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专题2 导数在不等式中的应用
（22-23高二上·江苏盐城·期末）
1．已知函数，当时，函数有极小值0.
(1)求函数的解析式；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
（23-24高二上·江苏宿迁·期末）
2．已知函数，.
(1)当时，求的值域；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.
（23-24高二上·江苏南京·期末）
3．设 R，已知函数，
(1)讨论函数 的单调性；
(2)设 Z，若有解，求 的最小值.
（23-24高二上·江苏南京·期末）
4．已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围．
（23-24高二上·江苏泰州·期末）
5．已知函数，曲线在点处的切线的斜率为1，其中.
(1)求的值和的方程；
(2)证明：当时，.
（22-23高二下·江苏镇江·期末）
6．已知函数.
(1)求函数的极值并画出函数的大致图像；
(2)求证：.
（22-23高二上·江苏盐城·期末）
7．设函数.
(1)若函数在点处的切线斜率为1，求实数的值；
(2)设函数，且函数有两个零点，，证明：.
（22-23高二上·江苏南京·期末）
8．已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)求当时，函数在区间上的最小值；
(3)若关于的方程有两个不同实根，求实数的取值范围并证明：．
（23-24高二上·江苏镇江·阶段练习）
9．已知函数．若函数有两个不相等的零点．
(1)求a的取值范围；
(2)证明：．
（22-23高二下·上海浦东新·期末）
10．已知，函数.
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若有零点，求实数的取值范围；
(3)若有两个相异零点，求证：.
（22-23高二下·河南周口·阶段练习）
11．已知函数，
(1)若，求的单调区间；
(2)若，是方程的两个实数根，证明：．
（22-23高二上·江苏常州·期末）
12．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若时，都有，求实数的取值范围；
(3)若有不相等的两个正实数满足，求证：.
（22-23高二下·广东揭阳·阶段练习）
13．设函数.
(1)当时，求函数的单调区间；
(2)若函数有两个极值点，且，求的最小值.
（22-23高二下·河南洛阳·期末）
14．已知函数（a为常数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
（23-24高二上·湖南郴州·期末）
15．已知函数.
(1)若，求证：；
(2)若有两个极值点，且，当取最小值时，求的极小值.
（23-24高二上·云南临沧·期末）
16．已知函数
(1)求函数的单调区间；
(2)令，若，正实数满足：，求证：．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．(1)；
(2).
【分析】（1）根据给定条件，利用极值点及对应的极小值列出方程组，再求解并验证作答.
（2）根据给定条件，分离参数并构造函数，再求出函数的最小值作答.
【详解】（1）函数，求导得：，因为当时，函数有极小值0，
因此，解得，此时，
当时，，当时，，于是得函数在处取得极小值0，
所以函数的解析式为.
（2），不等式，
令，，求导得，
因此函数在上单调递减，则当时，，
因为存在，使不等式成立，则存在，使不等式成立，即有，
所以实数的取值范围是.
2．(1)
(2)
【分析】（1）求导得到函数的单调性，即可求解端点以及极值点处的函数值求解，
（2）构造，求导，结合分类讨论，根据函数的单调性求解最值即可求解.
【详解】（1）当时，，
则，
令，由于，解得；
令，解得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
又，故的值域为.
（2）若对任意，不等式恒成立，
则，故，
当时，，显然不满足题意，舍去，
当时，记，
则，
由于，令，则；
令，则或；
故在上单调递增，在上单调递减，
由于，
当时，即，此时在上单调递增，
故满足题意，
当时，即，此时在上单调递增，在上单调递减，
要使恒成立，则且，
解得，
综上可得
【点睛】方法点睛：
1. 导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
3．(1)答案见解析
(2)
【分析】
（1）求导，利用导数的正负，结合分类讨论即可求解，
（2）构造函数，利用导数求解函数的单调性，结合零点存在定理可得，进而可得，构造函数，求导即可求解.
【详解】（1）
①当时，令 ，则 ，所以
当 时，在 上单调递减；
当 时，在 上单调递增.
②当时，，所以
当 时，在 上单调递增；
当 时，在 上单调递减；
当 时，在 上单调递增.
③当 时，，则 在 上单调递增.
④当时，，所以
当 时，在 上单调递增；
当 时，在 上单调递减；
当 时，在 上单调递增.
综上所述：当 时，在 上单调递减，上单调递增；
当时，在 上单调递增，上单调递减，上单调递增；
当 时，在 上单调递增；当时，在 上单调递增，上单调递减，上单调递增.
（2）由可得，即，
记，则定义域为.
设，则恒成立，则在单调递增.
又
【理由：，而；
而】
所以存在唯一 ，使得 ，且 在 上单调递减，在 上单调递增.
因为 ，所以，即 且.
所以 .
令，则
当恒成立，
所以 在 上单调递增，且 ，
所以
所以整数的最小值为 .
【点睛】方法点睛：利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.
4．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）当时，解得或，故以和1的大小关系进行讨论即可.
（2）由题意当时，恒成立， 注意到，令，则单调递增，且，故以和0的大小关系进行讨论即可得解.
【详解】（1），当时，解得或.
①当时，恒成立，即函数在上单调递增；
②当时，令，解得或，令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增；
③当时，令，解得或，令，解得，
即函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增
；综上，
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，即当时，，
令，且
令，， ，
函数在上单调递增，且 ，
当时，时，
即在上单调递增，时，
在上单调递增，时，.
所以时符合题意.
当时，，
当时，，，
，
所以，又函数在图象连续不间断，且单调递增，
由零点存在性定理，存在唯一，使得，
所以当时，，所以即在上单调递减，
当时，，所以在上单调递减，
时，，此与当时，不符，
综上，符合题意的a的取值范围为.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是得出，函数在上单调递增，且 ，找到对分类讨论的临界点，由此即可顺利得解.
5．(1)；
(2)证明见解析
【分析】（1）先求导，再根据导数的几何意义求切线方程；
（2），求导，根据单调性求出最值即可.
【详解】（1）由已知
因为曲线在点处的切线的斜率为1，
所以，解得，又
所以切线方程为，即；
（2）令，则，
令，得，令，得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，即，
整理得，
所以，即.
6．(1)极小值，无极大值，图象见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求出函数的导数，利用函数求出单调区间，再求出极值，画出图象作答.
（2）构造函数，求出函数的最小值即可推理作答.
【详解】（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数取得极小值，无极大值，
当时，恒成立，而，函数的大致图象如图：

（2）令函数，，求导得，
令，，求导得，
则函数在上单调递增，而，即当时，，当时，，
因此函数在上单调递减，在上单调递增，，，
所以恒成立.
7．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由导数的几何意义，知，即可求出的值；
（2）由题意，由题意可得，为方程的根，得到根与系数的关系，要证即证，设，则，转化为证，令，只需求出的最小值即可.
【详解】（1），所以，
因为函数在点处的切线斜率为1，所以，所以.
（2）证明：，，
因为函数有两个零点，，且，所以，为方程的根，
所以，，①根据题意可得，所以，
若证，需证，
需证，
需证，
需证，
需证，（*）
设，则，，，
所以（*）可化为，
所以需证，即证，
设，，，
因为，所以，所以在上单调递减，
所以，得证.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键点在于由函数的零点将不等式证明转化为，利用换元法并构造函数，根据导数研究其单调性，即可证明不等式.
8．(1)极大值为，极小值为
(2)
(3)，证明见解析
【分析】（1）求导，根据函数的单调性和极值的概念即可得到结果；
（2）由函数的定义域是，分为，和四种情况，进行分类讨论即可求出结果；
（3）根据题意和函数的单调性，结合函数的图象可知，当时，有两个不同实根，满足，，两式化简得到，不妨设，利用分析证明法和换元法即可证明结果．
【详解】（1）当时，函数．
，
令，得或
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则在处取得极大值，在处取得极小值．
极大值为，极小值为．
（2）函数的定义域是，
．
当时，令有两个解，或．
当，即时，，在上单调递减，
在上的最小值是，
当，即时，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在上的最小值是，
当，即时，，，在上单调递增，
在上的最小值是．
综上，．
（3）关于的方程有两个不同实根，即有两个不同实根，
得，令，，
令，得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
时，取得最大值，且，当时，
得的大致图象如下：
．
即当时，有两个不同实根．
两根满足，，
两式相加得：，两式相减得：，
上述两式相除得．
不妨设，要证：，
只需证：，
即证，
设，令，
则，
函数在上单调递增，且．
，即，．
9．(1)；
(2)证明见详解.
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性及最值，结合零点存在性定理计算即可；
（2）构造函数，利用导数研究其单调性与最值即可证明.
【详解】（1）由题意可知：，
若，则恒成立，即单调递增，不存在两个不等零点，
故，
显然当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以若要符合题意，需，
此时有，且，
令，
而，
即在上递减，故，
所以，
又，
故在区间和上函数存在各一个零点，符合题意，
综上；
（2）结合（1），不妨令，
构造函数，
则，
即单调递减，所以，
即，
因为，所以，
由（1）知在上单调递增，所以由，
故.
10．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据导数几何意义得切线斜率为，再根据点斜式求切线方程；
（2）对分三种情况讨论得解；
（3）利用分析法证不等式，要证，只要证，根据零点解得，化简欲证不等式，再令，构造关于t的函数，利用导数法求得范围证不等式.
【详解】（1）函数的定义域为，，
当时，，则切线方程为，
即切线方程为.
（2）①若时，则，是区间上的增函数，
因为，，
所以，则函数在区间有唯一零点；
②若，有唯一零点；
③若，令，得，
在区间上，，函数是增函数；
在区间上，，函数是减函数；
故在区间上，的极大值为，
由于有零点，须使，解得，
故所求实数的取值范围是.
综上，所求实数的取值范围是.
（3）要证，两边同时取自然对数得.
由得，得.
所以原命题等价于证明.
不妨取，故只需证，即.
令，则，设（），只需证.
而，故在单调递增，所以.
综上得.
【点睛】关键点点睛：解答本题的难点在第3小问，解答有两个关键，其一是要会利用分析法等价转化命题；其二是能够利用代换化双变量问题为单变量问题解答.
11．(1)单调递增区间为，单调递减区间为，
(2)证明见解析
【分析】（1）利用函数的单调性与导数正负的关系即可求解；
（2）根据已知条件构造，利用导数法研究函数的单调性和最值，进而得出的范围，再构造函数，利用导数法研究函数的单调性，结合函数单调性的性质即可求解.
【详解】（1）由题可知的定义域为，
.
令，则的两根分别为，．
当或时，；
当时，；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为，．
（2）原方程可化为，
设，则，．
令，得．∵在上，，在上，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
∴，且当，趋向于0时，趋向于，
当趋向于时，趋向于．
则在和上分别有一个零点，
不妨设，∵，∴，
设，则，
．
当时，，
∴在上单调递增，而，
∴当时，，，即．
∵，
∴．
∵在上单调递减，
∴，即．
【点睛】关键点睛：本题第二问关键是合理转化，将问题变成熟悉的极值点偏移问题，从而根据对称化构造方法及利用导数法研究函数的单调性即可.
12．(1)答案见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）求出导函数，对分类讨论：①和②，分别讨论单调性；（2）利用分离常数法得到对恒成立. 令，利用导数求出最值，即可得到实数的取值范围；（3）极值点偏移问题，利用分析法，转化为证明，构造新函数，利用导数证明出.
【详解】（1）函数的定义域为，.
①当时，令，即，解得：.
令，解得：；令，解得：；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
②当时，则，所以函数在上单调递增.
综上所述：当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，函数在上单调递增.
（2）当时，都有，即，
亦即对恒成立.
令，只需.
.
令，则，所以当时，，
所以在上单增，所以，
所以当时，.
所以，所以在上单减，
所以.
所以.
综上所述：实数的取值范围为.
（3）可化为：.
令，上式即为.
由（1）可知：在上单调递增，在上单调递减，
则为的两根，其中.
不妨设，要证，只需，即，
只需证.
令.
则
当时，；当时，.
由零点存在定理可得：存在，使得.
当时，，单增；当时，，单减；
又，所以.
.
因为， ，
所以.
所以恒成立.
所以.
所以.
所以
即证.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；
（3）利用导数求函数的最值(极值)；
（4）利用导数证明不等式．
13．(1)调递增区间为，；单调递减区间为
(2)
【分析】（1）求导后，根据的正负可确定单调区间；
（2）根据函数有两个极值点可得方程在上有两个不等实根，由此可得韦达定理的结论，将表示为关于的函数的形式，构造函数，利用导数求得即可.
【详解】（1）当时，，则定义域为，，
当时，；当时，；
的单调递增区间为，；单调递减区间为.
（2）定义域为，，
有两个极值点等价于在上有两个不等实根，
，，，，
；
设，
则，
在上单调递减，，
即，
的最小值为.
14．(1)
(2)
【分析】（1）由导数的几何意义求解，
（2）根据函数有两个不相等的极值点得到，故，变形得到函数，求导得到其单调性，得到的值域，得到答案.
【详解】（1）当时，，，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根，
从而得到，即，
又，故，且
令，则，
，
所以在上单调递减，
所以，即的值域为，
所以的范围是.
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由，由的正负，判断的增减性，进而得到的最小值为，得证.
（2）有两个极值点，且,的两根为，进而得，再利用导函数研究的单调性和极值即可.
【详解】（1）
因为，所以，
令，得，解得.
所以在上单调递增；
同理可得在上单调递减；
.
（2）由（1）知时，只有一个极值点，不合题意.
当时，有两个根，
所以，解得，
又，故.
因此.
令，得或.
令，得.
所以在和上单调递增，在上单调递减；
所以当时，取得极小值.
16．(1)答案见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意，求得，分类讨论，结合导数的符合，即可求解；
（2）得到，根据题意求得，令，得到，利用导数求得的单调性，得到，进而证得.
【详解】（1）解：由函数，
可得，其中，
若，，函数在单调递增，无减区间；
若，令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
若，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
综上可得：当时，函数增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为.
（2）解：由，
因为，即，
可得，
令，则，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
所以，所以，
又因为，所以.
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