为且与垂直.
(1)求大小；
(2)若边上的中线长为，求的面积的最大值.
（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试）
10．设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角A的大小；
(2)若，求锐角的面积的取值范围．
（22-23高一下·广东广州·期中）
11．已知的内角、、的对边分别为、、，.
(1)求角的大小；
(2)若，求面积的最大值.
（22-23高一下·甘肃白银·期末）
12．的内角的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若为的角平分线，且，求面积的最小值．
（23-24高一下·安徽·期中）
13．“大湖名城，创新高地”的“湖”指的就是巢湖，为治理巢湖环境，拟在巢湖两岸建立四个水质检测站.已知两个检测站建在巢湖的南岸，距离为，检测站在湖的北岸，工作人员测得.
(1)求两个检测站之间的距离；
(2)求两个检测站之间的距离.
（22-23高一下·广东东莞·期中）
14．“桃花春色暖先开，明媚谁人不看来”.春天来了，在研学的基地里，小明观察一棵桃树.如图所示，他在点处发现桃树顶端点的仰角大小为，往正前方走后，在点处发现桃树顶端点的仰角大小为.

(1)求的长；
(2)若小明身高为，求这棵桃树顶端点离地面的高度（精确到，其中）.
（22-23高一下·河南郑州·期中）
15．在海岸A处，发现北偏西75°的方向，与A距离2海里的B处有一艘走私船，在A处北偏东45°方向，与A距离（）海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船．此时，走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜，问：

(1)刚发现走私船时，缉私船距离走私船多远？在走私船的什么方向？
(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
（22-23高一下·云南曲靖·期中）
16．夏季来临，气温升高，是学生溺水事故的高发期．为有效预防学生溺水事件的发生，增强学生防溺水的安全防范意识，提高学生的自护自救能力，减少安全事故的发生，切实保护学生的生命安全，学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会．某地一河流的岸边观测站位于点处（离地面高度忽略不计），观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友，正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子，突然小孩不慎落水．已知的距离为，假设三点在同一水平面上．
(1)求此时钓友与小孩之间的距离．
(2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近，且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援，与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动，由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制，最多能持续游，试问钓友这次救援是否有成功的可能？若有可能，求钓友救援成功的最短时间；若不能，请说明原因．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据题干，利用余弦定理化简可得，再由正弦定理可得即，再根据是锐角三角形，所以即可得解；
（2）由是锐角三角形，所以，由正弦定理可得结合角的范围即可得解.
【详解】（1）
根据正弦定理，由
，
即.
是锐角三角形，
，，
因此有
（2）是锐角三角形，，而，
由正弦定理，得，
则，
而
所以，
因此的取值范围为.
2．(1)
(2)
【分析】（1）由正弦定理角化边，再应用余弦定理可解得角B.
（2）由余弦定理与重要不等式可得面积最大时a、c的值，在中应用正弦定理可解得AD的值.
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理可得，
∴由余弦定理得，
又∵，∴．
（2）在中，由余弦定理得，
即．∵，，
∴，当且仅当时取等号，
∴，当且仅当时，，
此时面积最大．
当时，．
又∵为的角平分线，∴
∴在中，，
∴在中，由正弦定理得．
3．(1)；
(2).
【分析】（1）由正弦定理可得，结合三角和为及诱导公式可得，即可得答案；
（2）在中，由正弦定理可求得，从而可得，在中，利用余弦定理求解即可.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
即，，
又因为，
所以，
解得，又因为，
所以；
（2）解：因为为边的中点，，
所以,
设,
在中，由正弦定理可得，
即，解得，
又因为，所以，

在中，，
在中，，
由余弦定理可得：，
所以，
即.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理角化边化简已知等式，可得，再由余弦定理即可求得答案；
（2）由向量的线性运算以及数量积的运算律可得的表达式，再结合（1）的结果推出，即可求得答案.
【详解】（1），
由正弦定理可得，
即，
由余弦定理可得，
又，故，
又，，，当且仅当时取等号．
，
故面积的最大值为；
（2）是边BC的中点，，
．
，，，
又由（1）知，，
，，
即线段AD的长度为.
5．(1)
(2)
【分析】（1）选①：用正弦定理化简求解即可；选②：用两角和差正弦公式化简求解；选③：用向量垂直的坐标表示和余弦定理求解即可；
（2）先利用余弦定理求得，然后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】（1）若选①：，
由正弦定理得，又，
所以，又，所以，即，
又，所以；
若选②：因为，所以，
所以，所以，因为，
所以，所以，所以；
若选③：因为向量，，，
所以，化简得，
所以，又，所以；
（2）由余弦定理得，
所以，
所以，所以，当且仅当时等号成立，
所以，即周长的最大值为.
6．(1)
(2)3
【分析】（1）利用正弦的二倍角公式化简求值即可；
（2）解法一：利用正弦定理可得，结合正弦两角差公式和辅助角公式求解即可；解法二：利用余弦定理可得，再根据均值不等式求最值即可.
【详解】（1）因为锐角，，所以，
所以，所以，.
（2）解法一：由正弦定理可得，
所以
，
在锐角中，，
所以当，即时，取最大值，
.
解法二：由余弦定理可得，
代入得，所以，
因为，所以，，
当且仅当时等号成立，
所以.
7．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
（2）利用面积公式和余弦定理求边长，即可求得答案.
【详解】（1）由题意知中，，
故，即，
即，
，
又即，又，
.
（2）由，得
由，
所以的周长为.
8．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理边化角，结合余弦定理即可求解.
（2）由余弦定理结合基本不等式，即可求得周长的最大值.
【详解】（1）设外接圆半径为，
因为，,，
所以，则，
即，整理得，
所以由余弦定理可得，，
因为，所以，
故外接圆半径.
（2）因为，
所以，即，
又因为，，
所以，即，当且仅当等号成立.
又因为，，
故的周长的最大值为．
9．(1)；
(2).
【分析】（1）利用垂直的向量表示进行化简，再根据正弦定理结合条件即可得到结果；
（2）利用余弦定理与边上的中线有进行化简，在利用基本不等式即可得到结果.
【详解】（1）因为，垂直，
所以.
由正弦定理，得，因为，
所以，，
所以.
（2）设边上的中线为，
在中，由余弦定理得：，
即①.
在和中，，
所以，
即，，，
化简得，
代入①式得，，
由基本不等式，
∴，当且仅当取到“”；
所以的面积最大值为.
10．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理的边角变换，结合三角函数的和差公式求得的值，从而得解；
（2）利用正弦定理和三角形面积公式，结合三角函数恒等变换得到关于的表达式，再由锐角得到的取值范围，从而得解.
【详解】（1）因为，
所以由正弦定理，得．
又在中，，
所以，则，
又，则，所以，
又，所以.
（2）因为，则，
所以，
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
所以，所以，
故，则.
11．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值；
（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】（1）解：因为，
由正弦定理可得，
即，
所以，，
因为、，则，所以，，故.
（2）解：由余弦定理可得
，即，
当且仅当时，等号成立，
所以，，
故面积的最大值为.
12．(1)
(2)
【分析】（1）解法1、根据题意，利用余弦定理得到，求得，即可求解；解法2、根据题意，由正弦定理得到，求得求得，即可求解；
（2）由，结合基本不等式求得，进而求得面积的最小值．
【详解】（1）解法1、因为，
由余弦定理得，
整理得，即，则，
因为，所以．
解法2、因为，由正弦定理得，
因为，可得，
所以，
整理得，
因为，所以，则，
因为，所以．
（2）解：由，可得，
可得，所以，当且仅当时，等号成立，
则的面积为，即面积的最小值为．
13．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，在中由正弦定理计算可得；
（2）根据题意可得，由余弦定理求出，再由余弦定理即可求出.
【详解】（1）由已知，在中，，
由正弦定理，得，
则，
所以两个检测站之间的距离为.
（2）在中，，所以，
所以，所以，
由余弦定理得
，
所以
在中，由余弦定理得，
，
所以，即两个检测站之间的距离为.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理求解即可；
（2）利用正弦定理和两角和的正弦公式求解.
【详解】（1）在中，，，
则，.
由正弦定理得,即，
解得.即的长为.

（2）在中，，
所以.
因为，
则.
所以.
即这棵桃树顶端点离地面的高度为.
15．(1)缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向
(2)缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船
【分析】（1）根据题求得，由正弦定理求得，得到，得出为水平线，即可得到答案；
（2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，得到，结合正弦定理求得，进而得到答案.
【详解】（1）由题意，可得，
则 ，
在中，由正弦定理，即，
解得，因为，所以，所以为水平线，
所以刚发现走私船时，缉私船距离走私船海里，在走私船的正东方向．
（2）设经过时间小时后，缉私船追上走私船，
在中，可得，
由正弦定理得，
因为为锐角，所以，
所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船．
16．(1)距离为100或200米；
(2)钓友这次救援有成功的可能，救援成功的最短时间为.
【分析】（1）作出图形，利用余弦定理即可得到答案；
（2）根据（1）中的结论得，求出，设，根据余弦定理得到方程，解出即可.
【详解】（1）由题意得，，，
在三角形中，根据余弦定理有，
即，解得或100，

故钓友与小孩之间的距离为100或200米.
（2）因为钓友到点处比到点处的距离更近，则，

设钓友在最短时间内救援到地点为点，，
则，
所以，
整理得，解得（负根舍去），
因为，所以钓友这次救援有成功的可能，
且成功的最短时间为.
答案第1页，共2页
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