资源简介
专题5 解三角形
(23-24高一下·安徽·期中)
1.已知锐角分别为角的对边,若.
(1)求证:;
(2)求的取值范围.
(23-24高二下·广东汕头·期中)
2.在△ABC中,角A,B,C的对边长依次是a,b,c,,.
(1)求角B的大小;
(2)若AD是∠BAC的内角平分线,当△ABC面积最大时,求AD的长.
(2024·北京东城·一模)
3.在中,.
(1)求;
(2)若为边的中点,且,求的值.
(23-24高一下·河南南阳·期中)
4.在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知,且.
(1)求面积的最大值;
(2)若为边BC的中点,求线段的长度.
(23-24高一下·江苏南京·期中)
5.在以下三个条件中任选一个补充到下面的横线上,并给出解答.(注:如果选择多个条件份分别进行解答,则按第一个解答计分)
①;②;③向量,,.
在中,内角,,的对边分别为,,,且___________.
(1)求;
(2)若,求周长的最大值.
(23-24高二上·北京海淀·期末)
6.在锐角中,.
(1)求;
(2)求周长的最大值.
(23-24高二上·福建福州·期末)
7.在中,角的对边分别为
(1)求;
(2)若面积为,求的周长.
(23-24高二上·湖北·阶段练习)
8.已知的内角的对边分别为,且.
(1)求外接圆半径.
(2)求周长的最大值.
(23-24高一下·浙江·期中)
9.已知的内角所对的边分别为且与垂直.
(1)求大小;
(2)若边上的中线长为,求的面积的最大值.
(23-24高二上·黑龙江哈尔滨·开学考试)
10.设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若,求锐角的面积的取值范围.
(22-23高一下·广东广州·期中)
11.已知的内角、、的对边分别为、、,.
(1)求角的大小;
(2)若,求面积的最大值.
(22-23高一下·甘肃白银·期末)
12.的内角的对边分别为,,,且.
(1)求;
(2)若为的角平分线,且,求面积的最小值.
(23-24高一下·安徽·期中)
13.“大湖名城,创新高地”的“湖”指的就是巢湖,为治理巢湖环境,拟在巢湖两岸建立四个水质检测站.已知两个检测站建在巢湖的南岸,距离为,检测站在湖的北岸,工作人员测得.
(1)求两个检测站之间的距离;
(2)求两个检测站之间的距离.
(22-23高一下·广东东莞·期中)
14.“桃花春色暖先开,明媚谁人不看来”.春天来了,在研学的基地里,小明观察一棵桃树.如图所示,他在点处发现桃树顶端点的仰角大小为,往正前方走后,在点处发现桃树顶端点的仰角大小为.
(1)求的长;
(2)若小明身高为,求这棵桃树顶端点离地面的高度(精确到,其中).
(22-23高一下·河南郑州·期中)
15.在海岸A处,发现北偏西75°的方向,与A距离2海里的B处有一艘走私船,在A处北偏东45°方向,与A距离()海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/小时的速度从B向北偏西30°方向逃窜,问:
(1)刚发现走私船时,缉私船距离走私船多远?在走私船的什么方向?
(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
(22-23高一下·云南曲靖·期中)
16.夏季来临,气温升高,是学生溺水事故的高发期.为有效预防学生溺水事件的发生,增强学生防溺水的安全防范意识,提高学生的自护自救能力,减少安全事故的发生,切实保护学生的生命安全,学校组织各班召开了防溺水安全教育主题班会.某地一河流的岸边观测站位于点处(离地面高度忽略不计),观察到位于点西南方向且距离为的点处有一名钓友,正目不转睛地盯着其东偏北方向上点处一个正在岸边玩耍的小孩子,突然小孩不慎落水.已知的距离为,假设三点在同一水平面上.
(1)求此时钓友与小孩之间的距离.
(2)若此时钓友到点处比到点处的距离更近,且在孩子落水的瞬间钓友跳进河里开始以的速度救援,与此同时孩子在水流的作用下以的速度沿北偏东方向移动,由于钓友平时缺乏锻炼受耐力限制,最多能持续游,试问钓友这次救援是否有成功的可能?若有可能,求钓友救援成功的最短时间;若不能,请说明原因.
试卷第1页,共3页
试卷第1页,共3页
参考答案:
1.(1)证明见解析;
(2).
【分析】(1)根据题干,利用余弦定理化简可得,再由正弦定理可得即,再根据是锐角三角形,所以即可得解;
(2)由是锐角三角形,所以,由正弦定理可得结合角的范围即可得解.
【详解】(1)
根据正弦定理,由
,
即.
是锐角三角形,
,,
因此有
(2)是锐角三角形,,而,
由正弦定理,得,
则,
而
所以,
因此的取值范围为.
2.(1)
(2)
【分析】(1)由正弦定理角化边,再应用余弦定理可解得角B.
(2)由余弦定理与重要不等式可得面积最大时a、c的值,在中应用正弦定理可解得AD的值.
【详解】(1)∵,
∴由正弦定理可得,
∴由余弦定理得,
又∵,∴.
(2)在中,由余弦定理得,
即.∵,,
∴,当且仅当时取等号,
∴,当且仅当时,,
此时面积最大.
当时,.
又∵为的角平分线,∴
∴在中,,
∴在中,由正弦定理得.
3.(1);
(2).
【分析】(1)由正弦定理可得,结合三角和为及诱导公式可得,即可得答案;
(2)在中,由正弦定理可求得,从而可得,在中,利用余弦定理求解即可.
【详解】(1)解:因为,
由正弦定理可得,
即,,
又因为,
所以,
解得,又因为,
所以;
(2)解:因为为边的中点,,
所以,
设,
在中,由正弦定理可得,
即,解得,
又因为,所以,
在中,,
在中,,
由余弦定理可得:,
所以,
即.
4.(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理角化边化简已知等式,可得,再由余弦定理即可求得答案;
(2)由向量的线性运算以及数量积的运算律可得的表达式,再结合(1)的结果推出,即可求得答案.
【详解】(1),
由正弦定理可得,
即,
由余弦定理可得,
又,故,
又,,,当且仅当时取等号.
,
故面积的最大值为;
(2)是边BC的中点,,
.
,,,
又由(1)知,,
,,
即线段AD的长度为.
5.(1)
(2)
【分析】(1)选①:用正弦定理化简求解即可;选②:用两角和差正弦公式化简求解;选③:用向量垂直的坐标表示和余弦定理求解即可;
(2)先利用余弦定理求得,然后利用基本不等式求解最值即可.
【详解】(1)若选①:,
由正弦定理得,又,
所以,又,所以,即,
又,所以;
若选②:因为,所以,
所以,所以,因为,
所以,所以,所以;
若选③:因为向量,,,
所以,化简得,
所以,又,所以;
(2)由余弦定理得,
所以,
所以,所以,当且仅当时等号成立,
所以,即周长的最大值为.
6.(1)
(2)3
【分析】(1)利用正弦的二倍角公式化简求值即可;
(2)解法一:利用正弦定理可得,结合正弦两角差公式和辅助角公式求解即可;解法二:利用余弦定理可得,再根据均值不等式求最值即可.
【详解】(1)因为锐角,,所以,
所以,所以,.
(2)解法一:由正弦定理可得,
所以
,
在锐角中,,
所以当,即时,取最大值,
.
解法二:由余弦定理可得,
代入得,所以,
因为,所以,,
当且仅当时等号成立,
所以.
7.(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式,化简已知等式,可得,结合同角的三角函数关系,即可求得答案;
(2)利用面积公式和余弦定理求边长,即可求得答案.
【详解】(1)由题意知中,,
故,即,
即,
,
又即,又,
.
(2)由,得
由,
所以的周长为.
8.(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理边化角,结合余弦定理即可求解.
(2)由余弦定理结合基本不等式,即可求得周长的最大值.
【详解】(1)设外接圆半径为,
因为,,,
所以,则,
即,整理得,
所以由余弦定理可得,,
因为,所以,
故外接圆半径.
(2)因为,
所以,即,
又因为,,
所以,即,当且仅当等号成立.
又因为,,
故的周长的最大值为.
9.(1);
(2).
【分析】(1)利用垂直的向量表示进行化简,再根据正弦定理结合条件即可得到结果;
(2)利用余弦定理与边上的中线有进行化简,在利用基本不等式即可得到结果.
【详解】(1)因为,垂直,
所以.
由正弦定理,得,因为,
所以,,
所以.
(2)设边上的中线为,
在中,由余弦定理得:,
即①.
在和中,,
所以,
即,,,
化简得,
代入①式得,,
由基本不等式,
∴,当且仅当取到“”;
所以的面积最大值为.
10.(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理的边角变换,结合三角函数的和差公式求得的值,从而得解;
(2)利用正弦定理和三角形面积公式,结合三角函数恒等变换得到关于的表达式,再由锐角得到的取值范围,从而得解.
【详解】(1)因为,
所以由正弦定理,得.
又在中,,
所以,则,
又,则,所以,
又,所以.
(2)因为,则,
所以,
,
因为为锐角三角形,所以,解得,
所以,所以,
故,则.
11.(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理、诱导公式以及两角和的正弦公式化简得出的值,结合角的取值范围可得出角的值;
(2)利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值,结合三角形的面积公式可求得面积的最大值.
【详解】(1)解:因为,
由正弦定理可得,
即,
所以,,
因为、,则,所以,,故.
(2)解:由余弦定理可得
,即,
当且仅当时,等号成立,
所以,,
故面积的最大值为.
12.(1)
(2)
【分析】(1)解法1、根据题意,利用余弦定理得到,求得,即可求解;解法2、根据题意,由正弦定理得到,求得求得,即可求解;
(2)由,结合基本不等式求得,进而求得面积的最小值.
【详解】(1)解法1、因为,
由余弦定理得,
整理得,即,则,
因为,所以.
解法2、因为,由正弦定理得,
因为,可得,
所以,
整理得,
因为,所以,则,
因为,所以.
(2)解:由,可得,
可得,所以,当且仅当时,等号成立,
则的面积为,即面积的最小值为.
13.(1)
(2)
【分析】(1)根据题意,在中由正弦定理计算可得;
(2)根据题意可得,由余弦定理求出,再由余弦定理即可求出.
【详解】(1)由已知,在中,,
由正弦定理,得,
则,
所以两个检测站之间的距离为.
(2)在中,,所以,
所以,所以,
由余弦定理得
,
所以
在中,由余弦定理得,
,
所以,即两个检测站之间的距离为.
14.(1)
(2)
【分析】(1)利用正弦定理求解即可;
(2)利用正弦定理和两角和的正弦公式求解.
【详解】(1)在中,,,
则,.
由正弦定理得,即,
解得.即的长为.
(2)在中,,
所以.
因为,
则.
所以.
即这棵桃树顶端点离地面的高度为.
15.(1)缉私船距离走私船海里,在走私船的正东方向
(2)缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船
【分析】(1)根据题求得,由正弦定理求得,得到,得出为水平线,即可得到答案;
(2)设经过时间小时后,缉私船追上走私船,得到,结合正弦定理求得,进而得到答案.
【详解】(1)由题意,可得,
则 ,
在中,由正弦定理,即,
解得,因为,所以,所以为水平线,
所以刚发现走私船时,缉私船距离走私船海里,在走私船的正东方向.
(2)设经过时间小时后,缉私船追上走私船,
在中,可得,
由正弦定理得,
因为为锐角,所以,
所以缉私船沿北偏西的方向能最快追上走私船.
16.(1)距离为100或200米;
(2)钓友这次救援有成功的可能,救援成功的最短时间为.
【分析】(1)作出图形,利用余弦定理即可得到答案;
(2)根据(1)中的结论得,求出,设,根据余弦定理得到方程,解出即可.
【详解】(1)由题意得,,,
在三角形中,根据余弦定理有,
即,解得或100,
故钓友与小孩之间的距离为100或200米.
(2)因为钓友到点处比到点处的距离更近,则,
设钓友在最短时间内救援到地点为点,,
则,
所以,
整理得,解得(负根舍去),
因为,所以钓友这次救援有成功的可能,
且成功的最短时间为.
答案第1页,共2页
答案第1页,共2页
展开更多......
收起↑