资源简介 专题5 解三角形(23-24高一下·安徽·期中)1.已知锐角分别为角的对边,若.(1)求证:;(2)求的取值范围.(23-24高二下·广东汕头·期中)2.在△ABC中,角A,B,C的对边长依次是a,b,c,,.(1)求角B的大小;(2)若AD是∠BAC的内角平分线,当△ABC面积最大时,求AD的长.(2024·北京东城·一模)3.在中,.(1)求;(2)若为边的中点,且,求的值.(23-24高一下·河南南阳·期中)4.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,且.(1)求面积的最大值;(2)若为边BC的中点,求线段的长度.(23-24高一下·江苏南京·期中)5.在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上,并给出解答.(注:如果选择多个条件份分别进行解答,则按第一个解答计分)①;②;③向量,,.在中,内角,,的对边分别为,,,且___________.(1)求;(2)若,求周长的最大值.(23-24高二上·北京海淀·期末)6.在锐角中,.(1)求;(2)求周长的最大值.(23-24高二上·福建福州·期末)7.在中,角的对边分别为(1)求;(2)若面积为,求的周长.(23-24高二上·湖北·阶段练习)8.已知的内角的对边分别为,且.(1)求外接圆半径.(2)求周长的最大值.(23-24高一下·浙江·期中)9.已知的内角所对的边分别为且与垂直.(1)求大小;(2)若边上的中线长为,求的面积的最大值.(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试)10.设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.(1)求角A的大小;(2)若,求锐角的面积的取值范围.(22-23高一下·广东广州·期中)11.已知的内角、、的对边分别为、、,.(1)求角的大小;(2)若,求面积的最大值.(22-23高一下·甘肃白银·期末)12.的内角的对边分别为,,,且.(1)求;(2)若为的角平分线,且,求面积的最小值.(23-24高一下·安徽·期中)13.“大湖名城,创新高地”的“湖”指的就是巢湖,为治理巢湖环境,拟在巢湖两岸建立四个水质检测站.已知两个检测站建在巢湖的南岸,距离为,检测站在湖的北岸,工作人员测得.(1)求两个检测站之间的距离;(2)求两个检测站之间的距离.(22-23高一下·广东东莞·期中)14.“桃花春色暖先开,明媚谁人不看来”.春天来了,在研学的基地里,小明观察一棵桃树.如图所示,他在点处发现桃树顶端点的仰角大小为,往正前方走后,在点处发现桃树顶端点的仰角大小为. (1)求的长;(2)若小明身高为,求这棵桃树顶端点离地面的高度(精确到,其中).(22-23高一下·河南郑州·期中)15.在海岸A处,发现北偏西75°的方向,与A距离2海里的B处有一艘走私船,在A处北偏东45°方向,与A距离()海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜,问: (1)刚发现走私船时,缉私船距离走私船多远?在走私船的什么方向?(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船?(22-23高一下·云南曲靖·期中)16.夏季来临,气温升高,是学生溺水事故的高发期.为有效预防学生溺水事件的发生,增强学生防溺水的安全防范意识,提高学生的自护自救能力,减少安全事故的发生,切实保护学生的生命安全,学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会.某地一河流的岸边观测站位于点处(离地面高度忽略不计),观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友,正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子,突然小孩不慎落水.已知的距离为,假设三点在同一水平面上.(1)求此时钓友与小孩之间的距离.(2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近,且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援,与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动,由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制,最多能持续游,试问钓友这次救援是否有成功的可能?若有可能,求钓友救援成功的最短时间;若不能,请说明原因.试卷第1页,共3页试卷第1页,共3页参考答案:1.(1)证明见解析;(2).【分析】(1)根据题干,利用余弦定理化简可得,再由正弦定理可得即,再根据是锐角三角形,所以即可得解;(2)由是锐角三角形,所以,由正弦定理可得结合角的范围即可得解.【详解】(1)根据正弦定理,由,即.是锐角三角形,,,因此有(2)是锐角三角形,,而,由正弦定理,得,则,而所以,因此的取值范围为.2.(1)(2)【分析】(1)由正弦定理角化边,再应用余弦定理可解得角B.(2)由余弦定理与重要不等式可得面积最大时a、c的值,在中应用正弦定理可解得AD的值.【详解】(1)∵,∴由正弦定理可得,∴由余弦定理得,又∵,∴.(2)在中,由余弦定理得,即.∵,,∴,当且仅当时取等号,∴,当且仅当时,,此时面积最大.当时,.又∵为的角平分线,∴∴在中,,∴在中,由正弦定理得.3.(1);(2).【分析】(1)由正弦定理可得,结合三角和为及诱导公式可得,即可得答案;(2)在中,由正弦定理可求得,从而可得,在中,利用余弦定理求解即可.【详解】(1)解:因为,由正弦定理可得,即,,又因为,所以,解得,又因为,所以;(2)解:因为为边的中点,,所以,设,在中,由正弦定理可得,即,解得,又因为,所以, 在中,,在中,,由余弦定理可得:,所以,即.4.(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理角化边化简已知等式,可得,再由余弦定理即可求得答案;(2)由向量的线性运算以及数量积的运算律可得的表达式,再结合(1)的结果推出,即可求得答案.【详解】(1),由正弦定理可得,即,由余弦定理可得,又,故,又,,,当且仅当时取等号.,故面积的最大值为;(2)是边BC的中点,,.,,,又由(1)知,,,,即线段AD的长度为.5.(1)(2)【分析】(1)选①:用正弦定理化简求解即可;选②:用两角和差正弦公式化简求解;选③:用向量垂直的坐标表示和余弦定理求解即可;(2)先利用余弦定理求得,然后利用基本不等式求解最值即可.【详解】(1)若选①:,由正弦定理得,又,所以,又,所以,即,又,所以;若选②:因为,所以,所以,所以,因为,所以,所以,所以;若选③:因为向量,,,所以,化简得,所以,又,所以;(2)由余弦定理得,所以,所以,所以,当且仅当时等号成立,所以,即周长的最大值为.6.(1)(2)3【分析】(1)利用正弦的二倍角公式化简求值即可;(2)解法一:利用正弦定理可得,结合正弦两角差公式和辅助角公式求解即可;解法二:利用余弦定理可得,再根据均值不等式求最值即可.【详解】(1)因为锐角,,所以,所以,所以,.(2)解法一:由正弦定理可得,所以,在锐角中,,所以当,即时,取最大值,.解法二:由余弦定理可得,代入得,所以,因为,所以,,当且仅当时等号成立,所以.7.(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式,化简已知等式,可得,结合同角的三角函数关系,即可求得答案;(2)利用面积公式和余弦定理求边长,即可求得答案.【详解】(1)由题意知中,,故,即,即,,又即,又,.(2)由,得由,所以的周长为.8.(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理边化角,结合余弦定理即可求解.(2)由余弦定理结合基本不等式,即可求得周长的最大值.【详解】(1)设外接圆半径为,因为,,,所以,则,即,整理得,所以由余弦定理可得,,因为,所以,故外接圆半径.(2)因为,所以,即,又因为,,所以,即,当且仅当等号成立.又因为,,故的周长的最大值为.9.(1);(2).【分析】(1)利用垂直的向量表示进行化简,再根据正弦定理结合条件即可得到结果;(2)利用余弦定理与边上的中线有进行化简,在利用基本不等式即可得到结果.【详解】(1)因为,垂直,所以.由正弦定理,得,因为,所以,,所以.(2)设边上的中线为,在中,由余弦定理得:,即①.在和中,,所以,即,,,化简得,代入①式得,,由基本不等式,∴,当且仅当取到“”;所以的面积最大值为.10.(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理的边角变换,结合三角函数的和差公式求得的值,从而得解;(2)利用正弦定理和三角形面积公式,结合三角函数恒等变换得到关于的表达式,再由锐角得到的取值范围,从而得解.【详解】(1)因为,所以由正弦定理,得.又在中,,所以,则,又,则,所以,又,所以.(2)因为,则,所以,,因为为锐角三角形,所以,解得,所以,所以,故,则.11.(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式化简得出的值,结合角的取值范围可得出角的值;(2)利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值,结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.【详解】(1)解:因为,由正弦定理可得,即,所以,,因为、,则,所以,,故.(2)解:由余弦定理可得,即,当且仅当时,等号成立,所以,,故面积的最大值为.12.(1)(2)【分析】(1)解法1、根据题意,利用余弦定理得到,求得,即可求解;解法2、根据题意,由正弦定理得到,求得求得,即可求解;(2)由,结合基本不等式求得,进而求得面积的最小值.【详解】(1)解法1、因为,由余弦定理得,整理得,即,则,因为,所以.解法2、因为,由正弦定理得,因为,可得,所以,整理得,因为,所以,则,因为,所以.(2)解:由,可得,可得,所以,当且仅当时,等号成立,则的面积为,即面积的最小值为.13.(1)(2)【分析】(1)根据题意,在中由正弦定理计算可得;(2)根据题意可得,由余弦定理求出,再由余弦定理即可求出.【详解】(1)由已知,在中,,由正弦定理,得,则,所以两个检测站之间的距离为.(2)在中,,所以,所以,所以,由余弦定理得,所以在中,由余弦定理得,,所以,即两个检测站之间的距离为.14.(1)(2)【分析】(1)利用正弦定理求解即可;(2)利用正弦定理和两角和的正弦公式求解.【详解】(1)在中,,,则,.由正弦定理得,即,解得.即的长为. (2)在中,,所以.因为, 则.所以.即这棵桃树顶端点离地面的高度为.15.(1)缉私船距离走私船海里,在走私船的正东方向(2)缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船【分析】(1)根据题求得,由正弦定理求得,得到,得出为水平线,即可得到答案;(2)设经过时间小时后,缉私船追上走私船,得到,结合正弦定理求得,进而得到答案.【详解】(1)由题意,可得,则 ,在中,由正弦定理,即,解得,因为,所以,所以为水平线,所以刚发现走私船时,缉私船距离走私船海里,在走私船的正东方向.(2)设经过时间小时后,缉私船追上走私船,在中,可得,由正弦定理得,因为为锐角,所以,所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船.16.(1)距离为100或200米;(2)钓友这次救援有成功的可能,救援成功的最短时间为.【分析】(1)作出图形,利用余弦定理即可得到答案;(2)根据(1)中的结论得,求出,设,根据余弦定理得到方程,解出即可.【详解】(1)由题意得,,,在三角形中,根据余弦定理有,即,解得或100, 故钓友与小孩之间的距离为100或200米.(2)因为钓友到点处比到点处的距离更近,则, 设钓友在最短时间内救援到地点为点,,则,所以,整理得,解得(负根舍去),因为,所以钓友这次救援有成功的可能,且成功的最短时间为.答案第1页,共2页答案第1页,共2页 展开更多...... 收起↑ 资源预览