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专题2 数列的通项公式与求和
【必备知识】
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照确定的顺序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
通项公式 如果数列{}的第n项与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式
递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式
数列{}的前n项和 把数列{}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{}的前n项和，记作，即＝＋＋…＋
2．数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 > 其中n∈N*
递减数列 <
常数列 ＝
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3．数列与函数的关系
数列{}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项，记为＝f（n）．【必备技能】
1．已知数列{}的前n项和，则＝
2．在数列{}中，若最大，则（n≥2，n∈N*）；若an最小，则（n≥2，n∈N*）．
【考向总览】
考向一：累加（乘）法求通项（★★★）
考向二：利用与的关系求通项（★★★★）
考向三：构造法求通项（★★★★）
【考向归类】
考向一：累加（乘）法求通项
【典例1-1】
（22-23高二上·江苏南通·期中）
1．等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】
（21-22高二上·宁夏·期中）
2．已知数列满足， ，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
（1）形如－＝f（n）的数列，利用累加法．（2）形如＝f（n）的数列，利用＝a1···…·（n≥2）即可求数列{}的通项公式．
【举一反三】
（22-23高二上·陕西延安·期中）
3．已知数列满足，，则的通项公式（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二下·广东佛山·期中）
4．已知是数列的前项和，，，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
考向二：利用与的关系求通项
【典例2-1】
（22-23高二下·安徽合肥·期中）
5．已知数列的前项和，则的通项公式（ ）
A． B．
C． D．
【典例2-2】
（21-22高二上·云南丽江·期中）
6．已知数列满足，则数列的通项公式是（ ）
A． B． C． D．
【备考提醒】
与的关系问题的求解思路
（1）利用＝－（n≥2）转化为只含，的关系式，再求解．
（2）利用－＝（n≥2）转化为只含，的关系式，再求解．【举一反三】
（20-21高二下·山西吕梁·期中）
7．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
（22-23高二上·陕西榆林·期中）
8．已知数列{an}的前项和，则这个数列的通项公式为（ ）
A． B． C． D．
考向三：构造法求通项
【典例3-1】
（22-23高二下·山东淄博·期中）
9．已知数列满足，，则数列的通项公式为
【典例3-2】
（22-23高二下·河南平顶山·期中）
10．已知数列的前n项和为，且满足.则数列的通项公式为 ，的最大值为 .
【备考提醒】
形式 构造方法
＝p＋q 引入参数c，构造新的等比数列{－c}
＝p＋＋c 引入参数x，y，构造新的等比数列{＋xn＋y}
＝p＋ 两边同除以，构造新的数列
【举一反三】
11．设数列的前n项和为，已知，，，则数列的通项公式为 .
（22-23高二下·安徽·期中）
12．在数列中，当时，，则其通项公式为 ．
【必备知识】
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
（1）等差数列的前n项和公式：
＝＝n＋d．
（2）等比数列的前n项和公式：
＝．
2．分组求和法与并项求和法
（1）分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
（2）并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝（－1）nf（n）类型，可采用两项合并求解．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项技巧（1）＝－．
（2）＝．
（3）＝．
（4）＝．
（5）＝．【必备技能】
常用求和公式
（1）1＋2＋3＋4＋…＋n＝
（2）1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n2．
（3）12＋22＋32＋…＋n2＝
（4）13＋23＋33＋…＋n3＝【考向总览】
考向一：分组求和与并项求和（★★★★）
考向二：错位相减法求和（★★★★）
考向三：裂项相消法求和（★★★★）
【考向归类】
考向一：分组求和与并项求和
【典例1-1】
（22-23高一下·安徽六安·期中）
13．已知数列的通项公式为，设，则数列的前200项和为（ ）
A． B．0 C．200 D．10000
【典例1-2】
（23-24高二下·上海闵行·期中）
14．已知数列满足：，；数列是各项都为正数的等比数列且满足，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)记，求数列的前项和．
【备考提醒】
（1）若数列{}的通项公式为＝±，且{}，{}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和．
（2）若数列{}的通项公式为＝其中数列{}，{}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{}的前n项和．【举一反三】
（23-24高二上·广东中山·期中）
15．已知数列满足，数列满足.
(1)求数列的前20项和；
(2)求数列的通项公式；
(3)数列的前项和为，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
（23-24高二下·河南南阳·期中）
16．记数列的前项和为，已知，且．
(1)令，求数列的通项公式；
(2)若对于任意的恒成立，求实数的取值范围．
考向二：错位相减法求和
【典例2-1】
（23-24高二下·山东潍坊·期中）
17．数列中，（是常数，），且成公比不为1的等比数列.
(1)求的值;
(2)求数列的通项公式:
(3)求数列的前项和.
【典例2-2】
（23-24高二下·广西桂林·阶段练习）
18．在数列中，.
(1)证明：是等比数列.
(2)求的通项公式.
(3)求数列的前项和.
【备考提醒】
（1）如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法．
（2）错位相减法求和时，应注意：
①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式．
②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1．【举一反三】
（23-24高二下·云南昆明·阶段练习）
19．已知等差数列的前项和为，且，．
(1)求数列的通项公式；
(2)证明：
（23-24高二下·辽宁沈阳·阶段练习）
20．已知数列的前项和为，，且．
(1)证明：数列为等比数列，并求其通项公式；
(2)若__________，求数列的前项和．
从①；②；③，这三个条件中任选一个补充在上而的横线上并解答问题，注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
考向三：裂项相消法求和
【典例3-1】
（23-24高二下·河南·期中）
21．已知等差数列的公差为d（），前n项和为，且满足；，，成等比数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为，求．
【典例3-2】
（23-24高二下·河南·阶段练习）
22．已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求证：.
【备考提醒】
裂项相消法的原则及规律
（1）裂项原则
一般是前面裂几项，后面就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
（2）消项规律
消项后前面剩几项，后面就剩几项，前面剩第几项，后面就剩倒数第几项．【举一反三】
（2024·四川·模拟预测）
23．已知为正项数列的前项和，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的前10项和．
（23-24高二上·湖北武汉·期中）
24．已知正项数列满足.
(1)求通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
【分析】由等比数列的性质与累加法求解，
【详解】根据题意得，，解得，故，
时，，
故
．
故选：A
2．A
【分析】由题得，再利用累乘法求解.
【详解】解：由，得，
即，则，，，…，，
由累乘法可得，所以，
又，符合上式，所以.
故选：A．
3．C
【分析】利用累加法，结合等比数列前项和的求解公式，求解即可.
【详解】根据题意可得，
即.
故选：C.
4．B
【分析】由得，两式相减得，把分别代入，用累乘法得，，再验证也成立，即可得到.
【详解】由得，
两式相减得: ,
即，即，即，.
所以，，，…，.
相乘得：……，
即，因为，所以，.
当时，，所以.
故选：B
5．C
【分析】令，解得，当时，，得数列的递推公式，根据等比数列的定义，通项公式，即可得到所求．
【详解】令，则，解得，
当时，，
则，即，，
所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，
所以．
故选：C．
6．D
【分析】利用求通项公式.
【详解】因为数列满足
所以当n=1时，
当时，有
所以，
所以.
经检验，对n=1不符合，
所以
故选：D
7．D
【分析】将，相减得出，再由的关系得出通项公式.
【详解】当时，
当时，①
②
由①②得，即
（经验证时也成立）
故
故选：D
8．D
【分析】当时，由求得；当时，由求得；验证后可知数列为分段数列，从而得到结果.
【详解】当时，
当时，
不满足
故选
【点睛】本题考查根据与关系求解数列的通项公式；易错点是忽略验证时，是否满足时的通项公式，造成求解错误.
9．
【分析】由已知可得，利用为等差数列求的通项公式.
【详解】由得，
故为等差数列，公差为1，首项为1，
所以
所以.
故答案为：
10． ##0.4
【分析】空①利用求出，然后构造等比数列求数列的通项公式；
空②判断数列的单调性，得出的最大值.
【详解】空①,由可得，
当时，，则，
有，有，即.
可得数列成等比数列，有，可得.
空②,记，有，
可得，当时，，
有.
故答案为：；.
11．
【分析】由构造法和与关系求解
【详解】由题意得，而，
所以是首项为2，公比为2的等比数列.
，，当时，，也满足此式，
综上，
故答案为：
12．
【分析】根据给定的递推公式，在时，用换，两式相减，再构造常数列求解作答.
【详解】当时，，当时，，
两式相减得，即，
因此，即，于是，当时也成立，n＝1时不成立，
所以．
故答案为：
13．A
【分析】利用分组求和法及等差数列求和公式求解.
【详解】记数列的前200项和为，
.
故选：A
【点睛】本题考查等差数列求和公式、分组求和法，属于基础题.
14．(1)，
(2)
【分析】（1）根据等差数列基本量求出的通项公式，设等比数列的公比为，即可得到方程组，解得、，从而求出的通项公式；
（2）由（1）可得，利用分组求和法计算可得.
【详解】（1）因为，，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故；
设等比数列的公比为，又，，所以，
解得或（舍去），所以.
（2）由（1）可得，
所以
.
15．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由并项求和法结合等差数列的求和公式，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由递推关系可得数列是以3为首项，公差为2的等差数列，即可得到结果；
（3）根据题意，由等差数列的求和公式结合基本不等式代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）
.
（2）①，②，
②-①得，
，，
数列是以3为首项，公差为2的等差数列，.
（3），
，
，当且仅当，
即时取等号，
因，当时，，当时，
，.
16．(1)
(2)．
【分析】（1）分类讨论是奇数和偶数，利用递推公式计算即可；
（2）先利用等差数列求和公式分组求和，再分离参数，令，判定其单调性，计算即可.
【详解】（1）令，则①，
令，则②，
②－①，得，
又因为，所以可得，
代入①式，得，所以．
（2），其中，
，所以．
由，可得恒成立．
设，则，
当，即时，，
当，即时，，
所以，故，所以，
即实数的取值范围为．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由成等比数列求得；
（2）利用累加法可求数列的通项公式；
（3）由（2）可得，利用错位相减法，结合等比数列的求和公式可求得．
【详解】（1），，，
因为成公比不为1的等比数列，
所以，解得或.
当时，，不符合题意舍去，
故.
（2）当时，
由于，
所以，
又，故.
当时，上式也成立，
所以.
（3）因为，
所以，
，
两式相减得
，
即.
18．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）将已知等式变形为，根据等比数列的定义，即可证明结论；
（2）由（1）可得，利用累加法，即可求得的通项公式.；
（3）由（2）可得的表达式，利用错位相减法，即可求得答案.
【详解】（1）证明：在数列中，，故，
又，即，故，
故是首项为2，公比为2的等比数列；
（2）由（1）可得，
故时，
，
也适合该式，故；
（3）由（2）可得，
故，
则，
两式相减得，
故.
19．(1)
(2)证明见详解
【分析】（1）求出等差数列的首项和公差，利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式；
（2）由（1）先用错位相减法求出，得证.
【详解】（1）设等差数列的公差为，由，，
所以，解得，
所以，解得，
，.
（2）由（1）得，令，
，①
则，②
①②式得，
，
化简整理得，
，，得证.
20．(1)证明见解析，
(2)答案见解析
【分析】（1）根据，作差得到，再由及等比数列的定义证明即可；
（2）若选①，利用错位相减法计算可得；若选②：利用裂项相消法计算可得；若选③：，利用等比数列求和公式计算即可.
【详解】（1）因为，
所以，
又，当时，解得，
当时，
所以，
即，即，即，又，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，所以.
（2）若选①，，
所以，
，
所以
，
所以；
若选②：，
当为偶数时，
当为奇数时，
所以；
若选③：
，
所以.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由等差数列前项和公式求得，结合等差数列、等比数列性质求得公差即可得解；
（2）由裂项相消法即可求解.
【详解】（1），得，即．
由，，成等比数列，得，，即．
所以，故．
（2），
∴
.
22．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）构造等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求得结果；
（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法，求得，再证明即可.
【详解】（1）因为，所以又，
所以，
所以是以9为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以.
（2）由（1）知，
所以
，又，
所以.
23．(1)
(2)
【分析】（1）已知与的关系求通项公式，用退位作差，再利用平方差公式进行化简，最后对时进行检验，得到数列是等差数列，从而写出通项公式；
（2）根据得到，观察数列通项公式特点，裂项，进而得到前10项和.
【详解】（1）由题意知：，即，
当时，，
两式相减，可得，
因为，可得．
又因为，当时，，即，
解得或（舍去），所以（符合），
从而，所以数列表示首项为3，公差为2的等差数列．
所以数列的通项公式为．
（2）由题意得，
所以
，
所以.
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据和的递推公式，从而可求解；
（2）根据（1）求得，然后利用裂项相消求和，从而求解.
【详解】（1）当时，得，由题知为正项数列，则，
由题得，则，化简得，
所以为首项为，公差为的等差数列，则，
所以，当时，，
当时也成立，所以.
（2）由（1）知，
所以
，
所以.
答案第1页，共2页
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