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专题5.5 分式方程及分式方程的实际应用之七大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 分式方程的定义】 1
【考点二 解分式方程】 3
【考点三 已知分式方程的增根求参数】 5
【考点四 已知分式方程的无解求参数】 6
【考点五 根据分式方程解的情况求值】 8
【考点六 列分式方程】 10
【考点七 分式方程的实际应用】 11
【过关检测】 14
【典型例题】
【考点一 分式方程的定义】
例题：（2023上·河北衡水·八年级校考阶段练习）下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义对各小题进行逐一分析即可．
【详解】①的分母中含有未知数，是分式方程；
②是整式方程；
③是整式方程；
④的分母中含有未知数，是分式方程．
故选：C．
【点睛】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解答此题的关键．
【变式训练】
1．（2024上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了分式方程的定义，正确把握相关定义是解题关键．
直接利用分式方程的定义分析得出答案．
【详解】解：A、是一元一次方程，故此选项错误；
B、，是一元一次方程，故此选项错误；
C、是一元二次方程，故此选项错误；
D、，是分式方程，正确．
故选：D．
2．（2024上·山东聊城·八年级校考阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键；
根据分式方程的定义逐个分析判断即可．
【详解】分母中含有未知数，故是分式方程；
分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程分母b是常数，分母中不含有未知数，故不是分式方程；
关于x的方程分母a是常数，分母中不含有未知数，不是分式方程；
分母中是常数，不含有未知数，故不是分式方程；
综上所述：是分式方程的有1个；
故选：A．
【考点二 解分式方程】
例题：（2023上·广西桂林·八年级校考阶段练习）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．求出解后的检验是本题的易错点．
（1）方程两边同时乘以，去掉分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最简公分母进行检验即可解答；
（2）方程两边同时乘以，去掉分母把分式方程化成整式方程，再求解整式方程，最后把解代入最简公分母进行检验即可解答．
【详解】（1）解：
方程两边同时乘以，得：
，
检验：当时，，
原方程的解为：；
（2）解：
方程两边同时乘以，得：
，
检验：当时，，
原方程的解为：．
【变式训练】
1．（2024下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）解方程：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必须检验．
（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答；
（2）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【详解】（1），
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的根；
（2），
，
，
解得：，
检验：当时，，
是原方程的增根，
原方程无解．
2．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)原方程无解
(2)
【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键．
（1）方程两边同时乘，化为整式方程，求出方程的解后再检验即可得出答案；
（2）方程两边同时乘，化为整式方程，求出方程的解后再检验即可得出答案．
【详解】（1）解：原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
则是分式方程的增根，
故原方程无解；
（2）原方程去分母得：，
整理得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
【考点三 已知分式方程的增根求参数】
例题：（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．
【答案】
【分析】根据使分式的分母为零的未知数的值，是方程的增根，计算即可．
【详解】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式方程的解法，增根的理解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程有增根，则m的值是_____．
【答案】
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【详解】解：去分母得：，
解得，
由分式方程有增根，得到，即，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
2．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的分式方程有增根，则的值为___________．
【答案】或
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程增根求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【详解】解：
，
当，即或时，分式方程有增根，
当时，，解得；
当时，，解得；
故m的值是或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了分式方程的解，弄清分式方程增根的条件是解本题的关键．
【考点四 已知分式方程的无解求参数】
例题：（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）如果关于x的方程无解，则a的值为___．
【答案】1或2
【分析】根据方程无解得出其对应的整式方程的解是或整式方程无解，即可求出．
【详解】解：将方程两边同时乘以，
得：，
整理得：，
∵该分式方程无解，
∴或，
∴或，
故答案为：1或2．
【点睛】本题考查了分式方程无解的问题，解题关键是掌握分式方程无解说明了其对应的整式方程无解或整式方程的解使分母为零．
【变式训练】
1．（2023春·安徽蚌埠·七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）①若关于的方程有增根，则增根是______．
②若关于的方程无解，则的值为______．
【答案】 4 2或3
【分析】根据分式方程有增根，即分母为0进行求解即可；
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根确定出a的值即可．
【详解】解：①∵分式方程有增根，
∴，
∴，
故答案为：4；
②
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
当，即时，无解，分式方程无解；
当时，系数化为1得：，
∵分式方程有增根，
∴，即，
∴，
解得，
经检验，是的解，
∴，
综上可知，或，
故答案为：2或3；
【点睛】本题主要考查了分式方程有增根的情况，熟知分式方程有增根的情况是分式方程分母为0．
2．（2023·安徽滁州·校联考二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为______．
【答案】或或
【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案．
【详解】解：
去分母得：，
可得：，
当时，一元一次方程无解，
此时；
当，时，分式方程无解，
解得：或；
故答案为：或或．
【点睛】本题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论不要漏解是解题关键．
【考点五 根据分式方程解的情况求值】
例题：（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）若关于x的分式方程的解是正数．则m的取值范围是________．
【答案】且
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有正数解，即可确定出m的范围．
【详解】解：去分母得：，
解得：，
∵分式方程解为正数，
∴，且，
解得：且，
故答案为：且．
【点睛】此题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件．
【变式训练】
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．
【答案】且
【分析】解分式方程，可用表示，再根据题意得到关于的一元一次不等式即可解答．
【详解】解：解，可得，
的方程的解为非负数，
，
解得，
，
，
即，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了根据分式方程的解的情况求值，注意分式方程无解的情况是解题的关键．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值是 _____．
【答案】6或9
【分析】先按照解分式方程的步骤求出，再根据结合分式方程的解为正整数进行求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
∵，即，
∴，
∴，
∵分式方程有正整数解，
∴正数m的值是6或9．
故答案为：6或9．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，正确求出方程的解为是解题的关键．
【考点六 列分式方程】
例题：（2023·辽宁鞍山·统考三模）已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧吨煤，则根据题意列方程为___________．
【答案】
【分析】设甲厂每天烧吨煤，则乙厂每天烧吨煤，根据甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同列出方程即可．
【详解】解：设甲厂每天烧吨煤，则乙厂每天烧吨煤，根据题意得：
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了列分式方程，解题的关键是找出题目中的等量关系式，并用未知数表示出等量关系式．
【变式训练】
1．（2023·江苏宿迁·统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则可列方程为______．
【答案】
【分析】设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵，根据“实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同”列出分式方程即可．
【详解】解：设实际每天植树棵，则原计划每天植树棵，
根据题意，得．
故答案为：．
【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．
2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为天，则可列方程为______．
【答案】
【分析】根据题意，先得到慢马和快马送的时间，再根据快马的速度是慢马速度的2倍列方程即可．
【详解】解：设规定的时间为天，则慢马送的时间为天，快马送的时间为天，
根据题意，得，
故答案为：．
【点睛】本题考查列分式方程，理解题意，找到等量关系是解答的关键．
【考点七 分式方程的实际应用】
例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【答案】该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆
【分析】首先设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒兆，根据题意可得等量关系：4G下载960兆所用时间-5G下载960兆所用时间秒．然后根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
【详解】解：设该地4G的下载速度是每秒x兆，则该地5G的下载速度是每秒兆，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，且符合题意，
则，
答：该地4G的下载速度是每秒6兆，则该地5G的下载速度是每秒96兆．
【点睛】本题主要考查的是分式方程的应用；解答此题，首先确定5G与4G下载的速度关系，再根据题意找出下载960兆的公益片所用时间的等量关系．
【变式训练】
1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．
【答案】今年龙虾的平均亩产量．
【分析】设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，根据去年与今年的养殖面积相同列出分式方程，解方程并检验即可．
【详解】解：设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，
由题意得，，
解得，
经检验，是分式方程的解且符合题意，
答：今年龙虾的平均亩产量．
【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾 ，为响应政府救援号召，甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共 款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【答案】(1)甲公司有150人，乙公司有180人
(2)有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资
【分析】（1）设乙公司有x人，则甲公司有人，根据对话，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）（2）设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，根据甲公司共捐款100000元，公司共捐款140000元．列出方程，求解出，根据整数解，约束出m、n的值，即可得出方案．
【详解】（1）解：设乙公司有人，则甲公司有人，
由题意得
，
解得．
经检验，是原方程的解．
∴．
答：甲公司有150人，乙公司有180人．
（2）解：设购买种防疫物资箱，购买种防疫物资箱，由题意得
，整理得．
又因为，且、为正整数，
所以，．
答：有2种购买方案：购买8箱种防疫物资、10箱种防疫物资，或购买4箱种防疫物资、15箱种防疫物资．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，方案问题，二元一次方程整数解问题，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
【过关检测】
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）方程解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式的运算是解题的关键，注意分式方程要检验．方程两边同时乘以公分母，进而转化为整式方程求解即可，注意分式方程要检验．
【详解】解：
两边同时乘以得：，
解得，
检验，当时，
是原方程的解，
故选：C．
2．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
【详解】解：分式方程的两侧同乘得：．
故选：B．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的概念，根据分式方程概念对上述方程进行判断，即可解题．
【详解】解：①，③，④是整式方程；②的分母中含有未知数x，是关于x的分式方程．
故分式方程有1个，
故选：A．
4．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【分析】解分式方程，根据“解为正数”得到，解不等式，求出范围，令，求出增根，进而求出对应的的值，即可求解，
本题考查了，解分式方程，解不等式，分式方程的增根，解题的关键是：熟记分式方程的增根．
【详解】解：
去分母，得：，
解得：，
解为正数，
，
，
解得：，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故选：．
5．（2024·四川宜宾·模拟预测）一个工人生产某种零件，计划在30天内完成，若每天多生产5个，则26天完成且多生产10个，问原计划每天生产多少个零件？设原计划每天生产零件x个，依题意列方程得（　　）
A． B． C．26+10 D．26﹣10
【答案】B
【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意可得原计划生产个，因为多生产了10个，因此实际生产了个，因为实际比原计划每天多生产5个，因此实际每天生产个，根据实际生产的零件数量÷工作效率天，故可得方程．
【详解】解：根据“实际生产的零件数量÷工作效率天”可列方程：．
故选：B．
二、填空题
6．（2024·湖南邵阳·二模）分式方程的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先化为整式方程，然后求解并检验即可求解．
【详解】解：
解得：
经检验是原方程的解，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）关于x的方程有增根，则m的值是 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了分式方程的增根，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出的值，代入整式方程求出的值即可．
【详解】解：去分母，得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入整式方程，可得：．
故答案为：
8．（2023·四川眉山·三模）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．解分式方程可得，由于方程无解，所以，即，求出即可．
【详解】解：，
方程两边同时乘以，得，
去括号得，，
移项、合并同类项得，，
方程无解，
，
，
，
故答案为：1
9．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值正确的是 ．
【答案】且
【分析】本题主要考查分式方程的解，注意分母不为是解题的关键．表示出分式方程的解，由解为非负数确定出a的取值范围．
【详解】解：分式方程整理得：，
去分母得：，
解得，
由分式方程的解为非负数，得到且
解得且．
故答案为：且．
10．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）定义运算，如，若，则x的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了新定义和解分式方程，根据定义，得，解方程即可，注意分式方程需要检验．
【详解】根据定义，
整理得，，
去分母，得，
解得，
经检验，是原方程的根，
故答案为：4．
三、解答题
11．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程：
(1)；
(2).
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的一般方法，准确计算．
（1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
【详解】（1）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的增根，
∴原方程无解．
12．（23-24八年级下·江苏南京·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)无解
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的步骤是解题的关键．
（1）先去分母化为一元整式方程，再解方程，注意检验；
（2）先去分母化为一元整式方程，再解方程，注意检验．
【详解】（1）解：
，
解得：，
检验：当，，则是原方程的增根，
所以原方程无解．
（2）解：
，
解得：，
检验：当，，则是原方程的增根，
所以原方程无解．
13．（2024·宁夏中卫·三模）小明在解一道分式方程过程如下：
第一步：整理
第二步，去分母…
(1)请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______；
(2)请把以上解分式方程的过程补充完整．
【答案】(1)分式的基本性质；等式的性质
(2)见解析
【分析】本题考查了分式的基本性质和等式的性质、解分式方程，掌握解分式方程的方法与步骤是解题的关键．
（1）理解根据分式的基本性质整理方程，根据等式的性质去分母，得出答案即可；
（2）根据解分式方程的方法与步骤，将方程整理，去分母，去括号，移项合并，系数化，验根即可．
【详解】（1）解：第一步：根据分式的基本性质将等式右边分子分母都乘以，得，
第二步：去分母根据等式的性质，等式两边都乘以，
故答案为：分式的基本性质；等式的性质；
（2）解：，
第一步：整理得：，
第二步：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
系数化得：，
检验：当时，，
∴不是原分式方程的解，
∴原分式方程无解．
14．（2024·山西太原·一模）为进一步健全城市公园体系，我省大力倡导“口袋公园”建设，即在主城区道路与建筑连接处、交叉口的边角地带，通过留白增绿、破硬植绿等方式，打造群众身边的“微景观”，某城区要建设A，B两个口袋公园，公园A的面积比公园B大300平方米，公园A的造价为368万元，公园B的造价为280万元．已知公园B平均每平方米的造价是公园A每平方米造价的，求口袋公园A平均每平方米的造价为多少万元？
【答案】
【分析】设口袋公园平均每平方米的造价为万元，则口袋公园平均每平方米的造价为万元，利用面积总造价平均每平方米的造价，结合公园的面积比公园大300平方米，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：设口袋公园A平均每平方米的造价为x万元．
根据题意，得．
解，得．
经检验，是原方程的根．
答：口袋公园A平均每平方米的造价为万元．
15．（2024·重庆·一模）某商店直接从工厂购进，两款热水袋，已知老板购进个款热水袋与个款热水袋的费用相同，购进个款热水袋比个款热水袋的费用多元．
(1)求每个款热水袋与每个款热水袋的进价；
(2)商店老板为了吸引顾客，决定对款热水袋进行打折销售，经计算，款热水袋降价后获得的销售额为元，比按照原价打九折销售要多卖个才能获得相同的销售额，则款热水袋降价前的售价为每个多少元？
【答案】(1)A款热水袋购进的个数为元/个款热水袋进价为元/个；
(2)款热水袋降价以前的售价元．
【分析】本题考查了二元一次方程的应用，分式方程的应用，准确理解题意，列出相应的等量关系是解题的关键．
（1）设款热水袋进价为元/个，款热水袋进价为元/个，根据购进个款热水袋与个款热水袋的费用相同，购进个款热水袋比个款热水袋的费用多元，可列二元一次方程组，即可解答；
（2）设款热水袋降价以前的售价为元，则可得降价后的售价为元，利用按照按照原价打九折销售的个数加上等于降价后销售的个数，可列分式方程，即可解答．
【详解】（1）解：设款热水袋进价为元/个，款热水袋进价为元/个，
根据题意可得，
解得，
答：款热水袋购进的个数为元/个款热水袋进价为元/个；
（2）解：设款热水袋降价以前的售价为元，则可得降价后的售价为元，打九折销售的售价为元，
根据题意可得，
解得，
经检验，为原方程的解，
答：款热水袋降价以前的售价元．
16．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）综合与探究
我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
应用上面的结论，解答下列问题：
(1)若为“十字分式方程”，则______，______．
(2)若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于的“十字分式方程”的两个解分别为（，且），求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）类比题目中“十字方程”的答题方法即可求解．
（2）结合运用“十字方程”得到，，将变形为，整体代入即可求解；
（3）将原方程变形为，结合运用“十字方程”得到，，代入即可求解．
【详解】（1）解：（1）可化为，
，．
故答案为：；
（2）解：由已知得，，
；
（3）解：原方程变为，
，
∵，且，
，，
，，
．
【点睛】本题为新定义问题，考查了分式方程的解，分式的加减运算，完全平方公式的变形求解，因式分解的应用等知识，理解新定义，并将方程或式子灵活变形是解题关键．
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专题5.5 分式方程及分式方程的实际应用之七大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 分式方程的定义】 1
【考点二 解分式方程】 3
【考点三 已知分式方程的增根求参数】 5
【考点四 已知分式方程的无解求参数】 6
【考点五 根据分式方程解的情况求值】 8
【考点六 列分式方程】 10
【考点七 分式方程的实际应用】 11
【过关检测】 14
【典型例题】
【考点一 分式方程的定义】
例题：（2023上·河北衡水·八年级校考阶段练习）下列方程：①；②；③；④．其中，分式方程有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式训练】
1．（2024上·内蒙古巴彦淖尔·八年级统考期末）下列方程中是分式方程的是（）
A． B． C． D．
2．（2024上·山东聊城·八年级校考阶段练习）下列关于x的方程中（1）；（2）；（3）；（4）；（5），其中是分式方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点二 解分式方程】
例题：（2023上·广西桂林·八年级校考阶段练习）解方程：
(1) (2)
【变式训练】
1．（2024下·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考开学考试）解方程：
(1) (2)
2．（2023下·江苏苏州·八年级校考阶段练习）解方程：
(1)； (2)．
【考点三 已知分式方程的增根求参数】
例题：（2023·湖南永州·统考中考真题）若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．
【变式训练】
1．（2023·黑龙江大庆·统考三模）关于x的方程有增根，则m的值是_____．
2．（2023·全国·九年级专题练习）已知关于的分式方程有增根，则的值为___________．
【考点四 已知分式方程的无解求参数】
例题：（2023春·湖北武汉·八年级统考开学考试）如果关于x的方程无解，则a的值为___．
【变式训练】
1．（2023春·安徽蚌埠·七年级蚌埠第三十一中学校考阶段练习）①若关于的方程有增根，则增根是______．
②若关于的方程无解，则的值为______．
2．（2023·安徽滁州·校联考二模）若关于x的分式方程无解，则m的值为______．
【考点五 根据分式方程解的情况求值】
例题：（2023春·福建泉州·八年级校联考期中）若关于x的分式方程的解是正数．则m的取值范围是________．
【变式训练】
1．（2023·四川眉山·统考中考真题）关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是____________．
2．（2023春·浙江·七年级专题练习）若关于x的分式方程的解为正整数，则正数m的值是 _____．
【考点六 列分式方程】
例题：（2023·辽宁鞍山·统考三模）已知甲厂烧100吨煤与乙厂烧120吨煤所用的天数相同，已知甲、乙两厂每天一共烧煤33吨，求甲、乙两厂每天分别烧煤多少吨？若设甲厂每天烧吨煤，则根据题意列方程为___________．
【变式训练】
1．（2023·江苏宿迁·统考三模）某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树40棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树320棵所需时间相同．设实际每天植树x棵，则可列方程为______．
2．（2023·山西晋城·校联考模拟预测）《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件送到900里（1里千米）外的城市，如果用慢马送，需要的时间比规定的时间多1天；如果用快马送，需要的时间比规定的时间少3天．已知快马的速度是慢马速度的2倍，求规定的时间．设规定的时间为天，则可列方程为______．
【考点七 分式方程的实际应用】
例题：（2023·吉林白山·校联考三模）第5代移动通信技术简称5G，某地已开通5G业务，经测试5G下载速度是4G下载速度的16倍，小明和小强分别用5G与4G下载一部960兆的公益片，小明比小强所用的时间快150秒，求该地4G与5G的下载速度分别是每秒多少兆？
【变式训练】
1．（2023·湖南岳阳·统考中考真题）水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴的“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．
2．（2023春·广东佛山·八年级校考阶段练习）2023年5月，江西省突发港涝灾 ，为响应政府救援号召，甲、乙两公司组织全体员工参与“众志成城，人间大爱”捐款活动，甲公司共 款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：

(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱15000元，种防疫物资每箱12000元．若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完，有几种购买方案？（注：、两种防疫物资均需购买，并按整箱配送）．
【过关检测】
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）方程解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁盘锦·模拟预测）解方程去分母，两边同乘后的式子为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24八年级下·全国·课后作业）给出下列关于x的方程：①，②，③，④．其中，分式方程有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（23-24八年级下·山西晋城·阶段练习）已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．（2024·四川宜宾·模拟预测）一个工人生产某种零件，计划在30天内完成，若每天多生产5个，则26天完成且多生产10个，问原计划每天生产多少个零件？设原计划每天生产零件x个，依题意列方程得（　　）
A． B． C．26+10 D．26﹣10
二、填空题
6．（2024·湖南邵阳·二模）分式方程的解为 ．
7．（23-24八年级下·江苏南京·阶段练习）关于x的方程有增根，则m的值是 ．
8．（2023·四川眉山·三模）若关于x的分式方程无解，则a的值为 ．
9．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若数a使关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值正确的是 ．
10．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）定义运算，如，若，则x的值为 ．
三、解答题
11．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）解方程：
(1)；
(2).
12．（23-24八年级下·江苏南京·期中）计算：
(1)；
(2)．
13．（2024·宁夏中卫·三模）小明在解一道分式方程过程如下：
第一步：整理
第二步，去分母…
(1)请说明第一步和第二步变化过程的依据分别是______、______；
(2)请把以上解分式方程的过程补充完整．
14．（2024·山西太原·一模）为进一步健全城市公园体系，我省大力倡导“口袋公园”建设，即在主城区道路与建筑连接处、交叉口的边角地带，通过留白增绿、破硬植绿等方式，打造群众身边的“微景观”，某城区要建设A，B两个口袋公园，公园A的面积比公园B大300平方米，公园A的造价为368万元，公园B的造价为280万元．已知公园B平均每平方米的造价是公园A每平方米造价的，求口袋公园A平均每平方米的造价为多少万元？
15．（2024·重庆·一模）某商店直接从工厂购进，两款热水袋，已知老板购进个款热水袋与个款热水袋的费用相同，购进个款热水袋比个款热水袋的费用多元．
(1)求每个款热水袋与每个款热水袋的进价；
(2)商店老板为了吸引顾客，决定对款热水袋进行打折销售，经计算，款热水袋降价后获得的销售额为元，比按照原价打九折销售要多卖个才能获得相同的销售额，则款热水袋降价前的售价为每个多少元？
16．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）综合与探究
我们把形如（，不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，．
应用上面的结论，解答下列问题：
(1)若为“十字分式方程”，则______，______．
(2)若十字分式方程，的两个解分别为，，求的值．
(3)若关于的“十字分式方程”的两个解分别为（，且），求的值．
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