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专题22 一次函数的实际应用（五大题型，50题）（原卷版）
目录
一、题型一：分配方案问题，10题，难度三星 1
二、题型二：最大利润问题，10题，难度三星 4
三、题型三：行程问题，10题，难度三星 7
四、题型四：几何问题，10题，难度三星 11
五、题型五：其他问题，10题，难度三星 14
一、题型一：分配方案问题，10题，难度三星
1．（23-24八年级·四川成都·期末）七中育才学校数学组组织学生举行“数学计算大赛”，需购买甲、乙两种奖品．若购买甲奖品3个和乙奖品4个，需160元；购买甲奖品4个和乙奖品5个，需205元．
(1)甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
(2)学校计划购买奖品200个，设购买甲奖品个，购买这200个奖品的总费用为元．
①求关于的函数关系式；
②若购买甲奖品的数量不少于30个，同时又不超过80个，则该学校购进甲奖品、乙奖品各多少个，才能使总费用最少？
2．（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材300件，已知某体育用品店，甲种器材每件20元，乙种器材每件15元，且该店对同时购买两种器材有两种销售方案．（只能选择其中一种）
方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折；
方案二：甲、乙种器材每件均打八折；
设购买甲种器材件，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元．
(1)请分别写出与之间的函数关系式；
(2)请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少．
3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，工地上有和两个土墩，距离已标出，土方数分别为790方和1580方，洼地和分别需要填土1020方和1390方．现要求挖掉两个土墩，把这些土先填往洼地，余下的土填入洼地，如何安排运土方案才能最省劳力？

4．（2024八年级·全国·竞赛）近两年国际局势出现了一些不安因素，为保障国家安全，需要将三地的军用物资全部运往两地，已知三地的军用物资分别有100吨、100吨、80吨，且运往地的数量比运往地的数量的2倍少20吨．
(1)这批军用物资运往两地的数量各是多少？
(2)若由地运往地的物资为60吨，地运往地的物资为吨，地运往地的物资数量少于地运往地的物资数量的2倍，且地运往地的物资不超过25吨，则三地的物资运往两地的方案有哪几种？
(3)如果将三地的军用物资运往两地的费用如下表：
地 地 地
运往地的费用（元/吨） 220 200 200
运往地的费用（元/吨） 250 220 210
那么在（2）的条件下，运送这批物资的总费用是多少？
5．（23-24八年级·四川成都·期末）为美化校园环境，石室联中计划分两次购进杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，每次购进的单价相同．
(1)求杜鹃花、四季海棠每盆的价格分别是多少元？
(2)若计划购买杜鹃花、四季海棠共500盆，根据实际摆放，要求杜鹃花的盆数不少于四季海棠盆数的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求方案所需费用．
6．（23-24八年级·安徽合肥·期末）学校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，门票价格为教师票每张36元，学生票每张18元，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二：按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．设学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）．
(1)分别求出两种优惠方案中y与x的函数表达式；
(2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少．
7．（23-24八年级·安徽安庆·期末）2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元．
(1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式；
(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
8．（23-24八年级·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表：
型 型
价格（万元/辆）
年载客量（万人/年） 60 100
若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元．
(1)求，的值；
(2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案
(3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少 最少费用是多少万元
9．（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨．
(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值：
总计/
总计/
(2)设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
10．（23-24八年级·广西百色·期末）某校计划租用甲、乙两种型号客车送200名师生去研学基地开展综合实践活动，需租用甲、乙两种型号的客车共10辆．已知租用一辆甲型客车需800元，租用一辆乙型客车需1100元．甲型客车每辆可坐16名师生，乙型客车每辆可坐22名师生．
设租用甲型客车x辆，租车总费用为y元．
(1)请写出y与x之间的函数表达式．（不要求写自变量的取值范围）
(2)据资金预算，本次租车总费用不超过10800元，则甲型客车至少需租用几辆
(3)在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案 请选出最省钱的租车方案．
二、题型二：最大利润问题，10题，难度三星
11．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知购买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共花费元．购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费元．
(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
(2)她决定再次购买两种笔记本共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的八折出售，此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不得超过上一次总费用的.求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
12．（2023·江苏常州·二模）学校开展大课间活动，某班需要购买A，B两种跳绳．已知购买2根A型跳绳和1根B型跳绳共需元；购买3根A型跳绳和2根B型跳绳共需元．
(1)购买1根A型跳绳和1根B型跳绳各需多少元
(2)若班级计划购买A，B两型跳绳共根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，设购买A型跳绳m根，求购买跳绳所需最少费用是多少元
13．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）卷蹄是云南少数民族的传统美食，素以色鲜味美、食法多样、易于贮存而深受人们的喜爱，其中尤以弥渡县一带所制最为有名，故又称“弥渡卷蹄”某经销商准备从一卷蹄加工厂购进甲、乙两种卷蹄进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种卷蹄的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种卷蹄按元千克的价格出售，设经销商购进甲种卷蹄千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．
(1)求与之间的函数关系式．
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种卷蹄共千克，其中甲种卷蹄不少于千克且不超过千克，如何分配甲、乙两种卷蹄的购进量，才能使经销商付款总金额最少？
14．（23-24八年级·安徽阜阳·阶段练习）某超市计划销售甲乙两种饮料，这两种饮料的进价与售价如下表所示：
甲种饮料 乙种饮料
进价/（元）
售价/（元）
(1)若超市计划购进件饮料，求成本与甲种饮料的件数x之间的函数表达式；
(2)若在（1）的情况下，超市为了控制成本，计划件饮料的成本不得高于500 元，求超市能够获得的最大利润．
15．（22-23八年级·四川达州·期末）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元可购进A种纪念品7件、B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件、B种纪念品6件．
(1)A、B两种纪念品的进价分别为多少？
(2)若甲产品的售价是25元/件，乙产品的售价是37元/件，该商店准备用不超过900元购进甲、乙两种产品共40件，且这两种产品全部售出总获利不低于216元，问：应该怎样进货，才能使总获利最大？最大利润是多少？
16．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型10台、乙型40台，现将这50台联合收割机派往、两地区收割水稻，其中30台派往地区，20台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金
A地区 1800元 1600元
B地区 1600元 1200元
(1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的关系式；
(2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于75600元，满足条件的分派方案有几种？
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．
17．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）在“垃圾分类，你我有责”活动中，某校准备购买，两类垃圾桶共40个，其中类垃圾桶的个数不多于类垃圾桶的个数的2倍，设购入类垃圾桶个为整数）．
(1)求最多能购买几个类垃圾桶？
(2)若类垃圾桶单价为25元，类垃圾桶单价为45元，则购买两类垃圾桶最少需要 元（直接填空）．
18．（22-23八年级下·广东佛山·期中）某体育用品店计划购进篮球、排球共200个进行销售，所用资金不超过5000元．已知篮球、排球的进价分别为每个30元、24元，每只篮球售价是每只排球售价的倍，某学校在该店用1800元购买的篮球数比用1500元购买的排球数少10个．
(1)求篮球、排球的售价分别为每个多少元？
(2)该店为了让利于消费者，决定篮球的售价每个降价3元，排球的售价每个降价2元，试求出该店能获得的最大利润（购进的篮球、排球全部销售完）．
19．（22-23八年级·安徽安庆·期末）2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组在太空成功会师，激发了航天纪念品的购买热潮．某纪念品专营店准备采购神舟飞船模型和航天纪念币两种产品，如表是相关销售信息：
产品 神舟飞船模型 航天纪念币
进价（元/件） 28 14
售价（元/件） 38 20
(1)若该店在2022年12月份购进两种纪念品共花费5600元，全部售出后共获得销售额7800元，则该店分别购进两种产品各多少件？
(2)由于销售火爆，该店2023年元月份又准备按照原来各自的进价购进这两种纪念品共500件，且航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍，为了促销，该店决定神舟飞船模型每件降价3元，航天纪念币每件降价2元，设元月购进神舟飞船模型m件，全部售出后所获利润为w元，请设计一种进货方案，使得元月份该店利润w为最大．
20．（23-24八年级·河南郑州·期末）郑州市某品牌新能源汽车店计划购进两种型号插电混动新能源汽车．已知购进2辆种型号的汽车比购进1辆种型号的新能源汽车多6万元；购进1辆种型号和2辆种型号的新能源汽车共93万元．
(1)求、两种型号的新能源汽车各自的单价．
(2)该品牌新能源汽车店预购电动汽车共10辆（两种都购进），且种型号的新能源汽车的数量不超过3辆．该专卖店该如何安排进货方案，才能使总进货价最少？最少是多少万元？
三、题型三：行程问题，10题，难度三星
21．（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，结合图象信息解答下列问题：

(1)甲登山的速度是每分钟_______米，_______；
(2)请直接写出乙距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；求出点E的坐标，并解释点E的实际意义；
(3)求登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
22．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）周末，小明和爸爸沿同一条道路慢跑到运河公园，两人从家中同时出发，爸爸先以米/分钟的速度慢跑一段时间，休息了5分钟，再以米/分钟的速度慢跑到运河公园，小明始终以同一速度慢跑，两人慢跑的路程（米）与时间（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
(1)_______，_______，_______；
(2)若小明的速度是米/分，求小明在途中与爸爸第二次相遇时的路程．
23．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两名同学沿直线进行登山，两人沿相同的路线从山脚出发到达山顶．甲同学全程以相同的速度行走；乙同学在乘观光车到达山腰的观光亭歇息一段时间后再步行山顶，两名同学同时到达山顶．他们离山脚的距离米随时间分钟变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：
(1)分别求出甲、乙两名同学步行时的速度；
(2)分别求出甲同学从山脚出发步行到达山顶和乙同学在山脚乘观光车到达山腰的观光亭时与之间的关系式；
(3)乙同学出发多长时间与甲同学在途中相遇？
24．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）甲、乙两车匀速从同一地点到距离出发地480千米处的景点，甲车出发半小时后，乙车以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)甲车行驶的速度是 千米/小时；
(2)求乙车追上甲车后，直到整个运动结束，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当两车相距80千米时，求出对应的值．
25．（23-24八年级·山东青岛·期末）为倡导低碳生活，绿色出行，某电动车俱乐部利用周末组织“远游”活动，电动车队从甲地出发骑向乙地，小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿电动车队行进路线前往乙地，如图是电动车队、邮政车离甲地的路程与电动车队离开甲地时间的函数关系图象；请根据图象解答下列问题：
(1)邮政车到达乙地后，电动车距乙地多少千米？
(2)求线段对应的函数关系式；
(3)邮政车到达乙地后，马上沿原路以与段相同的速度返回，求邮政车从甲地出发后多长时间再次与电动车相遇．
26．（23-24八年级·河南周口·阶段练习）贝贝、欢欢利用遥控器在电子屏上分别玩甲、乙两个小飞机，甲、乙两个小飞机分别从地面和距地面高处同时出发，匀速上升．如图是甲、乙两个小飞机所在位置的高度y（单位：）与飞机上升时间x（单位：分）的函数图象．
(1)求甲、乙两个小飞机在上升过程中y关于x的函数解析式；
(2)当甲、乙两个小飞机的高度相差时，求飞机上升的时间．
27．（23-24八年级·浙江宁波·期末）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发匀速运动到B地，先到B地的人原地休息，甲开轿车，乙骑摩托车．已知乙先出发，然后甲再出发．设在这个过程中，甲、乙两人的距离y（km）与乙离开A地的时间x（h）之间的函数关系如图所示．
(1)乙比甲先出发______小时，甲开轿车的速度是______，第一次相遇的时间在乙出发______小时；
(2)求线段对应的函数表达式；
(3)当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距30km时，求此时乙行驶的时间．
28．（23-24八年级·四川成都·期末）上游地与下游地相距，一艘游船计划先从地出发顺水航行到达地，然后立即返回地．已知航行过程中，水流速度和该船的静水速度都不变．右图是这艘游船离地的距离与航行时间（小时）之间关系图象．已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差．
(1)求与的函数表达式；
(2)一艘货船在地下游处，货船与处的游船同时前往地，已知货船的静水速度为．求货船在前往地的航行途中与游船相遇的时间．
29．（23-24八年级·江苏南京·期末）一辆货车和一辆轿车先后从A地出发沿同一直道去B地．已知A、B两地相距，轿车的速度为，图中、分别表示货车、轿车离A地的距离与时间之间的函数关系．
(1)货车的速度是______；
(2)求两车相遇时离A地的距离；
(3)在轿车行驶过程中，当______h时，两车相距．
30．（22-23八年级·河南郑州·期末）我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B追赶，如图一．图二中、分别表示两船相对于海岸的距离s（n mine）与追赶时间t（min）之间的关系．
根据图象回答下列问题：
(1)图二中哪条线表示A到海岸线的距离与追赶时间之间的关系：__________（填或）；
(2)分别求出和对应的两个一次函数的解析式与，并解释表示的实际意义：
(3)当A逃到离海岸线12 n mine的公海时，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截
四、题型四：几何问题，10题，难度三星
31．（23-24八年级·山东济南·阶段练习）如图，已知直线上一点，C为y轴上一点，连接，线段绕点P顺时针旋转至线段，过点D作直线轴，垂足为B，直线与直线交于点A，且，连接，直线与直线交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
32．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点．动点在直线上，动点在直线上．若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
33．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处．点在直线上，若点到的三边距离之和等于周长的一半，则点的坐标为 ．
34．（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）直线与轴和轴分别交于两点，点C是的三等分点，分别是直线和轴上的动点，则周长的最小值是 ．
35．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 在线段 上，将 沿 所在直线折叠后，点 恰好落在轴上点 ，若 ．
(1)求点的坐标及直线 的解析式．
(2)求 的值．
(3)直线 上是否存在点 使得 ． 若存在，请直接写出 的坐标．
36．（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于M、N两点给出如下定义：若点M到x，y轴的距离之和等于点N到x，y轴的距离之和，则称M、N两点为“平等点”，例如：、两点即为“平等点”．
(1)已知点A的坐标为，
①在点，，中，为点A的“平等点”的是____．（填字母）
②若点B在y轴上，且A、B两点为“平等点”，则点B的坐标为______．
(2)已知直线与x轴、y轴分别交于C、D两点，E为线段上一点，F是直线上的点，若E、F两点为“平等点”，求点F的坐标．
37．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．

(1)求、的值；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)若点在轴上，且满足，求点的坐标．
38．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线分别交轴，轴于点，．
(1)求的度数；
(2)点是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，点在第三象限，其中，连接．设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点为轴正半轴上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交轴于点，过点作交轴于点，若，，求点的坐标．
（说明：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．）
39．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点，交直线于．
(1)求点的坐标；
(2)若为等腰三角形且，求点坐标及的值；
(3)在（2）的条件下，点为线段上一动点，过点作轴于点，交于点，且，过点的直线将四边形分为两部分，两部分的面积分别设为．若，求的取值范围．
40．（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证：；
（2）如图2，已知直线与坐标轴交于点A，B，将直线绕点A按逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式；
（3）如图3，已知在长方形中，O为坐标原点，点B的坐标为，点A，C分别在坐标轴上，P是线段上的动点，D是直线上的动点，且在第四象限．若是以D为直角顶点的等腰直角三角形，求点D的坐标．
五、题型五：其他问题，10题，难度三星
41．（22-23八年级下·四川南充·期末）某电信公司提供了A，B两种通讯方案，其通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系如图所示，观察图象，回答下列问题：
(1)某人若按A方案通话时间为100分钟时通讯费用为 元；若通讯费用为70元，则按B方案通话时间为 分钟；
(2)求B方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式；
(3)当B方案的通讯费用为50元，通话时间为170分钟时，若此时与A方案的通讯费用相比差10元，直接写出两种方案通话时间相差多少分钟．
42．（23-24八年级·甘肃张掖·期中）为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，所使用的便民卡和如意卡在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示：
(1)分别求出通话费，与通话时间x之间的函数关系式．
(2)当通话时间为200分钟时，选择哪种方式比较合算？
43．（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）．
A地 B地
甲厂 700 1000
乙厂 1000 1500
(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地 台，乙厂运往A地 台，乙厂运往B地 台；
(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？
(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m元，从乙到B的运输费用每台减小了元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围．
44．（23-24八年级·江苏徐州·阶段练习）如图，两摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；
(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
45．（23-24八年级·贵州毕节·阶段练习）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在四川成都开幕，比赛期间，某校打算组织部分师生到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日有A，B两场比赛，两场比赛的每张票价y（元）与一次性购票的张数x（张）之间的关系如图所示．
(1)若一次性购买10张B场比赛门票，则每张票价为多少元？
(2)若一次性购买张A比赛门票，需支付门票费用多少元？（用含字母a的代数式表示）
(3)该校共组织120人（每人仅购买一张门票）分组分别观看A，B两场比赛，共花费了32160元．若观看A场比赛的不足30人，则有多少人观看了B场比赛？
46．（23-24八年级·安徽合肥·阶段练习）九江电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，已知某户居民每月应交电费元与用电量度的函数图象是一条折线如图，根据图象解答下列问题：

(1)写出与的函数关系式；
(2)若该用户某月用电度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费元，则该用户该月用了多少度电？
47．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点和点就是等距点．
(1)已知点A的坐标是，在点中，点A的“等距点”是 ；
(2)已知点B的坐标是，点C的坐标是，若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；
(3)若点与点是直线上的两个“等距点”，求k的值．
48．（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）某公司要印制新产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收160元制版费；乙厂提出：每份材料收1.8元印制费，不收制版费．
(1)分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；
(2)印制180份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？这家公司拟拿出400元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？
49．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次元．
(1)写出每月电话费y（元）与通话次数之间的函数关系式；
(2)求出月通话100次的电话费；
(3)如果某月的电话费是元，求该月通话的次数．
50．（22-23八年级下·云南昆明·期末）某县今年遇旱灾，为了倡导居民节约用水，生活用水按阶梯式水价计费，如图是某户居民每月的水费（元）与所用的水量（吨）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息，解答下列问题：
(1)当用水量不超过10吨时，每吨水收费多少元？
(2)当用水量超过10吨且不超过30吨时，求与之间的函数关系式；
(3)某户居民三、四月份水费共70元，四月份用水比三月份多4吨，求这户居民三月份用水多少吨？
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专题22 一次函数的实际应用（五大题型，50题）（解析版）
目录
一、题型一：分配方案问题，10题，难度三星 1
二、题型二：最大利润问题，10题，难度三星 13
三、题型三：行程问题，10题，难度三星 25
四、题型四：几何问题，10题，难度三星 40
五、题型五：其他问题，10题，难度三星 64
一、题型一：分配方案问题，10题，难度三星
1．（23-24八年级·四川成都·期末）七中育才学校数学组组织学生举行“数学计算大赛”，需购买甲、乙两种奖品．若购买甲奖品3个和乙奖品4个，需160元；购买甲奖品4个和乙奖品5个，需205元．
(1)甲、乙两种奖品的单价各是多少元？
(2)学校计划购买奖品200个，设购买甲奖品个，购买这200个奖品的总费用为元．
①求关于的函数关系式；
②若购买甲奖品的数量不少于30个，同时又不超过80个，则该学校购进甲奖品、乙奖品各多少个，才能使总费用最少？
【答案】(1)甲种奖品的单价是20元，乙种奖品的单价是25元
(2)①；②该学校购买甲奖品80个，乙奖品120个，才能使总费用最少
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用，正确建立方程组和熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）设甲种奖品的单价是元，乙种奖品的单价是元，根据两种购买方式的费用建立方程组，解方程组即可得；
（2）①先求出购买乙奖品为个，再根据（1）的结果即可得；
②利用一次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设甲种奖品的单价是元，乙种奖品的单价是元，
由题意得：，
解得，
答：甲种奖品的单价是20元，乙种奖品的单价是25元．
（2）解：①由题意可知，购买乙奖品为个，
则，
即关于的函数关系式为；
②∵购买甲奖品的数量不少于30个，同时又不超过80个，
，
∵，，
∴在内，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，此时，
答：该学校购买甲奖品80个，乙奖品120个，才能使总费用最少．
2．（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）为了全面贯彻党的教育方针，使学生成长为德智体美劳全面发展的社会主义建设者和接班人，在课程标准中，强调要加强体育教育．某中学为了增强学生的体质，准备购买一批甲、乙两种体育器材300件，已知某体育用品店，甲种器材每件20元，乙种器材每件15元，且该店对同时购买两种器材有两种销售方案．（只能选择其中一种）
方案一：甲种器材每件打九折，乙种器材每件打六折；
方案二：甲、乙种器材每件均打八折；
设购买甲种器材件，选择方案一的购买费用为元，选择方案二的购买费用为元．
(1)请分别写出与之间的函数关系式；
(2)请你计算该校选择哪种方案支付的费用较少．
【答案】(1)，
(2)当时，两种方案费用一样；当时时，方案二支付的费用较少；当时时，方案一支付的费用较少
【分析】本题考查一次函数的实际应用；
（1）根据题意分别求出两种方案的费用即可；
（2）先求出两种方案费用相等的情况，再分类讨论即可．
【详解】（1）由题意得：
，
；
（2）当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
∵，，
∴，
∴当时，两种方案费用一样；当时时，方案二支付的费用较少；当时时，方案一支付的费用较少．
3．（2024八年级·全国·竞赛）如图，工地上有和两个土墩，距离已标出，土方数分别为790方和1580方，洼地和分别需要填土1020方和1390方．现要求挖掉两个土墩，把这些土先填往洼地，余下的土填入洼地，如何安排运土方案才能最省劳力？

【答案】最省劳动力的安排方式为的790方土全部运往洼地，的方土运到地，剩下的全部运到地
【分析】本题考查了一次函数的应用，设运到为方，则运到为方，运到为方，运到为方，设总土方米数为，则，根据一次函数的性质即可得出答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：设运到为方，则运到为方，运到为方，运到为方，设总土方米数为，
则，
，
随着的增大而减小，
当时，最小，为，
最省劳动力的安排方式为的790方土全部运往洼地，的方土运到地，剩下的全部运到地．
4．（2024八年级·全国·竞赛）近两年国际局势出现了一些不安因素，为保障国家安全，需要将三地的军用物资全部运往两地，已知三地的军用物资分别有100吨、100吨、80吨，且运往地的数量比运往地的数量的2倍少20吨．
(1)这批军用物资运往两地的数量各是多少？
(2)若由地运往地的物资为60吨，地运往地的物资为吨，地运往地的物资数量少于地运往地的物资数量的2倍，且地运往地的物资不超过25吨，则三地的物资运往两地的方案有哪几种？
(3)如果将三地的军用物资运往两地的费用如下表：
地 地 地
运往地的费用（元/吨） 220 200 200
运往地的费用（元/吨） 250 220 210
那么在（2）的条件下，运送这批物资的总费用是多少？
【答案】(1)、
(2)5种
(3)或或或或
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用等知识，正确找出题中的等量关系和不等关系是解题的关键．
（1）设出运往地的数量为未知数，从而表示出运往地的数量，进一步列出方程并求解即可；
（2）根据题意得到一元一次不等式组，再找出符合条件的整数值即可；
（3）将总费用表示出来，分别将可取的值代入即可求解．
【详解】（1）解：设运往地的数量为吨，则运往地的数量为吨，
依题意有：，
解得：，
答：运往地的数量为吨，运往地的数量为吨；
（2）由题意知，地运往地的数量为x吨，地运往地、地的数量分别为吨、吨，地运往地的数量为吨，则：
，
解得；
为整数，故有以下5种方案：
地 地 地
第一种 41 79 60
59 21 20
第二种 42 78 60
58 22 20
第三种 43 77 60
57 23 20
第四种 44 76 60
56 24 20
第五种 45 75 60
55 25 20
（3）总费用，
即，
当时，（元）；
当时，（元）；
当时，（元）；
当时，（元）；
当时，（元）．
5．（23-24八年级·四川成都·期末）为美化校园环境，石室联中计划分两次购进杜鹃花和四季海棠两种花卉．第一次购进60盆杜鹃花，80盆四季海棠，共花费1700元；第二次购进100盆杜鹃花，160盆四季海棠，共花费3100元，每次购进的单价相同．
(1)求杜鹃花、四季海棠每盆的价格分别是多少元？
(2)若计划购买杜鹃花、四季海棠共500盆，根据实际摆放，要求杜鹃花的盆数不少于四季海棠盆数的2倍，请你给出一种费用最省的方案，并求方案所需费用．
【答案】(1)杜鹃花每盆的价格是15元，四季海棠每盆的价格是10元
(2)购买杜鹃花334盆，四季海棠166盆，费用最省，最省费用为6670元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和熟练掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）设杜鹃花每盆的价格是元，四季海棠每盆的价格是元，根据两次花费建立方程组，解方程组即可得；
（2）设购买杜鹃花盆，所需费用为元，则购买四季海棠盆，先求出关于的一次函数关系式，再求出的取值范围，利用一次函数的性质求解即可得．
【详解】（1）解：设杜鹃花每盆的价格是元，四季海棠每盆的价格是元，
由题意得：，
解得，
答：杜鹃花每盆的价格是15元，四季海棠每盆的价格是10元．
（2）解：设购买杜鹃花盆，所需费用为元，则购买四季海棠盆，
由题意得：，
∵要求杜鹃花的盆数不少于四季海棠盆数的2倍，
，
解得，
由一次函数的性质可知，在内，随的增大而增大，
又是正整数，
当时，取最小值，最小值为，
此时，
答：购买杜鹃花334盆，四季海棠166盆，费用最省，最省费用为6670元．
6．（23-24八年级·安徽合肥·期末）学校有3名教师准备带领部分学生（不少于3人）参观野生动物园．经洽谈，门票价格为教师票每张36元，学生票每张18元，且有两种购票优惠方案．方案一：购买一张教师票赠送一张学生票；方案二：按全部师生门票总价的80%付款，只能选用其中一种方案购买．设学生人数为x（人），师生门票总金额为y（元）．
(1)分别求出两种优惠方案中y与x的函数表达式；
(2)请通过计算回答，选择哪种购票方案师生门票总费用较少．
【答案】(1)、
(2)当时，选方案二较划算；当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多；当时，选方案一较划算．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、列函数关系式等知识点．根据题意正确列出两种方案的解析式是解题的关键．
（1）分别根据方案一、方案二列出y关于x的函数关系式即可；
（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论即可．
【详解】（1）解：按优惠方案一：，
按优惠方案二：；
所以两种优惠方案中y与x的函数表达式分别是：、
（2）解：∵，
∴①当，解得，
∴当时，选方案二较划算；
②当时，解得，
∴当购买9张票时，两种优惠方案付款一样多；
③当时，解得，
∴当时，选方案一较划算．
7．（23-24八年级·安徽安庆·期末）2023年12月18日甘肃积石山县发生6.2级地震，造成严重的人员伤亡和财产损失．为支援灾区的灾后重建，甲、乙两县分别筹集了水泥200吨和300吨支援灾区，现需要调往灾区A镇100吨，调往灾区B镇400吨．已知从甲县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为40元和80元；从乙县调运一吨水泥到A镇和B镇的运费分别为30元和50元．
(1)设从甲县调往A镇水泥x吨，求总运费y关于x的函数关系式；
(2)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？
【答案】(1)
(2)总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元．
【分析】（1）设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨，再根据每吨的运费列出总运费y关于x的函数关系式，并求出x的取值范围即可；
（2）根据一次函数的性质和x的取值范围，求出最低的调运方案及最低运费即可；
本题主要考查了一次函数与一元一次不等式组的实际应用问题，用x表示运往各地的吨数是解决本题的关键．
【详解】（1）解：设从甲县调往A镇水泥x吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥吨，从乙县调往B镇水泥吨， 则总费用
整理得：
∵，
解得，
即总运费y关于x的函数关系式为；
（2）∵ ，
∴ y随x的增大而减小
∵，
∴当时，最低运费为：，
此时从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．
答：总运费最低的调运方案是从甲县调往A镇水泥吨，则从甲县调往B镇水泥吨，从乙县调往A镇水泥0吨，从乙县调往B镇水泥吨．，最低运费是元．
8．（23-24八年级·安徽池州·期末）为响应政府低碳生活，绿色出行的号召，某公交公司决定购买一批节能环保的新能源公交车，计划购买型和型两种公交车，其中每辆的价格、年载客量如表：
型 型
价格（万元/辆）
年载客量（万人/年） 60 100
若购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元．
(1)求，的值；
(2)计划购买型和型两种公交车共10辆，如果该公司购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次，问有几种购买方案
(3)在（2）的条件下，请用一次函数的性质说明哪种方案使得购车总费用最少 最少费用是多少万元
【答案】(1)的值为100，的值为150；
(2)有4购买方案
(3)购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用和一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；正确列出函数解析式．
（1）利用总价单价数量，结合“购买型公交车1辆，型公交车2辆，共需400万元；若购买型公交车2辆，型公交车1辆，共需350万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，根据“购买型和型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于640万人次”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数，即可得出的值，得出购买方案；
（3）设购车总费用为万元，根据总费用=购买两种公交车费用之和列出函数解析式，由函数的性质得出最值．
【详解】（1）解：依题意得：，解得：，
答：的值为100，的值为150；
（2）解：设购买型公交车辆，则购买型公交车辆，
依题意得：
解得：
又为整数
有4购买方案；
（3）解：设购车总费用为万元，
则，（且为整数）
，
随的增大而减小
当时，最小，最小值为（元），
购车总费用最少的方案是购买型公交车9辆，购买型公交车1辆，购车总费用为1050万元．
9．（23-24八年级·江苏南京·阶段练习）某市两个蔬菜基地得知四川两个灾民安置点分别急需蔬菜和的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知蔬菜基地有蔬菜，蔬菜基地有蔬菜，现将这些蔬菜全部调运两个灾民安置点，从地运往两处的费用分别为每吨元和元，从地运往两处的费用分别为每吨元和元．设从地运往处的蔬菜为吨．
(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值：
总计/
总计/
(2)设两个蔬菜基地的总运费为元，求出与之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从地到处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少元（），其余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【答案】(1)填表见解析，两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时的值为；
(2)，调运方案见解析；
(3)调运方案见解析．
【分析】（）根据题意，用减可得需要从处调运的数量，用减去可得从调研往处的数量，用减去即为从调运往处的数量；
（）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得与的函数关系，列不等式组可解；
（）本题根据的取值范围不同而有不同的解，分、和三情况解答即可；
本题考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意，正确得出一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：（）填表如下：
总计/
总计/
依题意得：，
解得，
∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，的值为；
（2）解：与之间的函数关系为：
由题意得：，
∴，
∵在中，，
∴随的增大而增大，
∴当时，总运费最小，
此时调运方案为：
总计/
总计/
（3）解：由题意得，
∴当时，（）中调运方案总费用最小；
当时，在的前提下调运方案的总费用不变；
当时，总费用最小，其调运方案如下：
总计/
总计/
10．（23-24八年级·广西百色·期末）某校计划租用甲、乙两种型号客车送200名师生去研学基地开展综合实践活动，需租用甲、乙两种型号的客车共10辆．已知租用一辆甲型客车需800元，租用一辆乙型客车需1100元．甲型客车每辆可坐16名师生，乙型客车每辆可坐22名师生．
设租用甲型客车x辆，租车总费用为y元．
(1)请写出y与x之间的函数表达式．（不要求写自变量的取值范围）
(2)据资金预算，本次租车总费用不超过10800元，则甲型客车至少需租用几辆
(3)在（2）的条件下，要保证全体师生都有座位，问有哪几种租车方案 请选出最省钱的租车方案．
【答案】(1)
(2)甲型客车至少需租用1辆
(3)有3种租车方案：方案一，甲型客车租1辆，乙型客车租9辆；方案二，甲型客车租2辆，乙型客车租8辆；方案三，甲型客车租3辆，乙型客车租7辆．最省钱的租车方案是甲型客车租3辆，乙型客车租7辆
【分析】本题考查了一次函数的实际应用和一元一次不等式（组）的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）租用甲型客车x辆，则租用乙型客车辆，根据租车总费用=租用甲型客车费用+租用乙型客车费用，列出关系式即可；
（2）结合（1）的结论和“租车总费用不超过10800元”的条件列不等式，解不等式并根据实际情况求解即可；
（3）“要保证全体师生都有座位”即“乘坐甲型客车人数+乘坐乙型客车人数师生总人数”，列不等式求解集，再由（2）的结论，可以求出x的取值范围，根据实际情况取x的值，再根据函数的增减性，求出最省钱的租车方案．
【详解】（1）解：，
所以y与x之间的函数表达式为；
（2）解：根据题意，得 解得，
因为x应为正整数，
所以
答：甲型客车至少需租用1辆；
（3）解：根据题意，得 解得，结合（2）的条件，得，
因为x应为正整数，
所以，2，3．
因此有3种租车方案：
方案一，甲型客车租1辆，乙型客车租9辆；
方案二，甲型客车租2辆，乙型客车租8辆；
方案三，甲型客车租3辆，乙型客车租7辆．
因为，，所以y随x的增大而减小，
所以当时，y取得最小值．所以最省钱的租车方案是甲型客车租3辆，乙型客车租7辆．
二、题型二：最大利润问题，10题，难度三星
11．（22-23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）已知购买甲种笔记本个，乙种笔记本个，共花费元．购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费元．
(1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？
(2)她决定再次购买两种笔记本共个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价元，乙种笔记本按上一次购买时售价的八折出售，此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不得超过上一次总费用的.求至多需要购买多少个甲种笔记本？并求购买两种笔记本总费用的最大值．
【答案】(1)购买一个甲种笔记本需要元，一个乙种笔记本需要元
(2)至多需要购买个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为元
【分析】考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据题意列出等量关系式．
（1）设购买一个甲种笔记本需要元，一个乙种笔记本需要元，根据题意列出方程组即可求解；
（2）设需要购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，根据“购买甲、乙两种笔记本的总费用不得超过上一次总费用的”列出不等式即可求得甲种笔记本最多可购买的本数；设购买两种笔记本总费用为元，列出关于、的一次函数即可求得总费用的最大值．
【详解】（1）解：设购买一个甲种笔记本需要元，一个乙种笔记本需要元，
依题意得：，
解得：，
答：购买一个甲种笔记本需要元，一个乙种笔记本需要元．
（2）设需要购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，
依题意得：，
解得： ，
又为整数，
的最大值为．
设购买两种笔记本总费用为元，则，
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值为（元）．
答：至多需要购买个甲种笔记本，购买两种笔记本总费用的最大值为元．
12．（2023·江苏常州·二模）学校开展大课间活动，某班需要购买A，B两种跳绳．已知购买2根A型跳绳和1根B型跳绳共需元；购买3根A型跳绳和2根B型跳绳共需元．
(1)购买1根A型跳绳和1根B型跳绳各需多少元
(2)若班级计划购买A，B两型跳绳共根，B型跳绳个数不少于A型跳绳个数的2倍，设购买A型跳绳m根，求购买跳绳所需最少费用是多少元
【答案】(1)购买1根A型跳绳需10元，购买1根B型跳绳需15元
(2)购买跳绳所需最少费用是600元
【分析】本题主要考查二元一次方程的应用，不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，列出相应方程及关系式是解题关键．
（1）设购买1根A型跳绳需x元，购买1根B型跳绳需y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）设所需的费用为W元，列出函数关系式，利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设购买1根A型跳绳需x元，购买1根B型跳绳需y元，
根据题意，得，
解这个方程组，得，
答：购买1根A型跳绳需10元，购买1根B型跳绳需元．
（2）解：设所需的费用为W元，则
，
根据题意，得，
，
m的最大值是，
，W随m的增大而减小，
当时，W的最小值是，
答：购买跳绳所需最少费用是600元．
13．（22-23八年级下·云南楚雄·期末）卷蹄是云南少数民族的传统美食，素以色鲜味美、食法多样、易于贮存而深受人们的喜爱，其中尤以弥渡县一带所制最为有名，故又称“弥渡卷蹄”某经销商准备从一卷蹄加工厂购进甲、乙两种卷蹄进行销售，加工厂的厂长为了答谢经销商，对甲种卷蹄的出售价格根据购买量给予优惠，对乙种卷蹄按元千克的价格出售，设经销商购进甲种卷蹄千克，付款元，与之间的函数关系如图所示．
(1)求与之间的函数关系式．
(2)若经销商计划一次性购进甲、乙两种卷蹄共千克，其中甲种卷蹄不少于千克且不超过千克，如何分配甲、乙两种卷蹄的购进量，才能使经销商付款总金额最少？
【答案】(1)
(2)当购进甲种卷蹄千克，乙种卷蹄千克时，才能使经销商付款总金额最少
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，通过函数图象活动所需信息是解题的关键．
（1）由图可分段运用用待定系数法求得函数解析式即可；
（2）设购进甲种卷蹄千克，则购进乙种卷蹄千克，根据题意分和两种情况解答即可．
【详解】（1）解：当时，
设，将代入，可得：，解得
所以当时，，
当时，
设，将，代入，得，
解得，
所以当时，，
所以与之间的函数关系式为；
（2）解：由题意可得：，
当时，．
，
随的增大而增大，
当时，最小，最小值为．
当时，．
，
随的增大而减小，
当时，最小，最小值为．
，
当时，付款总金额最少，最少金额为元，
此时购进乙种卷蹄千克．
答：当购进甲种卷蹄千克，乙种卷蹄千克时，才能使经销商付款总金额最少．
14．（23-24八年级·安徽阜阳·阶段练习）某超市计划销售甲乙两种饮料，这两种饮料的进价与售价如下表所示：
甲种饮料 乙种饮料
进价/（元）
售价/（元）
(1)若超市计划购进件饮料，求成本与甲种饮料的件数x之间的函数表达式；
(2)若在（1）的情况下，超市为了控制成本，计划件饮料的成本不得高于500 元，求超市能够获得的最大利润．
【答案】(1)
(2)元
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）根据表格数据，列出函数关系式即可求解；
（2）根据题意列出表达式得出，进而设甲乙两种饮料的总利润为元，根据一次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，，
即；
（2）解：由（1）可得，
解得：，
设甲乙两种饮料的总利润为元，根据题意得，
，
∵
∴随的增大而增大
∴当时，取的最大值，最大值为，
答：超市能够获得的最大利润为元．
15．（22-23八年级·四川达州·期末）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元可购进A种纪念品7件、B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品10件、B种纪念品6件．
(1)A、B两种纪念品的进价分别为多少？
(2)若甲产品的售价是25元/件，乙产品的售价是37元/件，该商店准备用不超过900元购进甲、乙两种产品共40件，且这两种产品全部售出总获利不低于216元，问：应该怎样进货，才能使总获利最大？最大利润是多少？
【答案】(1)A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元
(2)当购进A种纪念品30件，B种纪念品10件时，总获利不低于216元，且获得利润最大，最大值是220元
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用：
（1）设A、B两种纪念品的进价分别为x元、y元．根据等量关系列出方程，并解方程即可求解；
（2）设商店准备购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件．根据不等关系列出一元一次不等式组，解不等式组得解集，设总利润为w，根据数量关系列出函数，再根据一次函数的性质求得w的最值即可；
理清题意，找准等量关系列出方程及不等关系列出不等式组是解题的关键．
【详解】（1）解：设A、B两种纪念品的进价分别为x元、y元．
由题意，得：，
解得：，
答：A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元．
（2）设商店准备购进A种纪念品a件，则购进B种纪念品件．
由题意，得：，
解得：，
设总利润为w，
总获利是a的一次函数，且w随a的增大而减小，
当时，w最大，最大值，
，
当购进A种纪念品30件，B种纪念品10件时，总获利不低于216元，且获得利润最大，最大值是220元．
16．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）某农机租赁公司共有50台收割机，其中甲型10台、乙型40台，现将这50台联合收割机派往、两地区收割水稻，其中30台派往地区，20台派往地区，两地区与该农机公司商定的每天租赁价格如表：
每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金
A地区 1800元 1600元
B地区 1600元 1200元
(1)设派往地区台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为元，求关于的关系式；
(2)若使农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于75600元，满足条件的分派方案有几种？
(3)农机租赁公司拟出一个分派方案，使该公司50台收割机每天获得租金最高，并说明理由．
【答案】(1)关于的关系式为；
(2)满足条件的分派方案有3种；
(3)当派往地区30台乙型联合收割机，派往地区10台甲型联合收割机、10台乙型联合收割机时，该公司50台收割机每天获得租金最高．
【分析】本题考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）当派往地区台乙型联合收割机时，则派往地区台甲型联合收割机，派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机，利用总租金派往地区甲型联合收割机的数量派往地区乙型联合收割机的数量派往地区甲型联合收割机的数量派往地区乙型联合收割机的数量，可找出关于的关系式，再结合，，及非负，即可求出的取值范围；
（2）由农机租赁公司这50台收割机一天所获租金不低于75600元，可得出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再结合且为整数，即可得出结论；
（3）由（1）的结论，利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：当派往地区台乙型联合收割机时，则派往地区台甲型联合收割机，派往地区台乙型联合收割机，台甲型联合收割机，
租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金，
即．
又，
解得：，
关于的关系式为；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
又，且为整数，
可以为28，29，30，
满足条件的分派方案有3种；
（3）解：当派往地区30台乙型联合收割机，派往地区10台甲型联合收割机、10台乙型联合收割机时，该公司50台收割机每天获得租金最高，理由如下：
，
随的增大而增大，
又，且为整数，
当时，取得最大值，
此时（台，（台，台，
当派往地区30台乙型联合收割机，派往地区10台甲型联合收割机、10台乙型联合收割机时，该公司50台收割机每天获得租金最高．
17．（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）在“垃圾分类，你我有责”活动中，某校准备购买，两类垃圾桶共40个，其中类垃圾桶的个数不多于类垃圾桶的个数的2倍，设购入类垃圾桶个为整数）．
(1)求最多能购买几个类垃圾桶？
(2)若类垃圾桶单价为25元，类垃圾桶单价为45元，则购买两类垃圾桶最少需要 元（直接填空）．
【答案】(1)最多能购买26个类垃圾桶
(2)1280
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用以及一次函数的应用．
（1）根据购入类垃圾桶的个数不多于类垃圾桶的个数的2倍，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论；
（2）设购买两类垃圾桶共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：该校准备购买，两类垃圾桶共40个，且购入类垃圾桶个为整数），
购入类垃圾桶个．
根据题意得：，
解得：，
又为整数，
的最大值为26．
答：最多能购买26个类垃圾桶；
（2）解：设购买两类垃圾桶共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值，最小值，
购买两类垃圾桶最少需要1280元．
故答案为：1280．
18．（22-23八年级下·广东佛山·期中）某体育用品店计划购进篮球、排球共200个进行销售，所用资金不超过5000元．已知篮球、排球的进价分别为每个30元、24元，每只篮球售价是每只排球售价的倍，某学校在该店用1800元购买的篮球数比用1500元购买的排球数少10个．
(1)求篮球、排球的售价分别为每个多少元？
(2)该店为了让利于消费者，决定篮球的售价每个降价3元，排球的售价每个降价2元，试求出该店能获得的最大利润（购进的篮球、排球全部销售完）．
【答案】(1)篮球的售价为每个45元，排球的售价为每个30元
(2)该店能获得最大利润为1064元
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用：
（1）设排球的售价为每个x元，则篮球的售价为每个元，根据用1800元购买的篮球数比用1500元购买的排球数少10个列出方程求解即可；
（2）设篮球进货a个，排球进货个，总利润为W元，先分别求出篮球和排球的利润，然后求和得到W关于a的一次函数关系式，再根据总费用不超过5000元求出a的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设排球的售价为每个x元，则篮球的售价为每个元．
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意．
则．
答：篮球的售价为每个45元，排球的售价为每个30元．
（2）解：设篮球进货a个，排球进货个，总利润为W元，
则．
∵，
解得．
∵，
∴w随a的增大而增大
又∵a为整数，
∴当时，w取得最大值，为元．
答：该店能获得最大利润为1064元．
19．（22-23八年级·安徽安庆·期末）2022年11月30日，神舟十五号3名航天员顺利进驻中国空间站，与神舟十四号航天员乘组在太空成功会师，激发了航天纪念品的购买热潮．某纪念品专营店准备采购神舟飞船模型和航天纪念币两种产品，如表是相关销售信息：
产品 神舟飞船模型 航天纪念币
进价（元/件） 28 14
售价（元/件） 38 20
(1)若该店在2022年12月份购进两种纪念品共花费5600元，全部售出后共获得销售额7800元，则该店分别购进两种产品各多少件？
(2)由于销售火爆，该店2023年元月份又准备按照原来各自的进价购进这两种纪念品共500件，且航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍，为了促销，该店决定神舟飞船模型每件降价3元，航天纪念币每件降价2元，设元月购进神舟飞船模型m件，全部售出后所获利润为w元，请设计一种进货方案，使得元月份该店利润w为最大．
【答案】(1)购进神舟飞船模型100件，购进航天纪念币200件
(2)当购进神舟飞船模型125件，购进航天纪念币375件，使得元月份该店利润w为最大．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，要能根据题意列出不等式组，关键是根据不等式组的解集，求出获利的最大值．
（1）设购进神舟飞船模型a件，购进航天纪念币b件，根据题意列出方程组，解之即可；
（2）设6月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，则购进航天纪念币件，根据题意可知，根据“航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍”可得且m为正整数，因为，所以w随m的增大而增大，可知当时，w最大，最大值为575，由此可得出结论．
【详解】（1）解：设购进神舟飞船模型a件，购进航天纪念币b件，根据题意可知：
，
解得：，
答：购进神舟飞船模型100件，购进航天纪念币200件．
（2）解：设元月购进神舟飞船模型m件，所获利润为w元，则购进航天纪念币件，根据题意可知：
，
∵航天纪念币的进货量不少于神舟飞船模型进货量的3倍，
∵且m为正整数，
∴且m为正整数，
∵，
∴w随m的增大而增大，
∴当时，w最大，最大值为2375，
此时，
答：当购进神舟飞船模型125件，购进航天纪念币375件，使得元月份该店利润w为最大．
20．（23-24八年级·河南郑州·期末）郑州市某品牌新能源汽车店计划购进两种型号插电混动新能源汽车．已知购进2辆种型号的汽车比购进1辆种型号的新能源汽车多6万元；购进1辆种型号和2辆种型号的新能源汽车共93万元．
(1)求、两种型号的新能源汽车各自的单价．
(2)该品牌新能源汽车店预购电动汽车共10辆（两种都购进），且种型号的新能源汽车的数量不超过3辆．该专卖店该如何安排进货方案，才能使总进货价最少？最少是多少万元？
【答案】(1)种型号的新能源汽车的单价是21万元，种型号的新能源汽车的单价是36万元
(2)当购进3辆种型号的新能源汽车，7辆种型号的新能源汽车时，总进货价最少，最少是315万元
【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用及一次函数的应用，理解题意，列出相应的方程及函数关系式是解题关键．
（1）设种型号的新能源汽车的单价是x万元，种型号的新能源汽车的单价是y万元，根据题意列出方程求解即可；
（2）设购进m辆种型号的新能源汽车，总进货价为w万元，则购进辆种型号的新能源汽车，根据题意得出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车的单价是x万元，种型号的新能源汽车的单价是y万元，
根据题意得：，
解得：．
答：种型号的新能源汽车的单价是21万元，种型号的新能源汽车的单价是36万元；
（2）设购进m辆种型号的新能源汽车，总进货价为w万元，则购进辆种型号的新能源汽车，
根据题意得：，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
又∵，且m为正整数，
∴当时，w取得最小值，最小值，
此时（辆）．
答：当购进3辆种型号的新能源汽车，7辆种型号的新能源汽车时，总进货价最少，最少是315万元．
三、题型三：行程问题，10题，难度三星
21．（23-24八年级·江苏淮安·阶段练习）甲、乙两人登山，登山过程中，甲、乙两人距地面的高度（米）与登山时间（分钟）之间的函数图象如图所示．乙提速后，乙的登山速度是甲登山速度的3倍，并先到达山顶．根据图象所提供的信息，结合图象信息解答下列问题：

(1)甲登山的速度是每分钟_______米，_______；
(2)请直接写出乙距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式及相应的自变量取值范围；求出点E的坐标，并解释点E的实际意义；
(3)求登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为50米．
【答案】(1)10；11
(2)，点E的坐标为，点E的实际意义：登山6.5分钟时，乙追上了甲；
(3)登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为50米．
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
（1）根据速度高度时间即可算出甲登山上升的速度；根据高度速度时间即可算出乙在地时距地面的高度的值；据此求得的值；
（2）利用待定系数法求解即可；联立得，据此即可求得点E的坐标；
（3）根据函数图象和题意可以得到登山多长时间时，甲．乙在距地面的高度差50米．
【详解】（1）解：甲登山的速度是：（米分钟），
乙在地时距地面的高度，
则乙提速后，乙的登山速度是（米分钟），
∴，
故答案为：10；11；
（2）解：当时，设乙对应的函数解析式为，
则，解得，
∴乙对应的函数解析式为，
当时，设乙对应的函数解析式为，
则，解得，
∴乙对应的函数解析式为，
乙距地面的高度y（米）与登山时间x（分钟）之间的函数关系式为，
同理，求得甲对应的函数关系式为：，
联立得，
解得．
点E的坐标为，点E的实际意义：登山6.5分钟时，乙追上了甲；
（3）解：当，解得，
当，解得，
当，解得，
故登山4分钟、9分钟或15分钟时，甲乙两人距离地面的高度差为50米．
22．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）周末，小明和爸爸沿同一条道路慢跑到运河公园，两人从家中同时出发，爸爸先以米/分钟的速度慢跑一段时间，休息了5分钟，再以米/分钟的速度慢跑到运河公园，小明始终以同一速度慢跑，两人慢跑的路程（米）与时间（分钟）的关系如图，请结合图象，解答下列问题：
(1)_______，_______，_______；
(2)若小明的速度是米/分，求小明在途中与爸爸第二次相遇时的路程．
【答案】(1)，，；
(2)米；
【分析】（1）本题考查一次函数图像应用，根据函数图像上点结合速度等于路程除以时间直接求解即可得到答案；
（2）本题考查两函数交点问题，根据题意得到小明的解析式，结合图形求出段解析式，联立求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵爸爸先以米/分钟的速度慢跑一段时间，结合图像得，
，
∵休息了5分钟，
∴，
∴，
故答案为：，，；
（2）解：由（1）得，设段解析式为，将点，代入得，
，
解得：，
即：，
∵小明的速度是米/分，
∴小明的解析式，
联立得，，
解得：，
∴，
答：小明在途中与爸爸第二次相遇时的路程为米．
23．（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·期末）甲、乙两名同学沿直线进行登山，两人沿相同的路线从山脚出发到达山顶．甲同学全程以相同的速度行走；乙同学在乘观光车到达山腰的观光亭歇息一段时间后再步行山顶，两名同学同时到达山顶．他们离山脚的距离米随时间分钟变化的图象如图所示．根据图象中的有关信息回答下列问题：
(1)分别求出甲、乙两名同学步行时的速度；
(2)分别求出甲同学从山脚出发步行到达山顶和乙同学在山脚乘观光车到达山腰的观光亭时与之间的关系式；
(3)乙同学出发多长时间与甲同学在途中相遇？
【答案】(1)甲、乙两名同学步行时的速度分别为：米分，米分；
(2)与之间的函数关系式为；
(3)乙同学出发分钟和分钟与甲同学两次在途中相遇．
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用：
（1）根据图象得出甲乙的路程和时间计算即可；
（2）设甲同学从山脚出发步行到达山顶时的函数解析式为：，设乙同学在山脚乘观光车到达山腰的观光亭时，y与x之间的函数关系式为，代点坐标求解即可；
（3）联立对应直线解析式，解方程组求解即可
【详解】（1）解：甲同学步行的速度为：（米/分）；
乙同学步行的速度为：（米/分）．
答：甲、乙两名同学步行时的速度分别为：米分，米分．
（2）设甲同学从山脚出发步行到达山顶时的函数解析式为：，
将代入得，
∴甲同学从山脚出发步行到达山顶时的函数解析式为：，
设乙同学在山脚乘观光车到达山腰的观光亭时，y与x之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
∴乙同学在山脚乘观光车到达山腰的观光亭时，y与x之间的函数关系式为；
（3）解：联立，解得，
即甲同学出发25钟与乙同学第一次相遇，即乙同学出发5分钟时与甲同学第一次相遇；
在中，令，解得：，
即乙同学出发30分钟时甲同学与乙同学第二次相遇．
∴乙同学出发5分钟和30分钟与甲同学两次在途中相遇．
24．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）甲、乙两车匀速从同一地点到距离出发地480千米处的景点，甲车出发半小时后，乙车以每小时80千米的速度沿同一路线行驶，两车分别到达目的地后停止．甲、乙两车之间的距离（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示．
(1)甲车行驶的速度是 千米/小时；
(2)求乙车追上甲车后，直到整个运动结束，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当两车相距80千米时，求出对应的值．
【答案】(1)
(2)，
(3)或
【分析】本题考查一次函数行程问题，待定系数法求解析式．
（1）利用先出发半小时的路程为千米，可得答案；
（2）分别求出相应线段的两个端点的坐标，在运用待定系数法解答即可；
（3）结合运动状态，分四种情况讨论，当甲出车出发而乙车还没有出发时，即，当乙车追上甲车时，时间为2小时，当时，当乙车超过甲车时，而乙车到达终点时，甲车行驶时间为小时，当时，当乙车到达后，甲车继续行驶，当时，再列方程解方程即可得答案．
【详解】（1）解：甲行驶的速度为：（千米/时），
故答案为：60；
（2）解：设甲出发小时被乙追上，
根据题意得：，
解得：，
即甲出发小时被乙追上，
∴点坐标为：，
∵（时），即点坐标为：，
设：的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
∴的解析式为，
∵（时），，即，
设的解析式为，将，代入得：
，
解得：，
∴的解析式为：，
（3）解：根据题意得：
①当时，甲车出发乙车还没有出发时：
此时两车最多相距：（千米），不符合题意舍去；
②当时：
，解得：，不符合题意舍去；
③当时：
，解得：，
④当时：
，解得：，
答：当两车相距80千米时，的值为或．
25．（23-24八年级·山东青岛·期末）为倡导低碳生活，绿色出行，某电动车俱乐部利用周末组织“远游”活动，电动车队从甲地出发骑向乙地，小时后，恰有一辆邮政车从甲地出发，沿电动车队行进路线前往乙地，如图是电动车队、邮政车离甲地的路程与电动车队离开甲地时间的函数关系图象；请根据图象解答下列问题：
(1)邮政车到达乙地后，电动车距乙地多少千米？
(2)求线段对应的函数关系式；
(3)邮政车到达乙地后，马上沿原路以与段相同的速度返回，求邮政车从甲地出发后多长时间再次与电动车相遇．
【答案】(1)30千米
(2)
(3)小时
【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的运用，解题的关键是：
（1）根据图象求出电动车队的速度，再用速度求出邮政车到达乙地后，电动车距乙地的路程；
（2）用待定系数法求出函数解析式；
（3）邮政车从甲地出发后小时再次与电动车相遇，根据邮政车返回时的路程电动车队的路程列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：电动车队的速度为，
，
答：邮政车到达乙地后，电动车距乙地30千米；
（2）解：设线段对应的函数关系式为，
把，代入解析式得：，
解得，
线段对应的函数关系式为；
（3）解：邮政车从甲地出发后小时再次与电动车相遇，
根据题意得：，
解得，
答：邮政车从甲地出发后小时再次与电动车相遇．
26．（23-24八年级·河南周口·阶段练习）贝贝、欢欢利用遥控器在电子屏上分别玩甲、乙两个小飞机，甲、乙两个小飞机分别从地面和距地面高处同时出发，匀速上升．如图是甲、乙两个小飞机所在位置的高度y（单位：）与飞机上升时间x（单位：分）的函数图象．
(1)求甲、乙两个小飞机在上升过程中y关于x的函数解析式；
(2)当甲、乙两个小飞机的高度相差时，求飞机上升的时间．
【答案】(1)，
(2)分或分
【分析】本题考查了一次函数的图象与实际应用，关键是在于能够正确利用题干中所给的数据，结合数形结合的思想解答．
（1）根据函数图象中所给的数据，利用待定系数法即可求解．
（2）根据实际情况，列出方程即可求解．
【详解】（1）设甲飞机的函数解析式为，
将代入得，，解得，
∴甲飞机的函数解析式为，
设乙飞机的函数解析式为，
把，代入，
得，
解得．
∴乙飞机的函数解析式为；
（2）当这两个小飞机的高度相差时，
∴，
整理得：，
解得或．
故当这两个小飞机的高度相差时，上升的时间为分或分．
27．（23-24八年级·浙江宁波·期末）已知A，B两地相距120km，甲、乙两人沿同一条公路从A地出发匀速运动到B地，先到B地的人原地休息，甲开轿车，乙骑摩托车．已知乙先出发，然后甲再出发．设在这个过程中，甲、乙两人的距离y（km）与乙离开A地的时间x（h）之间的函数关系如图所示．
(1)乙比甲先出发______小时，甲开轿车的速度是______，第一次相遇的时间在乙出发______小时；
(2)求线段对应的函数表达式；
(3)当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距30km时，求此时乙行驶的时间．
【答案】(1)1；60；1.8
(2)线段对应的函数表达式为；
(3)当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距30km时，乙行驶的时间为小时．
【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据图象获取相关信息，利用待定系数法求函数解析式．
（1）根据题意列式计算即可求解；
（2）利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）根据题意，当甲、乙两人只有一人在行驶时，实际上就是乙一个人在行驶，故分甲没有出发时和甲到达地时两种情况，列方程求出的值．
【详解】（1）解：由图象可知，乙比甲先出发1小时；
由图象知，甲2小时到达地，
甲开轿车的速度为（千米小时）；
由图象知，乙的速度为千米小时，
设第一次相遇的时间在乙出发小时，
根据题意得：，
解得，
第一次相遇的时间在乙出发1.8小时．
故答案为：1；60；1.8；
（2）解：根据题意，，
，
设线段对应的函数表达式为，
把，坐标代入解析式得：，
解得，
线段对应的函数表达式为；
（3）解：①甲没有出发时，
根据题意得：，
解得，
不合题意；
②甲到达地时，
根据题意得：，
解得．
综上所述，当甲、乙两人只有一人在行驶，且两人相距30km时，乙行驶的时间为小时．
28．（23-24八年级·四川成都·期末）上游地与下游地相距，一艘游船计划先从地出发顺水航行到达地，然后立即返回地．已知航行过程中，水流速度和该船的静水速度都不变．右图是这艘游船离地的距离与航行时间（小时）之间关系图象．已知船顺水航行、逆水航行的速度分别是船在静水中的速度与水流速度的和与差．
(1)求与的函数表达式；
(2)一艘货船在地下游处，货船与处的游船同时前往地，已知货船的静水速度为．求货船在前往地的航行途中与游船相遇的时间．
【答案】(1)；
(2)两船相遇时间为2小时或5小时．
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用；
（1）可得图象经过，，用待定系数法即可求解；
（2）设经过小时，游船与货船相遇，①当时，等量关系式：游船去时行驶的路程货船去时行驶的路程，列方程，即可求解；②当时，等量关系式：游船回来时行驶的路程货船去时行驶的路程，列方程，即可求解；
理解自变量和因变量的实际意义，找出等量关系式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得在图象上，
①当时，
设，图象经过，则有
，
解得：，
；
②当时，
设，图象经过，，则有
，
解得：，
；
；
（2）解：游船从到的速度为（），
游船从到的速度为（），
水流速度为（），
货船到达时间为：（小时），
设经过小时，游船与货船相遇，
①当时，
，
解得：，
此时经过小时，游船与货船相遇；
②当时，
，
解得：，
此时经过小时，游船与货船相遇；
综上所述：两船相遇时间为2小时或5小时．
29．（23-24八年级·江苏南京·期末）一辆货车和一辆轿车先后从A地出发沿同一直道去B地．已知A、B两地相距，轿车的速度为，图中、分别表示货车、轿车离A地的距离与时间之间的函数关系．
(1)货车的速度是______；
(2)求两车相遇时离A地的距离；
(3)在轿车行驶过程中，当______h时，两车相距．
【答案】(1)60
(2)相遇时离A地
(3)或
【分析】本题考查一次函数的实际应用．利用待定系数法正确求出函数解析式是解题关键．
（1）由图可知货车行驶，即可直接求出货车的速度；
（2）求出点E坐标为，再利用待定系数法分别求出，，最后联立求解即可；
（3）分类讨论：当货车在轿车前面时和当轿车在货车前面时，分别列出关于t的等式，解之即可．
【详解】（1）解：由图可知，货车行驶，
∴货车的速度是．
故答案为：60；
（2）解：设的函数表达式为，将代入得，
解得，
∴，
∵，
∴，
设的函数表达式为，将，代入得：
，
解得，
∴，
由，
解得：，
此时，
∴相遇时离A地；
（3）解：当货车在轿车前面时，，
解得：，
当轿车在货车前面时，，
解得：，
故答案为：或．
30．（22-23八年级·河南郑州·期末）我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶．边防局迅速派出快艇B追赶，如图一．图二中、分别表示两船相对于海岸的距离s（n mine）与追赶时间t（min）之间的关系．
根据图象回答下列问题：
(1)图二中哪条线表示A到海岸线的距离与追赶时间之间的关系：__________（填或）；
(2)分别求出和对应的两个一次函数的解析式与，并解释表示的实际意义：
(3)当A逃到离海岸线12 n mine的公海时，B将无法对其进行检查，照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截
【答案】(1)
(2)的解析式为，的解析式为，表示可疑船只A行驶的速度为
(3)B能在A逃入公海前将其拦截
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是理解题意，找出所需条件并求解，注意数形结合．
（1）由题意及函数图像即可确定哪条直线表示A到海岸线的距离与追赶时间之间的关系；
（2）在函数图像上取两点，用待定系数法即可分别求解；
（3）由（2）中的函数解析式即可求解．
【详解】（1）解：当时，A距海岸，即，故表示A到海岸线的距离与追赶时间之间的关系，
故答案为：；
（2）解：直线过点，把这两点坐标分别代入中，
得：，解得：，
∴的解析式为；
直线过点，把这两点坐标分别代入中，
得：，解得：，
∴的解析式为；
表示可疑船只A行驶的速度为；
（3）解：令，解得，
∵
∴B能在A逃入公海前将其拦截．
四、题型四：几何问题，10题，难度三星
31．（23-24八年级·山东济南·阶段练习）如图，已知直线上一点，C为y轴上一点，连接，线段绕点P顺时针旋转至线段，过点D作直线轴，垂足为B，直线与直线交于点A，且，连接，直线与直线交于点Q，则点Q的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，求出，证，推出，，设，求出，得出，求出，得出的坐标，在中，由勾股定理求出，在中，由勾股定理求出，得出的坐标，设直线的解析式是，把代入求出直线的解析式，解由两函数解析式组成的方程组，求出方程组的解即可．
【详解】解：
解：过作轴，交轴于，交于，过作轴，交轴于，，
∴，，
∴，
，
，，
在和中，
，
，，
，
∴设，，
，
，则，，即．
∵直线，
，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，则的坐标是，
设直线的解析式是，把代入得：，
即直线的解析式是，
即方程组得：，即的坐标是．
故选：A．
【点睛】本题考查了用待定系数法求出一次函数得解析式，全等三角形的性质和判定，解方程组，勾股定理，旋转的性质等知识的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力.
32．（23-24八年级·河南郑州·阶段练习）如图，在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，点在坐标轴上，直线与交于点，与轴交于点．动点在直线上，动点在直线上．若是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】本题考查等腰直角三角形，坐标与图形，全等三角形的性质以及分类讨论思想，根据题意设出点的坐标，通过作辅助线得到全等三角形，再根据全等三角形的等边建立关系，求出坐标中的未知数，从而求得的坐标．解决本题的关键是合理根据顶点的位置进行分类讨论．
【详解】解：∵在长方形中，点为坐标原点，点的坐标为，
∴，，
动点在直线上，设，
如图，当为直角顶点，在上方时，过点作轴于，延长交于，
则，，，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，
则，即：，
解得：，则，
∴此时点的坐标为；
如图，当为直角顶点，在下方时，过点作轴于，交于，
则，，，，
∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，，
则，
∴，
∴，
∴，
则，即：，
解得：，则，
∴此时点的坐标为；
综上，点的坐标为或．
33．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，点在轴的负半轴上，将沿翻折，点恰好落在轴正半轴上的点处．点在直线上，若点到的三边距离之和等于周长的一半，则点的坐标为 ．
【答案】或
【分析】题主要考查了一次函数的图象，图形的翻折及其性质，角平分线的性质：先求出点，点，进而求出，再由翻折的性质得，，，进而得点，设点C的坐标为，其中，根据求出，则点，由此可求出直线的表达式为，设点，根据角平分线的性质得点E到的三边距离之和为：，再求出的周长为24得，然后分三种情况讨论如下：①点E在第一象限时，，此时可转化为，由此解出a即可求出点E的坐标；②点E在第三象限时，，，此时可转化为，由此解出a即可求出点E的坐标；③当点E在第四象限时，，此时点E不存在，综上所述可得点E的坐标．
【详解】解：对于，当时，，当时，，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
由勾股定理得：，
由翻折的性质得：，
∴，
∴点D的坐标为，
设点C的坐标为，其中，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴点C的坐标为，
设直线的表达式为：，
将，代入，
得：，
解得：，
∴直线的表达式为：，
∵点E在直线上，
∴设点E的坐标为，
∴点E到y轴的距离为，到x轴的距离为，
∵，
∴点E到y轴的距离与点E到的距离相等，均为，
∴点E到的三边距离之和为：，
在中，，
由勾股定理得：，
∴的周长为：，
又∵点E到的三边距离之和等于周长的一半，
∴，
∵直线经过第一，三，四象限，
∴分三种情况讨论如下：
①点E在第一象限时，，
∴可转化为：，
解得：，
∴，
∴点E的坐标为；
②点E在第三象限时，，
∴可转化为：，
整理得：，
∴，
∴点E的坐标为；
③当点E在第四象限时，，
∴可转化为：，
此时该方程无解，
即在第四象限不存在这样的点E．
综上所述：点E的坐标为或．
34．（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）直线与轴和轴分别交于两点，点C是的三等分点，分别是直线和轴上的动点，则周长的最小值是 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题，勾股定理，当点C是靠近点B的三等分点时，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG，由轴对称的性质，可得，，故当点，，，在同一直线上时，的周长，此时周长最小，依据勾股定理即可得到的长，进而得到周长的最小值，同理求出当点C是靠近点O的三等分点时周长最小值即可．
【详解】解：当点C是靠近点B的三等分点时，如图，作点关于的对称点，关于的对称点，连接，，FB，FG，
在中，当时，当时，，
，，
∴，
又∵点C是靠近点B的三等分点
∴，，
∵点C与点G关于对称，
∴，，
∴，
∵，，
，
又∵点C与点F关于对称，
，，，
，
∵，，
∴的周长，
当点，，，在同一直线上时，的周长最小，为FG的长，
∵在中，，
周长的最小值是．
同理当点C是靠近点O的三等分点时，可得周长的最小值是．
综上所述，周长的最小值是或，
故答案为：或．
35．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，直线 与 轴、 轴分别交于点 和点 ，点 在线段 上，将 沿 所在直线折叠后，点 恰好落在轴上点 ，若 ．
(1)求点的坐标及直线 的解析式．
(2)求 的值．
(3)直线 上是否存在点 使得 ． 若存在，请直接写出 的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根据勾股定理可得，设，解方程求出点B的坐标，进而求出直线的解析式；
（2）设，根据勾股定理可以求出长，进而求出三角形的面积比；
（3）分点P在第三象限内和第一象限内两种情况解题即可．
【详解】（1）解：由题知，设，则．
在中，，
即：，
，
∴，
又，
∴；
（2）解：设，则，
由折叠性质知：．
在中：，
∴，
∴．
∴，
∴，，
∴；
（3）解：，，理由如下：
如图，当点P在第三象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F，
则，，
又∵
∴
∴，
∵轴，轴
∴为正方形
∴，
∴）
∴直线解析式为：，
∵两点坐标为：
∴直线解析式为：，
联立解得：，
∴
如图，当点P在第一象限内时，过C作于M，过M作轴，轴于E，F，
则，，
又∵
∴
∴，
∵轴，轴
∴为正方形
∴，
∴，
∴直线解析式为：，
∵两点坐标为：，
∴直线解析式为：，
联立解得：，
∴，
综上所述，或．
【点睛】本题考查一次函数的解析式，勾股定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是分清点所在象限，正确写出点的坐标．
36．（23-24八年级·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于M、N两点给出如下定义：若点M到x，y轴的距离之和等于点N到x，y轴的距离之和，则称M、N两点为“平等点”，例如：、两点即为“平等点”．
(1)已知点A的坐标为，
①在点，，中，为点A的“平等点”的是____．（填字母）
②若点B在y轴上，且A、B两点为“平等点”，则点B的坐标为______．
(2)已知直线与x轴、y轴分别交于C、D两点，E为线段上一点，F是直线上的点，若E、F两点为“平等点”，求点F的坐标．
【答案】(1)①J、L；②或
(2)或
【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离，一次函数图象的性质，掌握平面直角坐标系的特点，一次函数图象的性质是解题的关键．
（1）①根据材料定义，及“平等点”的计算方法，点与坐标轴距离的计算即可求解；②根据“平等点”的定义及计算方法即可求解；
（2）根据一次函数图象的性质分别求出点的坐标，表示出点的坐标，根据“平等点”的定义和计算即可求解．
【详解】（1）解：①已知点，则点到轴的距离分别为：，
∴距离和为：6，
∵点，
∴点到轴的距离和为：6；点到轴的距离和为：7；点到轴的距离和为：6；
∴为点的“平等点”的是：，
故答案为：；
②设，
∵点 到轴的距离分别为：，
∴，
∴，
∴点的坐标为或，
故答案为：或；
（2）解：直线，令，则；令，则，
∴，，
∵点在线段上，
∴设，且，
∵点在直线，
∴设，
∵两点为“平等点”，
∴
当时，，解得，，
∴；
当时，，解得，，
∴；
综上所述，点的坐标为或．
37．（22-23八年级下·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与轴相交于点，与正比例函数的图象相交于点，点的横坐标为．

(1)求、的值；
(2)请直接写出不等式的解集；
(3)若点在轴上，且满足，求点的坐标．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)点的坐标为或．
【分析】
（）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出、的值;
（）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，进而可得出点的坐标；
本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的相关性质是解题的关键．
【详解】（1）当时，，
∴点的坐标为，
将，，代入，
得：，解得：，
∴，；
（2）由得，
∵点的横坐标为，
∴；
（3）由（）直线，
当时，有，
解得：，
∴点的坐标为，
设点的坐标为，
∴直线，
过点作轴，交于点则，

∴，
∴
∵，即，
解得：或，
∴点的坐标为或．
38．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，直线分别交轴，轴于点，．
(1)求的度数；
(2)点是线段上一点，连接，以为直角边作等腰直角，点在第三象限，其中，连接．设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围）；
(3)在（2）的条件下，点为轴正半轴上的一点，连接，点是的中点，连接并延长交轴于点，过点作交轴于点，若，，求点的坐标．
（说明：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．）
【答案】(1)
(2)
(3)点的坐标为
【分析】（1）求出的坐标，进而可得，由此可得；
（2）过点作轴于点，则，证明得出，由勾股定理得出，证明，得出，，求出，证明，再由即可得出答案；
（3）连接，证明，设，则，，，求出，取的中点，连接交于点，过点作于点，过点分别作于，交的延长线于，连接，则，根据三角形中位线定理得出，则，证明，得出，求出，得到，即可推出，进而证明，延长交于点，取的中点，由三角形中位线定理得出，，则，证明，得出，同理可得，得出，证明，得出，令，则，，，，，由勾股定理得出，由等面积法得出，从而得出，取的中点，过点作轴于点，由三角形中位线定理得出，，证明得出，则，即可得出答案．
【详解】（1）解：在中，
当时，；当时，，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点作轴于点，
点的横坐标为，
，
在中，，，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
，，
在中，，
在中，，，
；
（3）解：如图，连接，
，，
，
，
设，
，
，，
，
，
，
取的中点，连接交于点，过点作于点，过点分别作于，交的延长线于，连接，
四边形是长方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
延长交于点，取的中点，
，，
，，
，
，，，
，
，
同理：，
，
，，，
，
，
令，则，，，，，
在中，，
，
，
解得：，
在中，，
取的中点，过点作轴于点，
，，
，，
，
，
，
在中，，
点的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
39．（23-24八年级·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴分别于点，交直线于．
(1)求点的坐标；
(2)若为等腰三角形且，求点坐标及的值；
(3)在（2）的条件下，点为线段上一动点，过点作轴于点，交于点，且，过点的直线将四边形分为两部分，两部分的面积分别设为．若，求的取值范围．
【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为；
(2)点的坐标为，；
(3)．
【分析】（1）分别代入、求出、的值，由此可得出点、的坐标；
（2）作于，根据等腰三角形的性质可得出点的坐标，再由点在直线上求出值；
（3）求出点的坐标，可求出过点的直线为，设直线 与轴交于点，与直线于点，分别表示出点和点的坐标，表示出，，再根据已知得出四边形的面积为四边形的或，表示出四边形的面积，列出方程再求解，结合图形即可得出的范围．
【详解】（1）解：对于一次函数，
当时，，
当时，，
点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：如图1，作于，
，，
，
点的横坐标为2，
点在直线上，
点的纵坐标，
点的坐标为，
点在直线上，
，解得：；
（3）解：设点的横坐标为，分别代入，中，
得，，
，，，
，
，即，
当时，
解得，
，
当时，无解，
∵，
，，，
直线过点，
，即，
，
如图，设直线 与轴交于点，与直线交于点，
令，则，
，
令，则，
，
，，
过点的直线将四边形分为两部分，且，
四边形的面积为四边形的或，
，，
或，
解得或，
的取值范围．
40．（23-24八年级·江苏泰州·阶段练习）（1）如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证：；
（2）如图2，已知直线与坐标轴交于点A，B，将直线绕点A按逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式；
（3）如图3，已知在长方形中，O为坐标原点，点B的坐标为，点A，C分别在坐标轴上，P是线段上的动点，D是直线上的动点，且在第四象限．若是以D为直角顶点的等腰直角三角形，求点D的坐标．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）或
【分析】（1）根据为等腰直角三角形，，，可判定；
（2）①过点B作，交于C，过C作轴于D，根据，得出，，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式；
（3）根据是以点D为直角顶点的等腰直角三角形，当点D是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况：当点D在矩形的内部时，当点D在矩形的外部时，设，分别根据，得出，据此列出方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形，
∴，，
又∵，，
∴，，
∴，
在与中，，
∴；
（2）如图2，过点B作，交于C，过C作轴于D，
∵，
∴为等腰直角三角形，
由（1）可知：，
∴，，
∵直线中，当，则；若，则，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设的解析式为，则，
解得：，
∴的解析式为：；
（3）当点D是直线上的动点且在第四象限时，分两种情况：
当点D在矩形的内部时，如图，过D作x轴的平行线，交直线于E，交于F，
∴，
设，，
则，，，
由（1）可得，，则，
即：，
解得，
∴，
∴，
当点D在矩形的外部时，如图，过D作x轴的平行线，交直线于E，交直线于F，
设，则，，，
同理可得：，则，
即：，
解得，
∴，
∴，
综上所述，D点坐标为：或
【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标与距离的关系、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用．
五、题型五：其他问题，10题，难度三星
41．（22-23八年级下·四川南充·期末）某电信公司提供了A，B两种通讯方案，其通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的关系如图所示，观察图象，回答下列问题：
(1)某人若按A方案通话时间为100分钟时通讯费用为 元；若通讯费用为70元，则按B方案通话时间为 分钟；
(2)求B方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式；
(3)当B方案的通讯费用为50元，通话时间为170分钟时，若此时与A方案的通讯费用相比差10元，直接写出两种方案通话时间相差多少分钟．
【答案】(1)30，250
(2)
(3)当B方案的通讯费用为50元，通话时间为170分钟时，若两种方案的通讯费用相差10元，通话时间相差25分钟
【分析】本题考查了一次函数的应用:
（1）观察函数图象，A方案通话时间在120分钟内通讯费用都为30元，B方案通话时间为250分钟对应的费用为70元；
（2）分类讨论：当时，易得元；当时，利用待定系数法求B方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式为，综上所述，得到；
（3）先用同样方法求出对于A方案，当x＞120时的解析式y＝x﹣18，由于B方案与A方案的通讯费用相比差10元，则A方案的通讯费用为60元或40元，接着分别计算出函数值为40或60所对应的自变量，然后求出它们与170的差即可得到两种方案的通讯费用相差10元时，通话的时间差．
【详解】（1）解：由函数图象可知，某人若按A方案通话时间为100分钟时通讯费用为30元；若通讯费用为70元，则按B方案通话时间为250分钟；
故答案为：30，250；
（2）解：由图象知：当时，通讯费元；
当时，设B方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式为，
把代入，得，
解得，
∴当时，设B方案的通讯费用y（元）与通话时间x（分）之间的函数关系式为：，
综上所述，；
（3）解：对于A方案；当时，可求得，
∵当B方案的通讯费用为50元，此时与A方案的通讯费用相比差10元，
∴A方案的通讯费用为60元或40元，
当时，，解得，则（分钟）；
当时，，解得，则（分钟）；
∴当B方案的通讯费用为50元，通话时间为170分钟时，若两种方案的通讯费用相差10元，通话时间相差25分钟．
42．（23-24八年级·甘肃张掖·期中）为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，所使用的便民卡和如意卡在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示：
(1)分别求出通话费，与通话时间x之间的函数关系式．
(2)当通话时间为200分钟时，选择哪种方式比较合算？
【答案】(1)，
(2)选择便民卡比较合算
【分析】本题考查了一次函数的应用，解答的关键是认真审题，找到问题相关联的信息，会利用待定系数法求解表达式，并能从中作出判断．
（1）分别利用待定系数法求一次函数解析式和待定系数法求正比例函数解析式；
（2）把分别代入（1）中所求解析式，求出函数值，然后比较即可答案.
【详解】（1）解：设，
把，代入，得，
解得，
∴，
设，
把代入，得，
解得，
∴；
（2）解：当时，，，
∵，
∴选择便民卡比较合算.
43．（23-24八年级·安徽六安·阶段练习）计划将甲、乙两厂的生产设备运往A，B两地，甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）．
A地 B地
甲厂 700 1000
乙厂 1000 1500
(1)用含x的式子直接填空：甲厂运往B地 台，乙厂运往A地 台，乙厂运往B地 台；
(2)请你设计一种调运的运输方案，使总费用最低，并求出最低费用为多少？
(3)因客观原因，从甲到A的运输费用每台增加了m元，从乙到B的运输费用每台减小了元，其它不变，若要使费用最低的调运方案不变，请直接写出m的取值范围．
【答案】(1)；
(2)甲厂运往A地30台、运往B地30台，乙厂将40台都运往A地使总费用最低，最低费用为91000元
(3)
【分析】本题考查一次函数及一元一次不等式组的应用，正确理解题意，找出合适的数量关系得到一次函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意列代数式即可；
（2）设运输费用为a百元，根据题意列出关于x的一次函数，求出x的取值范围，根据一次函数的性质解答即可；
（3）设运输费用为b百元，根据题意，在a的基础上列出关于x的一次函数，整理后根据费用最低的调运方案不变可得，进而可求得m的取值范围．
【详解】（1）解：∵甲厂设备有60台，乙厂设备有40台，A地需70台，B地需30台，每台设备的运输费（单位：元）如表格所示，设从甲厂运往A地的有x台设备（x为整数）．
∴甲厂运往B地台，乙厂运往A地台，
则
乙厂运往B地台．
故答案为：
（2）解：设运输费用为a百元．
根据题意，．
∵，
解得，
∴．
∵a随x的减小而减小，
∴当时，a最小，
∴甲厂运往A地30台、运往B地30台，乙厂将40台都运往A地使总费用最低，最低费用为91000元．
（3）解：设部分运输费用变动后运输费用为b，由题意得．
∵b随x的减小而减小，
∴且，
解得．
∴若要使费用最低的调运方案不变，有．
44．（23-24八年级·江苏徐州·阶段练习）如图，两摞相同规格的碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：
(1)求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y（cm）与饭碗数x（个）之间的一次函数解析式；
(2)把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？
【答案】(1)（x是正整数）
(2)21
【分析】
本题意在考查学生利用待定系数法求解一次函数关系式，并利用关系式求值的运算技能和从情景中提取信息、解释信息、解决问题的能力．
（1）可设，由图示可知，时，；时，，由此可列方程组，进而求解；
（2）令，求出相应的值即可．
【详解】（1）设．
由图可知：当时，；当时，．
把它们分别代入上式，得，
解得，．
∴一次函数的解析式是（x是正整数）
（2）当时，．
即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是．
45．（23-24八年级·贵州毕节·阶段练习）2023年7月28日第31届世界大学生夏季运动会在四川成都开幕，比赛期间，某校打算组织部分师生到现场观看比赛，经了解在离学校最近的比赛场馆当日有A，B两场比赛，两场比赛的每张票价y（元）与一次性购票的张数x（张）之间的关系如图所示．
(1)若一次性购买10张B场比赛门票，则每张票价为多少元？
(2)若一次性购买张A比赛门票，需支付门票费用多少元？（用含字母a的代数式表示）
(3)该校共组织120人（每人仅购买一张门票）分组分别观看A，B两场比赛，共花费了32160元．若观看A场比赛的不足30人，则有多少人观看了B场比赛？
【答案】(1)一次性购买10张B场比赛门票，每张票价为420元
(2)一次性购买张A场比赛门票，需支付门票费用元
(3)有99人观看了B场比赛
【分析】（1）对于B场门票，求得当时，票价与购票人数之间的函数关系式，把代入即可；
（2）对于A场门票，求得时，票价与购票人数之间的函数关系式，把代入即可求解；
（3）设有p人观看了B场比赛，则有人观看了A场比赛，根据题意列出方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设当时，B场比赛每张票价y（元）与一次性购票的张数x（张）之间的关系式为：，将点，代入得：
，
解得，
∴．
当时，．
故一次性购买10张B场比赛门票，每张票价为420元．
（2）解：对于A场比赛，当时，设每张票价y与一次性购票的张数x之间的函数关系式为．
将点，代入，得，
解得，
所以．
当时，每张门票的单价为，
∴一次性购买张A场比赛门票，需支付门票费用元．
（3）解：设有p人观看了B场比赛，则有人观看了A场比赛，
因为观看A场比赛的不足30人，总共有120人，
所以观看A场比赛的每张票价为400元，观看B场比赛的人数大于90人，
所以观看B场比赛的每张票价为240元．
所以，
解得．
故有99人观看了B场比赛．
【点睛】本题考查了从函数的图象中获取信息、一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式及一次方程的应用，数形结合，根据图象求出函数解析式是解题的关键．
46．（23-24八年级·安徽合肥·阶段练习）九江电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，已知某户居民每月应交电费元与用电量度的函数图象是一条折线如图，根据图象解答下列问题：

(1)写出与的函数关系式；
(2)若该用户某月用电度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费元，则该用户该月用了多少度电？
【答案】(1)
(2)该用户月用电度时，应缴费元；用户月缴费元时，用了度电
【分析】本题主要考查一次函数的应用以及待定系数法求函数解析式，解决问题的关键是从一次函数的图象上获取信息．
（1）本题考查的是分段函数的知识．依题意可以列出函数关系式；
（2）根据（1中的函数解析式以及图标即可解答．
【详解】（1）将代入得：
，
解得．
，
将，代入得：
，
解得：．
，
综上所述，；
（2）根据（1）的函数关系式得：
月用电量在度到度之间时，每度电的收费的标准是元；
月用电量超出度时，超过部分每度电的收费标准是元；
用户月用电度时，元，
即用户应缴费元；
用户月缴费元时，即，解得，
即该用户该月用了度电．
47．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于点P、Q两点给出如下定义：若点P到x，y轴的距离的较大值等于点Q到x，y轴的距离的较大值，则称P、Q两点为“等距点”．如点和点就是等距点．
(1)已知点A的坐标是，在点中，点A的“等距点”是 ；
(2)已知点B的坐标是，点C的坐标是，若点B与点C是“等距点”，求点C的坐标；
(3)若点与点是直线上的两个“等距点”，求k的值．
【答案】(1)、
(2)或
(3)1或2
【分析】（1）先分析出直线上的点到、轴距离中有3的点，再根据“等距点”概念进行选择即可；
（2）根据“等距点”的定义解答即可；
（3）将、代入得，．由，依据“等距点”定义可得关于的不等式，即可解答本题．
【详解】（1）点到、轴的距离中最大值为3，点到到、轴的距离中最大值为3，
与点是“等距点”的点是、，
故答案为：、；
（2）由题意，可分两种情况：①，解得或5（不合题意，舍去）；
②，解得（不合题意，舍去）或，
综上所述，点的坐标为或；
（3）、是直线上的两点，
，．
，
，．
依据“等距点”定义可得：
当时，，解得，
时，，
；
当时，，解得．
综上所述，的值为1或2．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了“等距点”的定义，一次函数图象的性质，此题属于阅读理解类型题目，首先读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题，难度较大，需要有扎实的基础，培养了阅读理解、迁移运用的能力．
48．（23-24八年级·甘肃张掖·阶段练习）某公司要印制新产品宣传材料．甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收160元制版费；乙厂提出：每份材料收1.8元印制费，不收制版费．
(1)分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；
(2)印制180份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？这家公司拟拿出400元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？
【答案】(1)甲厂：，乙厂：
(2)印制180份宣传材料时，选择乙厂比较合算；拿出400元用于印制宣传材料，找乙印刷厂印制宣传材料能多一些．
【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题目信息，理解两个印刷厂的制版费的组成是解题的关键．
（1）根据两个印刷厂的印制费分别列式整理即可；
（2）把代入进行计算即可得解．
【详解】（1）解：依题意得：甲厂：，
乙厂：；
（2）解：当时，甲厂：，
乙厂：，
，
印制180份宣传材料时，选择乙厂比较合算．
甲厂：（份）
乙厂：（份），
找乙印刷厂印制宣传材料能多一些．
49．（23-24八年级·江苏扬州·阶段练习）某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次元．
(1)写出每月电话费y（元）与通话次数之间的函数关系式；
(2)求出月通话100次的电话费；
(3)如果某月的电话费是元，求该月通话的次数．
【答案】(1)
(2)元
(3)120次
【分析】本题考查了一次函数的应用；
（1）根据题意列出函数关系式即可；
（2）打100次电话超过60次，应付话费元；
（3）因为，所以把代入函数关系式解答即可．
弄清题意，准确列出函数关系式是关键．
【详解】（1）解：根据题意可得：
；
（2）当时，，
月通话100次话费为元；
（3）因为，所以把代入中，
可得：，
解得：．
答：该月通话的次数是120次．
50．（22-23八年级下·云南昆明·期末）某县今年遇旱灾，为了倡导居民节约用水，生活用水按阶梯式水价计费，如图是某户居民每月的水费（元）与所用的水量（吨）之间的函数图像，请根据图像所提供的信息，解答下列问题：
(1)当用水量不超过10吨时，每吨水收费多少元？
(2)当用水量超过10吨且不超过30吨时，求与之间的函数关系式；
(3)某户居民三、四月份水费共70元，四月份用水比三月份多4吨，求这户居民三月份用水多少吨？
【答案】(1)每吨水费为元
(2)
(3)这户居民三月份用水13吨
【分析】本题主要考查了函数图像、求一次函数解析式以及一元一次方程的应用，理解题意，通过函数图像获得所需信息是解题关键．
（1）根据函数图像可得当时，水费是20元，即可求出每吨水的费用；
（2）当时，设，利用待定系数法求解即可；
（3）设居民三月份用水吨，则四月份用水吨，首先令，计算两个月水费为（元）元，易得，然后建立关于的一元一次方程并求解，即可获得答案．
【详解】（1）解：如图，当时，水费是20元，
则每吨水费为元；
（2）当时，设，
将和代入，
可得，
解得，
∴当用水量超过10吨且不超过30吨时，与之间的函数关系式；
（3）设居民三月份用水吨，则四月份用水吨，
当时，水费：（元）元，
故，则水费：，
解得．
答：这户居民三月份用水13吨．
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