资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.1 分式和分式的基本性质之十三大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 分式的识别】 1
【考点二 分式有意义的条件】 2
【考点三 分式无意义的条件】 3
【考点四 分式值为零的条件】 4
【考点五 分式的值】 6
【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】 7
【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】 8
【考点八 判断分式变形是否正确】 10
【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 12
【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 13
【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】 15
【考点十二 最简分式】 16
【考点十三 约分】 17
【过关检测】 19
【典型例题】
【考点一 分式的识别】
例题：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在，，，，中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下列各式：，，，，，其中分式共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下列有理式：①，②，③，④，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点二 分式有意义的条件】
例题：（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如果分式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）当有意义时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023年广东省广州市部分学校中考一模数学试题）代数式有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．且 B． C． D．
【考点三 分式无意义的条件】
例题：（23-24八年级上·湖南永州·期末）若分式无意义，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东汕头·期末）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式无意义，则x的值为（ ）
A．2 B． C． D．0
【考点四 分式值为零的条件】
例题：（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）若分式的值为，则的值为 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为0，则 ．
2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ．
【考点五 分式的值】
例题：（23-24八年级上·河南信阳·期末）当时，分式的值是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知则 ．
2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）当时，分式的值为 ．
【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】
例题：（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若的值为非负数，则的取值范围是 ．
2．（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ．
【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知值为正整数，则整数值为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若分式的值为整数，请写出一个符合条件的m的值： ．
2．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）①若成立，则的取值范围是 ．
②若分式的值为0，则 ．
③已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数的和为 ．
【考点八 判断分式变形是否正确】
例题：（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）下列各式从左向右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列分式变形正确的是（ ）．
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·山东日照·期末）下列式子的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（23-24八年级上·山东烟台·期中）如果把分式中的，都扩大到原来的10倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定
【变式训练】
1．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）若的值均扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大9倍 C．扩大3倍 D．缩小3倍
2．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A．扩大10倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】
例题：（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列分式中与的值相等的分式是（ ）
A． B． C．- D．-
3．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数．
(1)； (2) (3)．
【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）将方程中分母化为整数，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点十二 最简分式】
例题：（23-24八年级上·云南玉溪·期末）下列分式中，是最简分式的是 （ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点十三 约分】
例题：（2023秋·八年级课时练习）约分：（1）_____________；（2）_____________．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式约分后的结果是 .
2．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）将分式化为最简分式，所得结果是 ．
3．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）约分：（1） ；（2） ．
【过关检测】、、
一、单选题
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24八年级上·河南许昌·期末）使分式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
3．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若分式的值为零，则的值为（ ）
A．3 B． C．0 D．以上均有可能
5．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）将分式中的m、n同时扩大为原来的3倍，分式的值将（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小9倍
二、填空题
6．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式化成最简分式为 ．
7．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）当 时，分式无意义．
8．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个．
①；②；③；④；
9．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）使分式的值为整数的整数x的值为 ．
10．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ．
三、解答题
11．（23-24八年级上·全国·课堂例题）约分：
(1)；
(2)；
(3)．
12．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x满足什么条件时，下列分式有意义？
(1)；
(2)．
13．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数．
(1)；
(2)．
14．（2024八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
(1)；
(2)；
(3)．
15．（23-24八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：
；
；
(1)请根据以上信息，任写一个真分式；
(2)将分式化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式的值为整数，求的整数值．
16．（23-24八年级上·江西南昌·期末）材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式是__________分式（填“真”或“假”）；
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：__________．
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题5.1 分式和分式的基本性质之十三大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 分式的识别】 1
【考点二 分式有意义的条件】 2
【考点三 分式无意义的条件】 3
【考点四 分式值为零的条件】 4
【考点五 分式的值】 6
【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】 7
【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】 8
【考点八 判断分式变形是否正确】 10
【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 12
【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 13
【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】 15
【考点十二 最简分式】 16
【考点十三 约分】 17
【过关检测】 19
【典型例题】
【考点一 分式的识别】
例题：（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）在，，，，中，是分式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：分式有，，，共3个，
故选：C
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下列各式：，，，，，其中分式共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的定义；
判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．
【详解】解：所给式子中，和是分式，共有2个，
故选：B．
2．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下列有理式：①，②，③，④，其中分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了分式的定义，理解“分母含有字母的式子叫做分式”是解题的关键．
【详解】解：①是分式，②是整式，③是分式，④是整式，
分式有个，
故选：B．
【考点二 分式有意义的条件】
例题：（23-24八年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如果分式 有意义，那么x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题考查的是分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母是解题关键．根据分式有意义的条件即可求出结论．
【详解】解：∵分式有意义，
∴
∴
故选：C．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·江苏南通·阶段练习）当有意义时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二次根式有意义的条件及分式有意义的条件．根据二次根式的被开方数非负及分母不为0进行解答即可．
【详解】解：∵有意义，
∴且，
解得．
故选：B．
2．（2023年广东省广州市部分学校中考一模数学试题）代数式有意义时，x应满足的条件为（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义以及二次根式有意义，即分母不为0以及被开方数为非负数，据此列式计算，即可作答．
【详解】∵代数式有意义
∴
解得且
故选：A
【考点三 分式无意义的条件】
例题：（23-24八年级上·湖南永州·期末）若分式无意义，则满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母等于零即可解答．
【详解】解：若分式无意义，则，
∴，
∴当时，分式无意义．
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·广东汕头·期末）当时，下列分式没有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义的条件进行判断即可，解题的关键是理解分母为零即为分式无意义的条件．
【详解】解：当时，，
∴当时，分式没有意义，
故选：．
2．若分式无意义，则x的值为（ ）
A．2 B． C． D．0
【答案】A
【分析】直接利用分式无意义的条件，即分母等于零可得答案．
【详解】解：若分式无意义，则，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式无意义的条件是分母等于零是解题的关键．
【考点四 分式值为零的条件】
例题：（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）若分式的值为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解．
【详解】解：分式的值为，
，
解得：，
故答案为：．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·北京朝阳·期末）若分式的值为0，则 ．
【答案】/
【分析】本题考查分式值为零的条件，分式的值为0，即根据分子为零分母不为零建立式子求解，即可解题．
【详解】解：分式的值为0，
且，
解得且，
综上可知，，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知时，分式 无意义，时，分式 的值为，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式无意义的条件、分式的值为的条件，代数式求值，根据分式无意义的条件可得，根据分式的值为可得，求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握分式无意义的条件、分式的值为的条件是解题的关键．
【详解】解：∵时，分式 无意义，
∴，
∴，
∵时，分式 的值为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【考点五 分式的值】
例题：（23-24八年级上·河南信阳·期末）当时，分式的值是 ．
【答案】/
【分析】本题考查求分式的值．把代入计算即可．
【详解】解：把代入得，
．
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）已知则 ．
【答案】
【分析】本题考查了求分式的值，设()，求出、代入分式，即可求解；设辅助未知数进行求解是解题的关键．
【详解】解：，
可设()，
解得：，
原式
；
故答案：．
2．（23-24八年级上·山东淄博·期中）当时，分式的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识点进行求解运算． 先把分子分母进行分解因式，然后化简，最后把代入到分式中进行正确的计算即可得到答案．
【详解】解：
把代入上式中
原式
故答案为：．
【考点六 求使分式为正(负)数时未知数的取值范围】
例题：（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）若分式的值为正数，则x的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了分式的值，解不等式组；根据题意得出（1）或（2），解不等式组，即可求解．
【详解】解：若分式的值为正数，则（1）或（2），
解不等式组（1）得：
解不等式组（2）得：
所以的取值范围是或，
故答案为：或．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）若的值为非负数，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】
根据题意，列出不等式组，即可求解，
本题考查了，解一元一次不等式组，解题的关键是：根据题意列出不等式组．
【详解】解：根据题意得：或，
解得：或，
故答案为：或．
2．（23-24八年级上·陕西延安·期末）若分式的值为正数，则的取值范围是 ．
【答案】或
【分析】根据分式的值为负数，得到关于x的不等式组，解不等式组即可得到答案，此题考查了分式的值、解一元一次不等式组等知识，根据题意得到关于x的两个不等式组是解题的关键．
【详解】解：∵分式的值为正数，
∴或，
解得或，
故答案为：或．
【考点七 求使分式值为整数时未知数的整数值】
例题：（23-24八年级下·四川遂宁·阶段练习）已知值为正整数，则整数值为 ．
【答案】1或
【分析】本题考查了分式的值，正整数的定义，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键；
根据题意列出关于m的方程，求出方程的解即可
【详解】解：值为正整数，
或，
解得：或，
故答案为：1或
【变式训练】
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）若分式的值为整数，请写出一个符合条件的m的值： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
本题考查了分式的值，令，即可求解．
【详解】解：∵分式的值为整数，
当，则，
经检验，是方程的解
故答案为：（答案不唯一）．
2．（22-23八年级上·河北廊坊·期末）①若成立，则的取值范围是 ．
②若分式的值为0，则 ．
③已知分式的值是整数，则满足条件的所有整数的和为 ．
【答案】 5
【分析】此题主要考查了分式有意义的条件，以及分式值为零的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零；分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
①根据分式有意义的条件求解即可；
②根据分式为零的条件求解即可；
③首先将化简为，然后根据题意求出或或或，然后由分式有意义得到，求出a所有可能的值，然后求和即可．
【详解】①∵成立，
∴
∴，
故答案为：；
②∵分式的值为0，
∴，
∴，
故答案为：；
③
∵分式的值是整数，
∴或或或
∴或或或
∵
∴
∴或或
∴
∴满足条件的所有整数的和为5，
故答案为：5．
【考点八 判断分式变形是否正确】
例题：（23-24八年级下·吉林长春·阶段练习）下列各式从左向右变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的基本性质，平方差公式．熟练掌握分式的基本性质，平方差公式是解题的关键．
根据分式的基本性质，平方差公式，对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，，故A不符合要求；
，故B符合要求；
，故C不符合要求；
，故D不符合要求；
故选：B．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东潍坊·阶段练习）下列分式变形正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变，据此逐一判断即可．
【详解】解：A、，原式变形正确，符合题意；
B、，原式变形错误，不符合题意；
C、，原式变形错误，不符合题意；
D、，原式变形错误，不符合题意；
故选：A．
2．（23-24八年级上·山东日照·期末）下列式子的变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了约分，以及分式的基本性质．根据分式的基本性质解答即可．
【详解】解：A、，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分式的分子分母没有公因式，不能约分，原变形错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
【考点九 利用分式的基本性质判断分式值的变化】
例题：（23-24八年级上·山东烟台·期中）如果把分式中的，都扩大到原来的10倍，那么分式的值（ ）
A．扩大到原来的10倍 B．缩小到原来的 C．不变 D．无法确定
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键．
把分式中的和都扩大为原来的10倍，求出比值，然后与之前分式的值对比，即可得出答案．
【详解】解：分式中的和都扩大为原来的10倍，
得到的新分式为：，
即分式的值缩小为原来的．
故选B．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·四川宜宾·阶段练习）若的值均扩大为原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大9倍 C．扩大3倍 D．缩小3倍
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．将原式中的、分别用、代替，化简，再与原分式进行比较．
【详解】解：把分式中的与同时扩大为原来的3倍，
原式变为：，
这个分式的值扩大3倍．
故选：．
2．（23-24八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若把分式中的x和y都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A．扩大10倍 B．不变 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的
【答案】C
【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键，把分式中的与分别换为与，计算得到结果，比较即可．
【详解】解：根据题意得：，
则分式的值缩小为原来的．
故选：C．
【考点十 将分式的分子分母的最高次项化为正数】
例题：（22-23八年级下·江苏徐州·期中）不改变分式的值，使分式的分子、分母中的最高次项的系数都是正数，则分式可化为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可．
【详解】解：．
故选B．
【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号．
【变式训练】
1．（22-23八年级下·河南新乡·阶段练习）不改变分式的值，使分式的分子、分母中x的最高次项的系数都是正数，应该是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式的基本性质即可求解．
【详解】解：由题意可知将分式的分子分母同时乘得：
，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键，分式的基本性质是分手的分子分母同时乘或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．
2．下列分式中与的值相等的分式是（ ）
A． B． C．- D．-
【答案】B
【分析】根据分式的基本性质即可得出结论．
【详解】解：===
故选B．
【点睛】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键．
3．（2023秋·八年级课时练习）不改变分式的值，使下列分式的分子与分母均按某一字母降幂排列，并使分子、分母的最高次项的系数都是正数．
(1)； (2) (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；
（3）利用分式的基本性质解答，即可求解．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
【考点十一 将分式的分子分母各项系数化为整数】
例题：（23-24八年级上·山东淄博·期末）不改变分式的值，将分式中的分子与分母的各项系数化为整数，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式的基本性质．解题的关键是利用分式的分子、分母同乘以一个不等于0的数，分式的值不变来解决问题．根据分式的基本性质，即可求解．
【详解】解：．
故选：D
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式的性质，分子分母同乘或同除一个不为0的数，分式的值不变，因此令分子分母同乘5即可．
【详解】解：，
故选A．
2．（23-24七年级上·湖南长沙·期末）将方程中分母化为整数，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查将分母化为整数，分子分母各自乘一个不为零的数，或等式左右两边同乘一个不为零的数，根据上述两种方式逐一进行判断即可．
【详解】解：根据题意得，整理得，故C正确，A错误；
或，整理得，故B和D错误．
故选：C．
【考点十二 最简分式】
例题：（23-24八年级上·云南玉溪·期末）下列分式中，是最简分式的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义（分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式）逐项判断即可得．
【详解】解：A、，原分式不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、，原分式不是最简分式，不符合题意；
D、，原分式不是最简分式，不符合题意；
故选：B.
【变式训练】
1．（23-24八年级上·河南商丘·期末）下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时(即分子与分母互素)叫最简分式．根据最简分式的定义逐一判断即可．
【详解】解：A．是最简分式，符合题意；
B．不是最简分式，不合题意；
C．不是最简分式，不合题意；
D．不是最简分式，不合题意，
故选：A．
2．（23-24八年级上·福建福州·期末）下列分式是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简分式的定义，能熟记最简分式的定义是解此题的关键．根据最简分式的定义（分式的分子和分母除1以外，没有其它的公因式，这样的分式叫最简分式）逐个判断即可．
【详解】解：A、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、，是最简分式，故本选项符合题意；
C、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简分式，故本选项不符合题意；
故选：B．
【考点十三 约分】
例题：（2023秋·八年级课时练习）约分：（1）_____________；（2）_____________．
【答案】
【分析】先把分子分母因式分解，然后约分即可求解．
【详解】解：（1）；
故答案为：；
（2）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的约分化简，首先把分式的分子和分母分解因式，约分化简即可求解．
【变式训练】
1．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式约分后的结果是 .
【答案】
【分析】本题考查了分式的约分，找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可．找出分式分子和分母的最大公因式是解题的关键．
【详解】解：．
故答案为：
2．（23-24八年级上·重庆潼南·期末）将分式化为最简分式，所得结果是 ．
【答案】/
【分析】本题考查分式的化简．根据分式的性质，进行约分化简即可．掌握分式的性质，是解题的关键．
【详解】解：；
故答案为：．
3．（23-24八年级上·湖南怀化·期末）约分：（1） ；（2） ．
【答案】 /
【分析】本题考查分式的约分，涉及提公因式、平方差公式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
（1）约去公因式即可解题；
（2）先利用平方差公式分解因式，再约去公因式，即可解题．
【详解】解：（1），
故答案为：；
（2），
故答案为：．
【过关检测】、、
一、单选题
1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下列式子是分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式的识别，对于两个整式A、B，且B中含有字母，，那么形如的式子就叫做分式，据此求解即可．
【详解】解：根据分式的定义可知，四个选项中，只有B选项中的式子是分式，
故选：B．
2．（23-24八年级上·河南许昌·期末）使分式有意义的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零分式有意义是解题关键．根据分母不为零分式有意义，列式求解，可得答案．
【详解】∵分式有意义
∴
∴．
故选：B．
3．下列分式中，属于最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了最简分式，利用最简分式的定义：分子分母没有公因式的分式为最简分式，判断即可，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．
【详解】、不是最简分式，不符合题意；
、，不是最简分式，不符合题意；
、，不是最简分式，不符合题意；
、是最简分式，符合题意；
故选：．
4．（2023·贵州贵阳·模拟预测）若分式的值为零，则的值为（ ）
A．3 B． C．0 D．以上均有可能
【答案】A
【分析】本题考查的是分式的值为零的条件．根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得：，
故选：A．
5．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）将分式中的m、n同时扩大为原来的3倍，分式的值将（ ）
A．扩大3倍 B．不变 C．缩小3倍 D．缩小9倍
【答案】C
【分析】本题考查了分式的性质．熟练掌握分式的性质是解题的关键．
根据分式的性质进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，将分式中的m、n同时扩大为原来的3倍可得，，
∴分式的值将缩小3倍，
故选：C．
二、填空题
6．（23-24八年级下·全国·课后作业）分式化成最简分式为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查最简分式，根据分式的基本性质进行约分即可.
【详解】解：，
故答案为：．
7．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）当 时，分式无意义．
【答案】3
【分析】本题考查分式无意义的条件．当分式的分母为0时，分式无意义．
【详解】分式无意义
．
故答案为：3．
8．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有 个．
①；②；③；④；
【答案】
【分析】
此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可，
掌握最简分式的概念是解题的关键．
【详解】解：①，③的分子、分母中不含有公因式，是最简分式，故符合题意；
②的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；
④的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；
的分子、分母中含有公因式，不是最简分式，故不符合题意；
综上，最简分式有个，
故答案为：．
9．（2024·内蒙古通辽·模拟预测）使分式的值为整数的整数x的值为 ．
【答案】
【分析】
本题主要考查了分式的值，先把原分式变形为，可得取，即可求解．
【详解】解：，
∵分式的值为整数，
∴的值为整数，
∴取，
∴x的值为．
故答案为：
10．（2023·浙江宁波·三模）定义一种新运算：对于任意的非零实数，，．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求分式的值；根据新定义以及已知条件，可得，代入代数式，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
即
∴
故答案为：．
三、解答题
11．（23-24八年级上·全国·课堂例题）约分：
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了约分，正确掌握分式的性质是解题关键；
（1）分式的分子、分母都是单项式，可以直接确认分子、分母的公因式并约分；
（2）可以直接确认分子、分母的公因式并约分；
（3）应先将分子、分母分解因式，再进行约分．
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
12．（23-24八年级下·全国·课后作业）当x满足什么条件时，下列分式有意义？
(1)； (2)．
【答案】(1)x为任意实数
(2)且
【分析】
本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0．
（1）根据分母不为0可得x的取值范围；
（2）根据分母不为0可得x的取值范围．
【详解】（1）解：∵，
∴x为任意实数．
（2）解：，
解得且．
13．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数．
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键；
（1）根据分式的基本性质变形即可；
（2）根据分式的基本性质变形即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：．
14．（2024八年级下·全国·专题练习）不改变分式的值，使分子、分母中次数最高的项的系数都化为正数．
(1)； (2)； (3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可；
（2）改变分子的符号和整个分式的符号，分式的值不变计算即可；
（3）同时改变分子，分母的符号，分式的值不变．
本题考查了分式的基本性质，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）．
（2）．
（3）．
15．（23-24八年级上·福建福州·期末）我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如：
；
；
(1)请根据以上信息，任写一个真分式；
(2)将分式化为整式与真分式的和的形式；
(3)如果分式的值为整数，求的整数值．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)或或或
【分析】（1）根据定义即可求出答案；
（2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可；
（3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值．
本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算．
【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式”
∴分式是真分式，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：
；
（3）解：
=
∵分式的值为整数，x为整数，
∴或，
解得或或或，
∴当或或或时，分式的值为整数．
16．（23-24八年级上·江西南昌·期末）材料阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似地，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如：
．
请根据上述材料，解答下列问题：
(1)填空：①分式是__________分式（填“真”或“假”）；
②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：__________．
(2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数．
【答案】(1)①真；②
(2)或或或
【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果；
（2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值；
【详解】（1）解：①分式中，分子的次数小于分母的次数，
∴分式是真分式；
②，
故答案为：①真；②；
（2）解：
若这个分式的值为整数，
则或或或，
∴或或或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑