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专题2 三角函数的图象与性质
（22-23高一下·湖北荆州·阶段练习）
1．化简求值：
(1)；
(2)设，求.
（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）
2．如图所示，以轴非负半轴为始边作角，它的终边与单位圆相交于点，已知点坐标为．
(1)求，的值；
(2)求的值．
（23-24高一上·河南安阳·期中）
3．已知、是方程的两个实数根，其中．
(1)求的值；
(2)求的值．
（23-24高一上·河北保定·期中）
4．已知角的终边在直线上．
(1)求及的值；
(2)若函数，求的值．
（23-24高一下·河南南阳·期中）
5．已知函数的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，且图象上一个最高点为．
(1)求的解析式；
(2)完善下面的表格，并画出在上的大致图象；
x 0
0 0
(3)当时，求的值域．
（16-17高一下·上海·期中）
6．已知函数；
（1）求的定义域与最小正周期；
（2）求在区间上的单调性与最值.
（22-23高一下·福建漳州·期中）
7．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；
(2)将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.
①求函数的单调递增区间；
②求使成立的的取值集合.
（21-22高一下·福建福州·期中）
8．已知向量，设．
(1)求的单调递增区间；
(2)若关于x的不等式在恒成立，求m的取值范围．
（22-23高一下·江西·阶段练习）
9．已知函数.
(1)将函数的解析式写成分段函数;
(2)函数与直线有2个交点，求实数的范围.
（2023高一上·全国·专题练习）
10．利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)与；
(2)与；
(3)与.
（21-22高一下·陕西咸阳·阶段练习）
11．已知函数．
(1)求函数图象的对称中心；
(2)若，求不等式的解集．
（22-23高一下·辽宁·阶段练习）
12．已知函数在区间上单调，且．
(1)求图象的一个对称中心；
(2)若，求的解析式．
（20-21高一下·安徽滁州·期中）
13．设函数．
（1）求函数的定义域、周期、和单调区间；
（2）求不等式的解集．
（23-24高一下·江西·阶段练习）
14．已知函数与函数的部分图象如图所示，图中阴影部分的面积为4．

(1)求的定义域；
(2)若是定义在上的函数，求关于x的不等式的解集．
（20-21高一下·北京·期中）
15．已知函数.
(1)求的定义域；
(2)求在区间上的最小值.
（23-24高一下·上海·期中）
16．已知函数.
(1)若，求函数的最小正周期及其图象的对称中心.
(2)若函数在区间上严格单调递增，求的取值范围.
(3)若函数在（且）上满足“关于的方程在上至少存在2024个根”，且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】利用诱导公式化简求值.
【详解】（1）原式
（2）
，
2．(1)，；
(2).
【分析】（1）利用点在圆上以及三角函数的定义计算即可；
（2）利用诱导公式化简，然后转化为用表示，代入的值计算即可.
【详解】（1）在单位圆上，且点在第二象限
，
解得．
由三角函数定义可知，
（2）
3．(1)
(2)
【分析】（1）根据、是方程的两个实数根列出关于和韦达定理的式子，根据即可求解；
（2）由（1）求出和，进而求出，即可求出的值.
【详解】（1）因为、是方程的两个实数根，
所以，可得，
又因为，
即，解得，合乎题意．因此，．
（2）由（1）知，，
因为，则，，
所以，，
所以，
则，
因此，．
4．(1)答案见解析
(2)或
【分析】（1）根据三角函数的定义即可得解；
（2）根据诱导公式化简函数，结合（1）就可求解；
【详解】（1）设为直线上除去原点的任意一点，
则，
若角的终边在第四象限，则
；
当角的终边在第二象限，则
.
（2）
，
或.
5．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）根据题意，结合的图象，得到最小正周期，求得，结合最高点为，求得的值，即可求解；
（2）完善表格，结合描点、连线，即可求得函数在上的大致图象；
（2）由，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：由的图象与轴的相邻的两个交点之间的距离为，
可得函数最小正周期，所以，
又由一个最高点为，可得的，
因为，即，
可得，解得，
又因为，可得，所以．
（2）解：由（1）知，函数，完善表格如下：
x 0
1 2 0 0 1
则函数在上的大致图象如图：
（3）解：因为，可得，
当时，即时，取得最大值，最大值为；
当时，即时，取得最小值，最大值为，
所以函数的值域为．
6．（1）定义域，；
（2）单调递增：，单调递减：，最大值为1，最小值为；
【详解】试题分析：(1)简化原函数，结合定义域求最小正周期;(2)在给定区间上结合正弦曲线，求单调性与最值.
试题解析：
；
（1）的定义域：，最小正周期 ；
（2），即最大值为1，最小值为，单调递增：，单调递减：，
7．(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据图象可确定和最小正周期，进而得到；根据可求得，从而得到解析式；
（2）根据三角函数平移变换原则可求得；
①采用整体代换法，由可求得单调递增区间；
②根据正弦函数图象和性质可得，解不等式可求得结果.
【详解】（1）由图象可知：，最小正周期，，
，即，
解得：，又，，
.
（2）由题意知：；
①令，解得：，
的单调递增区间为；
②由得：，，解得：，
使成立的的取值集合为.
8．(1)
(2)
【分析】先把化为.
（1）利用复合函数单调性法则，列不等式直接求解；
（2）利用分离参数法得到，根据的单调性求出即可.
【详解】（1）因为向量，且，
所以
.
要求的单调递增区间，只需,
解得：，即的单调递增区间为.
（2）因为关于x的不等式在恒成立，所以.
由（1）可知，在上单调递增，所以在上单增，在上单减，
所以，所以.
故m的取值范围是.
9．(1)
(2)
【分析】（1）分别求出时和时，的范围，即可得解；
（2）作出函数的图象，结合函数图象即可得解.
【详解】（1）由，当时，得，
当时，得，
所以；
（2）如图，作出函数的图象，
由图可知，当函数与直线有2个交点，.
10．(1).
(2).
(3).
【分析】（1）利用正弦函数的单调性，比较正弦值的大小；
（2）由诱导公式有，，利用正弦函数的单调性比较大小；
（3）利用诱导公式和余弦函数的单调性比较大小
【详解】（1）由，函数在上单调递增，
所以.
（2），，
由，有，
从而，即.
（3），
，且在上是减函数，
则，即.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根据图象的对称中心求出图象的对称中心；
（2）将不等式化简为，对分类讨论求解不等式.
【详解】（1）易知图象的对称中心为，
图象的对称中心为．
图象的对称中心为．
（2）不等式，即为．
，即．
当时，显然有（不能同时取等号）恒成立；
当时，由三角函数的单调性知单调递减，
又的解集是；
当时，显然有无解；
当时，由三角函数的单调性知单调递增，
又的解集是．
不等式的解集为．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据余弦函数的对称性，即可得出答案；
（2）由题意可知的最小正周期，可求出的范围，再由可得若或，分类讨论两种情况，即可得出答案.
【详解】（1）由题意可知，
因为在区间上单调，所以当时，，
则的图象的一个对称中心为．
（2）由题意可知的最小正周期，所以，
因为，所以，2或3．
由（1）可知，，，
因为，所以，
所以，或，．
若，．
则，，，即，，，
易知，所以不存在，，使得，2；
当时，，此时，，
由，得，所以．
若，，
则，，，即，，，
易知，不存在，，使得，2或3．
综上，．
13．（1）定义域为，周期为，增区间为，；（2），．
【分析】（1）利用正切函数的定义域、周期性和单调性，即可求出结果；
（2）由题意可得，结合函数图象与性质可知，解不等式即可求出结果.
【详解】（1）根据函数，可得，，
求得，故函数的定义域为．
周期为．
令，，得，
故函数的增区间为，．
（2）求不等式，即，∴，
求得，故不等式的解集为，．
14．(1)
(2)
【分析】1）由题意，结合图形，根据割补法可知阴影部分的面积等价于矩形的面积，进而求出，结合正切函数的概念即可求解；
（2）由（1）知，由，作出函数的图象，结合图形即可求解.
【详解】（1）

如图，阴影部分的面积等价于矩形的面积，
对于函数，定义域为，
所以过点C垂直于x轴的直线为，又，
则，解得，所以，
由，得，
即函数的定义域为；
（2）由（1）知，
所以，，
则，
设，，
在同一个平面直角坐标系中作出函数的图象，如图，

当时，，
所以当时，，
即不等式的解集为.
15．(1)；
(2).
【分析】（1）利用函数有意义，列出不等式，求解作答.
（2）切化弦，利用二倍角公式、辅助角公式化简变形，再利用正弦函数的性质计算作答.
【详解】（1）由函数，得，，
所以函数的定义域为.
（2）
，
当时，，则当，即时，取得最小值，
所以在区间上的最小值为.
16．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）先写出函数的解析式，进而求出该函数的最小正周期和对称中心；（2）由题意利用正切函数的单调性，求得的范围；（3）由题意利用正切函数的周期性和零点，结合正切函数图象的特点，求得的范围．
【详解】（1）由于，且，
所以的最小正周期为，
令，求得，，
故的图象的对称中心为，，．
（2）若函数在区间上严格递增，
则只需保证，求得，且，
即的范围为．
（3）函数的最小正周期为，
关于的方程在区间上至少存在2024个根，
故当时，关于的方程至少有2024个根，
即关于的方程，，至少有2024个根，
即当时，关于的方程，，至少有2024个根．
且在所有满足上述条件的中，的最小值不小于2024，
故至少包含2023个周期，即，
所以．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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