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2023学年第二学期七年级《数学》期中综合练习
（时间：90分钟 分值：100分）
一、选择题（本大题共6题，每题3分，共18分）
1．下列说法中，正确的是（ ）
A．一个数的平方根总有两个 B．一个正数的n次方根有n个
C．1的奇次方根是 D．1的偶次方根是
2．如果一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，那么这两个角的大小关系是（ ）
A．相等 B．互余 C．互补 D．相等或互补
3．设的小数部分是a，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，如果，，，那么下列结论中：
①，②，③，④与互余，⑤，
正确的个数是（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．如图，直线与相交于点，，，射线平分，则（　　）
A． B． C． D．
6．如图，是一钢架，且，为加固钢架，需要在其内部添加一些钢管、…，添加的钢管长度都与相等，那么最多能添加这样钢管的根数为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
7．计算： ．
8．已知，，，则 ．
9．若，则x = .
10．比较大小： ．
11．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰三角形的顶角为 度．
12．如图，中，，点D为AC上一点，且，则的度数为 ．

13．∠α的补角为125°，∠β的余角为37°，则∠α、∠β的大小关系为∠α ∠β.(填“＞”“＜”或“＝”)
14．设直线a、b、c在同一平面内，且，a与b的距离是，b与c的距离是，则a与c的距离是 ．
15．若一个等腰三角形的两条边长分别为、，那么它的周长为 ．
16．把一张长8厘米、宽4厘米的长方形纸条，像如图所示那样折叠，的周长是 ．
17．如图，和的平分线与CO相交于点， 过点，且，若，，则 ．
18．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，使点A′落在BC的延长线上．已知∠A=27°，∠B=40°，则∠ACB′= 度．
三、计算题（19-22题每小题5分，共20分）
19．计算：
20．解方程：．
21．利用分数指数幂的运算性质进行计算：
22．探索与应用．先填写下表，通过观察后再回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
（1）表格中x＝ ；y＝ ；
（2）从表格中探究a与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题：
①已知≈3.16，则≈ ；
②已知＝1.8，若＝180，则a＝ ；
（3）拓展：已知，若，则b＝ ．
四、解答题（本大题共4题，第23题6分，第24题6分，第25题6分，第26题8分，共26分）
23．如图，已知，，，求的度数．

24．已知如图，E、F在上，且，，，求证：．
25．如图，等边中，分别延长至点，延长至点，使．

求证：
26．如图，的两条高与交于点O，，．
(1)求的长；
(2)F是射线上一点，且，动点P从点O出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题主要考查平方根、奇次方根，次方根的含义，熟练掌握平方根、奇次方根，次方根的定义是解题的关键．根据定义逐一分析解答即可得．
【详解】解：A、一个正数的平方根总有两个，故此选项错误；
B、一个正数的n次方根有n个，表述错误，如一个正数的立方根只有1个，故此选项错误；
C、1的奇次方根是，故此选项错误；
D、1的偶次方根是，故此选项正确；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查了两直线垂直的定义，对顶角的性质，三角形内角和定理，正确画出符合题意的两个图形是解答本题的关键，当一个角的顶点在另一个角的外部和内部时，可画出两个符合题意且位置不同的图形，再利用两直线垂直的定义、对顶角的性质、三角形内角和定理等知识，即可得到答案．
【详解】解：当点B在的外部时（如图1），，，
，
，，
，
当点B在的内部时（如图2），，，
延长交射线于点E，
，
，
，
，
，
即与互补，
综上所述，这两个角的数量关系为相等或互补，
故选：D．
3．B
【分析】本题考查了估算无理数的大小、正确估算出的取值范围是解题的关键．根据可得，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选：B．
4．A
【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，熟知垂直的定义及平行线的判定定理是解答此题的关键．利用直角三角形的两锐角互余以及同角的余角相等结合平行线的判定逐一分析判断即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，故①正确；
同理可得：，
∴，故②正确；
∵，
∴，故③正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故④不符合题意；
∵，
∴，
∴，故⑤不符合题意．
故选A．
5．D
【分析】此题考查了角的和差，对顶角相等，首先设，，然后表示出和，再根据平角定义列出方程，解方程求出，进而可求出，解题的关键是理清图中角之间的关系，利用方程思想解决问题．
【详解】解：设，，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
故选：．
6．C
【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．
【详解】解：∵添加的钢管长度都与相等，，
∴，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是，第二个是，第三个是，四个是，五个是，六个是，七个是，八个是，九个是就不存在了．
∴一共有8个．
故选：C．
【点睛】此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
7．3
【分析】根据立方根和算术平方根的计算方法计算即可；
【详解】．
【点睛】本题主要考查了立方根和算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．
8．##90度
【分析】本题考查的是平行线的性质，平行公理的应用，过作，而，可得，再利用平行线的性质可得答案．
【详解】解：过作，而，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
故答案为：
9．或
【详解】根据绝对值的意义，由可知x=2-或x=-（2-）=-2.
故答案为或 .
点睛：此题主要考查了实数的绝对值，关键是明确：一个正数的绝对值等于本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值等于其相反数.
10．
【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：解答此题的关键是比较出两个数的平方的大小关系再进一步可得答案．先求，，再比较大小，再进一步可得答案．
【详解】解：∵，
，
∵，
∴，
∴，
故答案为：
11．或
【分析】此题考查了等腰三角形的定义．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想与数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，然后分别从锐角三角形与钝角三角形分析求解即可求得答案．
【详解】解：根据题意得：，，
如图（1），，
则，
如图（2），，
∴，
∴．
故这个等腰三角形的顶角是：或．
故答案为：或
12．##36度
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．设，根据等边对等角的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和用x表示出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解．
【详解】解：设，
∵，
∴，
∵，
∴，
根据三角形的外角性质，，
∵，
∴，
在中，，
即，
解得，
∴，
故答案为：．
13．>
【分析】两角互余和为90°，互补和为180°，据此可以解出α、β，然后再比较大小．
【详解】依题意得：∠α=180°-125°=55°，
∠β=90°-37°=53°，
∴∠α＞∠β．
故填＞．
【点睛】此题考查的是角的性质，两角互余和为90°，互补和为180°.
14．或##11或3
【分析】本题考查了平行线之间的距离，分两种情况，由平行线之间的距离的定义，即可求解．
【详解】解：如图1，直线c在a、b外时，
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为，
如图2，直线c在直线a、b之间时，
∵a与b的距离为，b与c的距离为，
∴a与c的距离为，
综上所述，a与c的距离为或，
故答案为：或
15．32
【分析】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系，“分类讨论”的数学思想是解题关键．分情况讨论：腰长为，底为；腰长，底为，先判断是否构成三角形，再计算周长即可．
【详解】解：当腰长为，底为，
而，
不能构成三角形，舍去；
当腰长为，底为，能构成三角形，
周长：，
故答案为：32．
16．厘米##12cm
【分析】本题考查的是轴对称的性质，平行线的性质，等角对等边的含义，先证明，可得，再利用三角形的周长公式计算即可．
【详解】解：∵长方形，
∴，
∴，
由对折可得：，
∴，
∴，
∴的周长为：，
∵厘米，厘米，
∴的周长为：（厘米）．
故答案为：厘米．
17．60°##60度
【分析】由∠ABC：∠ACB＝3：2，结合角平分线的性质可得∠OBC：∠OCB＝3：2，再由∠BOC＝130°根据三角形的内角和定理即可求得∠OBC、∠OCB的度数，从而得到∠ABC的度数，再根据平行线的性质即可求得结果．
【详解】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线BO与CO相交于点O，
∴，，
∵∠ABC：∠ACB＝3：2，
∴∠OBC：∠OCB＝3：2，
∵∠BOC＝130°，
∴，
∴∠OBC=30°，∠OCB＝20°，
∴∠ABC=60°，
∵，
∴．
故答案为：60°．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理，此类题目综合性强，知识点多，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，难度不大．
18．46
【详解】∵∠A=27°,∠B=40°，
∴∠ACA′=∠A+∠B=27°+40°=67°，
∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴∠ACB=∠A′CB′，
∴∠ACB ∠B′CA=∠A′CB ∠B′CA，
即∠BCB′=∠ACA′，
∴∠BCB′=67°，
∴∠ACB′=180°-∠ACA′ ∠BCB′=180° 67° 67°=46°，
故答案为46.
19．
【分析】根据二次根式与平方差公式进行求解即可．
【详解】
=
=
=．
20．
【分析】本题考查的是利用立方根的含义解方程，由立方根的含义可得，再解一次方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴
21．4
【分析】首先将每个根式化为以2为底数的幂，然后根据同底数幂的除法与乘法运算法则求解即可求得答案．
【详解】解：原式
【点睛】此题考查了分数指数幂的知识．此题难度适中，解题的关键是掌握分数指数幂的定义，同底数幂的除法与乘法运算法则．
22．（1）0.1，10；（2）31.6，32400；（3）0.012
【分析】（1）由表格得出规律，求出x与y的值即可；
（2）根据算术平方根的被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案；
（3）根据立方根的被开方数缩小1000倍，立方根缩小10倍，可得答案．
【详解】解：（1）x＝0.1，y＝10，
故答案为0.1，10；
（2）①∵≈3.16，
∴＝31.6，
②＝1.8，
∴a＝32400，
故答案为：31.6，32400；
（4）∵，
∴b＝0.012，
故答案为：0.012
【点睛】考查了算术平方根和立方根，注意被开方数扩大100（1000）倍，算术平方根（立方根）扩大10倍．
23．
【分析】根据两直线平行，同位角相等，结合，，求出，根据三角形外角定理得到，即可求解，
本题考查了平行线的性质，三角形外角定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理．
【详解】解：如图，

∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
24．证明见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是准确找到判断全等三角形的条件． 由，则，则，得，然后证明，即可得到．
【详解】解：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
25．见解析
【分析】延长至点，使，连接，根据等边三角形的性质可得，，推得，，根据等边三角形的判定可得为等边三角形，推得，，根据全等三角形的判定和性质即可证明．
【详解】证明：延长至点，使，连接，如图：

∵是等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
即，
∴为等边三角形，
∴，，
又∵，，
∴，
∴
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线是解题的关键．
26．(1)6
(2)1.2或2．
【分析】本题考查全等三角形的判定．
（1）由证明，根据对应边相等求得的长；
（2）分情况讨论点分别在延长线上或在之间时，根据对应边相等求得值．
【详解】（1）解： ，，
，
．
又，，
，
．
（2）①当点在延长线上时：设时刻，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，解得．
②当点在之间时：设时刻，、分别运动到如图位置，．
，，
当时，．
，，
，解得．
综上，或2．

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