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(共18张PPT)
2.2 点的投影
土木工程
制图与识图
第二章
点、线、面的投影
2.2 点的投影
01
2.1 投影法的基本知识
02
2.3 直线的投影
03
平面的投影
04
2.2.1 点的投影及其投影规律
2.2 点的投影
1、点的投影连线垂直于投影轴。
2、点的投影到投影轴的距离，等于该点到相邻投影面的距离。
3、点的投影连线垂直于投影轴。
4、点的投影到投影轴的距离，等于点的坐标，也就是该点与对应的相邻投影面的距离。
点的单面投影
a
a (b)
过空间点A的投射线与投影面H相交于点a，就称交点a为空间点A在投影面H上的投影。
点A、B在投影面H上的投影a、b重合在一起，可见仅由点的一个投影不能确定点的空间位置，要想准确表达空间点的位置，必须采用多面投影。
(a)
在两投影面体系中，分别将点A、B从上向下投射，得到其水平投影a、b（重影点）；
分别将点A、B从前向后投射，得到其正面投影a′、b′。可见，点的两面投影能够确定点的空间位置。
a (b)
a'
b'
V
点的两面投影的展开：保持V面不动，将H面连同其上的投影绕OX轴向下旋转90°，与V面位于同一平面，如图b所示。
点的两面投影
a'
b'
a(b)
X
O
(b)
V
H
点的两投影连线垂直于相应的投影轴（OX轴），即如图所示，aa′⊥OX，bb′⊥OX。
点的投影到投影轴的距离，等于该点到相应投影面的距离。
a'
b'
a(b)
X
O
点的两面投影的投影规律:
点A到H面的距离
点A到V面的距离
如空间点A的V面投影a′到OX轴的距离等于点A到H面的距离。
点A的H面投影a到OX轴的距离等于点A到V面的距离。
点的三面投影
a — 点A的水平投影
a′— 点A的正面投影
a〞— 点A的侧面投影
O
Y
X
Z
W
V
H
a′
a
A
aY
aZ
aX
a〞
展开
YH
W
O
X
Z
V
H
YW
a
a〞
a′
a X
a Z
a Y
点的三面投影特性：
1.点正面和水平投影连线必垂直于OX轴，即aa′⊥OX轴。
展开后点的三面投影:
a X
a Y
a Z
a Y
a′
a〞
a
YH
YW
O
X
Z
2.点正面和侧面投影连线必垂直于OZ轴，即a′a″⊥OZ轴。
3.点水平投影到OX轴的距离等于该点的侧面投影到OZ轴的距离，即aa X ⊥a″a Z 。
a Y
YH
YW
O
X
Z
V
W
H
a′
a X
a Z
a〞
a
a Y
b〞
b′
b
YH
YW
O
X
Z
【例】已知点B的两面投影，求第三面投影。
45°
b
b′
X
Z
YH
YW
O
b″
方法一：
利用45°辅助线
方法二：
利用特性3：bbX＝b″bZ
bX
bZ
O
Y
X
Z
W
V
H
A(X,Y,Z)
a
a′
a″
ay
ax
aZ
2.2.2 点的投影与直角坐标的关系
空间点的位置可由它到三个投影面的距离，即它的三个坐标来确定。记为A(X,Y,Z)，三个投影的坐标分别为a(x,y)，a′(x,z)，a″(y,z)，坐标值单位为mm。
X
Y
Z
X
Y
Z
XA =|A →W|=aaY=a′aZ ；
投影与坐标的关系 YA =|A →V|=aax=a″az；
ZA =|A →H|=a′aX=a″aY。
aZ
a′
aX
a〞
aY
aY
a
YH
YW
O
X
Z
(x,y)
(x,z)
(y,z)
【例】已知点A的坐标为x＝15、y＝12、z＝10，试作点A的三面投影。
O
Y
X
Z
W
V
H
a(15,12)
A(15,12,10)
a(15,12)
a′(15,10)
a〞(15,10)
YW
YH
O
X
Z
a′(15,10)
a″(12,10)
2.2.3 特殊位置点的投影
1、投影面上点的投影
当空间点位于投影面上，该点到该投影面距离（即一个坐标）为零。
投影特点：在该投影面上的投影与空间点本身重合，其余两个投影位于相应的投影轴上。
Y
X
Z
O
W
V
H
d″
D
c
c′
c″
C
b
b″
B
d〞
YW
YH
O
X
Z
c
c′
c″
b
b″
b′
b′
d
d′
d
d′
2.2.3 特殊位置点的投影
2.投影轴上的点的投影
当空间点在投影轴上时，该点到相应两投影面距离（即两个坐标）为零。
投影特点：两个投影位于投影轴上且与空间点的位置重合，另一投影位于原点。
Y
X
Z
O
W
V
H
g″
G
e
e′
e″
E
f
f″
F
g〞
YW
YH
O
X
Z
f
f″
e
e″
e′
g′
g′
f′
g
f′
g
2.2.4 两点的相对位置
指空间点之间的左右、前后、上下的位置关系。
上
下
左
右
左
右
前
后
上
下
前
后
H投影反映左右、前后关系；
V投影反映左右、上下关系；
W投影反映前后、上下关系。
通过比较两点的坐标可知：X坐标越大，点越靠左；Y坐标越大，点越靠前；Z坐标越大，点越靠上。
A
S
B
C
2.2.4 两点的相对位置
上
下
左
右
左
右
前
后
上
下
前
后
试判断各点相对位置
A点在 S点之左、后、下方；
B点在A点之
B点在S点之
C点在A点之
A
S
B
C
右、前方；
前、下方；
正右方。
(c″)
O
Y
X
Z
W
V
H
分析下图中A、B、C、D的相对位置，并标出重影点的投影。
YH
YW
O
X
Z
A、C为W面重影点，a″在左、c″在右，记为 a″(c″)。
(d′)
投影图
YH
X
O
Z
A
a′ (d′)
a(b)
D
B
b″
a″(c″)
d
b′
d″
C
c′
c
a(b)
d″
a′
b′
a″
b″
c′
d
c
重影点及其可见性
重影点的可见性是根据坐标值来决定的，即坐标值大的可见，坐标值小的不可见。也可总结为：前者可见，后不可见；左者可见，右不可见；上者可见，下不可见。
A、D为V面重影点，a在前d在后，记为 a′(d′)。
A、B为H面重影点，a在上、b在下，记为 a(b)。
THANKS

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