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专题4 计数原理（二项式定理）

（22-23高二下·河南·期中）
1．有4名男生，4名女生，全排成一行，求下列情形的排法种数．
(1)甲、乙两人必须排在两端；
(2)男女相间．
（22-23高二下·江苏扬州·期中）
2．用0 1 2 3四个数字组成没有重复数字的自然数.
(1)其中三位数偶数有多少个？
(2)把这些数从小到大排成一个数列，1230是这个数列的第几项？
（22-23高二下·河南郑州·期中）
3．已知从左到右有5个空格.
(1)若向这5个格子填入0，1，2，3，4五个数，要求每个数都要用到，且第三个格子不能填0，则一共有多少不同的填法？
(2)若向这5个格子放入7个不同的小球，要求每个格子里都有球，问有多少种不同的放法？
（22-23高二下·安徽滁州·期中）
4．班级迎接元旦晚会有个唱歌节目、个相声节目和个魔术节目，要求排出一个节目单．
(1)2个相声节目要排在一起，有多少种排法？
(2)相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，有多少种排法？
(3)现在临时增加个魔术节目，要求重新编排节目单，要求个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，有多少种排法？
（23-24高二上·陕西汉中·期中）
5．电影《志愿军雄兵出击》讲述了在极其简陋的装备和极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神取得入朝作战第一阶段战役的胜利，著名的“松骨峰战斗”在该电影中就有场景.现有3名男生和4名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式，并计算出结果）
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种？
(2)女生互不相邻的坐法有多少种？
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种？
（22-23高二下·浙江温州·期中）
6．生命在于运动，小鑫给自己制定了周一到周六的运动计划，这六天每天安排一项运动，其中有两天练习瑜伽，另外四天的运动项目互不相同，且运动项目为跑步、爬山、打羽毛球和游泳，请思考并完成下列问题（结果用数值表示）：
(1)若瑜伽被安排在周一和周六，共有多少种不同的安排方法？
(2)若周二和周五至少有一天安排练习瑜伽，共有多少种不同的安排方法？
(3)若瑜伽不被安排在相邻的两天，共有多少种不同的安排方法？
（22-23高二下·安徽安庆·期中）
7．6位同学报名参加2022年杭州亚运会4个不同的项目（记为）的志愿者活动，每位同学恰报1个项目.
(1)6位同学站成一排拍照，如果甲乙两位同学必须相邻，丙丁两位同学不相邻，求不同的排队方式有多少种？
(2)若每个项目至少需要一名志愿者，求一共有多少种不同报名方式？
(3)若每个项目只招一名志愿者，且同学甲不参加项目，同学乙不参加项目，求一共有多少种不同录用方式？
（22-23高二下·上海闵行·期中）
8．12月31日是某校艺术节总汇演之日，当天会进行隆重的文艺演出，已知高一，高二，高三分别选送了4，3，2个节目，现回答以下问题：（用排列组合数列式，并计算出结果）
(1)为了活跃气氛，学校会把20个荧光手环发给台下的12名家长代表，每位家长至少一根，共计有多少种分配方案；
(2)若高一的节目彼此都不相邻，高三的节目必须相邻，共计有多少种出场顺序；
(3)演出结束后，学校安排甲、乙等9位志愿者打扫A，B，C三个区域的卫生，每个区域至少需要2名志愿者，则共有多少种安排方式？甲、乙打扫同一个区域的概率是多少？
（22-23高二下·陕西安康·期中）
9．甲 乙 丙 丁四名同学去某社区做志愿者工作，现将他们随机安排到A，B，C三个岗位中，每个岗位至少安排一人.
(1)求共有多少种安排方法；
(2)求甲乙被安排在同一岗位的概率.
（22-23高二下·河北沧州·期中）
10．立德小学的课外活动室里有一些“塑料珠子”和“纸盒”．王宁同学正在玩珠子投纸盒的游戏，将5个不同的塑料珠子投入编号为1，2，3，4，5的5个纸盒中，试问：
(1)一共有多少种不同的投法？
(2)恰有1个空盒的投法共有多少种？
（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）
11．男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.现选派 5人外出参加比赛.
(1)队长中至少有1人参加，有多少种选派方法
(2)参赛的运动员需要分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)，有多少种安排方式
（22-23高二下·山东济南·期中）
12．为庆祝党的二十大胜利闭幕，某校高二级部组织全体同学进行了主题为“二十大精神进校园，培根铸魂育新人”的二十大知识竞赛，并选出了4名女生和3名男生共7名优胜者．赛后，7名同学站成一排，照相留念．
(1)女生必须站在一起的站队方式有多少种？
(2)男生甲不与其他男生相邻的站队方式有多少种？
(3)现在要求这7名同学分成三个宣讲小组分别去给高一、高二、高三三个年级的同学做二十大学习成果汇报，要求每个小组必须既有男生又有女生，问有多少种安排方案？
（22-23高二下·新疆乌鲁木齐·期中）
13．在 的展开式中，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍.
(1)求n的值.
(2)求 的展开式中的常数项.
(3)求展开式中所有系数的和.
（22-23高二下·上海长宁·期末）
14．已知的二项展开式中，二项式系数之和为64.
(1)求n的值；
(2)求的展开式中的常数项.
（22-23高二下·江西宜春·期末）
15．根据条件，分别求解：
(1)求展开式中的系数；
(2)求值：.
（23-24高二上·上海松江·期末）
16．已知.
(1)求的值；
(2)设，求被6除的余数.
（22-23高二下·江苏南通·期中）
17．设，求：
(1)；
(2).
18．设．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
（22-23高二下·山东泰安·期末）
19．已知二项式N的展开式中，第2项与第3项二项式系数之和比第4项二项式系数大1．
(1)求展开式中含的项；
(2)求的值．
（23-24高二上·福建莆田·期末）
20．在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
已知（），若的展开式中，______.
(1)求n的值；
(2)求的系数；
(3)求的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
（22-23高二下·四川雅安·期中）
21．请用二项式定理解决下列问题，写出必要的过程：
(1)求除以100的余数；
(2)证明：（，且）．
（22-23高二下·山东烟台·期中）
22．（1）证明：能被整除；
（2）求的近似值（精确到0.001）.
（22-23高二下·江西宜春·期中）
23．已知.
（1）若，求；
（2）若，求除以9的余数；
（22-23高二下·河北·期中）
24．（1）用组合数公式证明：
（2）证明：.
（3）证明：.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）先排甲、乙，再排其余6人，根据分步乘法计数原理，即可求得答案；
（2）先排男生，再将女生插空，即可求得答案.
【详解】（1）先排甲、乙，有种排法，再排其余6人，所以共有（种）排法.
（2）先排4名男生有种方法，男生之间包括两端共有5个空，
由于要男女相间，故再将4名女生插空，空出男生最左侧或最右侧的位置，
有种方法，故共有（种）排法.
2．(1)10个
(2)第35项.
【分析】（1）把偶数分为两类个位是0和个位是2，然后再看十位、百位.
（2）分析一位数的自然数、两位数的自然数、三位数的自然数以及四位数中比1230小的数，由此可知1230前的项数，进而可知1230是第几项.
【详解】（1）三位数是偶数有个位是0和个位是2两种情况，
其中个位是0有种；个位是2有种.
所以三位数偶数共有个.
（2）1位自然数有个；2位自然数有个；
3位自然数有个；
4位自然数中小于1230的有1023，1032，1203共3个；
所以1230是此数列的第项.
3．(1)96
(2)16800
【分析】（1）由题意可知先将数字0排好，再将其余4个数字全排列，根据分步乘法计数原理即可求得结果；
（2）先将7个不同的小球分成5组，再按照分组分配问题进行计算即可.
【详解】（1）根据题意，分2步进行分析：
①第三个格子不能填0，则0有4种选法；
②将其余的4个数字全排列，安排在其他四个格子中，有种情况，
则一共有种不同的填法；
（2）根据题意，分2步进行分析：
①、将7个小球分成5组，有2种分法：
若分成2－2－1－1－1的5组，有种分法，
若分成3－1－1－1－1的5组，有种分组方法，
则有（）种分组方法，
②、将分好的5组全排列，对应5个空格，有种情况，
则一共有种放法.
4．(1)种
(2)种
(3)种
【分析】（1）根据捆绑法即可得到答案；
（2）利用全排列公式减去不符合题意的情况即可；
（3）利用全排列公式减去不符合题意的情况即可.
【详解】（1）将个相声节目捆绑在一起，看成个节目，与其余个节目一起排，
则共有种不同排法；
（2）若相声节目排在第一个节目，则有种不同排法，
若魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
若相声节目排在第一个节目，并且魔术节目排在最后一个节目，则有种不同排法，
则相声节目不排在第一个节目、魔术节目不排在最后一个节目，
可以用个节目的全排列减去相声节目排在第一个节目的排列数和魔术节目排在最后一个节目的排列数，
再加上相声节目排在第一个节目并且魔术节目排在最后一个节目的排列数，
所以共有种不同排法；
（3）若个相声节目相邻，则有种不同排法，
若个魔术节目相邻，也有种不同排法，
若个相声节目相邻，并且个魔术节目也相邻，则有种不同排法，
则个相声节目不相邻且个魔术节目也不相邻，可由个节目的全排列减去个相声节目相邻的排列数和个魔术节目相邻的排列数，
再加上个相声节目相邻并且个魔术节目也相邻的排列数，
所以共有种不同排法．
5．(1)576
(2)144
(3)960
【分析】（1）由捆绑法即可得到结果；
（2）由插空法即可得到结果；
（3）结合捆绑法与插空法代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）先将4名女生排在一起，有种排法，
将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，
由分步乘法计数原理，共有种排法；
（2）先将3名男生排好，共有种排法，
在这3名男生中间以及两边的4个空位中插入4名女生，共有种排法，
再由分步乘法计数原理，共有种排法；
（3）先将甲乙丙以外的其余4人排好，共有种排法，
由于甲乙相邻，则有种排法，
最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空隙中，
共有种排法，
由分步计数原理，共有种排法.
6．(1)种
(2)种
(3)种
【分析】（1）瑜伽被安排在周一和周六,安排剩下的四种运动项目即可；
（2）分2种情况讨论周二和周五都安排瑜伽,周二和周五中有1天安排瑜伽可求解;
（3）先排其他四项运动，再插空可求解.
【详解】（1）若瑜伽被安排在周一和周六，安排剩下的四种运动项目则共有种不同的安排方法.
（2）根据题意，分2种情况讨论：
若周二和周五都安排瑜伽，有种安排方法，
若周二和周五中有1天安排瑜伽，有种安排方法，
则有种安排.
（3）若瑜伽不被安排在相邻的两天，则先排其他四项运动，共有种不同的安排方法，再从5个空位里插入2个安排练习瑜伽，故共有种不同的安排方法.
7．(1)144
(2)1560
(3)252
【分析】（1）利用捆绑法和插空法进行排列计算即可得共有144种；
（2）先将6位同学分成4组，再根据题意进行排列计算即可得出结果；
（3）先计算出所有的录用方式，再减去不符合题意的方式即可得出答案.
【详解】（1）根据题意先把甲乙看成整体，与除了甲、乙、丙、丁之外的两人进行排列，再把丙丁插空进行排列，
所以共有.
（2）先分为4组，则按人数可分为1，1，1，3和1，1，2，2两种分组方式，共有种；
再分到4个项目，即可得共有；
（3）先考虑全部，则共有种排列方式，
其中甲参加项目共有种，同学乙参加项目共有种；
甲参加项目同时乙参加项目共有种，
根据题意减去不满足题意的情况共有种.
8．(1)
(2)
(3)11508，
【分析】（1）由题意根据隔板法求解；
（2）根据相邻与不相邻问题可用捆绑法与插空法求解；
（3）分别按分类求解，再按不同分组求出甲乙在一组的种数，由古典概型求解.
【详解】（1）利用隔板法：.
（2）根据捆绑、插空：高三2个节目视作1个节目，与高二3个节目全排列，
再把高一的4个节目插入所成的5个空中的4个，所以共有 .
（3）①.若按2，2，5分组，则有：种，
②.若按2，3，4分组，则有：种，
③.若按3，3，3分组，则有：种，
故共有种安排方式.
若按2，2，5分组，甲、乙在同一组的安排方式有种，
若按2，3，4分组，甲、乙在同一组的安排方式有 种，
若按3，3，3分组，甲、乙在同一组的安排方式有=420种，
故甲、乙在同一组的概率为.
9．(1)36
(2)
【分析】（1）根据题意，先分组再分配，然后代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由古典概型的概率计算公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】（1）由题意一个岗位安排了2名志愿者，另外两个岗位各安排了1名志愿者，所以共有种安排方法
（2）第一步安排甲乙，有种，第二步安排丙丁两人有种，
则共有种，
则甲乙被安排在同一岗位的概率.
10．(1)3125
(2)1200
【分析】（1）每个塑料珠子都有5种投法，根据分步乘法计数原理即可得出答案；
（2）先选出2个小球，与剩余的3个看作4组，投入4个盒子中，计算每步的结果，根据分步乘法计数原理即可得出答案.
【详解】（1）由已知可得，每个塑料珠子都有5种投法，
根据分步乘法计数原理可知，5个不同的塑料珠子的投法有种.
（2）恰有1个空盒，表示5个塑料珠子投入了4个盒子，这4个盒子里面有1个盒子里面有2个珠子，剩余3个盒子里面只有1个珠子.
第一步：从5个小球中选出2个，选法种数为；
第二步：将选出的2个小球与剩余的3个小球看为4组，分别投入5个空盒中4个中，不同的投放方法为.
根据分步乘法计数原理可得，恰有1个空盒的投法种数为.
11．(1)196
(2)7560
【分析】（1）求出随机选择和没有队长的情况，即可求出队长中至少有1人参加时选派方法的数量；
（2）求出随机选择人数，人随机坐和人坐同一个车中的情况，即可求出运动员分坐在两辆车上(每辆车上至少有一名运动员)时安排方式的数量.
【详解】（1）由题意，
男运动员6名，女运动员4名，其中男、女队长各1名.选派 5人，
若没有队长，则有种选派方法，
若随机选择，则有种选派方法，
∴队长中至少有1人参加，有种方法.
（2）由题意，
男运动员6名，女运动员4名，选派 5人外出参加比赛，分坐在两辆车，
∴选择的人是随机的，有种情况，
若人坐同一个车中，有种情况，
若人随机坐，有种情况，
∴从人中选5人，且坐在辆不同的车中，有种情况.
12．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用捆绑法，女生看成整体与男生排列，再考虑女生内部排列；
（2）男生甲不与其他男生相邻，则相邻的只能是女生，分甲站在两端和甲不站两端两种情况讨论，选出女生与甲看作整体，与剩下的人排列即可；
（3）分别将男生女生分分给三个年级，由此求解即可.
【详解】（1）女生必须站在一起，利用捆绑法，
先将四个女生看成一个整体，再与其他三个男生排列，
则有种站队方式；
（2）若甲站在两端，则甲有种站法，
再选一名女生与甲相邻，有种选法，
再将把其他人排列，有排法，
则甲站在两端有种，
若甲不站两端，则可先在甲两边分别安排一名女生，有种选法，
再将这三个人看成一个整体与其他人排列，有种排法，
则甲不站两端有种，
所以男生甲不与其他男生相邻的站队方式有种；
（3）先选名女生分到三个年级，有种，
再将个男生分到三个年级，有种，
所以共有种.
13．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据二项式系数的关系求得.
（2）根据二项式展开式的通项公式求得常数项.
（3）令求得所有系数的和.
【详解】（1）依题意，第3项的二项式系数是第2项的二项式系数的4倍，
即，解得.
（2）二项式展开式的通项公式为，
令，解得，
故常数项为.
（3）由令得，
即展开式中所有系数的和为.
14．(1)；
(2).
【分析】（1）由二项式系数和有，即可求n；
（2）由（1）写出的展开式通项，进而确定原多项式的常数项即可.
【详解】（1）由题设，故.
（2）由（1）知：，而的展开式通项为，
所以常数项为.
15．(1)
(2)
【分析】(1)将化为,利用二项展开式的通项公式,即可求得答案;
（2）根据组合数的性质以及排列数的计算，化简，可得答案.
【详解】（1）因为，
设,
令,得,
故展开式中的系数为.
（2）.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）由，结合二项式定理写出通项公式求；
（2）由题设，结合二项式定理得，即可确定余数.
【详解】（1）由题设，则展开式通项为，，
所以.
（2）由题设，
而
，
所以，
显然，除外，其它项均可被6整除，又，
所以被6除的余数为.
17．(1)5670
(2)16777216
【分析】（1）由二项式公式展开对比即可求解；（2）结合平方差公式并利用函数观点即可求解.
【详解】（1）由二项式公式得，对比，
即得.
（2）设，
因为，
所以=16777216.
18．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）赋值即可得解；
（2）赋值，结合（1）即可得解；
（3）赋值，结合（2）即可得解.
【详解】（1）代入可得：；
（2）代入可得：
，所以：
；
（3）代入可得：
，又，、
两式相减可得：，
所以.
【点睛】本题考查了二项展开式中项的系数和项的系数和，主要方法是赋值法，属于基础题.
19．(1)
(2)1365
【分析】（1）先根据已知条件求出值，在利用二项展开式的通项公式求含的项；
（2）利用赋值法求解.
【详解】（1）由题意得，整理得，
∵且 ∴
二项式的展开式的通项为
令，解得， ∴展开式中含的项为
（2）
令，则
∴.
20．(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）选择条件①，②，③，利用二项式系数的性质求出.
（2）由（1）的结论，结合二项式定理求出.
（3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值.
【详解】（1）选择条件①，只有第6项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即，
所以.
选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得，
所以.
选择条件③，所有二项式系数的和为，则，解得，
所以.
（2）由（1）知，的展开式中项为：，
所以.
（3）由（1）知，的展开式中，当时，，
当时，，
所以.
21．(1)1
(2)证明见解析
【分析】（1）利用二项展开式得到被100除余数为，再将写成，展开后被100除即得余数为1；
（2）先考虑的展开式，利用放缩法得到，从而得到结论.
【详解】（1），
由展开式可知，前100项都能被100整除，最后一项是，
而
其展开式的前100项都能被100整除，最后一项是，
所以除以100的余数是1；
（2）因为
，
即，故，即原不等式成立．
22．（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）利用二项式展开式证明即可；
（2）构造二项式展开式进行求解即可.
【详解】（1）证明：因为
所以能被整除；
（2）
23．（1）192；（2）1.
【分析】（1）若，则，，两式相加整理结合二项式系数的和即可得解；
（2）若，则，展开分析即可得出答案.
【详解】解：（1）因为，所以①
同时，②，
①②两式相加得：
所以；
（2）因为，所以
因为都能被9整除，所以1除以9的余数就是除以9的余数，
故除以9的余数为1.
24．（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】（1）利用组合的阶乘公式，分别化简左、右边，即可得证；（2）公式法：利用公式和，即可证明；（3）利用二项式定理将展开，结合放缩法证明不等式即可.
【详解】（1）左边，
右边，
所以；
（2）利用公式，
则
，
∴．
（3）
.
【点睛】本题考查组合数公式的证明与应用，二项式定理的应用，涉及等式、不等式的证明；注意观察原等式或不等式的形式，结合二项式定理，属于难题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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