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(共21张PPT)
2.3 直线的投影
2.3 直线的投影
2.3.1 直线上的点
Y
a
b
a″
b″
a′
b′
O
k″
k′
k
a′
b′
b
a
a″
b″
X
Z
YH
YW
O
投影特性：
（1）直线上的点的投影必在直线的同面投影上（从属性）；
（2）点分直线所成的比例投影后保持不变（定比性）。
AK/KB=ak/cb=a′k′/c′b′=a“k"/k"b".
k
k″
K
k′
[例] 已知线段AB的投影图，试将C点把AB分成3:2两段，求C点的投影。
c
c'
1.过AB 的任一投影的任一端点如a, 作一条辅助直线，并在其上从a起量取3个单位的长度得n点,再量取2个单位的长度得m点。
2. 连接bn，过m点作bn的平行线，交ab于点c。
n
m
3.过点c做垂直于OX轴的投影连线，交a′b′于点c′。
【例】 点K在侧平线AB上,已知点K的正面投影k′,求k。
作法一
a
b
a′
b′
X
O
k′
a
b
a′
b′
X
O
k′
a
b
a′
b′
X
O
k′
作法二
k
作法一：根据定比性 ak/kb=a′k′/k′b′, 在H面投影上用定比法作出;
作法二：先补出直线的侧面投影,再根据从属性，利用线上定点的方法求出。
k
k″
a″
b″
任意角度
平行
2.3.2两直线的相对位置关系
平行
相交
交叉
一般相交
垂直相交
一般交叉
垂直交叉
A
B
C
D
E
F
G
H
L
平行(BF与LH)
交叉(BC与GE)
相交(AB与AC)
两直线的
相对位置
1. 平行两直线
性质定律：空间两直线平行，其同面投影彼此平行；
判定定律：两直线的三组同面投影均相互平行，则该两直线在空间也平行。
定比性：平行两线段之比等于其同面投影的长度之比。
1. 平行两直线
当两直线同时平行于某基本投影面时，一般需求出它们在该投影面上的投影，或根据定比性原理（平行两直线其同面投影的长度比也不变），方可判断两直线是否平行。
[例] 已知平行四边形ABCD的两条边AB、AC的H和V面投影，试完成ABCD的投影。
d
d'
分析：利用两直线平行的性质定律——空间两直线平行，其同面投影彼此平行。
2.相交两直线
特殊情况:
性质定律：如果空间两直线相交，则此两直线的各组同面投影也一定相交，且交点的投影符合点的投影规律。
判定定律：若两直线的各同面投影均相交，且各投影的交点符合点的投影规律，则此两直线在空间一定相交。
3. 两直线交叉
若两直线的两面投影相交，并且其中一条直线平行于某投影面，则还需求出它们在该投影面上的投影或利用直线上的点的定比性原理，才能判定空间两直线是否相交。
a′
b′
c′
d′
a
b
c
d
a′
b′
c′
d′
a
b
c
d
[例2] 已知平面四边形ABCD的V投影及其两条边的H投影，试完成四边形的H投影。
b
c
c'
d'
a
b'
a'
k
k'
d
分析：利用相交两直线的特点，用对角线辅助确定D点的水平投影。
作图步骤：
（1）连接a′c′和d′b′，得交点k′。
（2）连接ac，求出K点的水平投影k。
（3）延长bk与过d′的竖直投影连线相交得d点。
（4）连接ad、cd，完成四边形ABCD的H面投影。
3. 两直线交叉
既不平行也不相交的两直线称为交叉直线。
交叉两直线的同面投影可能表现为相交，但交点连线不全部垂直于相应投影轴。
交叉两直线的同面投影可能表现为互相平行，但不可能所有的同面投影都互相平行。
交叉二直线重影点投影及可见性判断
判断两重影点投影的可见性时，需要看两重影点在另一投影面上的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见，不可见点的投影加括号表示。
G
g'( j')
J
e( f )
F
E
g'( j' )
j
g
e( f )
f'
e'
[例]直线AB和CD都是侧平线，试判别两直线的相对位置。
AB、CD为平行两直线
AB、CD为交叉两直线
O
X
a
b
a′
b′
c
c′
C
A
B
直角投影定理：若相互垂直的两直线中有一条直线平行于某投影面时，则两直线在该投影面上的投影必相互垂直。
4.垂直两直线
a′
c
a
b
b′
c′
(a)与水平线垂
直相交
(b) )与水平线垂
直交叉
a′
(c)
a
b
b′
c′
d
d′
(c)与正平线垂直相交
a
b
b′
c′
a′
c
d
d′
a
b
b′
c′
a′
c
(d)与正平线垂直交叉
直角投影定理:
判定定理:若两直线在某投影面上相互垂直，且其中一条直线平行于该投影面时，则该两直线在空间也一定相互垂直。
练习：判断下图中两直线AB与CD的相对位置。
d′
a
b
c
a′
b′
c′
(1)
d
a
b
c
a′
b′
c′
d′
(2)
a
b
c
d
a′
b′
c′
(3)
垂直相交
垂直相交
相交(不垂直)
[例] 求点A到水平线BC的垂线
d
d'
分析：由于BC是水平线。作BC的垂线将在H面上反映直角实形。
步骤：（1）过点a作直线垂直于bc，交bc于点d。
（2）根据长对正的规律，在b′c′上求出d′ 。
（3）连接a′d′。
[例] 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。
f
f
c
分析：
由于AB是正平线， CD是水平线,故作AB的垂线将在V面上反映直角，CD的垂线将在H面上反映直角。
所以，所作公垂线EF只需分别在H面垂直于cd, V面垂直于a′b′即可。
[例]已知直线AB、CD的投影，求AB、CD的公垂线EF。
分析：
由于AB为铅垂线，EF垂直于AB，则EF为水平线；再由EF垂直于CD，根据直角投影定理，直角在H面上反映实形。
步骤：
（1）先确定F点在AB上，所以f点落在a（b）的积聚投影上，过f点作cd的垂直线，得e点；
0
X
(b)
(f)
f ′
（2）过e点长对正，与c′d′相交，得e′；
（3）过e′作水平线，交a′b′于f′点，即为所求。
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