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2.3 直线的投影
2.3 直线的投影
从几何学可知，空间上两点可以确定一条直线，所以只要作出直线上两点的投影，并将两点的同面投影相连就可以作出直线的三面投影。
在一般情况下，直线的投影仍为直线；但当直线与投影面垂直时，在该投影面的投影积聚为一点。
2.3.1 各种位置直线
直线的分类
直线
一般位
置直线
特殊位
置直线
与三个投影面都倾斜的直线(简称一般线)。
投影面平行线
投影面垂直线
仅平行于一个投影面的直线。
垂直于一个投影面的直线。
( ∥H：水平线；∥V：正平线；∥W：侧平线)
( ⊥H：铅垂线；⊥V：正垂线；⊥W：侧垂线)
a
b
c
d
a′
b′
c′
d′
a″
b″
c″(d″)
X
Z
Y
A
B
C
D
AB、BC、CD各为何种位置直线？
2.3.1 各种位置直线
AB为一般位置线
CD为侧垂线
BC为侧平线
1.一般位置直线
O
Y
X
Z
b
a′
b′
a
a″
b″
立体上的一般 位置直线
一般线的投影和倾角
投影特性：
（1）一般位置直线的三面投影都倾斜于投影轴，它们与投影轴的夹角均不反映空间直线对投影面倾角的实际大小。
（2）一般位置直线的三面投影长度都小于实长。
O
Y
X
Z
W
V
H
2.投影面的平行线
A
B
C
a″
b″
c″
a′
b′
c′
●正平线 AB∥V 面
●水平线 BC∥H 面
●侧平线 AC∥W 面
a
b
c
它们的投影有何特性？
水平线投影特性：
（1）直线的水平投影反映实长，且反映β、Υ角的实形；
（2）直线的V投影平行OX轴，W投影平行OY轴，均小于实长。
投影面平行线的投影及特性：
Z
a＇
a″
b
a
b″
O
X
YW
YH
β
Υ
O
Y
X
Z
W
V
H
a″
b″
a
b
a
b
水平线
β
Υ
b＇
β
Υ
O
Y
X
Z
W
V
H
a b
a
b
b″
a″
正平线
正平行投影特性：
（1）直线的正面投影反映实长，且反映α、Υ角的实形；
（2）直线的H投影平行OX轴，W投影平行OZ轴，均小于实长。
a
b
a″
α
Υ
α
Υ
α
Υ
A
B
a
b
b″
投影面平行线的投影及特性：
O
Y
X
Z
W
V
H
a′
b
b
侧平线
侧平行投影特性：
（1）直线的侧平面投影反映实长，且反映α、β角的实形；
（2）直线的V、H投影平行于OZ、OY轴，均小于实长。
β
E
F
a
a″
b″
α
投影面平行线的投影及特性：
O
Y
X
Z
W
V
H
3. 投影面的垂直线
A
B
C
D
a(b)
a′
b′
a″
b″
c″
c
(c′)
(d″)
d′
d
● 铅垂线 AB⊥H 面
●正垂线 AC⊥V 面
●侧垂线 AD⊥W 面
它们的投影又有何特性？
a(b)
a′
b′
铅垂线
投影特性：
（1）在H面上的投影积聚为一点（积聚性）；
（2）V面及W面投影分别垂直于X、Y轴，且反映实长 。
a″
b″
投影面垂直线
a
a′
（b′）
正垂线
投影特性：
（1）在V面上的投影积聚为一点（积聚性）；
（2）H面及W面投影分别垂直于X、Z轴，且反映实长 。
a″
b″
b
投影面垂直线
a
a′
b′
侧垂线
投影特性：
（1）在W面上的投影积聚为一点（积聚性）；
（2）H面及V面投影分别垂直于Y、Z轴，且反映实长 。
（b″）
b
a″
投影面垂直线
投影面垂直线
投影特性：
（1）在所垂直的投影面上的投影积聚为一点（积聚性）；
（2）另外两面投影同时平行于同一投影轴，且反映实长 。
△ZAB
2.3.2一般位置线段的实长及对投影面的倾角
O
X
△ZAB
ab
A
B
a ＇
b ＇
a
b
B1
α
a
a ＇
b
b ＇
α
△ZAB
实长
ab
实长
投影作图
直角三角形法求实长及α
2.3.2一般位置线段的实长及对投影面的倾角
O
X
a＇b＇
△YAB
A
B
a ＇
b ＇
a
A1
β
b
a
a ＇
b
b ＇
实长
β
△YAB
直角三角形法求实长及β
直线的实长和倾角
一、直角三角形法的作图要领 用线段在某一投影面上的投影长作为一条直角边，再以线段的两端点相对于该投影面的坐标差作为另一条直角边，所作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投影长间的夹角即为线段与该投影面的夹角。
二、直角三角形的四个要素 直角三角形的四个要素即：实长、投影长、坐标差及直线对投影面的倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。
三、解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响解题结果。但用哪个长度来作直角边不能混淆。

△ZAB
AB
求直线的实长及其对水平投影面的夹角 角

△ZAB

AB
ab
△ZAB
O
△ZAB
△ZAB
30 °
b＇
a
a ＇
b
【例】已知直线AB的水平投影ab，B点的正面投影b′,直线AB对H面的倾角α=30°。请完成直线AB的V面投影。
△ZAB
1.根据AB的水平投影ab及倾角α=30°，作直角△abB0，则bB0为A、B两点Z坐标之差ΔZ；
B0
2.过b′作OX轴的平行线，同时过a点作OX轴的垂线，两直线交点a1′，以a1′为端点在正投影面上沿OX轴的垂线量取ΔZ，确定a′；
a1 ＇
3. 连接a′b′。a′b′即为直线AB的V面投影。
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