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4.2.2对数函数的图像和性质
年 级：高一年级 学 科：数学（人教A版）
1.说一说对数函数的概念
一般的，函数y=logax（a>0,且a≠1)叫做对数函数，其中x为自变量，定义域为（0，+∞)
一、温故知新
2.对数函数的由来
根据指数函数与对数函数关系，由指数函数y=ax（a>0且a≠1)得到x=logay，进而得到y=logax（a>0且a≠1）
3.指数函数的图像与性质的研究方法和过程
解析式
图像
数形结合
描点法
利用函数之间特殊的位置关系
特殊的函数
分类讨论
归纳整理
一般的函数
特殊到一般
应用
一般到特殊
1.画出对数函数y=log2x的图像
二、新知探究 （一）探究对数函数的图像（a>0,且a≠1）
x 1/4 1/2 1 2 3 4 5 6 7 8
log2x 1.6 2.3 2.6 2.8
（1）计算填表
（2）在练习本上画出直角坐标系，并描上对应点，然后连线
-2 -1 0 1 2 3
2.画出对数函数 y=log3x，y=log4x的图像
根据图像整理对数函数y=logax（a＞1）的性质
定义域：
值域：
单调性：在 上是增函数
（0,+∞)
R
（0,+∞)
（1,0）
图象位于y轴右方，与x轴交点
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐上升
定义域：
值域：
单调性：在 上是增函数
1.画出对数函数y=log2x的图像
二、新知探究 （一）探究对数函数的图像（a>0,且a≠1）
x 1/4 1/2 1 2 3 4 5 6 7 8
log2x 1.6 2.3 2.6 2.8
（1）计算填表
（2）在练习本上画出直角坐标系，并描上对应点，然后连线
-2 -1 0 1 2 3
2.画出对数函数 y=log3x，y=log4x的图像
3.画出对数函数 ， ， 的图像
根据图像整理对数函数y=logax（0＜a＜1）的性质
定义域：
值域：
单调性：在 上是减函数
（0,+∞)
R
（0,+∞)
（1,0）
图象位于y轴右方，与x轴交点
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐下降
定义域：
值域：
单调性：在 上是减函数
思考：y=logax 与 的函数图像有什么样的位置关系？
y=logax 与 的图像关于x对称
y=-logax 与y=logax的图像关于x对称,所以
y=logax 与 的图像关于x对称
4.观察底数a的变化对数函数的影响，总结一般特征
二、新知探究 （二）探究对数函数的性质
（1）请同学们观察这些函数图像的位置、公共点、变化趋势，它们有哪些共性？有哪些不同？
共同点：些函数图像都在由右侧,都过(1,0）.
2.些函数定义域均为值域均为R.
差异点：1.当a>1时，图像从左至右逐步上升,并且x∈(0,1)时y<0, x∈(1,+∞)时y>0.
2.当00, x∈(1,+∞)时y<0.
4.观察底数a的变化对数函数的影响，总结一般特征
二、新知探究 （二）探究对数函数的性质
（2）观察这些函数在第一象限图像内的图像，当底数a变化时，图像的位置如何变化？
归纳小结 对数函数图像特征及性质
图像
定义域 值域 性质
R
（1）过定点（1,0），即x=1时，y=0
（2）减函数 （2）增函数
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5; (2)log0.31.8，log0.32.7;
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
(4)log3.55，log4.55.
三、例题精讲
解：(1)∵在定义域上单调递增
而，∴.
(2)∵在定义域上单调递减
而，∴.
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5; (2)log0.31.8，log0.32.7;
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
(4)log3.55，log4.55．
三、例题精讲
解：(3)∵
∴当时，在定义域上单调递增
而,∴ .
当时，在定义域上单调递减
而,∴ .
例1：比较下列各题中两个值的大小
(1)log23.4，log28.5; (2)log0.31.8，log0.32.7;
(3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)．
(4)log3.55，log4.55．
三、例题精讲
法二：
∵在定义域上单调递增
而.5, ∴0＜ . log3.55＞log4.55
解：(4)法一：图像
例2.溶液酸碱度是通过pH计量的.pH的计算公式为pH= lg[H^+]，其中[H^+]表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．
(1)根据对数函数性质及上述pH的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系;
(2)已知纯净水中氢离子的浓度为[H^+]=10^ 7摩尔/升,计算纯净水的pH．
解：根据对数的运算性质，有在上,随着的增大.减小, 相应地,也减小,即减小所以,随着的增大,减小,即溶液中氢离子的浓度越大,溶液的酸性就越强
当时，所以，纯净水的是．
四、课堂练习
1.比较下列各题中两个值的大小
(1)lg0.6，lg0.8; (2)log0.56，log0.54;
(3)logm5，logm7(m>0，且m≠1)．
(4)log0.53，log0.83．
解：(1)∵在定义域上单调递增
而，∴lg0.6lg0.8
(2)∵在定义域上单调递减
而， ∴
四、课堂练习
1.比较下列各题中两个值的大小
(1)lg0.6，lg0.8; (2)log0.56，log0.54;
(3)logm5，logm7(m>0，且m≠1)．
(4)log0.53，log0.83．
解：(3)∵
∴当时，在定义域上单调递增 而,∴
当时，在定义域上单调递减 而,∴
(4)log0.53＞log0.83．
五、课堂小结
1.知识点：
对数函数图像特征及性质
2.本节课用到哪些数学思想方法
五、课堂小结
1.知识点：
对数函数图像特征及性质
2.本节课用到哪些数学思想方法
（1）数形结合：由解析式到图象(由数到形，以形读数）
图象到性质（由形到数，以数观形)
（2）分类整合：底数的两个范围对函数性质的影响
（3）类比思想：通过研究指数函数方法类比得出
对数函数的性质
六、作业布置
1.函数y = log2x, y=log5x, y = lgx的图象如图所示,
(1)试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么；
(2)以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画岀
的图象；
(3)从（2）的图中你发现了什么？
2.某地去年的GDP （国内生产总值）为3 000亿元人民币,预
计未来5年的平均增长率为6. 8%.
（1）设经过x年达到的年GDP为y亿元，试写出未来5年内,
y关于x的函数解析式；
（2）经过几年该地GDP能达到3 900亿元人民币？

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