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青山区2023-2024学年度第二学期期中质量检测
七年级数学试卷
本试卷满分120分 考试用时120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分），下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 下列四个数中，是无理数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列生活现象中，是平移的是（ ）
A. 手表上指针的运动 B. 将一张纸片对折
C. 水平拉动抽屉的过程 D. 荡秋千
3. 在平面直角坐标系中，点P（3，－2）所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4. 如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他这一选择用到的数学知识是（ ）
A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短
C. 两点之间线段最短 D. 两点之间直线最短
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，直线相交于点O，于点O，．则等于（ ）
A. B. C. D.
7. 若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个数的立方根为（ ）
A. 8 B. 4 C. D. 64
8. 下列命题中：①若，则；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，真命题的个数有（ ）
A 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
9. 如图，一公路修到湖边时，需拐弯绕湖通过．第一个拐角，第二个拐角．如果道路与第一条路平行，则第三个拐角的度数是（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边平行于x轴，如果点A的坐标为，点C的坐标为，把一根长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按顺时针方向绕在长方形的边上，则细线的另一端所在位置的坐标为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分），下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置．
11. 的相反数是______．
12. 若点M(a＋3，a－2)在y轴上，则a值是___________．
13. 若，则_____．
14. 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定∥的条件___________.
15. 如图，在中，，，，，将沿直线向右平移3个单位得到，连接，则下列结论：①，：②；③四边形的周长是27；④点B到直线的距离是．其中正确的是______．（填写序号）
16. 同一平面内和一组边互相平行，另一组边互相垂直，若，，且，则m和n满足的数量关系为______．
三、解答题（共8小题，共72分），下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 计算：
（1）；
（2）．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
19. 根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
如图，，，平分，，．
求的度数．
证明：，（_____），
∴_______（______________）．
（_______）（______________）．
，
，
又∵平分，（已知），
（______________）．
，
．
∵，
（_______）（______________）．
20. 如图．由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三角形的三个顶点都是格点．
（1）请建立合适的平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别是和，并写出点C的坐标；
（2）在（1）的条件下，按要求完成画图或作答．
①将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到线段（其中E，F分别是A，B的对应点），在图中画出线段；
②将线段平移得到线段，其中点C是点B的对应点，画出线段；
③在①②的条件下，连接，直接写出，，，这四个角之间的数量关系．
21. 如图，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的度数．
22. 在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）﹔在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）．
（1）图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则______，______，____（填“＞”或“＝”或“＜”）﹔
（2）如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长和宽分别是多少m？
（3）如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5200元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5200元够吗？并说明理由．
23. 已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系．
24. 已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．
（1）则______，______，______；
（2）若D是x轴上一点，三角形的面积是三角形面积的6倍，求D点坐标；
（3）如图2，点，E是线段上一点，若直线平分四边形面积，求E点坐标．青山区2023-2024学年度第二学期期中质量检测
七年级数学试卷
本试卷满分120分 考试用时120分钟
第Ⅰ卷（选择题，共30分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分），下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．
1. 下列四个数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了无理数，根据无理数的定义逐一判断即可求解，熟记：“无限不循环小数叫做无理数”是解题的关键．
【详解】解：A、是有理数，故不符合题意；
B、是有理数，故不符合题意；
C、是有理数，故不符合题意；
D、是无理数，故符合题意；
故选D．
2. 下列生活现象中，是平移的是（ ）
A. 手表上指针的运动 B. 将一张纸片对折
C. 水平拉动抽屉的过程 D. 荡秋千
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻折．根据平移是某图形沿某一直线移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小，可得答案．
【详解】解：A．手表上指针的运动不是平移，故A不符合题意；
B．将一张纸片对折不是平移，故B不符合题意；
C．水平拉动抽屉的过程是平移现象，故C符合题意；
D．荡秋千不是平移，故D不符合题意．
故选：C．
3. 在平面直角坐标系中，点P（3，－2）所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据点在第四象限坐标特点解答即可．
【详解】解：因为点P（3，-2）的横坐标是正数，纵坐标是负数，所以点P在平面直角坐标系的第四象限．
故选D．
【点睛】本题考查点的坐标，解题的关键是掌握四个象限的点的坐标的特征：第一象限正正，第二象限负正，第三象限负负，第四象限正负．
4. 如图，小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他这一选择用到的数学知识是（ ）
A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短
C. 两点之间线段最短 D. 两点之间直线最短
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了垂线段的性质，熟练掌握垂线段最短是解题的关键．根据垂线段的性质解答即可．
【详解】解：小华同学的家在点P处，他想尽快到达公路边去接从外地回来的外婆，他选择沿线段去公路边，他这一选择用到的数学知识是因为垂线段最短，故B正确．
故选：B．
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
根据二次根式的性质，分别对每一项进行分析，即可得出答案．
【详解】A、，故本选项正确，符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：A．
6. 如图，直线相交于点O，于点O，．则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了垂线和对顶角，关键是掌握当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线．
根据垂直定义可得，再根据角的和差关系可得，根据对顶角相等可得．
【详解】，
，
，
，
，
故选：C．
7. 若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则这个数的立方根为（ ）
A. 8 B. 4 C. D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，根据一个数的平方根求这个数，平方根的定义等等，正确求出是解题的关键．根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，进而求出这个数，再求出这个数的立方根即可
【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得，
∴，
∴这个正数为，
∵的立方根是4，
∴这个数的立方根是4，
故选：B．
8. 下列命题中：①若，则；②内错角相等；③平行于同一条直线的两条直线互相平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行，真命题的个数有（ ）
A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质、平行公理、立方根定义，掌握这些知识点是解题关键．分别根据平行线的性质、平行公理、立方根定义对各小题进行逐一判断即可．
【详解】解：①若，则，此项正确，是真命题；
②两直线平行，内错角相等，故此项错误，是假命题；
③平行于同一条直线的两条直线互相平行，故此正确，是真命题；
④过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故此项错误，是假命题；
综上分析可知，真命题有2个，故B正确．
故选：B．
9. 如图，一公路修到湖边时，需拐弯绕湖通过．第一个拐角，第二个拐角．如果道路与第一条路平行，则第三个拐角的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，关键是过作，推出，由平行线的性质来解决问题．
过作，而，推出，得到，求出，即可得到．
【详解】解：过作，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
10. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的边平行于x轴，如果点A的坐标为，点C的坐标为，把一根长为2024个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处，并按顺时针方向绕在长方形的边上，则细线的另一端所在位置的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了点坐标规律探索问题，根据A坐标为，点C的坐标为可得，，进而可求得长方形的周长为18，根据可得细线的另一端在线段上，且与点的距离是1个单位长度，进而可求解，确定细线另一端点所处的位置是解题的关键．
【详解】解：，，四边形为长方形,
，，
长方形的周长为：，
，
细线的另一端在线段上，且与点的距离是1个单位长度，
细线的另一端所在位置的坐标为，
故选A．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分），下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置．
11. 的相反数是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据相反数的定义进行分析解答即可．
【详解】的相反数是．
故答案为：．
【点睛】本题考查相反数及实数，熟记“相反数”的定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”是解答这类题的关键．
12. 若点M(a＋3，a－2)在y轴上，则a的值是___________．
【答案】
【解析】
【分析】让点M的横坐标为0求得a的值即可．
【详解】解：∵点M（a+3，a-2）在y轴上，
∴a+3=0，即a=-3，
故答案为：-3．
【点睛】解决本题的关键是掌握好坐标轴上的点的坐标的特征，用到的知识点为：y轴上的点的横坐标为0．
13. 若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根，将转化为进行计算，即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
14. 如图，不添加辅助线，请写出一个能判定∥的条件___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据平行线的判定进行分析，可以从同位角相等或同旁内角互补的方面写出结论．
【详解】∵DE和BC被AB所截，
∴当时,AD∥BC（内错角相等，两直线平行）.
故答案为
【点睛】此题考查平行线的性质，难度不大
15. 如图，在中，，，，，将沿直线向右平移3个单位得到，连接，则下列结论：①，：②；③四边形的周长是27；④点B到直线的距离是．其中正确的是______．（填写序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】此题考查了平移的性质：对应边相等且平行，对应角相等，熟记平移的性质是解题的关键．由平移的性质判断①②正确；由平移得到，，求出四边形周长判断③错误；延长，交于点G，过点A作于点H，利用面积公式求出，得出的长度，由此判断④正确．
【详解】解：∵将沿直线向右平移3个单位得到，
∴，，，故①正确；
∴，故②正确；
∵将沿直线向右平移3个单位得到，
∴，，
∵，，
∴，
∴四边形的周长，故③错误；
延长，交于点G，过点A作于点H，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点B到的距离为，故④正确；
综上分析可知，正确的有①②④．
故答案为：①②④．
16. 同一平面内和一组边互相平行，另一组边互相垂直，若，，且，则m和n满足的数量关系为______．
【答案】或或
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质 两直线平行同位角相等，以及垂直的定义，本题容易丢解，分类讨论是关键．首先由两个角的两边分别平行，另一组边互相垂直．可分为三种情况．根据两直线平行同旁内角互补，两直线平行同位角相等，以及垂直的定义，即可求得答案，注意别漏解．
【详解】解：如图1：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
如图2：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
如图3，过点C作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
即；
综上分析可知，或或．
故答案为：或或．
三、解答题（共8小题，共72分），下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）利用立方根及算术平方根的定义计算即可；
（2）利用绝对值的性质计算即可．
【小问1详解】
原式；
【小问2详解】
原式．
18. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）或；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查利用开平方和开立方解方程，掌握开平方和开立方的法则是解题的关键．
（1）利用平方根定义即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
（2）移项后开立方即可得出一个一元一次方程，求出方程的解即可．
【小问1详解】
解：
或
或
【小问2详解】
解：
．
19. 根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由．
如图，，，平分，，．
求的度数．
证明：，（_____），
∴_______（______________）．
（_______）（______________）．
，
，
又∵平分，（已知），
（______________）．
，
．
∵，
（_______）（______________）．
【答案】已知；；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；角平分线定义；；两直线平行内错角相等
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，根据平行线的公理得出，根据平行线的性质得出，求出，根据角平分线的定义求出，最后根据平行线的性质求出结果即可．
【详解】证明：，（已知），
∴（平行于同一直线的两直线互相平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
，
，
又∵平分，（已知），
（角平分线定义），
，
，
∵，
∴（两直线平行内错角相等）．
20. 如图．由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三角形的三个顶点都是格点．
（1）请建立合适平面直角坐标系，使点A，B的坐标分别是和，并写出点C的坐标；
（2）在（1）的条件下，按要求完成画图或作答．
①将线段先向左平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到线段（其中E，F分别是A，B的对应点），在图中画出线段；
②将线段平移得到线段，其中点C是点B的对应点，画出线段；
③在①②的条件下，连接，直接写出，，，这四个角之间的数量关系．
【答案】（1）图形见解析，点C的坐标为
（2）①见解析；②见解析；③
【解析】
【分析】（1）根据点A，B的坐标分别是和找出坐标原点，建立平面直角坐标系，得出点C的坐标即可；
（2）①先作出点A、B平移后的对应点E、F，然后连接即可；
②根据点C是点B的对应点，作出点A的对应点D，连接即可；
③根据平行线的性质和三角形外角的性质得出．
【小问1详解】
解：坐标系如图所示，点C坐标为；
小问2详解】
解：①如图，为所求作的线段；
②如图，为所求作的线段；
③过点O作，
∴，
根据平移可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，平移作图，平行线的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质．
21. 如图，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
（1）根据平行线的判定方法进行解答即可；
（2）根据平行线的性质得出，证明，得出，根据平行线的性质得出，得出，根据求出结果即可．
【小问1详解】
证明：，
又，
，
∴；
【小问2详解】
解：∵，
，
又，
，
∴，
又，
，
，
又
，
，
又∵，
．
22. 在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）﹔在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）．
（1）图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是，（图①，图②长方形的长均为a个单位，宽均为b个单位），则______，______，____（填“＞”或“＝”或“＜”）﹔
（2）如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长和宽分别是多少m？
（3）如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5200元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5200元够吗？并说明理由．
【答案】（1）；；
（2）长：，宽
（3）够用；理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据长方形面积公式进行解答即可；
（2）设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，根据正方形的面积是列出方程，求出x的值即可；
（3）设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，根据这个长方形的面积为，列出方程，解方程得出y的值，然后求出两条小路的总面积，再求出需要的费用，即可得出答案．
【小问1详解】
解：根据题意得：；；
∴，
故答案为：；；；
【小问2详解】
解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则：
，
（负值舍负），
长方形场地的长，
长方形场地的宽．
【小问3详解】
解：设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，
则，
（负值舍负），
长方形场地的宽，
长方形场地的长，
则两条小路的总面积为：，
将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元，
，
．
答：总预算5200元够．
【点睛】本题主要考查了平移的性质，平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质．
23. 已知，在长方形中，，，，点E在线段上，点F在线段上，将长方形沿折叠后，点D的对应点是M，点C的对应点是N．
（1）如图1，若，求的度数；
（2）如图2，将四边形沿继续折叠，点N的对应点为G，探索与的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，P是直线和线段的交点，将四边形沿折叠，点A的对应点是O，点B的对应点是Q．请直接写出和的数量关系．
【答案】（1）
（2），证明见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据折叠得出，根据平行线的性质得出；
（2）过点M作，证明，再证明，得出；
（3）根据折叠可知：，，，，，，，
设，，，得出，，即可得出，求出结果即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴；
【小问2详解】
解：，理由如下：
过点M作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
根据折叠可知：，
∵，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：，理由如下：
根据折叠可知：，，，，，，，
设，，
则，
又∵，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
在中，，
设，
，
∴，
在四边形中，，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握平行线的性质．
24. 已知，三角形的顶点A在x轴的正半轴上，A，B，C三点的坐标分别为，，，且a，b，c满足：．
（1）则______，______，______；
（2）若D是x轴上一点，三角形的面积是三角形面积的6倍，求D点坐标；
（3）如图2，点，E是线段上一点，若直线平分四边形的面积，求E点坐标．
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的性质及面积的计算，熟练掌握分割面积求点的坐标是关键．
（1）根据非负数的性质进行解答即可；
（2）延长交轴于点，利用，再根据三角形的面积是三角形面积的6倍列出关于的绝对值方程求出即可；
（3）先求出四边形面积，根据题意则四边形的面积可算出，设点的坐标为，依据面积公式列出关于的方程，求出即可．
【小问1详解】
解：∵，
，
故答案为：．
【小问2详解】
由（1）可知，
如图1，延长交轴于点，
设直线解析式为，点在函数图象上，
∴，
解得，
∴直线解析式为：，
当时，．
∴，
∴，
∵三角形的面积是三角形面积的6倍，
∴，
设点坐标为，
，
或，
解得或，
∴或．
【小问3详解】
如图，连接、
则，
∵是线段上一点，直线平分四边形的面积，
∴，
设点的坐标为，
∴，
解得：，
∴．

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