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通州区2024年初中学业水平模拟考试
数学试卷
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图的相关知识，其中主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面观察物体所得到的图形，三视图的掌握程度和空间想象能力是解题关键．结合选项，根据主视图和俯视图确定是柱体，锥体还是球体，再根据左视图确定具体形状．
【详解】解：由主视图和左视图为长方形可知，这个几何体是柱体，
由俯视图为三角形可知，这个柱体是三棱柱，
故选：A．
2. 2024年政府工作报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．北京正在建设国际科技创新中心，人工智能产业是北京的主导产业之一．目前，人工智能相关企业数量约2200家，全国40％人工智能企业聚集于此．2023年，北京在人工智能领域融资总额约223亿元，约占全国四分之一．数据22300000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了把绝对较大的数用科学记数法表示，关键是确定 n与a的值． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，它等于原数的整数数位与1的差．
【详解】解：；
故选：B．
3. 如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质、平行线的性质进行求解即可；
【详解】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，
∴∠A＝∠D=30°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质、平行线的性质，掌握相关性质并灵活应用是解题的关键．
4. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式；根据方程有两个不相等的实数根，则判别式为正，解不等式即可求得n的取值范围．
【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：；
故选：A．
5. 如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称是解题的关键．根据轴对称的性质解答即可．
【详解】解：由图可知，该图形关于直线对称．
故选：C
6. 一个不透明的口袋中有2个红球和1个白球，这三个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到两次摸出小球的颜色相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有6种，其中两次摸出小球的颜色相同的结果数有2种，
∴两次摸出小球的颜色相同的概率为，
故选：B．
7. 已知数轴上有A、B两点，点B在点A的右侧，若点A、B分别表示数a、b，且满足，则下列各式的值一定为负数的是（ ）
A. a B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了数轴，由点B在点A的右侧确定是本题的关键．
因为点B在点A的右侧，所以，由，可得，所以，化简得，所以一定为负数．
【详解】解：由题意得，，
，即，
，
，
，
故选：C．
8. 如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（ ）
①；②的度数不变；③；④．
A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识点是解题的关键．
证明可得，，，进而判断①；进而可得，进而判断②，根据，进而判断③；证明，进而判断④；
【详解】解：∵是菱形，，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，，，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确；
故选：D．
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了分式有意义及二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．由分式有意义及二次根式有意义的条件，进而得出x的取值范围．
【详解】由二次根式的概念，可知，
解得.
故答案为：
10. 分解因式：x2y-4y=____．
【答案】y(x+2)(x-2)
【解析】
【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．
【详解】x2y-4y=y(x2-4)=y(x+2)(x-2)，
故答案为：y(x+2)(x-2)．
【点睛】提公因式法和应用公式法因式分解．
11. 分式方程的解是______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据解分式方程的步骤“先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后进行检验”进行解答即可得．
【详解】解：
方程两边同乘，得，
移项，得，
系数化为1，得，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的方法并检验．
12. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，则k值是________．
【答案】9
【解析】
【分析】本题考查了正比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可．
【详解】解：点在直线上，
，
，
在反比例函数图象上，
．
故答案为：9．
13. 如图，点E是边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由，推出．
由平行四边形的性质得到，推出，得到，即可求出．
【详解】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
．
故答案为：12．
14. 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天九年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在九年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：已知该校九年级共有400名学生，请估计九年级学生上学途中用时不超过15min的有________人．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了从图象获取信息，用样本估计总体，熟练掌握用样本估计总体的思想是解题的关键．根据图中信息，可得上学途中用时不超过15min的学生有人，用总人数抽取的学生中上学用时不超过15min的学生所占比例，即可求解．
【详解】解：根据图中信息可知，上学途中用时不超过15min的学生有人，
故该校九年级学生上学途中用时不超过15min的人数为（人）．
故答案为：．
15. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为________．
【答案】3
【解析】
【分析】过作于，求得的度数，根据直角三角形的性质得到，求出三角形的面积，于是得到正十二边形的面积，根据圆的面积公式即可得到结论．
本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
【详解】如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心，设的半径为1，
过作于，
正十二边形中，
，
∴正十二边形的面积为,
，
,
的近似值为3，
故答案为：3．
16. 某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作．
工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作
A 张贴海报、收集作品 7 无
B 购买展览用品 3 无
C 打扫展厅 1 无
D 展厅装饰 3 C
E 展位设计与布置 3 ABD
F 展品布置 2 E
G 宣传语与环境布置 2 ABD
H 展前检查 1 FG
（1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要________天；
（2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要________天．
【答案】 ①. 4 ②. 13
【解析】
【分析】本题考查了优化问题，即如何在最短的时间内完成工作，实现最优效果．
（1）根据表格知，完成“展厅装饰 ”要完成C、D两项工作，故可得到至少需要的天数；
（2）由表格知，完成A的时间里，可同时完成B、C、D的工作，可进行E的工作，则可进行G、H的工作，从而完成整个工作，从而可得最短总工作时间．
【详解】解：（1）由表格知，在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要（天）；
故答案为：4；
（2）完成本次展览会所有筹备工作的路径为：，最短总工期需要的天数为：（天）；
故答案为为：13．
三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分；第21题6分；第22题5分；第23-24题每题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】5
【解析】
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值等知识．先运用特殊角的三角函数值、二次根式的性质、负整数次幂和取绝对值对原式进行化简，然后再计算即可．
【详解】解：
．
18. 解不等式组：
【答案】
【解析】
【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
【详解】解：原不等式组为
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴原不等式组的解集为．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19. 已知，求代数式的值．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了整式的乘法混合运算，涉及单项式乘多项式及平方差公式；先利用单项式乘多项式、平方差公式展开，再合并同类项；再由，得，最后整体代入即可求值．
【详解】解：原式
；
，
，
原式
．
20. 2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量．
【答案】非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个
【解析】
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，找出等量关系列方程是解题关键，设非遗文献馆的坐席数为个，则少年儿童馆坐席数为个，山体阅览区的坐席数为个，根据坐席总数为1900个列方程解决即可．
【详解】解：设非遗文献馆的坐席数为个，则少年儿童馆坐席数为个，山体阅览区的坐席数为个，
根据题意得：，
解得，，
答：非遗文献馆的坐席数为200个，少年儿童馆坐席数为300个，山体阅览区的坐席数为1400个．
21. 如图，中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取，使，连结、、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
（1）先证明四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可得出结论；
（2）过点作于点，由菱形的性质得，再证明四边形是矩形，得，进而解直角三角形求出，然后由勾股定理求出的长，即可解决问题．
【小问1详解】
证明：∵点为边中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
【小问2详解】
解：如图，过点作于点，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
，
，
在中，由勾股定理得：，
∵点为边中点，
．
22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点．
（1）求该函数的表达式及点的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）将、坐标分别代入函数表达式，即可得到一次函数解析式，然后计算函数值为对应的自变量的值即可得到点坐标；
（2）分情况讨论：当直线过点时和当直线与直线平行时，即可得到符合条件的的取值范围．
【小问1详解】
解：将、代入函数表达式可得：
，
解得，
则函数的表达式为，
依题得，过点且平行于轴的直线为，
是该函数与过点且平行于轴的直线的交点，
，
解得，，
即．
【小问2详解】
解：当直线过点时，
即把代入，
得，
，
当时，对于的每一个值，的值大于的值，
，
解得，
当与直线平行时，，
此时，满足条件，
且当时，不满足条件，
即．
【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求解析式、一次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握数形结合的方法解题．
23. 为了选出适应市场需求的小番茄秧苗，在条件基本相同的情况下，工作人员把两个品种的小番茄秧苗分别种植在甲、乙两个大棚．对两个品种的小番茄的产量进行了抽样调查，数据整理如下：
a．从甲、乙两个大棚各收集了20株秧苗，将每株秧苗上的小番茄的个数做如下记录：
甲：26 32 40 74 44 63 81 54 62 41 54 43 34 51 63 64 73 64 54 33
乙：27 34 46 52 48 67 82 48 56 63 73 35 56 56 58 60 36 46 40 71
b．对以上样本数据按如下分组整理：
个数 大棚
甲 4 4 m n 2 1
乙 2 3 5 6 3 1
c．两组样本数据的平均数、众数、中位数和方差如下表所示：
统计量 大棚 平均数 众数 中位数 方差
甲 52.5 54 p 228.75
乙 52.7 56 54 196.41
（1）________，________．
（2）________．
（3）可以推断出________大棚的小番茄秧苗品种更适应市场需求，理由为_____________．（从两个不同的角度说明推断的合理性）
【答案】（1）4，5 （2）54
（3）乙；乙大棚每株秧苗上的小番茄个数的平均数高于甲大棚，且方差小，产量的稳定性更好
【解析】
【分析】本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．
（1）根据收集数据进行求解；
（2）根据中位线的定义进行求解即可；
（3）根据平均数和方差进行求解即可．
【小问1详解】
解：甲大棚中的有4株，的有5株，
∴，；
故答案为：4，5；
【小问2详解】
解：将甲大棚中20株秧苗上小番茄的个数从小到大进行排序，排在第10、11位的都是54个，所以中位数为，
故答案为：54．
【小问3详解】
解：乙大棚的小番茄秧苗品种更适应市场需求，因为乙大棚每株秧苗上的小番茄个数的平均数高于甲大棚，且方差小，产量的稳定性更好；
故答案为：乙，乙大棚每株秧苗上的小番茄个数的平均数高于甲大棚，且方差小，产量的稳定性更好．
24. 如图，为的直径，过点A作的切线，C是半圆上一点（不与点A、B重合），连结，过点C作于点E，连接并延长交于点F．
（1）求证：；
（2）若的半径为5，，求的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】本题考查切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理，掌握切线的性质和判断方法，垂径定理，圆周角定理以及勾股定理是正确解答的关键．
（1）根据切线的性质，平行线的判定和性质以及圆周角定理即可得出结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及垂径定理进行计算即可．
【小问1详解】
证明：是的切线，
，
于点，
，
，
，
，
．
【小问2详解】
解：连结，
于点，是的直径，
，
是垂直平分线，
，
的半径为5，
，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
．
25. 某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x吨产品所获得的利润与生产吨产品获得的利润之差记为y（万元）．
例如：当时，，当时，．所以，当时，；当时，，当时，．所以，当时，．
记录的部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
p
y
m n
根据以上数据，解决下列问题：
（1）________，_______．
（2）结合表中的数据，当时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．
（3）结合数据，利用所画的函数图象可以推断：
①当生产总量约为________吨（精确到），利润变化值y最大．
②当生产总量约为________吨（精确到），利润开始降低．
【答案】（1）
（2）见详解 （3）①（答案不唯一，介于）；②（答案不唯一，介于）
【解析】
【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意并掌握描点作图的方法是解题的关键．
（1）根据题意和举例的计算方法求出和的值即可；
（2）将表格中数据对描点并连线即可；
（3）①根据图象作答即可；
②时对应的值即为答案．
【小问1详解】
解：当时，，
当时，，
∴当时，；
当时，，
当时，，
∴当时，．
故答案为：．
【小问2详解】
描点并作图如图所示：
【小问3详解】
①由图象可知，当生产总量约为吨时，利润变化值最大；
②由图象可知，当生产总量约为吨时，利润变化值，之后利润开始降低．
故答案为：，．
26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，且满足．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，写出m，t之间的等量关系．
（2）当时，均满足，求m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像的对称性等知识．
（1）根据抛物线关于对称轴对待的性质，点M、N到对称轴的距离相等，即可求得m，t的之间的等量关系；
（2）将点到对称轴的距离记为，点到对称轴的距离记为，抛物线与轴交点记为点，到对称轴的距离记为．根据，分别考虑及时
m的范围，最后取两个范围的公共部分即可．
【小问1详解】
解：点，是抛物线上两点，
当时，点和点关于抛物线的对称轴直线对称，
，
．
【小问2详解】
解：将点到对称轴的距离记为，点到对称轴的距离记为，抛物线与轴交点记为点，到对称轴的距离记为．
，，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即，
，
，
，
，
当时，均满足，
，
，，
点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即，
，
，
；
当时，均满足，
，
综上，．
27. 如图，将线段绕点A逆时针旋转度（）得到线段，连结，点N是的中点，点D，E分别在线段，的延长线上，且．
（1）________（用含的代数式表示）；
（2）连结，点F为的中点，连接，，．
①依题意补全图形；
②若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
【答案】（1）
（2）①见解析；②，证明见解析
【解析】
【分析】本题考查了根据条件画图，平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）根据旋转和题意即可得出；
（2）①根据题意画出图形即可；
②延长至点，使，连接．证明四边形为平行四边形，证明，算出，，结合三角形中位线定理即可求解；
【小问1详解】
∵，
由旋转得，
∴，
∵，
∴．
【小问2详解】
①补全图形如图：
②延长至点，使，连接．
∵点为线段中点，
∴四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
又，
，
∴，
∴，
，
，
，
∴，
∴，
∵为中点，为中点，
∴是中位线，
，
∴．
28. 在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点；
Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点．
（1）如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，．
①若，请你在下图中画出点，的位置；
②若，求m的值．
（2）已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）．
【答案】（1）①见详解；②
（2）
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质，平移的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）①根据P运动和Q运动的运动方式求解即可;
②首先表示出点的坐标为，的坐标为，然后根据得到，进而求解即可；
（2）由题意得：，设，经过P运动，则，则；Q运动后，，，则即可求解．
【小问1详解】
①作图如图所示：
由P运动知，由旋转得，，
而，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
由Q运动同理可求，再向右平移1个单位，向上平移0个单位得到．
②∵，
∴点A经过P运动后得到的点的坐标为
点A经过Q运动后得到的点的坐标为
∵
∴，
∴．
【小问2详解】
由题意可得：
由旋转的不变性和平移的性质得：，，
设，经过P运动，则，则；
Q运动后，，，
则，
∴当时，线段与存在公共点，
∴，
∴．通州区2024年初中学业水平模拟考试
数学试卷
考生须知
1．本试卷共8页，共三道大题，28个小题，满分为100分，考试时间为120分钟．
2．请在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
5．考试结束后，请将答题卡交回．
一、选择题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）每题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 如图是某几何体的三视图，该几何体是（ ）
A 三棱柱 B. 三棱锥 C. 长方体 D. 圆柱
2. 2024年政府工作报告中提出“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”．北京正在建设国际科技创新中心，人工智能产业是北京的主导产业之一．目前，人工智能相关企业数量约2200家，全国40％人工智能企业聚集于此．2023年，北京在人工智能领域融资总额约223亿元，约占全国四分之一．数据22300000000用科学记数法表示应为（ ）
A. B. C. D.
3. 如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
4. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，由5个“○”和3个“□”组成的图形关于某条直线对称，该直线是（ ）
A. B. C. D.
6. 一个不透明口袋中有2个红球和1个白球，这三个球除颜色外完全相同．摇匀后，随机从中摸出一个小球不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出小球的颜色相同的概率是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知数轴上有A、B两点，点B在点A的右侧，若点A、B分别表示数a、b，且满足，则下列各式的值一定为负数的是（ ）
A. a B. C. D.
8. 如图，在菱形中，，点P和点Q分别在边和上运动（不与A、C、D重合），满足，连接、交于点E，在运动过程中，则下列四个结论正确的是（ ）
①；②的度数不变；③；④．
A. ①② B. ③④ C. ①②④ D. ①②③④
二、填空题（本题共8个小题，每小题2分，共16分）
9. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．
10. 分解因式：x2y-4y=____．
11. 分式方程的解是______．
12. 在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于点，则k的值是________．
13. 如图，点E是的边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点F．若，则的长为________．
14. 为合理安排进、离校时间，学校调查小组对某一天九年级学生上学、放学途中的用时情况进行了调查．本次调查在九年级随机抽取了20名学生，建立以上学途中用时为横坐标、放学途中用时为纵坐标的平面直角坐标系，并根据调查结果画出相应的点，如图所示：已知该校九年级共有400名学生，请估计九年级学生上学途中用时不超过15min的有________人．
15. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法，刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为________．
16. 某公司筹备一场展览会，现列出筹备展览会的各项工作．具体筹备工作包含以下内容（见下表）．其中，“前期工作”是指相对于某项工作，排在该工作之前需完成的工作称为该工作的前期工作．
工作代码 工作名称 持续时间（天） 前期工作
A 张贴海报、收集作品 7 无
B 购买展览用品 3 无
C 打扫展厅 1 无
D 展厅装饰 3 C
E 展位设计与布置 3 ABD
F 展品布置 2 E
G 宣传语与环境布置 2 ABD
H 展前检查 1 FG
（1）在前期工作结束后，完成“展厅装饰 ”最短需要________天；
（2）完成本次展览会所有筹备工作的最短总工期需要________天．
三、解答题（本题共68分，第17-20题每题5分；第21题6分；第22题5分；第23-24题每题6分；第25题5分；第26题6分；第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
18. 解不等式组：
19. 已知，求代数式的值．
20. 2023年12月27日北京城市副中心“三大文化建筑”之一的北京城市图书馆对外开放，其总建筑面积约万平方米，藏书量达800万册，建有世界最大的单体图书馆阅览室．图书馆内的功能区设置阅览坐席，方便读者使用．其中，山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席总数为1900个，非遗文献馆的坐席数与少年儿童馆坐席数之比为，山体阅览区的坐席数是少年儿童馆坐席数的4倍多200个，求山体阅览区、非遗文献馆、少年儿童馆的坐席数量．
21. 如图，中，，点D为边中点，过D点作的垂线交于点E，在直线上截取，使，连结、、．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
22. 在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点．
（1）求该函数表达式及点的坐标；
（2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，直接写出的取值范围．
23. 为了选出适应市场需求的小番茄秧苗，在条件基本相同的情况下，工作人员把两个品种的小番茄秧苗分别种植在甲、乙两个大棚．对两个品种的小番茄的产量进行了抽样调查，数据整理如下：
a．从甲、乙两个大棚各收集了20株秧苗，将每株秧苗上的小番茄的个数做如下记录：
甲：26 32 40 74 44 63 81 54 62 41 54 43 34 51 63 64 73 64 54 33
乙：27 34 46 52 48 67 82 48 56 63 73 35 56 56 58 60 36 46 40 71
b．对以上样本数据按如下分组整理：
个数 大棚
甲 4 4 m n 2 1
乙 2 3 5 6 3 1
c．两组样本数据的平均数、众数、中位数和方差如下表所示：
统计量 大棚 平均数 众数 中位数 方差
甲 52.5 54 p 228.75
乙 52.7 56 54 196.41
（1）________，________．
（2）________．
（3）可以推断出________大棚小番茄秧苗品种更适应市场需求，理由为_____________．（从两个不同的角度说明推断的合理性）
24. 如图，为的直径，过点A作的切线，C是半圆上一点（不与点A、B重合），连结，过点C作于点E，连接并延长交于点F．
（1）求证：；
（2）若的半径为5，，求的长．
25. 某部门研究本公司生产某种产品利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x吨产品所获得的利润与生产吨产品获得的利润之差记为y（万元）．
例如：当时，，当时，．所以，当时，；当时，，当时，．所以，当时，．
记录的部分数据如下：
x 0 1 2 3 4 5 6
p
y
m n
根据以上数据，解决下列问题：
（1）________，_______．
（2）结合表中的数据，当时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象．
（3）结合数据，利用所画的函数图象可以推断：
①当生产总量约为________吨（精确到），利润变化值y最大．
②当生产总量约为________吨（精确到），利润开始降低．
26. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，且满足．设抛物线的对称轴为直线．
（1）当时，写出m，t的之间的等量关系．
（2）当时，均满足，求m的取值范围．
27. 如图，将线段绕点A逆时针旋转度（）得到线段，连结，点N是的中点，点D，E分别在线段，的延长线上，且．
（1）________（用含的代数式表示）；
（2）连结，点F为的中点，连接，，．
①依题意补全图形；
②若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．
28. 在平面直角坐标系中，已知点，A为坐标系中任意一点．现定义如下两种运动：P运动：将点A向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点，再将点绕点O逆时针旋转，得到点；
Q运动：将点A绕点O逆时针旋转，得到点，再将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到点．
（1）如图，已知点，，点A分别经过P运动与Q运动后，得到点，．
①若，请你在下图中画出点，的位置；
②若，求m的值．
（2）已知，点A，B分别经过P运动与Q运动后，得到点，与点，，连接，．若线段与存在公共点，请直接写出此时线段长度的取值范围（用含有t的式子表示）．

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